1．經(jīng)歷探索多邊形外角和公式的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展合情推理能力。2. 掌握多邊形外角和公式，進(jìn)一步發(fā)展演繹推理能力。
小剛住的小區(qū)有一個(gè)五邊形的小道，小明繞各頂點(diǎn)走了一圈，回到起點(diǎn)A，并面對(duì)他出發(fā)時(shí)的方向，他的身體旋轉(zhuǎn)了多少度？今天就讓我們一起來(lái)探究一下．
（1）小剛從一個(gè)跑道運(yùn)動(dòng)到下一個(gè)跑道時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)的角是哪個(gè)角？請(qǐng)標(biāo)出． （2）小剛跑完一圈，轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是多少？ （3）你能求出一圈內(nèi)小剛轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和嗎？你是怎樣計(jì)算的？
1．聽(tīng)一聽(tīng)： 一般的，在對(duì)多邊形的任一頂點(diǎn)處按逆（順）時(shí)針?lè)较蜓娱L(zhǎng)一邊形成的新角叫做外角，那么n邊形有2n個(gè)外角．這樣，任意一個(gè)多邊形(含三邊及以上)就含有兩種角度；內(nèi)角和外角．且相應(yīng)的內(nèi)角和外角互為鄰補(bǔ)角，即兩角之和為一平角．
2．做一做： 現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們拿出課前準(zhǔn)備好的三角形紙片、四邊形紙片，把每個(gè)角一邊按逆(順)時(shí)針?lè)较蚍聪蜓娱L(zhǎng)，看看會(huì)出現(xiàn)什么樣新的變化？這些角度之和是多少？
小剛是這樣思考的：如圖，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，分別為五邊形ABCDE的外角，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的值．分析：多邊形的一個(gè)外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？五邊形的內(nèi)角和是多少度？
解：∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEA＝180°，∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝5×180°．
又∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝(5－2)×180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝5×180°－(5－2)×180°＝360°．這就是說(shuō)，五邊形的外角和為360°．
如果把五邊形換成n邊形呢？因?yàn)閚邊形的每個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，它們的和是180°，所以n邊形內(nèi)角和加外角和等于n·180°，又因?yàn)閚邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°所以，n邊形的外角和為：n·180°－（n－2）·180°＝360°．
結(jié)論：多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角．多邊形的外角和等于360゜．
例1 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？
解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，則它的內(nèi)角和是（n－2）·180゜， 外角和等于360゜． 根據(jù)題意，得 （n－2）·180゜＝3×360゜. 解得n＝8． 所以，這個(gè)多邊形是八邊形．
例2 正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于135°，則該多邊形是正幾邊形？
解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，則它的內(nèi)角和是（n－2）·180゜， 根據(jù)題意，得 （n－2）·180゜＝135゜n. 解得n＝8． 所以，這個(gè)多邊形是八邊形．
方法二分析：n邊形外角和等于360゜，正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，每個(gè)外角都相等，同一頂點(diǎn)的內(nèi)角與外角互補(bǔ)。
解：每個(gè)外角的度數(shù)為180°-135°=45°，外角的個(gè)數(shù)為：360°÷45°=8所以，這個(gè)多邊形是八邊形
1．多邊形的內(nèi)角和為外角和的4倍，這個(gè)多邊形是（　?。? A．八邊形 B．九邊形 C．十邊形 D．十一邊形
2．正多邊形的一個(gè)外角等于36°，則該多邊形是正(　　)A．八邊形 B．九邊形C．十邊形 D．十一邊形
3．一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是540゜，則這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于（ ）．A．60゜ B．72゜ C．90゜ D．108゜4．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為540°，則它是(　　)A．五邊形 B．四邊形C．三角形 D．不能確定
1．多邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°，多邊形的外角和等于360°.2．多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：(1)n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))，可見(jiàn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加1條邊，內(nèi)角和增加180°.(2)多邊形的外角和等于360°，與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).3.正n邊形：正n邊形的內(nèi)角的度數(shù)為，外角的度數(shù)為
“習(xí)題6.8”第1、2、3題

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級(jí)下冊(cè)電子課本

4 多邊形的內(nèi)角與外角和

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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