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知識點01：正多邊形的概念
是正多邊形．
細節(jié)剖析:
判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1) 相等；(2) 相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).
知識點02：正多邊形的重要元素
1.正多邊形的外接圓和圓的內接正多邊形
正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．
2.正多邊形的有關概念
(1) 叫做這個正多邊形的中心．
(2) 叫做正多邊形的半徑．
(3) 叫做正多邊形的中心角．
(4) 叫做正多邊形的邊心距．
3.正多邊形的有關計算
(1)正ｎ邊形每一個內角的度數(shù)是；
(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；
(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.
細節(jié)剖析:
要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉化為直角三角形.
知識點03：正多邊形的性質
1.正多邊形都只有一個 ，圓有無數(shù)個內接 .
2.正ｎ邊形的 把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.
3.正多邊形都是 ，對稱軸的條數(shù)與它的 相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形 。它們 都等于相似比，面積的比等于
5.任何正多邊形都有一個 和一個 ，這兩個圓是
細節(jié)剖析:
（1） 是圓的內接正多邊形；（2） 是圓的外切正多邊形.
知識點04：正多邊形的畫法
1.用量角器等分圓
由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應的正n邊形.
2.用尺規(guī)等分圓
對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.
①正四、八邊形.

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形. 再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于 E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.
②正六、三、十二邊形的作法.

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點.
顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點.
同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O 12等分…….
細節(jié)剖析:
畫正n邊形的方法：（1）將一個圓 ，（2）順次連結
易錯題專訓
一．選擇題
1．（2022?雅安）如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（ ）
A．3B．C．D．3
2．（2022?游仙區(qū)校級二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N分別為邊CD，BC的中點，AN與BM相交于點P，則∠APM的度數(shù)是（ ）
A．110°B．120°C．118°D．122°
3．（2022?太原一模）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是（ ）
A．7個B．8個C．9個D．10個
4．（2022?安國市一模）2019年版一元硬幣的直徑約為22.25mm，則用它能完全覆蓋住的正方形的邊長最大不能超過（ ）
A．11.125mmB．22.25mmC．mmD．mm
5．（2022?固安縣模擬）如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長為2a）重合在一起，下面一張保持不動，將上面一張紙片六邊形A'B'C'D'E'F'沿水平方向向左平移a個單位長度，則上面正六邊形紙片面積與折線A'﹣B'﹣C掃過的面積（陰影部分面積）之比是（ ）
A．3：1B．4：1C．5：2D．2：1
二．填空題
6．（2022?雨花臺區(qū)校級模擬）如圖，A、B、C、D、E、F是正n邊形的六個連續(xù)頂點，AE與CF交于點G，若∠EGF＝30°，則n＝ ．
7．（2022?長春）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB＝27厘米，則這個正六邊形的周長為 厘米．
8．（2022?陳倉區(qū)二模）如圖，以正五邊形ABCDE的對角線BE為邊，作正方形BEFG，使點A落在正方形BEFG內，則∠ABG的度數(shù)為 ．
9．（2022?沙灣區(qū)模擬）已知圖標（如圖）是由圓的六個等分點連接而成，若圓的半徑為1，則陰影部分的面積等于 ．
10．（2022?雁塔區(qū)校級模擬）在正六邊形ABCDEF中，對角線AC，BD相交于點M，則的值為 ．
11．（2022?河北二模）如圖，將幾個全等的正八邊形進行拼接，相鄰的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圖后中間形成一個正方形．設正方形的邊長為1，則該圖形外輪的周長為 ；若n個全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，且相鄰的兩個正多邊形有一條公共邊，設正三角形的邊長為1，則該圖形外輪廓的周長是 ．
12．（2021秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，⊙O的內接正六邊形，點M，N分別為AF，BC邊的中點，直線MN與⊙O交于點PQ，若AB＝1，則PQ＝ ．
13．（2020秋?海曙區(qū)期末）如圖，正六邊形ABCDEF中，G，H分別是邊AF和DE上的點，GF＝AB＝2，∠GCH＝60°，則線段EH長 ．
14．（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）如圖，邊長為5的圓內接正方形ABCD中，P為CD的中點，連接AP并延長交圓于點E，則DE的長為 ．
三．解答題
15．（2021秋?咸寧月考）如圖，正五邊形ABCDE，連接對角線AC，BD，設AC與BD相交于O．
（1）求證：AO＝CD；
（2）判斷四邊形AODE的形狀，并說明理由．
16．（2021?云巖區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，P為上的一點，連接DP，CP．
（1）求∠CPD的度數(shù)；
（2）當點P為的中點時，CP是⊙O的內接正n邊形的一邊，求n的值．
17．（2019秋?長樂區(qū)期中）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，過O點作邊AD的垂線交于E點，連接BE，求∠ABE的度數(shù)．
18．（2021秋?日喀則市月考）如圖，正方形ABCD是半徑為R的⊙O內接四邊形，R＝6．
求正方形ABCD的邊長和邊心距．
19．（2022?包河區(qū)校級二模）如圖，正方形ABCD是⊙O的內接正方形，E在邊AB上，F(xiàn)在DC的延長線上，且∠F＝∠BEC，BF交⊙O于點G，連接DG，交BC于點H．
（1）求證：四邊形BECF是平行四邊形；
（2）求證：DH＝CE．
20．（2022?金華）如圖1，正五邊形ABCDE內接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：
作法 如圖2．
1．作直徑AF．
2．以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點M，N．
3．連結AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度數(shù)．
（2）△AMN是正三角形嗎？請說明理由．
（3）從點A開始，以DN長為半徑，在⊙O上依次截取點，再依次連結這些分點，得到正n邊形，求n的值．

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