易錯點撥
知識點1：切線的判定定理和性質(zhì)定理
1．切線的判定定理：
經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
細節(jié)剖析:
切線的判定方法：
（1）定義：直線和圓有唯一公共點時，這條直線就是圓的切線；
（2）定理：和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；
（3）判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（切線的判定定理中強調(diào)兩點：一是直線與圓有一個交點，二是直線與過交點的半徑垂直，缺一不可）.
2．切線的性質(zhì)定理：
圓的切線垂直于過切點的半徑.
細節(jié)剖析:
切線的性質(zhì)：
（1）切線和圓只有一個公共點；
（2）切線和圓心的距離等于圓的半徑；
（3）切線垂直于過切點的半徑；
（4）經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；
（5）經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心.
知識點2：切線長定理
1．切線長：
經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.
細節(jié)剖析:
切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱.切線是直線，而非線段.
2．切線長定理：
從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
細節(jié)剖析:
切線長定理包含兩個結論：線段相等和角相等.
3．圓外切四邊形的性質(zhì)：
圓外切四邊形的兩組對邊之和相等.
知識點3：三角形的內(nèi)切圓
1．三角形的內(nèi)切圓：
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.
2．三角形的內(nèi)心：
三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心.
細節(jié)剖析:
(1) 任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；
(2) 解決三角形內(nèi)心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).
(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：
易錯題專訓
一．選擇題
1．（2022?吉林一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O直徑，過點B的切線交CA的延長線于點P．若∠P＝32°，則∠ACB的度數(shù)是（ ）
A．29°B．30°C．31°D．32°
【易錯思路引導】連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBP＝90°，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得∠AOB＝58°，然后利用圓周角定理進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：連接OB，
∵PB與⊙O相切于點B，
∴∠OBP＝90°，
∵∠P＝32°，
∴∠AOB＝90°﹣∠P＝58°，
∴∠ACB＝∠AOB＝29°，
故選：A．
【考察注意點】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，熟練掌握切線的性質(zhì)，以及圓周角定理是解題的關鍵．
2．（2017秋?昆明期末）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，⊙A半徑為3，且點A的坐標為（5，0），將⊙A沿x軸的負方向平移，使⊙A與y軸相切，則平移的距離為（ ）
A．2B．5C．8D．2或8
【易錯思路引導】平移分在y軸的左側和y軸的右側兩種情況寫出答案即可．
【規(guī)范解答】解：當⊙A位于y軸的右側且與y軸相切時，平移的距離為2；
當⊙A位于y軸的左側且與y軸相切時，平移的距離為8．
故選：D．
【考察注意點】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，坐標與圖形變化﹣平移，解題的關鍵是了解當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑．
3．（2022春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，AO與⊙O交于點C，D是⊙O上一點，連接BD，CD，∠BDC＝30°，延長AB至點F，使得BF＝AB，連接OF，過點B作BG⊥OF于點G，BG＝2，則OC的長為（ ）
A．B．C．D．2
【易錯思路引導】連接OB，由切線的性質(zhì)得出∠OBF＝∠OBA＝90，設OB＝x，則AB＝x，由銳角三角函數(shù)的定義得出，解得x＝，則可得出答案．
【規(guī)范解答】解：連接OB，
∵∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝60°，
∵AB為⊙O的切線，
∴AF⊥OB，
∴∠OBF＝∠OBA＝90，
設OB＝x，則AB＝x，
∵BF＝AB，
∵BF＝x，
∵BG＝2，
∴OG＝＝，
∵∠FBG+∠GBO＝90°，∠GBO+∠BOG＝90°，
∴∠FBG＝∠BOG，
∴cs∠FBG＝cs∠BOG，
∴，
∴，
解得x＝，
∴OB＝OC＝，
故選：A．
【考察注意點】本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關鍵．
4．（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，AD是⊙O的直徑，PA，PB分別切⊙O于點A，B，若∠BCD＝α，則∠P的度數(shù)是（ ）
A．90°﹣2αB．90°﹣αC．45°D．2α
【易錯思路引導】連接OB，利用圓周角定理可得∠BOD＝2α，然后利用切線的性質(zhì)可得∠OAP＝∠OBP＝90°，從而利用四邊形內(nèi)角和可得∠P+∠AOB＝180°，最后利用同角的補角相等即可解答．
【規(guī)范解答】解：連接OB，
∵∠BCD＝α，
∴∠BOD＝2∠BCD＝2α，
∵PA，PB分別切⊙O于點A，B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P+∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP＝180°，
∵∠AOB+∠BOD＝180°，
∴∠P＝∠BOC＝2α，
故選：D．
【考察注意點】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
5．（2022?德陽）如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，與BC相交于點G，則下列結論：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，則∠BEC＝120°；③若點G為BC的中點，則∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【易錯思路引導】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD，則可對①進行判斷；直接利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)對②進行判斷；根據(jù)垂徑定理則可對③進行判斷；通過證明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，則可對④進行判斷．
【規(guī)范解答】解：∵E是△ABC的內(nèi)心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正確；
如圖，連接BE，CE，
∵E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正確；
∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵點G為BC的中點，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，故③正確；
如圖，連接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正確．
∴一定正確的①②③④，共4個．
故選：D．
【考察注意點】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解決本題的關鍵是掌握三角形的內(nèi)心與外心．
6．（2022?臨沭縣二模）如圖，在平面直角坐標系中，以M（2，3）為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點，則AC的長為（ ）
A．4B．C．D．6
【易錯思路引導】設⊙M與x軸相切于點D，連接MD，過點M作ME⊥AC，垂足為E，根據(jù)垂徑定理可得AC＝2AE，再利用切線的性質(zhì)可得∠MDO＝90°，然后根據(jù)點M的坐標可得ME＝2，MA＝MD＝3，最后在Rt△AEM中，利用勾股定理進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：設⊙M與x軸相切于點D，連接MD，過點M作ME⊥AC，垂足為E，
∴AC＝2AE，
∵⊙M與x軸相切于點D，
∴∠MDO＝90°，
∵M（2，3），
∴ME＝2，MD＝3，
∴MA＝MD＝3，
在Rt△AEM中，AE＝＝＝，
∴AC＝2AE＝2，
故選：B．
【考察注意點】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
二．填空題
7．（2022?南關區(qū)校級模擬）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點為B．將△OAB繞點B按順時針方向旋轉得到△O′A′B，使點O'落在圓O上，邊A′B交線段AO于點C．若∠A＝15°，⊙O的半徑長為2，則BC的長為 2 ．
【易錯思路引導】連接OO′，根據(jù)旋轉可得△BOO'為等邊三角形，進而可求出∠A'BO，再利用∠A＝15°，可證明△BCO是等腰三角形，得到答案．
【規(guī)范解答】解：如圖，連接OO′，
由題意得：BO＝OO'＝BO'，
∴△BOO'為等邊三角形，
∴∠OBO'＝60°，
∵AB與⊙O相切于點B，
∴∠ABO＝90°，
∴∠A'BO'＝90°，
∴∠A'BO＝∠A'BO'﹣∠OBO'＝30°，
∵∠A＝15°
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝75°，
∴∠BCO＝180°﹣∠AOB﹣∠A'BO＝75°，
∴BC＝BO＝2，
故答案為：2．
【考察注意點】本題考查的是切線的性質(zhì)、旋轉變換的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵．
8．（2022?香坊區(qū)校級開學）如圖，在⊙O中，PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，連接PO，若PA＝，∠APB＝60°，則線段PO的長為 2 ．
【易錯思路引導】連接OA，根據(jù)切線長定理得到∠APO＝∠APB＝30°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥PA，根據(jù)余弦的定義計算，得到答案．
【規(guī)范解答】解：連接OA，
∵PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，
∴OA⊥PA，∠APO＝∠APB＝30°，
在Rt△PAO中，cs∠APO＝，
∴OP＝＝＝2，
故答案為：2．
【考察注意點】本題考查的是切線的性質(zhì)、切線長定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵．
9．（2022?南崗區(qū)三模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的切線，連接AD，若AD經(jīng)過圓心O，且∠D＝50°，則∠C的大小為 70 度．
【易錯思路引導】連接OB，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBD＝90°，再利用三角形外角性質(zhì)計算出∠AOC＝140°，然后根據(jù)圓周角定理計算∠C的度數(shù)．
【規(guī)范解答】解：連接OB，如圖，
∵BD為⊙O的切線，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∵∠AOC＝∠OBD+∠D＝90°+50°＝140°，
∴∠C＝∠AOC＝×140°＝70°．
故答案為：70．
【考察注意點】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理．
10．（2022?老河口市模擬）PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點，點C是⊙O上不與A，B重合的一點，若∠APB＝70°，則∠ACB的度數(shù)為 55°或125° ．
【易錯思路引導】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠AOB＝110°，然后根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠ACB的度數(shù)．
【規(guī)范解答】解：∵PA，PB是⊙O的兩條切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∵∠APB＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
當點C在劣弧AB上，則∠ACB＝∠AOB＝55°，
當點C′在優(yōu)弧AB上，則∠AC′B＝180°﹣55°＝125°．
則∠ACB的度數(shù)為55°或125°．
故答案為：55°或125°．
【考察注意點】本題切線的性質(zhì)，圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握切線的性質(zhì)．
11．（2021?鶴峰縣模擬）已知正方形ABCD邊長為2，DE與以AB的中點為圓心的圓相切交BC于點E，求三角形DEC的面積 1.5 ．
【易錯思路引導】根據(jù)已知可得DA與圓O相切于點A，EB與圓O相切于點B，設DE與圓O相切于點F，利用切線長定理可得DA＝DF＝2，EB＝EF，然后設EB＝EF＝x，表示出DE，CE的長，最后在Rt△DEC中利用勾股定理進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：設∴DE與圓O相切于點F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OAD＝∠OBC＝∠C＝90°，AB＝BC＝AD＝CD＝2，
∵OA、OB是圓O的半徑，
∴DA與圓O相切于點A，EB與圓O相切于點B，
∵DE與圓O相切于點F，
∴DA＝DF＝2，EB＝EF，
設EB＝EF＝x，
則EC＝BC﹣EB＝2﹣x，DE＝DF+EF＝2+x，
在Rt△DEC中，DC2+CE2＝DE2，
∴22+（2﹣x）2＝（2+x）2，
解得：x＝，
∴EC＝BC﹣EB＝2﹣x＝，
∴三角形DEC的面積＝EC?DC
＝××2
＝1.5，
故答案為：1.5．
【考察注意點】本題考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握切線長定理是解題的關鍵．
12．（2020秋?亭湖區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為4，M為AB的中點，P是BC邊上的動點，連接PM，以點P為圓心，PM長為半徑作圓P，當圓P與正方形ABCD的邊相切時，CP的長為 2.5或4﹣2 ．
【易錯思路引導】分兩種情形分別求解：如圖1中，當⊙P與直線CD相切時；如圖2中當⊙P與直線AD相切時．設切點為K，連接PK，則PK⊥AD，四邊形PKDC是矩形．
【規(guī)范解答】解：如圖1中，當⊙P與直線CD相切時，設PC＝PM＝x．
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，
∴x2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝2.5，
∴CP＝2.5；
如圖2中當⊙P與直線AD相切時．設切點為K，連接PK，則PK⊥AD，四邊形PKDC是矩形．
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝2，PM＝4，
在Rt△PBM中，PB＝＝2，
∴CP＝BC﹣PB＝4﹣2．
綜上所述，CP的長為2.5或4﹣2．
故答案是：2.5或4﹣2．
【考察注意點】本題考查切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題．
13．（2021秋?廣豐區(qū)期末）已知點M（2.0），⊙M的半徑為1，OA切⊙M于點A，點P為⊙M上的動點，當P的坐標為 （1，0），（3，0）（，） 時，△POA是等腰三角形．
【易錯思路引導】根據(jù)題意畫出圖形分三種情況討論：當點P在x軸上，PA＝PO＝1，OA＝OP″＝3，當點P是切點時，AO＝AP＝，進而可以解決問題．
【規(guī)范解答】解：如圖，當P的坐標為（1，0），（3，0），（，）時，△POA是等腰三角形．理由如下：
連接AM，
∵M（2.0），⊙M的半徑為1，
∴OM＝2，AM＝PM＝1，
∴OP＝1，
∵OA切⊙M于點A，
∴∠MAO＝90°，
∴∠AOM＝30°，
∴∠AMO＝60°，
∴PA＝AM＝PM＝1，
∴OP＝PA＝1，
∴P（1，0）；
當OA＝OP′時，連接AP′交x軸于點H，
∵OA切⊙M于點A，
∴OP′切⊙M于點P′，
∴∠P′OM＝∠AOM＝30°，
∴∠AOP′＝60°，
∴△AOP′是等邊三角形，
∴AP′＝OA＝＝＝，
∴OH＝OA＝，P′H＝AP′＝，
∴P′（，）；
∵MA＝MP″，∠AMO＝60°，
∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°，
∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°，
∴OA＝OP″，
∴P″（3，0）．
綜上所述：當P的坐標為（1，0），（3，0），（，）時，△POA是等腰三角形．
故答案為：（1，0），（3，0），（，）．
【考察注意點】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，解決本題的關鍵是得到△AOP′是等邊三角形．
14．（2021?寧波模擬）如圖，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是腰AC上的高，點O是線段BD上一動點，當半徑為的⊙O與△ABC的一邊相切時，OB的長為 或 ．
【易錯思路引導】作AH⊥BC于點H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得HC的長，再利用三角函數(shù)可得DC，根據(jù)勾股定理得到BD的長，根據(jù)半徑為的⊙O與△ABC的一邊相切，分三種情況討論根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得到結論．
【規(guī)范解答】解：如圖，作AH⊥BC于點H，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴HC＝3，
∵∠AHC＝90°，AC＝5，
∴csC＝＝＝，
∴DC＝，
∴BD＝＝，
①⊙O與AC相切時，切點為D，
∵半徑為，
∴OD＝，
∵BD＝，
∴OB＝BD﹣OD＝﹣＝；
②⊙O與BC相切時，切點為M，
∴OM⊥BC，
∴∠BMO＝∠BDC＝90°，
∵∠MBO＝∠DBC，
∴△MBO∽△DBC，
∴＝，
∴＝，
∴BO＝；
③⊙O與AB相切時，切點為N，
∴ON⊥AB，
∴∠BNO＝∠BDA＝90°，
∵∠NBO＝∠DBA，
∴△NBO∽△DBA，
∴＝，
∴＝，
∴BO＝．
當圓O與AB相切時，OB的長為，
∵BD＝，
∵＞，
也就是說，圓O與AB相切，是圓心O在線段BD外即在直線BD上的時候，不符合題意，
故答案只有兩種情況，即圓O與AC，AB相切時．
綜上所述，AP的長為或．
故答案為：或．
【考察注意點】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練正確切線的性質(zhì)是解題的關鍵．
三．解答題
15．（2022?長清區(qū)二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，其切線AE與直徑BD的延長線相交于點E，且∠ACB＝60°．
（1）求證：AE＝AB；
（2）若DE＝2，求⊙O的半徑．
【易錯思路引導】（1）連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠AOB＝120°，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBA＝∠OAB＝30°，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OAE＝90°，從而利用三角形的外角可求出∠E＝30°，最后根據(jù)等腰三角形的判定即可解答；
（2）設⊙O的半徑為r，然后根據(jù)含30度角的直角三角形可得OE＝2OA，進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】（1）證明：連接OA，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝30°，
∵AE與⊙O相切于點A，
∴∠OAE＝90°，
∴∠E＝∠AOB﹣∠OAE＝30°，
∴∠E＝∠OBA＝30°，
∴AB＝AE；
（2）設⊙O的半徑為r，
∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，
∴OE＝2OA，
∵DE＝2，
∴2+r＝2r，
∴r＝2，
∴⊙O的半徑為2．
【考察注意點】本題考查了切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，三角形的外接圓與外心，熟練掌握切線的性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形是解題的關鍵．
16．（2022?內(nèi)黃縣二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，以AB為直徑作⊙O，交AC于點D，過點D作⊙O的切線DM交BC于點M．
（1）求證：CM＝BM．
（2）若AD＝2，P為AB上一點，當PM+PD為最小值時，求AP的長．
【易錯思路引導】（1）連接OD，OM，先利用圓周角定理求出∠DOB＝60°，再利用切線的性質(zhì)可得∠ODM＝90°，然后利用HL證明Rt△ODM≌Rt△OBM，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得∠DOM＝∠BOM＝30°，進而可得AC∥OM，即可解答；
（2）連接DB，過點D作DE⊥AB，垂足為E，并延長交⊙O于點D′，連接D′M交AB于點P，連接DP，此時PM+PD的值最小，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而在Rt△ADB中，求出DB，AB的長，再在Rt△ABC中，求出BC的長，從而求出BM的長，然后證明△DOB是等邊三角形，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出OE的長，從而求出DE的長，最后證明8字模型相似三角形△MBP∽△D′EP，利用相似三角形的性質(zhì)求出BP的長，進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】（1）證明：連接OD，OM，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DOB＝2∠A＝60°，
∵DM與⊙O相切于點D，
∴∠ODM＝90°，
∵∠ABC＝90°，OD＝OB，OM＝OM，
∴Rt△ODM≌Rt△OBM（HL），
∴∠DOM＝∠BOM＝∠DOB＝30°，
∴∠A＝∠BOM，
∴AC∥OM，
∵OA＝OB，
∴BM＝CM；
（2）連接DB，過點D作DE⊥AB，垂足為E，并延長交⊙O于點D′，
則DE＝D′E，
∴點D與點D′關于AB對稱，
連接D′M交AB于點P，連接DP，此時PM+PD的值最小，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝2，∠DAB＝30°，
∴BD＝AD?tan30°＝2×＝2，
∴AB＝2BD＝4，
∴OA＝OB＝OD＝AB＝2，
在Rt△ABC中，BC＝AB?tan30°＝4×＝，
∴CM＝BM＝BC＝，
∵∠DOB＝60°，
∴△DOB是等邊三角形，
∵DE⊥OB，
∴OE＝EB＝OB＝1，
∴DE＝OE＝，
∴DE＝D′E＝，
∵∠D′EP＝∠CBP＝90°，∠MPB＝∠EPD′，
∴△MBP∽△D′EP，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝，
∴AP＝AB﹣BP＝，
∴AP的長為．
【考察注意點】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，軸對稱﹣最短路線問題，含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
17．（2022?衡陽）如圖，AB為⊙O的直徑，過圓上一點D作⊙O的切線CD交BA的延長線于點C，過點O作OE∥AD交CD于點E，連接BE．
（1）直線BE與⊙O相切嗎？并說明理由；
（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的長．
【易錯思路引導】（1）連接OD，理由切線的性質(zhì)可得∠ODE＝90°，然后利用平行線和等腰三角形的性質(zhì)可得OE平分∠DOB，從而可得∠DOE＝∠EOB，進而可證△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；
（2）設⊙O的半徑為r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的長，再利用（1）的結論可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：（1）直線BE與⊙O相切，
理由：連接OD，
∵CD與⊙O相切于點D，
∴∠ODE＝90°，
∵AD∥OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是⊙O的半徑，
∴直線BE與⊙O相切；
（2）設⊙O的半徑為r，
在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，
由（1）得：△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，
∴82+BE2＝（4+DE）2，
∴64+DE2＝（4+DE）2，
∴DE＝6，
∴DE的長為6．
【考察注意點】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，直線與圓的位置關系，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理是解題的關鍵．
18．（2022?津南區(qū)一模）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O直徑，弦CD與AB相交于點E，∠BAC＝36°．
（Ⅰ）如圖①，若CD平分∠ACB，連接BD，求∠ABC和∠CBD的大??；
（Ⅱ）如圖②，過點D作⊙O的切線，與AB的延長線交于點P，若AE＝AC，求∠P的大?。?br>【易錯思路引導】（Ⅰ）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用角平分線的定義可得∠ACD＝∠DCB＝45°，從而求出∠ABC的度數(shù)，然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠A＝∠D＝36°，最后利用三角形的內(nèi)角和定理進行計算即可解答；
（Ⅱ）連接OC，OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ODP＝90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠OCA＝36°，∠ACB＝∠ABC＝72°，從而求出∠OCD的度數(shù)，然后再根據(jù)OD＝OC，求出∠ODC的度數(shù)，最后利用三角形的外角求出∠DOC的度數(shù)，從而求出∠P的度數(shù)．
【規(guī)范解答】解：（Ⅰ）∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝54°，
∵∠A＝∠D＝36°，
∴∠CBD＝180°﹣∠D﹣∠DCB＝99°，
∴∠ABC的度數(shù)為54°，∠CBD的度數(shù)為99°；
（Ⅱ）連接OC，OD，
∵DP與⊙O相切于點D，
∴∠ODP＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA＝36°，
∵AE＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠OCD＝∠ACE﹣∠OCA＝36°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝36°，
∴∠DOE＝∠AEC﹣∠ODC＝36°，
∴∠P＝90°﹣∠DOE＝54°，
∴∠P的度數(shù)為54°．
【考察注意點】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
19．（2022?佛山模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，O為AB上一點，經(jīng)過點A，D的⊙O分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，連接OF交AD于點G．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若∠OFA＝60°，半徑為4，在圓O上取點P，使∠PDE＝15°，求點P到直線DE的距離．
【易錯思路引導】（1）連接OD，利用角平分線的定義，同圓的半徑相等，平行線的判定與性質(zhì)和切線的判定定理解答即可；
（2）利用分類討論的思想方法分：①當點P在上時，PH的長為點P到直線DE的距離，②當點P在上時兩種情形解答：①連接OD，OP，過點O作OM⊥DE于點M，過點P作PN⊥OM于點N，利用等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關系定理求得MN．即可得出結論；②連接OP，交DE于點H，則PH的長為點P到直線DE的距離，利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關系定理解答即可．
【規(guī)范解答】（1）證明：連接OD，如圖，
∵AD平分∠BAC交BC于點D，
∴∠OAD＝∠CAD．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODC+∠C＝180°．
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：①當點P在上時，PH的長為點P到直線DE的距離，
連接OD，OP，過點O作OM⊥DE于點M，過點P作PN⊥OM于點N，如圖，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝30°，
∴∠EOD＝60°，
∵OE＝OD，
∴△ODE是等邊三角形，
∴DE＝OE＝4．
∵OM⊥DE，
∴DM＝EM＝2，∠EOM＝∠EOD＝30°，
∴OM＝2．
∵∠PDE＝15°，
∴∠POE＝30°，
∴∠POM＝∠POE+∠EOM＝60°．
∵PN⊥OM，
∴ON＝OP?cs60°＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝2﹣2．
∵PH⊥DE，OM⊥DE，PN⊥OM，
∴四邊形PHMN為矩形，
∴PH＝MN＝2﹣2．
∴點P到直線DE的距離為2﹣2；
②當點P在上時，
連接OP，交DE于點H，如圖，
∵∠EOP＝2∠PDE，∠PDE＝15°，
∴∠EOP＝30°．
由①知：∠EOD＝60°，
∴∠EOP＝∠EOD，
即OP為∠EOD的平分線，
∵OE＝OD，
∴OH⊥DE，
∴PH的長為點P到直線DE的距離，
∵OH＝OD?cs30°＝2，
∴PH＝OP﹣OH＝4﹣2．
綜上，若∠PDE＝15°，則點P到直線DE的距離為2﹣2或4﹣2．
【考察注意點】本題主要考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等邊三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，直角三角形的邊角關系定理，矩形的判定與性質(zhì)，利用分類討論的思想方法解答是解題的關鍵．
20．（2022?西青區(qū)二模）已知PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，C為⊙O上一點，連接AC，BC．
（Ⅰ）如圖①，若∠APB＝70°，求∠ACB的大??；
（Ⅱ）如圖②，AE為⊙O的直徑交BC于點D，若四邊形PACB是平行四邊形，求∠EAC的大?。?br>【易錯思路引導】（Ⅰ）連接OA、OB，由PA，PB是⊙O的切線得∠OAP＝∠OBP＝90°，而∠APB＝70°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°可以求出∠AOB＝110°，再根據(jù)圓周角定理即可解決問題；
（Ⅱ）連接CE，由AE為⊙O的直徑得∠ACE＝90°，然后根據(jù)圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．
【規(guī)范解答】解：（Ⅰ）如圖①，連接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切線，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠APB＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ACB＝∠AOB＝55°，
∴∠ACB的大小為55°；
（Ⅱ）連接CE，AB，OB，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ACE＝90°，
∵四邊形PACB是平行四邊形，
∴∠ACB＝∠P，
∴∠BCE＝90°﹣∠P，
∴∠BAE＝∠BCE＝90°﹣∠P，
∵∠AOB＝180°﹣∠P，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝∠P，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠P+∠P＝90°，
∴∠P＝60°，
∴∠ACB＝60°，∠BAE＝∠BCE＝30°，
∵AC∥PB，
∴＝，
∴∠EAC＝30°．
【考察注意點】本題考查圓的切線的性質(zhì)定理、四邊形的內(nèi)角和等于360°、圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理及其推論等知識，根據(jù)切線的性質(zhì)定理求得∠OAP＝∠OBP＝90°是解題的關鍵
名稱
確定方法
圖形
性質(zhì)
外心(三角形外接圓的圓心)
三角形三邊中垂線的交點
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部
內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)
三角形三條角平分線的交點
(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.

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