易錯點(diǎn)撥
知識點(diǎn)：圓周角
1.圓周角定義：
像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

2.圓周角定理：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3.圓周角定理的推論：
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
知識要點(diǎn)：
細(xì)節(jié)剖析:
(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.
4.圓內(nèi)接四邊形：
（1）定義: 圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形．
（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角（即它的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的對角）．
5.弦、弧、圓心角、弦心距的關(guān)系：
在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等，(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對的弧也分別相等)。
易錯題專訓(xùn)
一．選擇題
1．（2022?肅州區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，連接BD、BC，若∠ABD＝56°，則∠BCD的度數(shù)為（ ）
A．34°B．56°C．68°D．102°
【易錯思路引導(dǎo)】連接AD，根據(jù)AB是直徑可知∠ADB＝90°＝∠DAB+∠ABD，即可求出∠DAB，根據(jù)圓周角定的推論可得∠DAB＝∠BCD，則問題得解．
【規(guī)范解答】解：連接AD，如圖：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°＝∠DAB+∠ABD，
又∵∠DAB＝∠BCD，∠ABD＝56°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝34°．
故選：A．
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了圓周角定理的推論以及直徑所對圓周角為90°等知識，熟知直徑所對的圓周角是直角，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠DAB＝∠BCD是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2022?黃巖區(qū)一模）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)A，點(diǎn)B在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)﹣2，點(diǎn)B表示數(shù)2，以AB為直徑作圓交邊AC于點(diǎn)P，以B為圓心，BP為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q在數(shù)軸上表示的數(shù)為（ ）
A．B．2C．2﹣2D．2﹣2
【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可得AB＝4，利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝60°，由AB是⊙O的直徑可得∠APB＝90°，由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABP＝30°，由此可得AP＝2，根據(jù)勾股定理可以求得BP的長，進(jìn)而可以得到點(diǎn)Q表示的數(shù)．
【規(guī)范解答】解：由題意可得AB＝4，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB＝90°，
∴∠ABP＝30°，
∴AP＝AB＝2，
在Rt△APB中，AB＝4，AP＝2，
∴PB＝＝＝＝2，
∵BP為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)Q，
∴BQ＝PB＝2．
∴點(diǎn)Q表示數(shù)為2﹣2．
故選：C．
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸、圓周角定理、勾股定理等知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理和勾股定理的運(yùn)用．
3．（2022?永康市模擬）如圖，線段AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上，∠AOC＝60°，點(diǎn)P是線段AB延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)PC，則∠APC的度數(shù)不可能是（ ）
A．30°B．25°C．10°D．5°
【易錯思路引導(dǎo)】連接CB，根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，求出∠ABC的度數(shù)，再利用三角形的外角即可解答．
【規(guī)范解答】解：連接CB，
∵∠AOC＝60°，
∴∠ABC＝∠AOC＝30°，
∵∠ABC是△PBC的一個外角，
∴∠ABC＞∠APC，
∴∠APC的度數(shù)不可能是30°，
故選：A．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
4．（2021?蕭山區(qū)二模）在菱形ABCD中，記∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面積記作S，菱形的周長記作C，若AD＝2，則（ ）
A．C與∠α的大小有關(guān)
B．當(dāng)∠α＝45°時，S＝
C．A，B，C，D四個點(diǎn)可以在同一個圓上
D．S隨∠α的增大而增大
【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)菱形的周長公式、菱形的面積公式、銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．
【規(guī)范解答】解：A、錯誤．菱形的周長＝8，與∠α 的大小無關(guān)；
B、錯誤，∠α＝45°時，菱形的面積＝2?2?sin45°＝2；
C、錯誤，A，B，C，D四個點(diǎn)不在同一個圓上；
D、正確．∵0°＜α＜90°，S＝2?2?sinα，
∴菱形的面積S隨α的增大而增大．
故選：D．
【考察注意點(diǎn)】本題考查菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)定理、四點(diǎn)共圓的知識以及菱形的面積公式．
5．（2019秋?濱江區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，連接CD交直線AB于點(diǎn)E，當(dāng)DE＝OD時，∠OCE的大小不可能為（ ）
A．20°B．40°C．70°D．80°
【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)OD繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，連接CD交直線AB于點(diǎn)E，DE＝OD，分三種情況畫圖進(jìn)行計算即可．
【規(guī)范解答】解：
連接OC，
①如圖1，OD繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，連接CD交直線AB于點(diǎn)E，
設(shè)∠OCE＝x，
∵OC＝OD，
∴∠OCE＝∠D＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∵DE＝OD，
∴∠DOE＝∠DEO＝30°+x+30°＝60°+x
∴2（60°+x）+x＝180°
解得x＝20°．
∴∠OCE的大小為20°；
②如圖2，
設(shè)∠OEC＝x，
∵DE＝OD，
∴∠EOD＝∠E＝x，
∵DO＝CO，
∴∠ODC＝∠OCD＝2x，
∠EOC＝2∠A＝60°
∴在△OCE中，
x+60°+2x＝180°，
解得x＝40°，
∴∠OCE＝2x＝80°；
③如圖3，
設(shè)∠ACE＝x，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝30°+x，
∵OD＝DE
∴∠E＝ODC＝15°+x，
∴15°+x+x＝30°
解得x＝10°，
∴∠OCE＝30°+x＝40°．
綜上：∠OCE的大小為：20°、40°、80°．
故選：C．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了圓周角定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分三種情況討論．
6．（2020秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，分別以AB，AC為直徑的兩個半圓，其中AC是半圓O的一條弦，E是中點(diǎn)，D是半圓中點(diǎn)．若AB＝12，DE＝2，且AC?6，則AC長為（ ）
A．6+B．8+C．6+2D．8+2
【易錯思路引導(dǎo)】解：連接DA，DC，EO，BC．E是中點(diǎn)，推OE垂直平分AC，∵D是半圓中點(diǎn)，推FD垂直平分AC，D、E、F、O在同一條直線上，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，O是AB中點(diǎn)，推OF是△ABC的中位線，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AC長．
【規(guī)范解答】解：連接DA，DC，EO，BC．
∵E是中點(diǎn)，
∴OE垂直平分AC，
∴F是AC的中點(diǎn)．
∵AC為⊙F的直徑，
∴∠ADC＝90°．
∵D是半圓中點(diǎn)，
∴FD垂直平分AC，
∴D、E、F、O在同一條直線上，DA＝DC，∠DFA＝90°，
∴∠DAF＝45°．
∴DF＝AF．
設(shè)EF＝x，DF＝AF＝x+2，OF＝6﹣x
∴AC＝2x+4．
∵F是AC的中點(diǎn)，O是AB中點(diǎn)，
∴OF是△ABC的中位線，
∴BC＝2OF＝12﹣2x．
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，
AB2＝AC2+BC2，
122＝（4+2x）2+（12﹣2x）2，
x＝2±．
∵AC?6，
∴x＝2+．
AC＝8+2．
故選：D．
【考察注意點(diǎn)】本題考查圓的垂徑定理，三角形中位線定理，勾股定理，掌握這三定理的熟練應(yīng)用，證明D、E、F、O在同一條直線上是關(guān)鍵．
二．填空題（共7小題）
7．（2022?沈陽二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD與BC的延長線交于點(diǎn)E，BA與CD的延長線交于點(diǎn)F，若∠DCE＝75°，∠F＝20°，則∠E的度數(shù)為 50° ．
【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠EAB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案．
【規(guī)范解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠EAB+∠DCB＝180°，
∵∠ECD+∠DCB＝180°，
∴∠EAB＝∠ECD＝75°，
∵∠ECD是△FCB的外角，
∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，
∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，
故答案為：50°．
【考察注意點(diǎn)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
8．（2022?零陵區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且在AB異側(cè)，連接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，則∠D的大小是 25° ．
【易錯思路引導(dǎo)】根據(jù)平角定義求出∠AOC＝50°，再利用圓周角定理可得∠D＝∠AOC，進(jìn)行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：∵∠BOC＝130°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝50°，
∴∠D＝∠AOC＝25°，
故答案為：25°．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
9．（2019?西城區(qū)二模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在⊙O上，C是的中點(diǎn)，AB＝CD．若∠ODC＝50°，則∠ABC的度數(shù)為 100 °．
【易錯思路引導(dǎo)】先根據(jù)AB＝CD．C是的中點(diǎn)，得到＝＝，再由圓周角定理得到∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣50°×2）＝40°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．
【規(guī)范解答】解：∵C是的中點(diǎn)，AB＝CD．
∴＝＝，
∵∠ODC＝50°，
∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣50°×2）＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．
故答案為：100．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
10．（2022?海曙區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的弦，，點(diǎn)P是優(yōu)弧APB上的動點(diǎn)，∠P＝45°，連接PA，PB，AC是△ABP的中線．
（1）若∠CAB＝∠P，則AC＝ 2 ；
（2）AC的最大值＝ 1+ ．
【易錯思路引導(dǎo)】（1）作BH⊥AC，根據(jù)△BAC∽△BPA，求出BC＝2，再證明H和C重合即可得到答案；
（2）確定點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡，軌跡點(diǎn)圓關(guān)系找到AC的最大值就是AC'長，再計算求解．
【規(guī)范解答】解：如圖1，過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，
∵∠B＝∠B，∠CAB＝∠P，
∴△BAC∽△BPA，
∴＝，
∴BA2＝BC?BP，
∵AC是△ABP的中線，
∴BP＝2BC，
∴（2）2＝BC?2BC，
∴BC＝2，
在Rt△ABH中，∠CAB＝∠P＝45°，AB＝2，
∴BH＝AH＝2，
又∵BC＝2，
∴點(diǎn)H和點(diǎn)C重合，
∴AC＝AH＝2．
故答案為：2；
（2）如圖2，
∵點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是圓，
∴點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是OB為直徑的圓，
∴當(dāng)AC'經(jīng)過圓心O'時最大．
∵∠P＝45°，
∴∠AOB＝90°，
又∵AB＝2，
∴AO＝BO＝2，OO'＝1，
∴AO'＝，
∵O'C'＝1，
∴AC'＝1+，
∴AC的最大值為1+．
故答案為：1+．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和圓中最值問題，解題的關(guān)鍵是，確定AC最大時點(diǎn)C的位置．
11．（2022?禪城區(qū)校級一模）定義：有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．例：如圖1，四邊形內(nèi)接于⊙O，AB＝AD．則四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形．
探究與運(yùn)用：如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點(diǎn)F，若CD＝10，AF＝5，則DF的長為 5﹣5 ．
【易錯思路引導(dǎo)】連接AC，先證∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等可求DF的長．
【規(guī)范解答】解：如圖所示，連接AC，

∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，
∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，
∵AB＝AD，
∴＝，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠FCA＝∠BCD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴＝，
即＝，
∴DF＝5﹣5．
故答案為：5﹣5．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了新定義等補(bǔ)四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過自主學(xué)習(xí)來進(jìn)行探究，運(yùn)用等．
12．（2022?固原一模）如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，BC∥OA，連接BO并延長，交圓O于點(diǎn)D，連接AC，DC，若∠A＝28°，則∠D的大小為 34° ．
【易錯思路引導(dǎo)】利用平行線的性質(zhì)求出∠ACB＝28°，再利用圓周角定理求出∠AOB＝56°，利用平行線的性質(zhì)可得∠CBO＝56°，再證明∠DCB＝90°可得結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵AO∥BC，∠A＝28°，
∴∠ACB＝∠A＝28°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝56°，
∴∠CBO＝∠AOB＝56°，
∵BD是直徑，
∴∠DCB＝90°，
∴∠D＝90°﹣56°＝34°．
故答案為：34°．
【考察注意點(diǎn)】本題考查圓周角定理，平行線的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
13．（2019?武漢自主招生）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓，交AC于E點(diǎn)，交BC于D點(diǎn)、當(dāng)∠A為銳角時，則∠A與∠CBE的關(guān)系為 ∠BAC＝2∠CBE ．
【易錯思路引導(dǎo)】連接AD，由AB是⊙O的直徑知∠BEA＝∠ADC＝90°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余和三角形外角的性質(zhì)，據(jù)此求解可得．
【規(guī)范解答】解：∠CAB＝2∠EBC，理由如下：
如圖，連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BEA＝∠ADB＝90°，
∴∠EBC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠CAD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠CAD，
∴∠CAB＝2∠EBC．
故答案為：∠CAB＝2∠EBC．
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理．
三．解答題
14．（2022?興化市開學(xué)）如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O交△ABE邊AE于點(diǎn)D，連接OD，且滿足OD∥BE，點(diǎn)P在BA的延長線上，PD交BE于點(diǎn)C．
（1）求證：AB＝BE；
（2）如果PA＝2，∠B＝60°，PC⊥BE，求直徑AB的長．
【易錯思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)OD∥BE，得出∠ADO＝∠E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換可得結(jié)果；
（2）由OD∥BE，得到∠POD＝∠B，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果．
【規(guī)范解答】（1）證明：∵OD∥BE，
∴∠ADO＝∠E，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠E，
∴AB＝BE；
（2）解：∵OD∥BE，∠B＝60°，
∴∠POD＝∠B＝60°，
∴cs∠POD＝，
在Rt△POD中，cs∠POD＝＝，
∴OP＝2OD，
∵OD＝OA，OP＝PA+OA，
∴OA＝OD＝PA＝2，
∴AB＝2OA＝4，
即⊙O直徑為4．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
15．（2022?南通）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，AC平分∠BAD，CD＝2，點(diǎn)E在BC的延長線上，連接DE．
（1）求直徑BD的長；
（2）若BE＝5，計算圖中陰影部分的面積．
【易錯思路引導(dǎo)】（1）由BD為⊙O的直徑，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的長；
（2）因為BC＝DC，所以陰影的面積等于三角形CDE的面積..
【規(guī)范解答】解：（1）∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC＝DC＝2，
∴BD＝2×＝4；
（2）∵BE＝5，
∴CE＝3，
∵BC＝DC，
∴S陰影＝S△CDE＝×2×＝6．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計算，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
16．（2022?武漢）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．
（1）判斷△BDE的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的長．
【易錯思路引導(dǎo)】（1）由角平分線的定義可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因為AB為直徑，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．
（2）連接OC、CD、OD，OD交BC于點(diǎn)F．因為∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因為OB＝OC．所以O(shè)D垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因為OB＝OD＝5．設(shè)OF＝t，則DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．
【規(guī)范解答】（1）解：△BDE為等腰直角三角形．
證明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：計算∠AEB＝135°也可以得證．
（2）解：連接OC、CD、OD，OD交BC于點(diǎn)F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
設(shè)OF＝t，則DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分別延長AC，BD相交于點(diǎn)G．則△MBG為等腰三角形，先計算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根據(jù)面積相等求得BC．
【考察注意點(diǎn)】此題是圓的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，證明△BDE是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵．
17．（2021?永嘉縣校級模擬）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與AC，BC交于點(diǎn)E，D，且BD＝CD．
（1）求證：∠B＝∠C．
（2）過點(diǎn)D作DF⊥OD，過點(diǎn)F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．
【易錯思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）先利用勾股定理計算AD的長，證明△ADB∽△DFC，列比例式可得CF＝1，DF＝2，作輔助線，證明四邊形OGFD是矩形，根據(jù)同角的三角函數(shù)可得FH的長，最后利用勾股定理可得結(jié)論．
【規(guī)范解答】證明：（1）連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
（2）在Rt△ADB中，AB＝5，CD＝BD＝，
∴AD＝＝＝2，
∵∠B＝∠C，∠DFC＝∠ADB＝90°，
∴△ADB∽△DFC，
∴，
∴，
∴CF＝1，DF＝2，
∴AF＝AC﹣CF＝5﹣1＝4，
過O作OG⊥AC于G，
∵∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，
∴四邊形OGFD是矩形，
∴OG＝DF＝2，
∴sin∠FAH＝，
∴，F(xiàn)H＝，
Rt△AFH中，AH＝＝．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了圓周角定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和計算能力，有一定的難度．
18．（2022?鹿城區(qū)校級一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，G是劣弧上一點(diǎn)，AG，DC的延長線交于點(diǎn)F．
（1）求證：∠FGC＝∠AGD．
（2）若G是的中點(diǎn)，CE＝CF＝2，求GF的長．
【易錯思路引導(dǎo)】（1）如圖1，利用垂徑定理得到＝，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ADC＝∠ACD，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠AGD＝∠ACD＝∠ADC，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠FGC＝∠ADC，從而得到結(jié)論；
（2）如圖，過點(diǎn)G作GH⊥DF于點(diǎn)H．證明△DAG≌△FCG，推出AD＝CF＝3，GD＝GF，利用勾股定理求出AE，AF，再利用平行線分線段成本定理定理求解即可．
【規(guī)范解答】（1）證明：如圖1，連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵點(diǎn)A、D、C、G在⊙O上，
∴∠FGC＝∠ADC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥DF于點(diǎn)H．
∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，
∴∠DAC＝∠FCG，
∵＝，
∴AG＝CG，
∵∠AGD＝∠FGC，
∴△DAG≌△FCG（ASA），
∴CF＝AD＝3，DG＝FG，
∵GH⊥DF，
∴DH＝FH，
∵AB⊥CD，
∴DE＝EC＝2，
∴DF＝2+2+3＝7，
∴DH＝HF＝3.5，
∴AE＝＝＝，
∴AF＝＝＝，
∵GH∥AE，
∴＝，
∴＝，
∴GF＝．
【考察注意點(diǎn)】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
19．（2021秋?洪山區(qū)期中）已知⊙O的直徑AB與弦CD垂直相交于點(diǎn)E．取上一點(diǎn)H，連CH，與AB相交于點(diǎn)F，連接BC．
（1）如圖1，連接AH，作AG⊥CH于G，求證：∠HAG＝∠BCE；
（2）如圖2，若H為的中點(diǎn)，且HD＝3，求HF的長．
【易錯思路引導(dǎo)】（1）利用等角的余角相等證明即可；
（2）證明HF＝DH即可．
【規(guī)范解答】（1）證明：如圖1中，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵AG⊥CH，
∴∠AGH＝90°，
∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABC＝∠AHG，
∴∠HAG＝∠BCE．
（2）解：如圖2中，連接AC，AD，DF．
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴AC＝AD，F(xiàn)C＝FD，
∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACF＝∠ADF，
∵＝，
∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，
∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，
∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，
∴∠HDF＝∠HFD，
∴FH＝DH＝3．
【考察注意點(diǎn)】本題考查圓周角定理，垂徑定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明FH＝DH．
20．（2019?南開區(qū)一模）已知：如圖1，在⊙O中，直徑AB＝4，CD＝2，直線AD，BC相交于點(diǎn)E．
（1）∠E的度數(shù)為 60° ；
（2）如圖2，AB與CD交于點(diǎn)F，請補(bǔ)全圖形并求∠E的度數(shù)；
（3）如圖3，弦AB與弦CD不相交，求∠AEC的度數(shù)．
【易錯思路引導(dǎo)】（1）連接OD，OC，BD，根據(jù)已知得到△DOC為等邊三角形，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，求出∠E的度數(shù)；
（2）同理解答（2）（3）．
【規(guī)范解答】解：（1）如圖1，連接OD，OC，BD，
∵OD＝OC＝CD＝2
∴△DOC為等邊三角形，
∴∠DOC＝60°
∴∠DBC＝30°
∴∠EBD＝30°
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
∠E的度數(shù)為60°；
（2）①如圖2，直線AD，CB交于點(diǎn)E，連接OD，OC，AC．
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC為等邊三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠EBD＝30°，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
（3）如圖3，連接OD，OC，
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC為等邊三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BED＝60°，
∴∠AEC＝60°．
【考察注意點(diǎn)】本題考查的是圓周角定理及其推論、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用直徑所對的圓周角是直角進(jìn)行解答

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