第10講勾股定理與勾股定理逆定理-【專題突破】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點(diǎn)及章節(jié)分類精品講義(浙教版) （原卷版+解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

直角三角形勾股定理
在Rt△ABC中，兩直角邊的平方和=斜邊的平方，即
常見變形：；；
注意事項(xiàng)：當(dāng)直角三角形的給出的兩邊沒有說明是什么邊長時，利用勾股定理求長度時通常需要分類討論
直角三角形求長度其他常用相關(guān)性質(zhì)有：
直角三角形斜邊上的中線=?斜邊長
等腰三角形的兩腰長相等；
等腰三角形的“三線合一”
中垂線的性質(zhì)定理；
勾股定理常見面積模型
【類題訓(xùn)練】
1．直角三角形的兩條邊長a，b滿足，則其斜邊長為（）
A．5B．C．4或5D．或5
2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的中線，則AD的長為（）
A．2B．2.5C．4D．5
3．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長是1，則任意兩個格點(diǎn)間的距離不可能是（）
A．2B．2C．D．
4．我國是最早了解勾股定理的國家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個證明．古代印度、希臘、阿拉伯等許多國家也都很重視對勾股定理的研究和應(yīng)用．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）
A． B． C． D．
5．如圖，有一個水池，水面是一邊長為8尺的正方形，在水池中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池的一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度是（）尺．
A．7.5B．8C．D．9
6．為預(yù)防新冠疫情，學(xué)校大門入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離AB＝2.3米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會自動測溫并報(bào)告人體體溫．當(dāng)身高為1.7米的學(xué)生CD正對門緩慢走到離門0.8米處時（即BC＝0.8米），測溫儀自動顯示體溫，此時人頭頂?shù)綔y溫儀的距離AD等于（）
A．1.0米B．1.25米C．1.2米D．1.5米
7．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外作四個正方形，面積分別為S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，則S4＝（）
A．183B．87C．119D．81
8．如圖Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝10，點(diǎn)F是BA延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作FD∥BC，交CA延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若BF＝12，DF＝5，則EF的長是（）
A．3B．5C．6.5D．6
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC+BC＝3.5，AB＝2.5，則CD的長為（）
A．1B．1.2C．1.25D．1.5
10．代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，構(gòu)造了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖，大正方形ABCD由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，若∠ADE＝∠AED，AD＝4，則△ADE的面積為（）
A．24B．6C．2D．2
11．勾股定理在平面幾何中有著不可替代的重要地位，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，如圖1是由邊長均為1的小正方形和Rt△ABC構(gòu)成，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理，將圖1按圖2所示“嵌入”長方形LMJK，則該長方形的面積為（）
A．60B．100C．110D．121
12．如圖，將一副三角尺疊放在一起，若AB＝2cm，則AF的長為 cm．
13．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，若AD＝3，BC＝5，則AB2+CD2＝．
14．如圖，一架梯子AB斜靠在某個胡同豎直的左墻上，頂端在點(diǎn)A處，底端在水平地面的點(diǎn)B處，保持梯子底端B的位置不變，將梯子斜靠在豎直的右墻上，此時梯子的頂端在點(diǎn)E處．已知頂端A距離地面的高度AC為2米，BC為1.5米．
（1）梯子的長為米；
（2）若頂端E距離地面的高度EF比AC多0.4米，則胡同的寬CF為米．
15．如圖，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且點(diǎn)A在OM上運(yùn)動，點(diǎn)B在ON上運(yùn)動，若AB＝8，AC＝6，則OC的最大值為．
16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，，分別以Rt△ABC的三條邊AC、AB、BC為直徑畫半圓，則兩個月牙形圖案的面積之和（陰影部分）為．
17．在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原由，C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點(diǎn)H（A，H，B在一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原來的路線AC的長．
18．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝6，E為BC邊上一點(diǎn)，且CE＝2，AE＝2．
（1）求AB的長；
（2）點(diǎn)F為AB邊上的動點(diǎn)，當(dāng)△BEF為等腰三角形時，求AF的長．
19．如圖，在△DEF中，∠D＝90°，DE＝16cm，EF＝20cm，P，Q是△DEF的邊上的兩個動點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)E開始沿E→D方向運(yùn)動，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)D開始沿D→F→E方向運(yùn)動，且速度為每秒2m，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為ts．
（1）DF＝ cm．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊EF的垂直平分線上時，t＝ s．
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊EF上時，求使△DFQ成為等腰三角形的運(yùn)動時間．
考點(diǎn)二勾股定理的逆定理
【知識點(diǎn)睛】
勾股定理的逆定理
在△ABC中，若兩邊的平方和=第三邊的平方，則該△為直角三角形
即在△ABC中，若，則△ABC為直角三角形，且∠C為直角
【類題訓(xùn)練】
1．以下列各組線段為邊作三角形，不能作出直角三角形的是（）
A．3，7，8B．6，8，10
C．1，2，D．0.3，0.4，0.5
2．如圖，小正方形的邊長均為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．如圖，某海域有相距10海里的兩個小島A和C，甲船先由A島沿北偏東70°方向走了8海里到達(dá)B島，然后再從B島走了6海里到達(dá)C島，此時甲船位于B島的（）
A．北偏東20°方向上B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上
4．如圖，正方形網(wǎng)格中每一個小正方形的邊長為1，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C為格點(diǎn)，點(diǎn)D為AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠ADB﹣∠ABD＝．
5．如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，則四邊形ABCD的面積是．
6．如圖，點(diǎn)A、B、C在正方形網(wǎng)格點(diǎn)上，則∠ABC+∠ACB＝．
7．如圖，方格中的點(diǎn)A、B、C、D、E稱為“格點(diǎn)”（格線的交點(diǎn)），以這5個格點(diǎn)中的3點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，共可以畫個直角三角形．
8．如圖，點(diǎn)B為x軸上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，1），CE⊥x軸于E點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為時，△ABC為直角三角形．
9．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個格點(diǎn)A、B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個格點(diǎn)C，使得△ABC是等腰直角三角形，滿足條件的格點(diǎn)C有個．
10．如圖所示，四邊形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．
（1）求四邊形ABCD的面積；
（2）如圖2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P在y軸上，若S△PBD＝S四邊形ABCD，求P的坐標(biāo)．
11．在一次“探究性學(xué)習(xí)”中，老師設(shè)計(jì)了如下數(shù)表：
（1）觀察上表，用含n（n＞1，且n為整數(shù)）的代數(shù)式表示a，b，c，則a＝，b＝，c＝．
（2）在（1）的條件下判斷：以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形？證明你的結(jié)論．
12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠CBE＝45°，BE分別交AC，AD于點(diǎn)E、F．
（1）如圖1，若AB＝13，BC＝10，求AF的長度；
（2）如圖2，若AF＝BC，求證：BF2+EF2＝AE2．
圖形
結(jié)論
總結(jié)
當(dāng)分別以直角三角形的三邊為邊（或底邊、半徑）做規(guī)則的正方形、等邊三角形、等腰直角三角形、半圓時，均滿足兩直角邊所做圖形的面積和等于斜邊所做圖形的面積
n
2
3
4
5
6
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
62﹣1
…
b
4
6
8
10
12
…
C
22+1
32+1
42+1
52+1
62+1
…