第11講圓中的線段計(jì)算專題-【專題突破】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點(diǎn)及章節(jié)分類精品講義(浙教版)（原卷版+解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第11講圓中的線段計(jì)算專題
【知識點(diǎn)睛】
v 圓中線段計(jì)算口訣——“圓中求長度，垂徑加勾股”
弦長、半徑、直徑是圓中的主要線段，相關(guān)計(jì)算主要利用垂徑定理及其推論，構(gòu)造“以半徑、弦心距、弦長一半為三邊的直角三角形”，通過勾股定理列方程求解；
v 圓中模型“知2得3”
由圖可得以下5點(diǎn)：
①AB⊥CD；②AE=EB；③AD過圓心O；④；⑤；
以上5個(gè)結(jié)論，知道其中任意2個(gè)，剩余的3個(gè)都可以作為結(jié)論使用。

v 常做輔助線：連半徑、作弦心距、見直接連弦長得直徑所對圓周角
【類題訓(xùn)練】
1．下列說法，其中正確的有（　　）
①過圓心的線段是直徑
②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑組成的圖形叫做扇形
③大于半圓的弧叫做劣弧
④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】根據(jù)圓的有關(guān)概念進(jìn)項(xiàng)分析即可．
【解答】解：①過圓心的弦是直徑，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；
②由一條弧和經(jīng)過這條弧的兩個(gè)端點(diǎn)的兩條半徑組成的圖形叫做扇形，故該項(xiàng)正確；
③小于半圓的弧叫做劣弧，故該項(xiàng)錯(cuò)誤；
④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓，故該項(xiàng)正確．
故選：B．
2．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長是（　?。?br />
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】連接OC，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝8﹣R，根據(jù)垂徑定理得出CE＝DE＝4，根據(jù)勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．
【解答】解：連接OC，
設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝8﹣R，
∵CD⊥AB，AB過圓心O，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
R2＝42+（8﹣R）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半徑長是5，
故選：A．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點(diǎn)D，DO的延長線交⊙O于點(diǎn)E．若AC＝4，DE＝4，則BC的長是（　　）

A．1 B． C．2 D．4
【分析】由垂徑定理可知，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則OD是△ABC的中位線，所以O(shè)D＝BC，設(shè)OD＝x，則BC＝2x，則OE＝4﹣x，AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，即（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，求出x的值即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥BC，且OD＝BC，
設(shè)OD＝x，則BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
故選：C．
4．已知⊙O的直徑CD＝10，CD與⊙O的弦AB垂直，垂足為M，且AM＝4.8，則直徑CD上的點(diǎn)（包含端點(diǎn)）與A點(diǎn)的距離為整數(shù)的點(diǎn)有（　　）

A．1個(gè) B．3個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)
【分析】利用勾股定理得出線段AD和AC的長，根據(jù)垂線段的性質(zhì)結(jié)合圖形判斷即可．
【解答】解：∵CD是直徑，
∴OC＝OD＝CD＝×10＝5，
∵AB⊥CD，
∴∠AMC＝∠AMD＝90°，
∵AM＝4.8，
∴OM＝＝1.4，
∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，
∴AC＝＝8，AD＝＝6，
∵AM＝4.8，
∴A點(diǎn)到線段MD的最小距離為4.8，最大距離為6，則A點(diǎn)到線段MD的整數(shù)距離有5，6，
A點(diǎn)到線段MC的最小距離為4.8，最大距離為8，則A點(diǎn)到線段MC的整數(shù)距離有5，6，7，8，
直徑CD上的點(diǎn)（包含端點(diǎn)）與A點(diǎn)的距離為整數(shù)的點(diǎn)有6個(gè)，
故選：C．
5．如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，則CD的長為（　?。?br />
A．5 B．2 C．4 D．
【分析】因?yàn)椤螦EC＝30°，可過點(diǎn)O作OF⊥CD于F，構(gòu)成直角三角形，先求得⊙O的半徑為3，進(jìn)而求得OE＝3﹣1＝2，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出OF＝OE＝1，再根據(jù)勾股定理求得CF的長，然后由垂徑定理求出CD的長．
【解答】解：過點(diǎn)O作OF⊥CD于F，連接DO，
∵AE＝5，BE＝1，
∴AB＝6，
∴⊙O的半徑為3，
∴OE＝3﹣1＝2．
∵∠AEC＝30°，
∴OF＝1，
∴CF＝2，
∴CD＝2CF＝4，
故選：C．
6．如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（　　）

A．36 B．24 C．18 D．72
【分析】根據(jù)AB＝12，BE＝3，求出OE＝3，OC＝6，并利用勾股定理求出EC，根據(jù)垂徑定理求出CD，即可求出四邊形的面積．
【解答】解：如圖，連接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC＝，
∴CD＝2CE＝6，
∴四邊形ACBD的面積＝．
故選：A．
7．如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，則OE的長為（　　）

A．3 B．4 C．2 D．5
【分析】連接OB、AB，根據(jù)垂徑定理求出BE，根據(jù)三角形中位線定理求出AB，根據(jù)勾股定理求出AE，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．
【解答】解：連接OB、AB，
∵BD⊥AO，BD＝8，
∴BE＝ED＝BD＝4，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
∵CO＝OA，OF＝，
∴AB＝2OF＝2，
由勾股定理得：AE＝＝2，
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，
即OA2＝（OA﹣2）2+42，
解得：OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3．
故選：A．

8．如圖，⊙O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)（P與A，B，C，D不重合），過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥CD于點(diǎn)N，點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，OQ的長度為（　?。?br />
A．1 B．1.5 C．2 D．不能確定
【分析】連接OP．OQ，根據(jù)矩形的判定得出四邊形PMON是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出MN＝OP＝2，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出OQ＝MN，再求出答案即可．
【解答】解：連接OP，PQ，則OP＝2，
∵AB⊥CD，PM⊥OA，PN⊥OD，
∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四邊形PMON是矩形，
∴MN＝OP＝2，
∵∠MON＝90°，Q為MN中點(diǎn)，
∴OQ＝MN＝＝1，
故選：A．
9．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，AC＝CD，⊙O的半徑為2，則△AOC的面積為（　?。?br />
A． B．2 C．2 D．4
【分析】先根據(jù)CD⊥AB與AC＝CD得到CE＝，進(jìn)而得到∠A＝30°，∠COE＝60°，再在Rt△COE中，利用銳角三角函數(shù)計(jì)算出CE長，從而可計(jì)算△AOC的面積．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝，∠AEC＝90°，
∵AC＝CD，
∴CE＝，
∴sinA＝，
∴∠A＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝30°，
∴∠COE＝60°，
在Rt△COE中，sin∠COE＝，即sin60°＝，
∴CE＝，
∴S△AOC＝
＝
＝．
故選：C．
10．如圖所示，一圓弧過方格的格點(diǎn)AB，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（　　）

A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）
【分析】連接AC，作出AB、AC的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心．
【解答】解：如圖所示，
連接AC，作出AB、AC的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），
∴該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（﹣1，1）．
故選：C．
11．把半徑長為2.5的球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知CD＝4，則EF＝（　?。?br />
A．2 B．2.5 C．4 D．5
【分析】設(shè)球的平面投影圓心為O，過點(diǎn)O作ON⊥AD于點(diǎn)N，延長NO交BC于點(diǎn)M，連接OF，MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，再利用勾股定理可得NF，進(jìn)而可得EF的長．
【解答】解：設(shè)球的平面投影圓心為O，過點(diǎn)O作ON⊥AD于點(diǎn)N，延長NO交BC于點(diǎn)M，連接OF，如圖所示：
則NF＝EN＝EF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四邊形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，
在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，
∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，
故選：C．
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為5的⊙E與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣2），B（0，4），與x軸交于C，D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（　　）

A． B． C． D．
【分析】過O點(diǎn)作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，連接ED，如圖，根據(jù)垂徑定理得到CF＝DF，AH＝BH＝3，所以O(shè)H＝1，再利用勾股定理計(jì)算出EH＝4，則EF＝1，OF＝4，接著利用勾股定理計(jì)算出FD，然后計(jì)算出OD，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：過O點(diǎn)作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，連接ED，如圖，則CF＝DF，AH＝BH
∵A（0，﹣2），B（0，4），
∴AB＝6，
∴BH＝3，
∴OH＝1，
在Rt△BHE中，EH＝＝＝4，
∵四邊形EHOF為矩形，
∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4，
在Rt△OEF中，F(xiàn)D＝＝＝2，
∴OD＝FD﹣OF＝2﹣4，
∴D（2﹣4，0）．
故選：B．

13．如圖，某同學(xué)測試一個(gè)球體在水中的下落速度，他測得截面圓的半徑為5cm，假設(shè)球的橫截面與水面交于A，B兩點(diǎn)，AB＝8cm．若從目前所處位置到完全落入水中的時(shí)間為4s，則球體下落的平均速度為（　?。?br />
A．0.5cm/s B．0.75cm/s C．1cm/s D．2cm/s
【分析】設(shè)圓心為O，連接OB，過點(diǎn)O作OC⊥AB，交⊙O于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，根據(jù)垂徑定理及勾股定理可求出BD、OD、CD長，從而利用速度＝路程÷時(shí)間計(jì)算結(jié)果．
【解答】解：設(shè)圓心為O，連接OB，則OB＝5，
過點(diǎn)O作OC⊥AB，交⊙O于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，則BD＝＝4cm，
在Rt△BOD中，OD＝＝3cm，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2cm，
∴從目前所處位置到究全落入水中，球體下落的平均速度為2÷4＝0.5cm/s．
故選：A．
14．已知⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足為M，則AC的長為（　?。?br /> A．2 B．4 C．2或4 D．2或4
【分析】連接OA，由AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理得到AM＝4，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出OM＝3，然后分類討論：當(dāng)如圖1時(shí)，CM＝8；當(dāng)如圖2時(shí)，CM＝2，再利用勾股定理分別計(jì)算即可．
【解答】解：連接OA，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAM中，OA＝5，
∴OM＝＝＝3，
當(dāng)如圖1時(shí)，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC＝＝＝4；
當(dāng)如圖2時(shí)，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC＝＝＝2．
故選：C．

15．如圖，點(diǎn)A，C，D均在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O內(nèi)，且AB⊥BC于點(diǎn)B，BC⊥CD于點(diǎn)C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，則⊙O的面積為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】利用垂徑定理和勾股定理建立方程求出ON，再求出半徑后，根據(jù)圓面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，連接OA、OC，過點(diǎn)O作OM⊥CD于M，MO的延長線于AB延長線交于N，則四邊形BCMN是矩形，
∵OM⊥CD，CD是弦，
∴CM＝DM＝CD＝1＝BN，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
設(shè)ON＝x，則OM＝8﹣x，
在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，
OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，
∵OA＝OC，
∴AN2+ON2＝OM2+CM2，
即52+x2＝（8﹣x）2+12，
解得x＝，
即ON＝，
∴OA2＝52+（）2＝，
∴S⊙O＝π×OA2＝π，
故選：A．

16．如圖，在半徑為1的⊙O中有三條弦，它們所對的圓心角分別為60°，90°，120°，那么以這三條弦長為邊長的三角形的面積是（　　）

A． B．1 C． D．
【分析】連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，則△AOB、△COD分別為等邊三角形，等腰直角三角形，進(jìn)而可得到AB、CD長；再過點(diǎn)O作OH⊥EF于點(diǎn)H，根據(jù)垂徑定理可得EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，根據(jù)銳角三角形函數(shù)可求出FH，進(jìn)而可得EF；再根據(jù)AB2+CD2＝EF2可判斷以AB、CD、EF為邊的三角形為直角三角形，即可求出其面積．
【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，則∠AOB＝60°，∠COD＝90°，∠EOF＝120°，
在Rt△COD中，CD＝＝．
∵OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB＝OA＝1，
過點(diǎn)O作OH⊥EF于點(diǎn)H，則EF＝2EH，∠EOH＝∠FOH＝60°，
∴FH＝OFsin60°＝1×＝．
∴EF＝2FH＝．
∵，即AB2+CD2＝EF2，
∴以AB、CD、EF為邊的三角形為直角三角形，
∴其面積為：＝．
故選：D．
17．如圖，正方形ABCD和正方形BEFG的頂點(diǎn)分別在半圓O的直徑和圓周上，若BG＝4，則半圓O的半徑是（　　）

A．4+ B．9 C．4 D．6
【分析】連接OC，OF，設(shè)OB＝x，則AB＝BC＝2x，在Rt△BCO和Rt△FEO中利用勾股定理列出等式計(jì)算x的值，進(jìn)一步求出半徑即可．
【解答】解：連接OC，OF，
設(shè)OB＝x，
∵四邊形ABCD是正方形且頂點(diǎn)D和C在圓上，
∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，
∵BG＝4，四邊形BEFG是正方形，
∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，
在Rt△BCO中，OC＝，
在Rt△FEO中，OF＝，
∵OF＝OC，
∴5x2＝x2+8x+32，
解得x＝4或x＝﹣2（舍去）
當(dāng)x＝4時(shí)，OC＝4，
則半圓O的半徑是4．
故選：C．
18．如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝10，C，D為⊙O上兩動(dòng)點(diǎn)（C，D不與A，B重合），且CD為定長，CE⊥AB于E，M是CD的中點(diǎn)，則EM的最大值為（　?。?br />
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【分析】如圖，延長CE交⊙O于J，連接DJ，利用三角形的中位線定理解決問題即可．
【解答】解：如圖，延長CE交⊙O于J，連接DJ，
∵CE⊥AB，
∴CE＝EJ，
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴CM＝DM，
∴EM＝DJ，
∴當(dāng)DJ是直徑時(shí)，EM的值最大，
∵⊙O的直徑AB＝10，
∴EM的最大值為5，
故選：C．
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE面積的最大值為（　?。?br />
A．2 B．5 C．6 D．7
【分析】連接OC，由垂徑定理得OC⊥AB，再由圓周角定理得點(diǎn)C在以O(shè)A為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外），以O(shè)A為直角作⊙P，過P點(diǎn)作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，利用一次函數(shù)解析式確定E（0，﹣3），D（4，0），則DE＝5，然后證△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH的長，得MP的長，當(dāng)C點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，△CDE的面積最大，即可求解．
【解答】解：連接OC，如圖，
∵點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴點(diǎn)C在以O(shè)A為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外），
以O(shè)A為直徑作⊙P，過P點(diǎn)作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x﹣3＝﹣3，則E（0，﹣3），
當(dāng)y＝0時(shí)，x﹣3＝0，
解得x＝4，則D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE＝＝5，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MP＝PH+1＝，
∴S△MED＝×5×＝7，
當(dāng)C點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，△CDE面積的最大值為7，
故選：D．

20．我們研究過的圖形中，圓的任何一對平行切線間的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”，除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如萊洛三角形（如圖1），它是分別以等邊三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的菜洛三角形和圓形滾木的截面圖．有下列4個(gè)結(jié)論：

①萊洛三角形是軸對稱圖形；
②圖1中，點(diǎn)A到弧BC上任意一點(diǎn)的距離都相等；
③圖2中，萊洛三角形的周長、面積分別與圓的周長、面積對應(yīng)相等；
④使用截面的萊洛三角形的滾木搬運(yùn)東西，會(huì)發(fā)生上下抖動(dòng)．
上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（　?。?br /> A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③
【分析】根據(jù)萊洛三角形、圓的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：由萊洛三角形的畫法可知，萊洛三角形是軸對稱圖形，因此①正確；
弧BC是以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的弧，因此點(diǎn)A到弧BC上任意一點(diǎn)的距離都相等，所以②正確；
萊洛三角形的面與圓的面積不相等，因此③不正確；
由“萊洛三角形”對稱性可知，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程其邊沿上的點(diǎn)到中心的距離相等，因此使用截面的萊洛三角形的滾木搬運(yùn)東西，不會(huì)發(fā)生上下抖動(dòng)，因此④不正確；
綜上所述，正確的有①②，
故選：A．
21．如圖，在半徑為5的⊙O中，半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接EC、EB．若CD＝2，則EC的長為（　?。?br />
A．2 B．8 C．2 D．2
【分析】由垂徑定理和勾股定理得AC＝BC＝4，再證OC是△ABE的中位線，得BE＝2OC＝6，然后由勾股定理求解即可．
【解答】解：∵⊙O的半徑為5，
∴OA＝OD＝5，
∵CD＝2，
∴OC＝OD﹣CD＝3，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝＝＝4，
∵OA＝OE，
∴OC是△ABE的中位線，
∴BE＝2OC＝6，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠B＝90°，
∴EC＝＝＝2，
故選：D．
22．已知：如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過BC的中點(diǎn)D，且EF∥AB，若AB＝2，則DE的長是（　?。?br />
A． B． C． D．1
【分析】設(shè)AC與EF交于點(diǎn)G，由于EF∥AB，且D是BC中點(diǎn)，易得DG是△ABC的中位線，即DG＝1；
易知△CDG是等腰三角形，可過C作AB的垂線，交EF于M，交AB于N；然后證DE＝FG，根據(jù)相交弦定理得BD?DC＝DE?DF，而BD、DC的長易知，DF＝1+DE，由此可得到關(guān)于DE的方程，即可求得DE的長．
【解答】解：如圖．過C作CN⊥AB于N，交EF于M，則CM⊥EF．
根據(jù)圓和等邊三角形的性質(zhì)知：CN必過點(diǎn)O．
∵EF∥AB，D是BC的中點(diǎn)，
∴DG是△ABC的中位線，即DG＝AB＝1；
易知△CGD是等邊三角形，而CM⊥DG，則DM＝MG；
由于OM⊥EF，由垂徑定理得：EM＝MF，故DE＝GF．
∵弦BC、EF相交于點(diǎn)D，
∴BD?DC＝DE?DF，即DE×（DE+1）＝1；
解得DE＝（負(fù)值舍去）．
故選：B．
23．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，將劣弧沿AC折疊后剛好經(jīng)過弦BC的中點(diǎn)D．若AC＝6，∠C＝60°，則⊙O的半徑長為（　　）

A． B． C． D．
【分析】取折疊后的弧所在圓圓心為O′，則⊙O與⊙O′設(shè)等圓，∠ACD是公共的圓周角，所以可以證得AB＝AD，過A作AM⊥BC于M，則M為BD的中點(diǎn)，在Rt△AMC中，利用勾股定理，可以求出AM和CM的長度，由于D是BC中點(diǎn)，可以證明MC＝3BM，所以BM可以求，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AB的長度，連接OA，OB，由于△AOB是頂角為120°的等腰三角形，過O作OG⊥AB于G，利用30度的特殊角和勾股定理，可以證明AB＝3OA，由此圓O半徑可求．
【解答】解：如圖1，設(shè)折疊后的所在圓的圓心為O′，連接O′A，O′D，
∴∠AO′D＝2∠ACB＝120°，
連接OA，OB，
同理，∠AOB＝120°，
∴∠AOB＝∠AO′D，
∵⊙O與⊙O′是等圓，
∴AB＝AD，
設(shè)⊙O的半徑為R，
過O作OG⊥AB于G，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，AB＝2AG，
∴OG＝，
∴，
∴，
如圖2，過A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AD，
∴可設(shè)BM＝DM＝x，則BD＝2x，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴CD＝BD＝2x，
∴MC＝DM+CD＝3x，
∵AM⊥BC，∠ACB＝60°，
∴∠MAC＝30°，
在Rt△AMC中，MC＝，
∴3x＝3，
∴x＝1，
∴AM＝，BM＝x＝1，
在Rt△ABM中，AB＝，
∵，
∴，
故選：D．
24．如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC，CD分別相交于點(diǎn)G，H，則的值是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】首先設(shè)⊙O的半徑是r，則OF＝r，根據(jù)AO是∠EAF的平分線，求出∠COF＝60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判斷出OI、CI的關(guān)系，再根據(jù)GH∥BD，求出GH的值是多少，即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接AC、BD、OF，，
設(shè)⊙O的半徑是r，
則OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分線，
∴∠OAF＝60°÷2＝30°，
∵OA＝OF，
∴∠OFA＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°+30°＝60°，
∴FI＝r?sin60°＝r，
∴EF＝r×2＝r，
∵AO＝2OI，
∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，
∴＝＝，
∴GH＝BD＝r，
∴＝＝．
故選：C．
25．如圖，用邊長分別為1和3的兩個(gè)正方形組成一個(gè)圖形，則能將其完全覆蓋的圓形紙片的最小半徑為（　?。?br />
A．2 B．2.5 C．3 D．
【分析】根據(jù)已知得出當(dāng)AB為⊙O的直徑，此時(shí)圓形紙片半徑最小，進(jìn)而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：如圖所示：當(dāng)AB為⊙O的直徑，此時(shí)圓形紙片半徑最小，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴能將其完全覆蓋的圓形紙片的最小半徑為：2.5．
故選：B．
26．已知⊙O的半徑為13cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，則弦AB與CD之間的距離為　　cm．
【分析】分兩種情況進(jìn)行分類討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)，先畫圖，然后作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可
【解答】解：過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，直線OE交CD于F，連接OA、OC，
如圖：
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AB＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5，
在Rt△OAE中，OE＝＝5，
在Rt△OCF中，OF＝＝12，
當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖1，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7（cm），
當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖2，EF＝OF+OE＝12+5＝17（cm），
綜上所述，弦AB和CD之間的距離為7cm或17cm．
27．如圖，直線l與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，AC是圓O的弦，OC∥AB，半徑OC的長為10，弦AB的長為12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△APC是直角三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為　　秒．

【分析】利用分類討論的方法分兩種情況解答：①當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，連接OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，利用垂徑定理和矩形的判定定理解答即可；②當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，連接OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CM⊥AP于點(diǎn)M，同①方法，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
【解答】解：①當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，
連接OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，
∵OH⊥AB，
∴AH＝AB＝6，
∴OH＝＝＝8．
∵OC∥AB，OH⊥AB，CP⊥AB，
∴四邊形OHPC為矩形，
∴PH＝OC＝10，
∴AP＝AH+HP＝16，
∵點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度前進(jìn)，
∴t＝16；
②當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，
連接OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CM⊥AP于點(diǎn)M，如圖，
∵OH⊥AB，
∴AH＝AB＝6，
∴OH＝＝＝8．
∵OC∥AB，OH⊥AB，CM⊥AP，
∴四邊形OHMC為矩形，
∴HM＝OC＝10，CM＝OH＝8，
∴AM＝16，
∵∠ACP＝90°，CM⊥AP，
∴△AMC∽△CMP，
∴，
∴，
∴MP＝4，
∴AP＝AM+MP＝20．
∵點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度前進(jìn)，
∴t＝20，
綜上，當(dāng)△APC是直角三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為16秒或20秒，
故答案為：16或20．
28．如圖所示：兩個(gè)同心圓，半徑分別是和，矩形ABCD邊AB，CD分別為兩圓的弦，當(dāng)矩形ABCD面積取最大值時(shí)，矩形ABCD的周長是　 ?。?br />
【分析】此題首先能夠把問題轉(zhuǎn)化到三角形中進(jìn)行分析．根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念可以證明三角形的面積等于相鄰兩邊的乘積乘以夾角的正弦值，根據(jù)這一公式分析面積的最大值的情況．然后運(yùn)用勾股定理以及直角三角形的斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊求得長方形的長和寬，進(jìn)一步求得其周長．
【解答】解：連接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．
根據(jù)矩形的面積以及三角形的面積公式發(fā)現(xiàn)：矩形的面積是三角形AOD的面積的4倍．因?yàn)镺A，OD的長是定值，則∠AOD的正弦值最大時(shí)，三角形的面積最大，即∠AOD＝90°，則AD＝6，根據(jù)三角形的面積公式求得OM＝4，即AB＝8．則矩形ABCD的周長是16+12．

29．如圖所示，AB為⊙O的直徑，AB＝2，OC是⊙O的半徑，OC⊥AB，點(diǎn)D在上，＝2，點(diǎn)P是OC上一動(dòng)點(diǎn)，則陰影部分周長的最小值為　　．

【分析】B是A關(guān)于OC的對稱點(diǎn)，連接BD則就是AP+PD的最小值．根據(jù)已知條件可以知道∠ABD＝30°，由于AB是直徑，所以∠ADB＝90°，解直角三角形求出BD，利用弧長公式求出的長即可．
【解答】解：如圖，連接BD，AD，PB．
根據(jù)已知得B是A關(guān)于OC的對稱點(diǎn)，
所以BD就是AP+PD的最小值，
∵＝2，而弧AC的度數(shù)是90°的弧，
∴的度數(shù)是60°，
∴∠ABD＝30°，
∵AB是直徑，
∴∠ADB＝90°，
而AB＝2，
∴BD＝，
∵的長＝＝，
∴AP+PD的最小值是，
∴陰影部分的周長的最小值為+．
故答案為：+．
30．如圖，⊙O的直徑AB＝10，P是OA上一點(diǎn)，弦MN過點(diǎn)P，且AP＝2，MP＝2，那么弦心距OQ為　 ?。?br />
【分析】先根據(jù)AB＝10，AP＝2求出OP及OA的長，連接OM，則在Rt△OMQ及Rt△OPQ中利用勾股定理可得出關(guān)于OQ，PQ的方程組，進(jìn)而可得出OQ的長．
【解答】解：∵直徑AB＝10，AP＝2，
∴OA＝OM＝5，OP＝3，
在Rt△OMQ中，OM2＝OQ2+（MP+PQ）2，即52＝OQ2+（2+PQ）2①，
在Rt△OPQ中，OP2＝OQ2+PQ2，即32＝OQ2+PQ2②，
①②聯(lián)立可得OQ＝，PQ＝．
故答案為：．

31．如圖，半徑為1的半圓O上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，若AB＝1，則四邊形ABCD的面積的最大值是　 ?。?br />
【分析】過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，分別過點(diǎn)A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于點(diǎn)E、F、G，根據(jù)垂線段線段最短可知HF＜OH，再由梯形的中位線定理可知，HF＝（AE+BG），進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，分別過點(diǎn)A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于點(diǎn)E、F、G，
∵AB＝1，⊙O的半徑＝1，
∴OH＝，
∵垂線段最短，
∴HF＜OH，
∴HF＝（AE+BG），
∴S四邊形ABCD＝S△AOD+S△AOB+S△BOC＝×1×AE+×1×+×1×BG
＝AE++BG
＝（AE+BG）+
＝HF+≤OH+＝+＝．
故答案為：．

32．如圖，用3個(gè)邊長為1的正方形組成一個(gè)對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為　 ?。?br />
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接OC，OD，延長BO交上面的正方形與點(diǎn)A，設(shè)定圓心與上面正方形的距離為x，再根據(jù)勾股定理求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：連接OC，OD，延長BO交上面的正方形與點(diǎn)A，設(shè)定圓心與上面正方形的距離為x，
則BO＝1﹣x，BC＝1，AD＝0.5，AO＝1+x，
故BC2+BO2＝AD2+AO2，即1+（1﹣x）2＝（1+x）2+0.52，（兩邊都是圓半徑的平方）
解得，x＝，
所以能將其完全覆蓋的圓的最小半徑R2＝1+（1﹣x）2，
解得R＝．
故答案為：．

33．如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．
（1）求證：四邊形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半徑．

【分析】（1）根據(jù)三個(gè)直角可得矩形，再利用垂徑定理可得一組鄰邊相等，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理可得半徑．
【解答】（1）證明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝AB，AE＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADO＝∠A＝∠AEO＝90°，
∴四邊形ADOE是正方形；
（2）解：連接OA，
∵AC＝2cm，
∴AE＝1cm，
在Rt△AOE中，OA＝＝（cm），
答：⊙O的半徑是cm．
34．如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧，點(diǎn)O是的圓心，E為上一點(diǎn)，OE⊥CD，垂足為F．已知CD＝300m，EF＝50m，求這段彎路的半徑．

【分析】設(shè)這段彎路的半徑為R米，可得OF＝OE﹣EF＝（R﹣50）m．由垂徑定理得CF＝CD＝×300＝150（m）．由勾股定理可得OC2＝CF2+OF2，解得R的值．
【解答】解：連接OC．設(shè)這段彎路的半徑為Rm，
則OF＝OE﹣EF＝（R﹣50）m，
∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×300＝150（m）．
根據(jù)勾股定理，得OC2＝CF2+OF2，
即R2＝1502+（R﹣50）2，
解得R＝250，
所以這段彎路的半徑為250m．

35．如圖，AB是半圓O的直徑，AC是弦，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)，若AB長為10cm，點(diǎn)O到AC的距離為4cm．
（1）求弦AC的長；
（2）問經(jīng)過幾秒后，△APC是等腰三角形．

【分析】（1）過O作OD⊥AC于D，易知AO＝5，OD＝4，從而AD＝3，AC＝6；
（2）有三種情況需要考慮：AC＝PC，AP＝AC，AP＝CP，分別求出三種情況下，PB的值，即經(jīng)過的時(shí)間．
【解答】解：（1）過O作OD⊥AC于D，易知AO＝5，OD＝4，
從而AD＝＝3，
∴AC＝2AD＝6；

（2）設(shè)經(jīng)過t秒△APC是等腰三角形，則AP＝10﹣t，
①若AC＝PC，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，
∵∠A＝∠A，∠AHC＝∠ODA＝90°，
∴△AHC∽△ADO，
∴AC：AH＝OA：AD，即AC：＝5：3，
解得t＝s，
∴經(jīng)過s后△APC是等腰三角形；

②若AP＝AC，由PB＝x，AB＝10，得到AP＝10﹣x，
又∵AC＝6，
則10﹣t＝6，解得t＝4s，
∴經(jīng)過4s后△APC是等腰三角形；

③若AP＝CP，P與O重合，
則AP＝BP＝5，
∴經(jīng)過5s后△APC是等腰三角形．
綜上可知當(dāng)t＝4或5或s時(shí)，△APC是等腰三角形．

36．已知圓O的半徑長為2，點(diǎn)A、B、C為圓O上三點(diǎn)，弦BC＝AO，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

（1）如圖1，連接AC、OD，設(shè)∠OAC＝α，請用α表示∠AOD；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)A、D之間的距離：
【分析】（1）連接OB、OC．首先證明OBC是等邊三角形，根據(jù)∠AOD＝∠AOC﹣∠COD計(jì)算即可．
（2）連接AB、OB、OC、OD．證明∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°，利用勾股定理計(jì)算即可．
【解答】解：（1）連接OB、OC．
∵OB＝OC＝OA＝BC
∴△OBC是等邊三角形
∴∠BOC＝60°
∵D為BC中點(diǎn)
∴∠COD＝∠BOC＝30°
∵OA＝OC
∴∠OCA＝∠OAC＝α
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝180°﹣2α﹣30°＝150°﹣2α

（2）連接AB、OB、OC、OD
∵B為的中點(diǎn)
∴
∴AB＝BC
∵BC＝AO＝2
∴OA＝AB＝OB＝BC＝OC＝2
∴△AOB與△BOC是等邊三角形
∴∠AOB＝∠BOC＝60°
∵D是BC中點(diǎn)
∴∠BOD＝∠BOC＝30°，BD＝BC＝1
∴OD2＝OB2﹣BD2＝4﹣1＝3
∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°
∴AD＝

37．閱讀材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．
問題背景：在《阿基米德全集》中記述了偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德提出的關(guān)于圓的一些問題，其中有這樣一個(gè)問題：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝DB+BA．
（1）如圖2，牛牛同學(xué)嘗試運(yùn)用“截長法”說明“CD＝DB+BA”，于是他在CD上截取CE＝AB，連接MA，MB，ME，MC．請根據(jù)牛牛的思路完成證明過程；
（2）如圖3，在⊙O中，＝，DE⊥AC，若AB＝3，AC＝7，則AE的長度為　 ?。?br />
【分析】（1）證明△MBA≌△MEC（SAS），進(jìn)而得出MB＝ME，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD＝ED，即可得出答案；
（2）用（1）的結(jié)論得出CE＝AE+AB，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵，
∴∠A＝∠C，
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴MA＝MC，
在△MBA≌△MCG中，
，
∴△MBA≌△MCG（SAS），
∴MB＝MG，
∵M(jìn)D⊥BC，
∴BD＝GD，
∴CG+GD＝AB+BD，
即CD＝AB+BD；
（2）∵＝，DE⊥AC，
∴由阿基米德折弦定理，可得CE＝AE+AB，
∵AB＝3，AC＝7，
∴CE＝5，
∵AC＝7，
∴AE＝2．
38．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．
（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在⊙O中，C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥AB于點(diǎn)E，則AE＝BE．請證明此結(jié)論；
（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，PA，PB組成⊙O的一條折弦．C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥PA于點(diǎn)E，則AE＝PE+PB．可以通過延長DB、AP相交于點(diǎn)F，再連接AD證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；
（3）如圖3，PA．PB組成⊙O的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥PA于點(diǎn)E，則AE，PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明．

【分析】（1）連接AD，BD，易證△ADB為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，可以證得AE＝BE．
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，先∠CDA＝∠CDF，再證△AFD為等腰三角形，進(jìn)一步證得PB＝PF，從而證得結(jié)論．
（3）根據(jù)∠ADE＝∠FDE，從而證明△DAE≌△DFE，得出AE＝EF，然后判斷出PB＝PF，進(jìn)而求得AE＝PE﹣PB．
【解答】證明：（1）如圖1，連接AD，BD，
∵C是劣弧AB的中點(diǎn)，
∴∠CDA＝∠CDB，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠DEB＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，∠B+∠CDB＝90°，
∴∠A＝∠B，
∴△ADB為等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE；

（2）如圖2，延長DB、AP相交于點(diǎn)F，再連接AD，
∵ADBP是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠PBF＝∠PAD，
∵C是劣弧AB的中點(diǎn)，
∴∠CDA＝∠CDF，
∵CD⊥PA，
∴△AFD為等腰三角形，
∴∠F＝∠A，AE＝EF，
∴∠PBF＝∠F，
∴PB＝PF，
∴AE＝PE+PB

（3）AE＝PE﹣PB．
連接AD，BD，AB，DB、AP相交于點(diǎn)F，
∵弧AC＝弧BC，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵CD⊥AP，
∴∠DEA＝∠DEF，∠ADE＝∠FDE，
∵DE＝DE，
∴△DAE≌△DFE，
∴AD＝DF，AE＝EF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DFA＝∠PFB，∠PBD＝∠DAP，
∴∠PFB＝∠PBF，
∴PF＝PB，
∴AE＝PE﹣PB．

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