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1. 掌握等式的基本性質(zhì)；
2. 能解一元一次方程；掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組；
3. 能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；
4. 能利用一次方程解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，并能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理．
1．從考查的題型來(lái)看，填空題或選擇題、解答題的形式都有考查,一般情況三種形式選擇 其一,不同時(shí)存在一套試題,占比分相當(dāng)大,難度屬于中檔題較多.
2．從考查內(nèi)容來(lái)看,由實(shí)際問(wèn)題抽象出一次方程組為主要考查，其次考查列一次方程組、 判斷一次方程（組）的解、解一次方程組.
3．從考查熱點(diǎn)來(lái)看,涉及本知識(shí)點(diǎn)的有:二元一次方程組的解法,由實(shí)際問(wèn)題列出二元一次方程組,由二元一次方程組的解求有關(guān)問(wèn)題等比較受命題者的關(guān)注.
?考向一 解一元一次方程
1．（2023?海南）若代數(shù)式x+2的值為7，則x等于（ ）
A．9B．﹣9C．5D．﹣5
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得：x+2＝7，
解得：x＝5．
故選：C．
【真題剖析】此題考查了解一元一次方程方程，根據(jù)題意列出方程是解本題的關(guān)鍵．
2．（2022?黔西南州）小明解方程﹣1＝的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括號(hào)，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移項(xiàng)，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同類(lèi)項(xiàng)，得x＝﹣4④
以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【思路點(diǎn)撥】對(duì)題目的解題過(guò)程逐步分析，即可找出出錯(cuò)的步驟．
【規(guī)范解答】解：方程兩邊同乘6應(yīng)為：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出錯(cuò)的步驟為：①，
故選：A．
【真題剖析】本題考查解一元一次方程，解題關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確觀(guān)察出出錯(cuò)的步驟．
3．（2023?衢州）小紅在解方程時(shí)，第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤：
解：2×7x＝（4x﹣1）+1，
…
（1）請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的方框內(nèi)用橫線(xiàn)劃出小紅的錯(cuò)誤處．
（2）寫(xiě)出你的解答過(guò)程．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，解一元一次方程的步驟即可判斷；
（2）首先去分母、然后去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、次數(shù)化成1即可求解．
【規(guī)范解答】解：（1）如圖：
（2）去分母：2×7x＝（4x﹣1）+6，
去括號(hào)：14x＝4x﹣1+6，
移項(xiàng)：14x﹣4x＝﹣1+6，
合并同類(lèi)項(xiàng)：10x＝5，
系數(shù)化1：x＝．
【真題剖析】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．
?考向二 一元一次方程的應(yīng)用
4．（2023?棗莊）《算學(xué)啟蒙》是我國(guó)較早的數(shù)學(xué)著作之一，書(shū)中記載一道問(wèn)題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問(wèn)快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（ ）
A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12
【思路點(diǎn)撥】利用路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合x(chóng)天快馬比慢馬多走的路程為慢馬12天走的路程，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【規(guī)范解答】解：依題意得：240x﹣150x＝150×12．
故選：D．
【真題剖析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?臺(tái)灣）有一東西向的直線(xiàn)吊橋橫跨溪谷，小維、阿良分別從西橋頭、東橋頭同時(shí)開(kāi)始往吊橋的另一頭筆直地走過(guò)去，如圖所示，已知小維從西橋頭走了84步，阿良從東橋頭走了60步時(shí)，兩人在吊橋上的某點(diǎn)交會(huì)，且交會(huì)之后阿良再走70步恰好走到西橋頭，若小維每步的距離相等，阿良每步的距離相等，則交會(huì)之后小維再走多少步會(huì)恰好走到東橋頭（ ）
A．46B．50C．60D．72
【思路點(diǎn)撥】設(shè)交會(huì)之后小維再走x步會(huì)恰好走到東橋頭，由題意得出，則可得出答案．
【規(guī)范解答】解：設(shè)交會(huì)之后小維再走x步會(huì)恰好走到東橋頭，由題意得，
，
∴x＝72，
故選：D．
【真題剖析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，有理數(shù)的運(yùn)算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?陜西）小紅在一家文具店買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元．已知她買(mǎi)的這種大筆記本的單價(jià)比這種小筆記本的單價(jià)多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價(jià)．
【思路點(diǎn)撥】設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，根據(jù)買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元，得4x+6（x﹣3）＝62，即可解得答案．
【規(guī)范解答】解：設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，則小筆記本的單價(jià)是（x﹣3）元，
∵買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元，
∴4x+6（x﹣3）＝62，
解得：x＝8；
答：該文具店中這種大筆記本的單價(jià)為8元．
【真題剖析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程解決問(wèn)題．
?考向三 二元一次方程求解與應(yīng)用
7．（2023?無(wú)錫）下列4組數(shù)中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（ ）
A．B．C．D．
【思路點(diǎn)撥】二元一次方程2x+y＝10的解有無(wú)數(shù)個(gè)，所以此題應(yīng)該用排除法確定答案，分別代入方程組，使方程左右相等的解才是方程組的解．
【規(guī)范解答】解：A、把x＝1，y＝2代入方程，左邊＝2+2＝右邊，所以是方程的解；
B、把x＝2，y＝0代入方程，左邊＝右邊＝4，所以是方程的解；
C、把x＝0.5，y＝3代入方程，左邊＝4＝右邊，所以是方程的解；
D、把x＝﹣2，y＝4代入方程，左邊＝0≠右邊，所以不是方程的解．
故選：D．
【真題剖析】本題考查二元一次方程的解的定義，要求理解什么是二元一次方程的解，并會(huì)把x，y的值代入原方程驗(yàn)證二元一次方程的解．
8．（2023?溫州）一瓶牛奶的營(yíng)養(yǎng)成分中，碳水化合物含量是蛋白質(zhì)的1.5倍，碳水化合物、蛋白質(zhì)與脂肪的含量共30g．設(shè)蛋白質(zhì)、脂肪的含量分別為x（g），y（g），可列出方程為（ ）
A．x+y＝30B．x+y＝30C．x+y＝30D．x+y＝30
【思路點(diǎn)撥】由碳水化合物和蛋白質(zhì)含量間的關(guān)系，可得出碳水化合物含量是1.5x g，結(jié)合碳水化合物、蛋白質(zhì)與脂肪的含量共30g，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，此題得解．
【規(guī)范解答】解：∵碳水化合物含量是蛋白質(zhì)的1.5倍，且蛋白質(zhì)的含量為x g，
∴碳水化合物含量是1.5x g．
根據(jù)題意得：1.5x+x+y＝30，
∴x+y＝30．
故選：A．
【真題剖析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．
9．（2023?齊齊哈爾）為提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)動(dòng)手實(shí)踐能力，某校為物理興趣小組的同學(xué)購(gòu)買(mǎi)了一根長(zhǎng)度為150cm的導(dǎo)線(xiàn)，將其全部截成10cm和20cm兩種長(zhǎng)度的導(dǎo)線(xiàn)用于實(shí)驗(yàn)操作（每種長(zhǎng)度的導(dǎo)線(xiàn)至少一根），則截取方案共有（ ）
A．5種B．6種C．7種D．8種
【思路點(diǎn)撥】設(shè)截成10cm的導(dǎo)線(xiàn)x根，截成20cm的導(dǎo)線(xiàn)y根，根據(jù)“長(zhǎng)度為150cm的導(dǎo)線(xiàn)”列出二元一次方程，求正整數(shù)解即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)截成10cm的導(dǎo)線(xiàn)x根，截成20cm的導(dǎo)線(xiàn)y根，
根據(jù)題意得10x+20y＝150，
∴x＝15﹣2y，
∵15﹣2y＞0，
∴y＜7.5，
∵y是正整數(shù)，
∴y的值為1，2，3，4，5，6，7，
即截取方案共有7種．
故選：C．
【真題剖析】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出二元一次方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
?考向四 解二元一次方程組
10．（2023?眉山）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿(mǎn)足x﹣y＝4，則m的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【思路點(diǎn)撥】把方程組的兩個(gè)方程相減得到2x﹣2y＝2m+6，結(jié)合x(chóng)﹣y＝4，得到m的值．
【規(guī)范解答】解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組為，
①﹣②，得：
2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．
故選：B．
【真題剖析】本題主要考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是把方程組的兩個(gè)方程相減得到m的方程，此題難度不大．
11．（2023?衢州）下列各組數(shù)滿(mǎn)足方程2x+3y＝8的是（ ）
A．B．C．D．
【思路點(diǎn)撥】代入x，y的值，找出方程左邊＝方程右邊的選項(xiàng)，即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：A．當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，方程左邊＝2×1+3×2＝8，方程右邊＝8，
∴方程左邊＝方程右邊，選項(xiàng)A符合題意；
B．當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)，方程左邊＝2×2+3×1＝7，方程右邊＝8，7≠8，
∴方程左邊≠方程右邊，選項(xiàng)B不符合題意；
C．當(dāng)x＝﹣1，y＝2時(shí)，方程左邊＝2×（﹣1）+3×2＝4，方程右邊＝8，4≠8，
∴方程左邊≠方程右邊，選項(xiàng)C不符合題意；
D．當(dāng)x＝2，y＝4時(shí)，方程左邊＝2×2+3×4＝16，方程右邊＝8，16≠8，
∴方程左邊≠方程右邊，選項(xiàng)D不符合題意．
故選：A．
【真題剖析】本題考查了二元一次方程的解，牢記“一般地，使二元一次方程兩邊的值相等
12．（2023?朝陽(yáng)）已知關(guān)于x，y的方程組的解滿(mǎn)足x﹣y＝4，則a的值為 2 ．
【思路點(diǎn)撥】利用方程①﹣方程②，可得出x﹣y＝a+2，結(jié)合x(chóng)﹣y＝4，可得出a+2＝4，解之即可得出a的值．
【規(guī)范解答】解：，
①﹣②得：x﹣y＝a+2，
又∵關(guān)于x，y的方程組的解滿(mǎn)足x﹣y＝4，
∴a+2＝4，
∴a＝2．
故答案為：2．
【真題剖析】本題考查了解二元一次方程組以及解一元一次方程，根據(jù)二元一次方程組的解滿(mǎn)足x﹣y＝4，找出關(guān)于a的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
?考向五 二元一次方程組的應(yīng)用
13．（2023?巴中）某學(xué)校課后興趣小組在開(kāi)展手工制作活動(dòng)中，美術(shù)老師要求用14張卡紙制作圓柱體包裝盒，準(zhǔn)備把這些卡紙分成兩部分，一部分做側(cè)面，另一部分做底面．已知每張卡紙可以裁出2個(gè)側(cè)面，或者裁出3個(gè)底面，如果1個(gè)側(cè)面和2個(gè)底面可以做成一個(gè)包裝盒，這些卡紙最多可以做成包裝盒的個(gè)數(shù)為（ ）
A．6B．8C．12D．16
【思路點(diǎn)撥】設(shè)用x張卡紙做側(cè)面，用y張卡紙做底面，則做出側(cè)面的數(shù)量為2x個(gè)，底面的數(shù)量為3y個(gè)，然后根據(jù)等量關(guān)系：底面數(shù)量＝側(cè)面數(shù)量的2倍，列出方程組即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)用x張卡紙做側(cè)面，用y張卡紙做底面，
由題意得，，
解得 ，
∴用6張卡紙做側(cè)面，用8張卡紙做底面，則做出側(cè)面的數(shù)量為12個(gè)，底面的數(shù)量為24個(gè)，這些卡紙最多可以做成包裝盒的個(gè)數(shù)為12個(gè)．
故選：C．
【真題剖析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組．還需注意本題的等量關(guān)系是：底面數(shù)量＝側(cè)面數(shù)量的2倍．
14．（2023?吉林）2022年12月28日查干湖冬捕活動(dòng)后，某商家銷(xiāo)售A，B兩種查干湖野生魚(yú)，如果購(gòu)買(mǎi)1箱A種魚(yú)和2箱B種魚(yú)需花費(fèi)1300元：如果購(gòu)買(mǎi)2箱A種魚(yú)和3箱B種魚(yú)需花費(fèi)2300元．分別求每箱A種魚(yú)和每箱B種魚(yú)的價(jià)格．
【思路點(diǎn)撥】設(shè)每箱A種魚(yú)的價(jià)格為x元，每箱B種魚(yú)的價(jià)格為y元，由題意得x，y的二元一次方程，解得即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)每箱A種魚(yú)的價(jià)格為x元，每箱B種魚(yú)的價(jià)格為y元，由題意得，
，
解得，
答：每箱A種魚(yú)價(jià)格是700元，每箱B種魚(yú)的價(jià)格300元．
【真題剖析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系．
15．（2023?鹽城）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四，問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”意思是：“幾個(gè)人一起去購(gòu)買(mǎi)某物品，每人出8錢(qián)，則多出3錢(qián)；每人出7錢(qián)，則還差4錢(qián)．問(wèn)人數(shù)、物品的價(jià)格分別是多少？”該問(wèn)題中的人數(shù)為 7人 ．
【思路點(diǎn)撥】設(shè)該問(wèn)題中的人數(shù)為x人，物品的價(jià)格為y錢(qián)，根據(jù)“幾個(gè)人一起去購(gòu)買(mǎi)某物品，每人出8錢(qián)，則多出3錢(qián)；每人出7錢(qián)，則還差4錢(qián)”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：設(shè)該問(wèn)題中的人數(shù)為x人，物品的價(jià)格為y錢(qián)，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∴該問(wèn)題中的人數(shù)為7人．
故答案為：7人．
【真題剖析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
?考向六 三元一次方程組的應(yīng)用
16．（2023?臺(tái)灣）已知某速食店販?zhǔn)鄣奶撞蛢?nèi)容為一片雞排和一杯可樂(lè)，且一份套餐的價(jià)錢(qián)比單點(diǎn)一片雞排再單點(diǎn)一杯可樂(lè)的總價(jià)錢(qián)便宜40元，阿俊打算到該速食店買(mǎi)兩份套餐，若他發(fā)現(xiàn)店內(nèi)有單點(diǎn)一片雞排就再送一片雞排的促銷(xiāo)活動(dòng)，且單點(diǎn)一片雞排再單點(diǎn)兩杯可樂(lè)的總價(jià)錢(qián)，比兩份套餐的總價(jià)錢(qián)便宜10元，則根據(jù)題意可得到下列哪一個(gè)結(jié)論（ ）
A．一份套餐的價(jià)錢(qián)必為140元
B．一份套餐的價(jià)錢(qián)必為120元
C．單點(diǎn)一片雞排的價(jià)錢(qián)必為90元
D．單點(diǎn)一片雞排的價(jià)錢(qián)必為70元
【思路點(diǎn)撥】設(shè)一片雞排的價(jià)錢(qián)為x元，一杯可樂(lè)的價(jià)錢(qián)為y元，一份套餐的價(jià)錢(qián)為z元，根據(jù)題意列方程求解即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)一片雞排的價(jià)錢(qián)為x元，一杯可樂(lè)的價(jià)錢(qián)為y元，一份套餐的價(jià)錢(qián)為z元，根據(jù)題意得：
，
①×2﹣②得：x＝90，
∴一片雞排的價(jià)錢(qián)為90元．
另解：
設(shè)一份雞排的價(jià)格為x元，杯可樂(lè)的價(jià)格為y元，由條件得，
x+2y+10＝2x+2y﹣2×40
∴x＝90
∴一份雞排的價(jià)格是90元．
故選：C．
【真題剖析】本題主要考查了三元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題意找對(duì)等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
17．（2021?重慶）盲盒為消費(fèi)市場(chǎng)注入了活力，既能夠營(yíng)造消費(fèi)者購(gòu)物過(guò)程中的趣味體驗(yàn)，也為商家實(shí)現(xiàn)銷(xiāo)售額提升拓展了途徑．某商家將藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱共22個(gè)，搭配為A，B，C三種盲盒各一個(gè)，其中A盒中有2個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，1個(gè)迷你音箱；B盒中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤(pán)的數(shù)量，藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比為3：2；C盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，2個(gè)迷你音箱．經(jīng)核算，A盒的成本為145元，B盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為 155 元．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意確定B盲盒各種物品的數(shù)量，設(shè)出三種物品的價(jià)格列出代數(shù)式，列代數(shù)式即可．
【規(guī)范解答】解：∵藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱共22個(gè)，A盒中有2個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，1個(gè)迷你音箱；C盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤(pán)，2個(gè)迷你音箱；
∴B盒中藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱共22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（個(gè)），
∵B盒中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤(pán)的數(shù)量，藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比為3：2，
∴B盒中有多接口優(yōu)盤(pán)10×＝5（個(gè)），藍(lán)牙耳機(jī)有5×＝3（個(gè)），迷你音箱有10﹣5﹣3＝2（個(gè)），
設(shè)藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤(pán)、迷你音箱的成本價(jià)分別為a元，b元，c元，
由題知：，
∵①×2﹣②得：a+b＝45，
②×2﹣①×3得：b+c＝55，
∴C盒的成本為：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元），
故答案為：155．
【真題剖析】本題主要考查列代數(shù)式和代數(shù)式的運(yùn)算，利用A、B盒中的價(jià)格關(guān)系求出C盒的價(jià)格是解題的關(guān)鍵．
1．（2022?百色）方程3x＝2x+7的解是（ ）
A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣7
【思路點(diǎn)撥】方程移項(xiàng)合并，即可求出解．
【規(guī)范解答】解：移項(xiàng)得：3x﹣2x＝7，
合并同類(lèi)項(xiàng)得：x＝7．
故選：C．
【真題剖析】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023?連云港）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，由題意得（ ）
A．＝B．＝﹣12
C．240（x﹣12）＝150xD．240x＝150（x+12）
【思路點(diǎn)撥】由慢馬先行12天，可得出快馬追上慢馬時(shí)慢馬行了（x+12）天，利用路程＝速度×?xí)r間，結(jié)合快馬追上慢馬時(shí)快馬和慢馬行過(guò)的路程相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【規(guī)范解答】解：∵慢馬先行12天，快馬x天可追上慢馬，
∴快馬追上慢馬時(shí)，慢馬行了（x+12）天．
根據(jù)題意得：240x＝150（x+12）．
故選：D．
【真題剖析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?黑龍江）某社區(qū)為了打造“書(shū)香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活，計(jì)劃出資500元全部用于采購(gòu)A，B，C三種圖書(shū)，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書(shū)至少買(mǎi)5本，最多買(mǎi)6本（三種圖書(shū)都要買(mǎi)），此次采購(gòu)的方案有（ ）
A．5種B．6種C．7種D．8種
【思路點(diǎn)撥】當(dāng)購(gòu)買(mǎi)5本A種圖書(shū)時(shí)，設(shè)購(gòu)買(mǎi)x本B種圖書(shū)，y本C種圖書(shū)，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x(chóng)，y均為正整數(shù)，可得出當(dāng)購(gòu)買(mǎi)5本A種圖書(shū)時(shí)，有3種采購(gòu)方案；當(dāng)購(gòu)買(mǎi)6本A種圖書(shū)時(shí)，設(shè)購(gòu)買(mǎi)m本B種圖書(shū)，n本C種圖書(shū)，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，可列出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，可得出當(dāng)購(gòu)買(mǎi)6本A種圖書(shū)時(shí)，有3種采購(gòu)方案，進(jìn)而可得出此次采購(gòu)的方案有6種．
【規(guī)范解答】解：當(dāng)購(gòu)買(mǎi)5本A種圖書(shū)時(shí)，設(shè)購(gòu)買(mǎi)x本B種圖書(shū)，y本C種圖書(shū)，
根據(jù)題意得：30×5+25x+20y＝500，
∴x＝14﹣y，
又∵x，y均為正整數(shù)，
∴或或，
∴當(dāng)購(gòu)買(mǎi)5本A種圖書(shū)時(shí)，有3種采購(gòu)方案；
當(dāng)購(gòu)買(mǎi)6本A種圖書(shū)時(shí)，設(shè)購(gòu)買(mǎi)m本B種圖書(shū)，n本C種圖書(shū)，
根據(jù)題意得：30×6+25m+20n＝500，
∴n＝16﹣m，
又∵m，n均為正整數(shù)，
∴或或，
∴當(dāng)購(gòu)買(mǎi)6本A種圖書(shū)時(shí)，有3種采購(gòu)方案．
∴此次采購(gòu)的方案有3+3＝6（種）．
故選：B．
【真題剖析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?甘孜州）有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛.1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，則可列方程組為（ ）
A．B．
C．D．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛，1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛”即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組．
【規(guī)范解答】解：由題意得：，
故選：A．
【真題剖析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?泰安）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書(shū)中有一個(gè)問(wèn)題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱(chēng)之重適等，交易其一，金輕十三兩，問(wèn)金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱(chēng)重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)），問(wèn)黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩．根據(jù)題意得（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“甲袋中裝有黃金9枚，乙袋中裝有白銀11枚，稱(chēng)重兩袋相等；兩袋互相
交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩”，即可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【規(guī)范解答】解：∵甲袋中裝有黃金9枚，乙袋中裝有白銀11枚，稱(chēng)重兩袋相等，
∴9x＝11y；
∵兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩，
∴（10y+x）﹣（8x+y）＝13．
根據(jù)題意可列方程組．
故選：C．
【真題剖析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?衡陽(yáng)）《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何．”
設(shè)有x只雞，y只兔，依題意，可列方程組為（ ）
A．B．
C．D．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)今有雞兔同籠，上有三十五頭，可以得到x+y＝35，再根據(jù)下有九十四足，可以得到2x+4y＝94，然后即可得到相應(yīng)的方程組．
【規(guī)范解答】解：由題意可得，
，
故選：C．
【真題剖析】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．
7．（2023?陜西）“綠水青山就是金山銀山”，希望中學(xué)每年都會(huì)組織學(xué)生進(jìn)行植樹(shù)活動(dòng)．今年該校又買(mǎi)了一批樹(shù)苗，并組建了植樹(shù)小組．如果每組植5棵，就會(huì)多出6棵樹(shù)苗；如果每組植6棵，就會(huì)缺少9棵樹(shù)苗．求學(xué)校這次共買(mǎi)了多少棵樹(shù)苗？
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“如果每組植5棵，就會(huì)多出6棵樹(shù)苗；如果每組植6棵，就會(huì)缺少9棵樹(shù)苗，小組數(shù)目不變”列方程求解．
【規(guī)范解答】解：設(shè)學(xué)校這次共買(mǎi)了x棵樹(shù)苗，
則：＝，
解得：x＝81，
答：學(xué)校這次共買(mǎi)了81棵樹(shù)苗．
【真題剖析】本題考查了一元一次方程是應(yīng)用，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
8．（2022?威海）按照如圖所示的程序計(jì)算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是 1 ．
【思路點(diǎn)撥】不知x的正負(fù)，因此需要分類(lèi)討論，分別求解．
【規(guī)范解答】解：當(dāng)x＞0時(shí)，+1＝2，
解并檢驗(yàn)得x＝1．
當(dāng)x≤0時(shí)，2x﹣1＝2，
解得x＝1.5，
∵1.5＞0，舍去．
所以x＝1．
故答案為：x＝1．
【真題剖析】本題中的字母表示的數(shù)沒(méi)有明確告知正負(fù)數(shù)時(shí)，需要分類(lèi)討論，再代入解方程，注意：解必須在條件下才成立．
9．（2023?吉林）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，其譯文為：有人合伙買(mǎi)羊，每人出5錢(qián)，還缺45錢(qián)；每人出7錢(qián)，還缺3錢(qián)，問(wèn)合伙人數(shù)是多少？為解決此問(wèn)題，設(shè)合伙人數(shù)為x人，可列方程為 5x+45＝7x+3 ．
【思路點(diǎn)撥】設(shè)合伙人數(shù)為x人，根據(jù)羊的總價(jià)錢(qián)不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，
依題意，得：5x+45＝7x+3．
故答案為：5x+45＝7x+3．
【真題剖析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
10．（2023?大連）我國(guó)古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有共買(mǎi)雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問(wèn)人數(shù)、雞價(jià)各幾何．”其大意是：今有人合伙買(mǎi)雞，每人出9錢(qián)，會(huì)多出11錢(qián)；每人出6錢(qián)，又差16錢(qián)．問(wèn)人數(shù)、雞價(jià)各是多少．”設(shè)共有x人合伙買(mǎi)雞，根據(jù)題意，可列方程為 9x﹣11＝6x+16 ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“雞的錢(qián)數(shù)不變”，列方程求解．
【規(guī)范解答】解：由題意得：9x﹣11＝6x+16，
故答案為：9x﹣11＝6x+16．
【真題剖析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
11．（2023?麗水）古代中國(guó)的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩．今有干絲一十二斤，問(wèn)生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古代中國(guó)1斤等于16兩）．今有干絲12斤，問(wèn)原有生絲多少？”則原有生絲為 斤．
【思路點(diǎn)撥】可設(shè)原有生絲為x斤，根據(jù)比值是一定的，列出方程計(jì)算即可求解．
【規(guī)范解答】解：設(shè)原有生絲為x斤，
x：12＝30：（30﹣3），
解得x＝．
故原有生絲為斤．
故答案為：．
【真題剖析】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
12．（2023?德陽(yáng)）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動(dòng)規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫(xiě)的三個(gè)數(shù)之外的每一個(gè)方格中，填入一個(gè)數(shù)，使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線(xiàn)上的3個(gè)數(shù)之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運(yùn)用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，很快就完成了這個(gè)游戲，則m＝ 39 ．
【思路點(diǎn)撥】設(shè)九宮格中最中間的數(shù)為x，由于第1列中間數(shù)與第2行的最左側(cè)的數(shù)重合，建立方程16+4＝7+x，求得x，根據(jù)九宮格每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線(xiàn)上的3個(gè)數(shù)之和等于最中間數(shù)的三倍所以m＝3x．
【規(guī)范解答】解：設(shè)九宮格中最中間的數(shù)為x，
∵第1列中間數(shù)與第2行的最左側(cè)的數(shù)重合，
∴16+4＝7+x，
∴x＝13，
根據(jù)九宮格每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線(xiàn)上的3個(gè)數(shù)之和等于最中間數(shù)的三倍，
∴m＝3x＝39，
故答案為：39．
【真題剖析】本題考查了九宮格的知識(shí)，根據(jù)九宮格每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線(xiàn)上的3個(gè)數(shù)之和相等的規(guī)律，觀(guān)察九宮格中數(shù)的排列特征建立方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
13．（2023?河北）某磁性飛鏢游戲的靶盤(pán)如圖．珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計(jì)入次數(shù)，需重新投．計(jì)分規(guī)則如下：
在第一局中，珍珍投中A區(qū)4次，B區(qū)2次．脫靶4次．
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中A區(qū)k次，B區(qū)3次，其余全部脫靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意列出算式可求解；
（2）由題意列出方程可求解．
【規(guī)范解答】解：（1）由題意可得：4×3+2×1+4×（﹣2）＝6（分），
答：珍珍第一局的得分為6分；
（2）由題意可得：3k+3×1+（10﹣k﹣3）×（﹣2）＝6+13，
解得：k＝6．
∴k的值為6．
【真題剖析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．（2023?北京）對(duì)聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對(duì)聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱(chēng)為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱(chēng)為邊．一般情況下，天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的比是6：4，左、右邊的寬相等，均為天頭長(zhǎng)與地頭長(zhǎng)的和的．某人要裝裱一副對(duì)聯(lián)，對(duì)聯(lián)的長(zhǎng)為100cm，寬為27cm．若要求裝裱后的長(zhǎng)是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長(zhǎng)．
【思路點(diǎn)撥】設(shè)天頭長(zhǎng)為6x cm，地頭長(zhǎng)為4x cm，則左、右邊的寬為x cm，根據(jù)題意得列方程即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：設(shè)天頭長(zhǎng)為6x cm，地頭長(zhǎng)為4x cm，則左、右邊的寬為x cm，
根據(jù)題意得，100+（6x+4x）＝4×[27+（6x﹣4x）]，
解得x＝4，
答：邊的寬為4cm，天頭長(zhǎng)為24cm．
【真題剖析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確地理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
15．（2023?重慶）某糧食生產(chǎn)基地為了落實(shí)在適宜地區(qū)開(kāi)展雙季稻中間季節(jié)再種一季油菜的號(hào)召，積極擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，計(jì)劃用基地的甲、乙兩區(qū)農(nóng)田進(jìn)行油菜試種，甲區(qū)的農(nóng)田比乙區(qū)的農(nóng)田多10000畝，甲區(qū)農(nóng)田的80%和乙區(qū)全部農(nóng)田均適宜試種，且兩區(qū)適宜試種農(nóng)田的面積剛好相同．
（1）求甲、乙兩區(qū)各有農(nóng)田多少畝？
（2）在甲、乙兩區(qū)適宜試種的農(nóng)田全部種上油菜后，為加強(qiáng)油菜的蟲(chóng)害治理，基地派出一批性能相同的無(wú)人機(jī)，對(duì)試種農(nóng)田噴灑除蟲(chóng)藥，由于兩區(qū)地勢(shì)差別，派往乙區(qū)的無(wú)人機(jī)架次是甲區(qū)的1.2倍（每架次無(wú)人機(jī)噴灑時(shí)間相同），噴灑任務(wù)完成后，發(fā)現(xiàn)派往甲區(qū)的每架次無(wú)人機(jī)比乙區(qū)的平均多噴灑畝，求派往甲區(qū)每架次無(wú)人機(jī)平均噴灑多少畝？
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)乙區(qū)有農(nóng)田x畝，則甲區(qū)有農(nóng)田（x+10000）畝，根據(jù)“甲區(qū)農(nóng)田的80%和乙區(qū)全部農(nóng)田均適宜試種，且兩區(qū)適宜試種農(nóng)田的面積剛好相同”，可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之可得出乙區(qū)的農(nóng)田畝數(shù)，再將其代入（x+10000）中，即可求出甲區(qū)的農(nóng)田畝數(shù)；
（2）設(shè)派往甲區(qū)每架次無(wú)人機(jī)平均噴灑y畝，則派往乙區(qū)每架次無(wú)人機(jī)平均噴灑（y﹣）畝，根據(jù)派往乙區(qū)的無(wú)人機(jī)架次是甲區(qū)的1.2倍（每架次無(wú)人機(jī)噴灑時(shí)間相同），可得出關(guān)于y的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)乙區(qū)有農(nóng)田x畝，則甲區(qū)有農(nóng)田（x+10000）畝，
根據(jù)題意得：80%（x+10000）＝x，
解得：x＝40000，
∴x+10000＝40000+10000＝50000．
答：甲區(qū)有農(nóng)田50000畝，乙區(qū)有農(nóng)田40000畝；
（2）設(shè)派往甲區(qū)每架次無(wú)人機(jī)平均噴灑y畝，則派往乙區(qū)每架次無(wú)人機(jī)平均噴灑（y﹣）畝，
根據(jù)題意得：＝×1.2，
解得：y＝100，
經(jīng)檢驗(yàn)，y＝100是所列分式方程的解，且符合題意．
答：派往甲區(qū)每架次無(wú)人機(jī)平均噴灑100畝．
【真題剖析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．
16．（2023?西藏）列方程（組）解應(yīng)用題
如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長(zhǎng)方形墻磚砌成．
（1）求一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)和寬；
（2）求電視背景墻的面積．
【思路點(diǎn)撥】（1）首先設(shè)一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為x，寬為y，然后用x，y的代數(shù)式分別表示出長(zhǎng)方形的兩條長(zhǎng)邊分別為2x，x+4y，寬為x+y，進(jìn)而根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)列出方程組，解方程組即可得出答案；
（2）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式即可得出答案．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為x m，寬為y m．
依題意得：，解得：，
答：一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為1.2m，寬為0.3m．
（2）求電視背景墻的面積為：2×1.2×1.5＝3.6（m2）．
答：電視背景墻的面積為3.6m2．
【真題剖析】此題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，長(zhǎng)方形的性質(zhì)，根據(jù)長(zhǎng)方形的兩組對(duì)邊分別相等列出方程組是解答此題的關(guān)鍵．
17．（2023?海南）2023年5月10日，搭載天舟六號(hào)貨運(yùn)飛船的長(zhǎng)征七號(hào)遙七運(yùn)載火箭，在我國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)點(diǎn)火發(fā)射成功，為了普及航空航天科普知識(shí)，某校組織學(xué)生去文昌衛(wèi)星發(fā)射中心參觀(guān)學(xué)習(xí)．已知該校租用甲、乙兩種不同型號(hào)的客車(chē)共15輛，租用1輛甲型客車(chē)需600元，1輛乙型客車(chē)需500元，租車(chē)費(fèi)共8000元，問(wèn)甲、乙兩種型號(hào)客車(chē)各租多少輛？
【思路點(diǎn)撥】設(shè)租用甲型車(chē)x輛，乙型車(chē)y輛，可得：，即可解得答案．
【規(guī)范解答】解：設(shè)租用甲型車(chē)x輛，乙型車(chē)y輛，
根據(jù)題意得：，
解得，
答：租用甲型車(chē)5輛，乙型車(chē)10輛．
【真題剖析】本題考二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系列方程組．
的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解”是解題的關(guān)鍵．
18．（2023?河南）方程組的解為 ．
【思路點(diǎn)撥】利用加減消元法求解或代入消元法求解都比較簡(jiǎn)便．
【規(guī)范解答】解：，
①+②，得4x+4y＝12，
∴x+y＝3③．
①﹣③，得2x＝2，
∴x＝1．
②﹣①，得2y＝4，
∴y＝2．
∴原方程組的解為．
故答案為：．
【真題剖析】本題主要考查了解二元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．
19．（2023?連云港）解方程組．
【思路點(diǎn)撥】利用加減消元法解方程組即可．
【規(guī)范解答】解：，
①+②得：5x＝15，
解得：x＝3，
將x＝3代入①得：3×3+y＝8，
解得：y＝﹣1，
故原方程組的解為：．
【真題剖析】本題考查解二元一次方程組，解二元一次方程組的基本方法為代入消元法和加減消元法，必須熟練掌握．
20．（2023?西寧）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有木，不知長(zhǎng)短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長(zhǎng)幾何？意思是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺．問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)x尺，繩長(zhǎng)y尺，根據(jù)題意列方程組得（ ）
A．B．
C．D．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺，可以列出相應(yīng)的方程組，本題得以解決．
【規(guī)范解答】解：由題意可得，
，
故選：A．
【真題剖析】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．
21．（2023?重慶）某公司不定期為員工購(gòu)買(mǎi)某預(yù)制食品廠(chǎng)生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品．
（1）該公司花費(fèi)3000元一次性購(gòu)買(mǎi)了雜醬面、牛肉面共170份，此時(shí)雜醬面、牛肉面的價(jià)格分別為15元、20元，求購(gòu)買(mǎi)兩種食品各多少份？
（2）由于公司員工人數(shù)和食品價(jià)格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費(fèi)1260元、1200元一次性購(gòu)買(mǎi)雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購(gòu)買(mǎi)雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多50%，每份雜醬面比每份牛肉面的價(jià)格少6元，求購(gòu)買(mǎi)牛肉面多少份？
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)雜醬面x份，牛肉面y份，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合該公司花費(fèi)3000元一次性購(gòu)買(mǎi)了雜醬面、牛肉面共170份，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)牛肉面m份，則購(gòu)買(mǎi)雜醬面（1+50%）m份，利用單價(jià)＝總價(jià)÷數(shù)量，結(jié)合每份雜醬面比每份牛肉面的價(jià)格少6元，可得出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)雜醬面x份，牛肉面y份，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：購(gòu)買(mǎi)雜醬面80份，牛肉面90份；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)牛肉面m份，則購(gòu)買(mǎi)雜醬面（1+50%）m份，
根據(jù)題意得：﹣＝6，
解得：m＝60，
經(jīng)檢驗(yàn)，m＝60是所列方程的解，且符合題意．
答：購(gòu)買(mǎi)牛肉面60份．
【真題剖析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．
22．（2023?張家界）為拓展學(xué)生視野，某中學(xué)組織八年級(jí)師生開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，原計(jì)劃租用45座客車(chē)若干輛，但有15人沒(méi)有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車(chē)，則多出三輛車(chē)，且其余客車(chē)恰好坐滿(mǎn)．現(xiàn)有甲、乙兩種客車(chē)，它們的載客量和租金如下表所示：
（1）參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是多少？原計(jì)劃租用多少輛45座客車(chē)？
（2）若租用同一種客車(chē)，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？
【思路點(diǎn)撥】（1）本題中的等量關(guān)系為：45×45座客車(chē)輛數(shù)+15＝師生總數(shù)，60×（45座客車(chē)輛數(shù)﹣3）＝師生總數(shù)，據(jù)此可列方程組求出第一小題的解；
（2）需要分別計(jì)算45座客車(chē)和60座客車(chē)各自的租金，比較后再取舍．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是x人，原計(jì)劃租用y輛45座客車(chē)．
根據(jù)題意，得，
解得．
答：參加此次研學(xué)活動(dòng)的師生人數(shù)是600人，原計(jì)劃租用13輛45座客車(chē)；
（2）租45座客車(chē)：600÷45≈14（輛），所以需租14輛，租金為200×14＝2800（元），
租60座客車(chē)：600÷60＝10（輛），所以需租10輛，租金為300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14輛45座客車(chē)更合算．
【真題剖析】本題考查二元一次方程的應(yīng)用，注意租車(chē)時(shí)最后一輛不管幾個(gè)人都要用一輛，所以在計(jì)算車(chē)的輛數(shù)時(shí)用“收尾法”，而不是“四舍五入”．
23．（2023?深圳）某商場(chǎng)在世博會(huì)上購(gòu)置A，B兩種玩具，其中B玩具的單價(jià)比A玩具的單價(jià)貴25元，且購(gòu)置2個(gè)B玩具與1個(gè)A玩具共花費(fèi)200元．
（1）求A，B玩具的單價(jià)；
（2）若該商場(chǎng)要求購(gòu)置B玩具的數(shù)量是A玩具數(shù)量的2倍，且購(gòu)置玩具的總額不高于20000元，則該商場(chǎng)最多可以購(gòu)置多少個(gè)A玩具？
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)每件A玩具的進(jìn)價(jià)為x元，則每件B玩具的進(jìn)價(jià)為（x+25）元，根據(jù)購(gòu)置2個(gè)B玩具與1個(gè)A玩具共花費(fèi)200元元列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；
（2）設(shè)商場(chǎng)最多可以購(gòu)置A玩具y個(gè)，根據(jù)B玩具的數(shù)量是A玩具數(shù)量的2倍，且購(gòu)置玩具的總額不高于20000元列出不等式，求出不等式的解即可得到結(jié)果．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)每件A玩具的進(jìn)價(jià)為x元，則每件B玩具的進(jìn)價(jià)為（x+25）元，
根據(jù)題意得：2（x+25）+x＝200，
解得：x＝50，
可得x+25＝50+25＝75，
則每件A玩具的進(jìn)價(jià)為50元，每件B玩具的進(jìn)價(jià)為75元；
（2）設(shè)商場(chǎng)可以購(gòu)置A玩具y個(gè)，
根據(jù)題意得：50y+75×2y≤20000，
解得：y≤100，
則最多可以購(gòu)置A玩具100個(gè)．
【真題剖析】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題中的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
24．（2020?重慶）火鍋是重慶的一張名片，深受廣大市民的喜愛(ài)．重慶某火鍋店采取堂食、外賣(mài)、店外擺攤（簡(jiǎn)稱(chēng)擺攤）三種方式經(jīng)營(yíng)，6月份該火鍋店堂食、外賣(mài)、擺攤?cè)N方式的營(yíng)業(yè)額之比為3：5：2．隨著促進(jìn)消費(fèi)政策的出臺(tái)，該火鍋店老板預(yù)計(jì)7月份總營(yíng)業(yè)額會(huì)增加，其中擺攤增加的營(yíng)業(yè)額占總增加的營(yíng)業(yè)額的，則擺攤的營(yíng)業(yè)額將達(dá)到7月份總營(yíng)業(yè)額的，為使堂食、外賣(mài)7月份的營(yíng)業(yè)額之比為8：5，則7月份外賣(mài)還需增加的營(yíng)業(yè)額與7月份總營(yíng)業(yè)額之比是 1：8 ．
【思路點(diǎn)撥】設(shè)6月份堂食、外賣(mài)、擺攤?cè)N方式的營(yíng)業(yè)額為3a，5a，2a，設(shè)7月份總的增加營(yíng)業(yè)額為5x，擺攤增加的營(yíng)業(yè)額為2x，7月份總營(yíng)業(yè)額20b，擺攤7月份的營(yíng)業(yè)額為7b，堂食7月份的營(yíng)業(yè)額為8b，外賣(mài)7月份的營(yíng)業(yè)額為5b，由題意列出方程組，可求a，b的值，即可求解．
【規(guī)范解答】解：設(shè)6月份堂食、外賣(mài)、擺攤?cè)N方式的營(yíng)業(yè)額為3a，5a，2a，設(shè)7月份總的增加營(yíng)業(yè)額為5x，擺攤增加的營(yíng)業(yè)額為2x，7月份總營(yíng)業(yè)額20b，擺攤7月份的營(yíng)業(yè)額為7b，堂食7月份的營(yíng)業(yè)額為8b，外賣(mài)7月份的營(yíng)業(yè)額為5b，
由題意可得：，
解得：，
∴7月份外賣(mài)還需增加的營(yíng)業(yè)額與7月份總營(yíng)業(yè)額之比＝（5b﹣5a）：20b＝1：8，
故答案為：1：8．
【真題剖析】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，找到正確的等量關(guān)系是本題的關(guān)鍵
知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）
中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢(shì)，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）
考點(diǎn)回歸（梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)，清晰明了，便于識(shí)記）
重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）
?考向一 解一元一次方程
?考向二 一元一次方程的應(yīng)用
?考向三 二元一次方程求解與應(yīng)用
?考向四 解二元一次方程組
?考向五 二元一次方程組的應(yīng)用
?考向六 三元一次方程組的應(yīng)用
最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）
一元一次方程的概念
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)為1，這樣的整式方程叫做一元一次方程．
一般形式
SKIPIF 1 < 0
一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個(gè)未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b＝0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．
一元一次方程的解
定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．
等式的性質(zhì)1
等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得的結(jié)果仍是等式．
若a＝b，則a±c＝b±c 應(yīng)用：移項(xiàng)
等式的性質(zhì)2
等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的數(shù)，所得的結(jié)果仍是等式．若a＝b，則ac＝bc 應(yīng)用：去分母；
若a＝b，c≠0，則 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 應(yīng)用：系數(shù)化為1
一元一次方程的求解步驟
解釋
去分母
在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)
去括號(hào)
先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)
移項(xiàng)
把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊
合并同類(lèi)項(xiàng)
把方程化成 SKIPIF 1 < 0 的形式
系數(shù)化成1
在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，得到方程的解為 SKIPIF 1 < 0
【注意】
解方程時(shí)移項(xiàng)容易忘記改變符號(hào)而出錯(cuò)，要注意解方程的依據(jù)是等式的性質(zhì)，在等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)代數(shù)式時(shí)，等式仍然成立，這也是“移項(xiàng)”的依據(jù)．移項(xiàng)本質(zhì)上就是在方程兩邊同時(shí)減去這一項(xiàng)，此時(shí)該項(xiàng)在方程一邊是0，而另一邊是它改變符號(hào)后的項(xiàng)，所以移項(xiàng)必須變號(hào)．
一元一次方程解應(yīng)用題的類(lèi)型
一元一次方程解應(yīng)用題的類(lèi)型有：
（1）銷(xiāo)售打折問(wèn)題：利潤(rùn) SKIPIF 1 < 0 售價(jià)-成本價(jià)；利潤(rùn)率= SKIPIF 1 < 0 ×100％；售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣；銷(xiāo)售額=售價(jià)×數(shù)量．
（2）儲(chǔ)蓄利息問(wèn)題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數(shù))；貸款利息=貸款額×利率×期數(shù)．
（3）工程問(wèn)題：工作量=工作效率×工作時(shí)間．
（4）行程問(wèn)題：路程=速度×?xí)r間．
（5）相遇問(wèn)題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及問(wèn)題一（同地不同時(shí)出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及問(wèn)題二（同時(shí)不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．
（8）水中航行問(wèn)題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．
（9）飛機(jī)航行問(wèn)題：順風(fēng)速度=靜風(fēng)速度+風(fēng)速度；逆風(fēng)速度=靜風(fēng)速度-風(fēng)速度．
列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟
列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟
1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．
2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問(wèn)什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．
3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．
4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．
5．答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫(xiě)出答句．
二元一次方程概念
含有2個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程．
二元一次方程的解
1.使二元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解．
2.在二元一次方程中，任意給出一個(gè)未知數(shù)的值，總能求出另一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)唯一確定的值，所以二元一次方程有無(wú)數(shù)解．
二元一次方程組
1.二元一次方程組的定義：
由兩個(gè)一次方程組成，并含（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．
（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問(wèn)題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．
有兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組．
2.二元一次方程組也滿(mǎn)足三個(gè)條件：
①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程．
②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)．
③每個(gè)方程都是一次方程．
3.一般形式為 SKIPIF 1 < 0
二元一次方程組的解
1.定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．
2.一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程組的解的問(wèn)題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．
解二元一次方程
二元一次方程有無(wú)數(shù)解．求一個(gè)二元一次方程的整數(shù)解時(shí)，往往采用“給一個(gè)，求一個(gè)”的方法，即先給出其中一個(gè)未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對(duì)值較大的）的值，再依次求出另一個(gè)的對(duì)應(yīng)值．
二元一次方程組的解法
1. 代入消元法：將方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，化為一元一次方程
適用類(lèi)型：(1)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或－1；(2)一個(gè)方程的 常數(shù)項(xiàng)為0
用代入法解二元一次方程組的一般步驟：
①?gòu)姆匠探M中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)．
②將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．
③解這個(gè)一元一次方程，求出x（或y）的值．
④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．
⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來(lái)，就是方程組的解．
2. 加減消元法：將方程組中兩個(gè)方程通過(guò)適當(dāng)變形后再相加(或相減)，消去其中一個(gè)未知數(shù)，化為一元一次方程
適用類(lèi)型：方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)或成整數(shù)倍
用加減法解二元一次方程組的一般步驟：
①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．
②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．
③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值．
④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．
⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫(xiě)在一起，就得到原方程組的解，用的形式表示．
基本思想
消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程
?解三元一次方程組
1.三元一次方程組的定義：方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．
2.解三元一次方程組的一般步驟：
①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組．
②然后解這個(gè)二元一次方程組，求出這兩個(gè)未知數(shù)的值．
③再把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)關(guān)于第三個(gè)未知數(shù)的一元一次方程．
④解這個(gè)一元一次方程，求出第三個(gè)未知數(shù)的值．
⑤最后將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫(xiě)在一起即可．
二元一次方程的應(yīng)用
1.找出問(wèn)題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．
2.找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái)．
3.挖掘題目中的關(guān)系，找出等量關(guān)系，列出二元一次方程．
4.根據(jù)未知數(shù)的實(shí)際意義求其整數(shù)解．
由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組
1.由實(shí)際問(wèn)題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的相等關(guān)系．
2.一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿(mǎn)足：
①方程兩邊表示的是同類(lèi)量；
②同類(lèi)量的單位要統(tǒng)一；
③方程兩邊的數(shù)值要相符．
3.找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點(diǎn)，有如下規(guī)律和方法：
①確定應(yīng)用題的類(lèi)型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系．
②將問(wèn)題中給出的條件按意思分割成兩個(gè)方面，有“；”時(shí)一般“；”前后各一層，分別找出兩個(gè)等量關(guān)系．
③借助表格提供信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系．
④圖形問(wèn)題，分析圖形的長(zhǎng)、寬，從中找等量關(guān)系．
二元一次方程組的應(yīng)用
列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：
（1）審題：找出問(wèn)題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．
（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái)．
（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組．
（4）求解．
（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．
解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒
1.一元一次方程定義的應(yīng)用（如是否是一元一次方程，從而確定一些待定字母的值）
這類(lèi)題目要嚴(yán)格按照定義中的幾個(gè)關(guān)鍵詞去分析，考慮問(wèn)題需準(zhǔn)確，全面．求方程中字母系數(shù)的值一般采用把方程的解代入計(jì)算的方法．
2.解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對(duì)方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化．
3.解一元一次方程時(shí)先觀(guān)察方程的形式和特點(diǎn)，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號(hào)，且括號(hào)外的項(xiàng)在乘括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)后能消去分母，就先去括號(hào)．
4.在解類(lèi)似于“ax+bx＝c”的方程時(shí)，將方程左邊，按合并同類(lèi)項(xiàng)的方法并為一項(xiàng)即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡(jiǎn)形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時(shí)，要準(zhǔn)確計(jì)算，一弄清求x時(shí)，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分?jǐn)?shù)時(shí)；二要準(zhǔn)確判斷符號(hào)，a、b同號(hào)x為正，a、b異號(hào)x為負(fù)．
解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒
利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路如下：
首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．
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在求一個(gè)二元一次方程的整數(shù)解時(shí)，往往采用“給一個(gè)，求一個(gè)”的方法，即先給出其中一個(gè)未知數(shù)
（一般是系數(shù)絕對(duì)值較大的）的值，再依次求出另一個(gè)的對(duì)應(yīng)值．
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設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．
當(dāng)問(wèn)題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無(wú)論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程．
投中位置
A區(qū)
B區(qū)
脫靶
一次計(jì)分（分）
3
1
﹣2
甲型客車(chē)
乙型客車(chē)
載客量（人/輛）
45
60
租金（元/輛）
200
300

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