1. 會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)；用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決簡單實際問題；
2. 會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．結(jié)合具體情況體會二次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的表達式；會利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式．
3. 通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義；會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決實際問題．
4.能運用二次函數(shù)的知識解決綜合型問題.
二次函數(shù)是非常重要的函數(shù)，年年都會考查,總分值為18~20分，預(yù)計2024年各地中考還會考，它經(jīng)常以一個壓軸題獨立出現(xiàn)，有的地區(qū)也會考察二次函數(shù)的應(yīng)用題，小題的考察主要是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及或與幾何圖形結(jié)合來考查。
?考向一 二次函數(shù)的圖像
1．（2022?杭州）已知二次函數(shù)y＝x2+ax+b（a，b為常數(shù)）．命題①：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，0）；命題②：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，0）；命題③：該函數(shù)的圖象與x軸的交點位于y軸的兩側(cè)；命題④：該函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x＝1．如果這四個命題中只有一個命題是假命題，則這個假命題是（ ）
A．命題①B．命題②C．命題③D．命題④
【思路點撥】命題④②③可以同時成立，由此即可判斷．
【規(guī)范解答】解：假設(shè)拋物線的對稱軸為直線x＝1，
則﹣＝1，
解得a＝﹣2，
∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，0），
∴3a+b+9＝0，
解得b＝﹣3，
故拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
當(dāng)y＝0時，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
故拋物線與x軸的交點為（﹣1，0）和（3，0），
函數(shù)的圖象與x軸的交點位于y軸的兩側(cè)；
故命題②③④都是正確，①錯誤，
故選：A．
【真題點撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及對稱軸公式的求法．
2．（2022?株洲）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數(shù)的圖象可能為（ ）
A．B．
C．D．
【思路點撥】根據(jù)c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D選項，當(dāng)a＞0時，可知對稱軸＜0，可排除B選項，當(dāng)a＜0時，可知對稱軸＞0，可知C選項符合題意．
【規(guī)范解答】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D選項不符合題意；
當(dāng)a＞0時，
∵b＞0，
∴對稱軸x＝＜0，
故B選項不符合題意；
當(dāng)a＜0時，b＞0，
∴對稱軸x＝＞0，
故C選項符合題意，
故選：C．
【真題點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（2021?江西）在同一平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【思路點撥】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函數(shù)y＝ax+bx+c的圖象開口向上，對稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點在y軸負半軸，再對照四個選項中的圖象即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，對稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點在y軸負半軸．
故選：D．
【真題點撥】本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解題的關(guān)鍵．
?考向二 二次函數(shù)的性質(zhì)
4．（2023?臺灣）坐標平面上有兩個二次函數(shù)的圖形，其頂點P、Q皆在x軸上，且有一水平線與兩圖形相交于A、B、C、D四點，各點位置如圖所示，若 AB＝10，BC＝5，CD＝6，則PQ的長度為何（ ）
A．7B．8C．9D．10
【思路點撥】由AB，BC，CD的長度及拋物線的對稱性可得點C與點P，點Q與點C的橫坐標之差，進而求解．
【規(guī)范解答】解：∵AB＝10，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝15，
∴xC﹣xP＝，
∵BC＝5，CD＝6，
∴BD＝BC+CD＝11，
∴xQ﹣xB＝，
∴PQ＝xQ﹣xP＝（xQ﹣xB）+（xC﹣xP）﹣（xC﹣xB）＝+﹣5＝8，
故選：B．
【真題點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解．
5．（2023?內(nèi)蒙古）已知二次函數(shù)y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若點P（m，3）在該函數(shù)的圖象上，且m≠0，則m的值為 2 ．
【思路點撥】將點P（m，3）代入函數(shù)解析式求解即可．
【規(guī)范解答】解：∵點P（m，3）在二次函數(shù)y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0）的圖象上，
∴3＝﹣am2+2am+3，
∴﹣am（m﹣2）＝0，
解得m＝2或m＝0（舍去），
故答案為：2．
【真題點撥】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標滿足解析式是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?北京）在平面直角坐標系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為x＝t．
（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；
（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．
【思路點撥】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸即可，
（2）根據(jù)題意判斷出離對稱軸更近的點，從而得出（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側(cè)，再根據(jù)對稱性即可解答．
【規(guī)范解答】解：（1）∵對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，
∴a+b+c＝4a+2b+c，
∴3a+b＝0，
∴＝﹣3．
∵對稱軸為x＝﹣＝，
∴t＝．
（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，a＞0，
∴（x1，y1）離對稱軸更近，x1＜x2，則（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側(cè)，
∴＞t，
即t≤．
【真題點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解題關(guān)鍵．
?考向三 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
7．（2023?煙臺）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點A的坐標為（﹣，m），與x軸的一個交點位于0和1之間，則以下結(jié)論：①abc＞0；②2b+c＞0；③若圖象經(jīng)過點（﹣3，y1），（3，y2），則y1＞y2；④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0無實數(shù)根，則m＜3．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路點撥】①利用拋物線的頂點坐標和開口方向即可判斷；
②利用拋物線的對稱軸求出a＝b，根據(jù)圖象可得當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＜0，即可判斷；
③利用拋物線的對稱軸，設(shè)（﹣3，y1），（3，y2）兩點橫坐標與對稱軸的距離為d1、d2，求出距離，根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，即可判斷；
④根據(jù)根的判別式即可判斷．
【規(guī)范解答】解：①∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點A的坐標為（﹣，m），
∴﹣，
∴，即ab＞0，
由圖可知，拋物線開口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
當(dāng)x＝0時，y＝c＞0，
∴abc＞0，
故①正確，符合題意；
②∵直線x＝﹣是拋物線的對稱軸，
∴﹣，
∴，
∴a＝b，
由圖象可得：當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，
故②錯誤，不符合題意；
③∵直線x＝﹣是拋物線的對稱軸，
設(shè)（﹣3，y1），（3，y2）兩點橫坐標與對稱軸的距離為d1、d2，
則，
，
∴d2＞d1，
根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，
∴y1＞y2，
故③正確，符合題意；
④∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0無實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣3）＜0，
∴b2﹣4ac+12a＜0，
∴b2﹣4ac＜﹣12a，
∴4ac﹣b2＞12a，
∵，
∴m＜3，
故④正確，符合題意．
故選：C．
【真題點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
8．（2023?廣元）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）過（﹣1，0）和（m，0）兩點，且3＜m＜4，下列四個結(jié)論：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③若拋物線過點（1，4），則﹣1＜a＜；
④若關(guān)于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有實數(shù)根，則4ac﹣b2≥12a，其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【思路點撥】①根據(jù)題意得出開口向下，對稱軸在y軸的右側(cè)，即可判b＞0，c＞0，則abc＜0；
②根據(jù)對稱軸是直線x＝﹣＞1，計算﹣b＜2a，由拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），得到a﹣b+c＝0，即可得到3a+c＞0；
③由待定系數(shù)法確定拋物線y＝ax2+2x+2﹣a，根據(jù)題意拋物線為y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，即可得出﹣am＝2﹣a，則m＝＝1﹣，根據(jù)3＜m＜4，即可得出關(guān)于a的不等式，解得即可；
④拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）與直線y＝3有交點，即可得出，求得4ac﹣b2≤12a．
【規(guī)范解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），B（m，0）兩點，且3＜m＜4，
∴對稱軸x＝＞1，
∴對稱軸在y軸右側(cè)，
∴﹣＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，c＞0，
∴abc＜0，
故①錯誤；
∵﹣＞1，a＜0，
∴﹣b＜2a，
∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴3a+c＞0，
故②正確；
∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），過A（﹣1，0），點（1，4），
∴，
解得，
∵拋物線y＝ax2+2x+2﹣a，
∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）過（﹣1，0）和（m，0）兩點，
∴y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，
∴﹣am＝2﹣a，
∴m＝＝1﹣，
∵3＜m＜4，
∴3＜1﹣＜4，
∵a＜0，
∴﹣1＜a＜，
故③正確；
∵若關(guān)于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有實數(shù)根，
∴拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a＜0）與直線y＝3有交點，
∴，
∴4ac﹣b2≤12a，
故④錯誤．
故選：B．
【真題點撥】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
?考向四 二次函數(shù)圖象上點的坐標特征
9．（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【思路點撥】過A作AH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系數(shù)法求得a、c的值，即可求得結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：過A作AH⊥x軸于H，
∵四邊形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
設(shè)A（m，m），則B（0，2m），
∴，
解得am＝﹣1，m＝，
∴ac的值為﹣2，
故選：B．
【真題點撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象得出拋物線經(jīng)過的點的坐標是解題的關(guān)鍵．
10．（2023?廣州）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，則y1 ＜ y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
【思路點撥】依據(jù)題意，求出拋物線y＝x2﹣3的對稱軸x＝0，從而由二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線開口向下，故當(dāng)x＞0時y隨x的增大而減小，進而判斷得解．
【規(guī)范解答】解：由題意得拋物線y＝x2﹣3的對稱軸x＝0，
又a＝1＞0，
∴拋物線y＝x2﹣3開口向上．
∴當(dāng)x＞0時y隨x的增大而增大．
∴對于A、B當(dāng)0＜x1＜x2時，y1＜y2．
故答案為：＜．
【真題點撥】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題時要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．
11．（2023?麗水）已知點（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上．
（1）當(dāng)m＝﹣1時，求a和b的值；
（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（n，3）且點A不在坐標軸上，當(dāng)﹣2＜m＜﹣1時，求n的取值范圍；
（3）求證：b2+4a＝0．
【思路點撥】（1）當(dāng)m＝﹣1時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點（1，0）和（﹣3，0），用待定系數(shù)法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）y＝ax2+bx+3圖象過點（﹣m，0）和（3m，0），可知拋物線的對稱軸為直線x＝m，而y＝ax2+bx+3的圖象過點A（n，3），（0，3），且點A不在坐標軸上，可得m＝，根據(jù)﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；
（3）由拋物線過（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把 （﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3變形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【規(guī)范解答】（1）解：當(dāng)m＝﹣1時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點（1，0）和（﹣3，0），
∴，
∴解得，
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3圖象過點（﹣m，0）和（3m，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的圖象過點A（n，3），（0，3），且點A不在坐標軸上，
∴由圖象的對稱性得n＝2m，
∴m＝，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴﹣4＜n＜﹣2；
（3）證明：∵拋物線過（﹣m，0），（3m，0），
∴拋物線對稱軸為直線x＝＝m，
∴﹣＝m，
∴b＝﹣2am，
把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【真題點撥】本題考查二次函數(shù)圖象上點坐標的特征，涉及待定系數(shù)法，不等式，方程組等知識，解題的關(guān)鍵是整體思想的應(yīng)用．
?考向五 二次函數(shù)圖象與幾何變換
12．（2023?徐州）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為（ ）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4
【思路點撥】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進而得出答案．
【規(guī)范解答】解：將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．
故選：B．
【真題點撥】本題主要考查二次函數(shù)的幾何變換，掌握“左加右減，上加下減”的法則是解題的關(guān)鍵．
13．（2023?廣西）將拋物線y＝x2先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4
C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣4
【思路點撥】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進行解得即可．
【規(guī)范解答】解：將拋物線y＝x2先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是
y＝（x﹣3）2+4．
故選：A．
【真題點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟記“左加右減，上加下減”的法則是解決問題的關(guān)鍵．
14．（2023?益陽）我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的平移時知道：將一次函數(shù)y＝2x
的圖象向上平移1個單位得到y(tǒng)＝2x+1的圖象；將二次函數(shù)y＝x2+1的圖象向左平移2個單位得到y(tǒng)＝（x+2）2+1的圖象，若將反比例函數(shù)y＝的圖象向下平移3個單位，如圖所示，則得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式是 y＝﹣3 ．
【思路點撥】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．
【規(guī)范解答】解：由題意，將反比例函數(shù)y＝的圖象向下平移3個單位，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝﹣3．
故答案為：y＝﹣3．
【真題點撥】本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
?考向六 二次函數(shù)的最值
15．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實數(shù)），則（ ）
A．當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為﹣a
B．當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為﹣2a
C．當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為﹣a
D．當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為﹣2a
【思路點撥】令y＝0，求出二次函數(shù)與x軸的交點坐標，繼而求出二次函數(shù)的對稱軸，再代入二次函數(shù)解析式即可求出頂點的縱坐標，最后代入k的值進行判斷即可．
【規(guī)范解答】解：令y＝0，則（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+k，
∴二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）與x軸的交點坐標是（m，0），（m+k，0），
∴二次函數(shù)的對稱軸是：直線，
∵a＞0，
∴y有最小值，
當(dāng)時，y最小，
即，
當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為；
當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為，
故選：A．
【真題點撥】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握求二次函數(shù)的頂點坐標是解題的關(guān)鍵．
16．（2023?鎮(zhèn)江）二次函數(shù)y＝﹣2x2+9的最大值等于 9 ．
【思路點撥】依據(jù)題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由二次函數(shù)y＝﹣2x2+9的a＝﹣2＜0，開口向下，結(jié)合解析式可以得解．
【規(guī)范解答】解：由題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由二次函數(shù)y＝﹣2x2+9的a＝﹣2＜0，開口向下，
∴二次函數(shù)y＝﹣2x2+9有最大值為9．
故答案為：9．
【真題點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時需要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．
17．（2023?紹興）在平面直角坐標系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝ 或﹣ ．
【思路點撥】根據(jù)題意求得點A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分兩種情況，利用待定系數(shù)法求出解析式即可．
【規(guī)范解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），當(dāng)x＝0時，y＝4，
∴C（0，4），
∵A（3，0），四邊形ABCO是矩形，
∴B（3，4），
①當(dāng)拋物線經(jīng)過O、B時，將點O（0，0），B（3，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得
，
解得b＝；
②當(dāng)拋物線經(jīng)過A、C時，將點A（3，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得
，
解得b＝﹣，
綜上所述，b＝或b＝﹣，
故答案為：或﹣，
【真題點撥】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，能夠理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關(guān)鍵．
?考向七 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
18．（2023?上海）一個二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個二次函數(shù)的解析式可以是 y＝﹣x2+1（答案不唯一） ．
【思路點撥】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系求解（答案不唯一）．
【規(guī)范解答】解：由題意得：b＝0，a＜0，c＞0，
∴這個二次函數(shù)的解析式可以是：y＝﹣x2+1，
故答案為：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
【真題點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
19．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求該二次函數(shù)的表達式及圖象的頂點坐標．
（2）當(dāng)y≤﹣2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．
【思路點撥】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，配成頂點式即可得頂點坐標；
（2）求出A關(guān)于對稱軸的對稱點坐標，由圖象直接可得答案．
【規(guī)范解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴頂點坐標為（﹣1，﹣6）；
（2）如圖：
∵點A（1，﹣2）關(guān)于對稱軸直線x＝﹣1的對稱點C（﹣3，﹣2），
∴當(dāng)y≤﹣2時，x的范圍是﹣3≤x≤1．
【真題點撥】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，求出函數(shù)表達式．
20．（2022?黑龍江）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）設(shè)拋物線上的點P坐標為（m，m2﹣2m﹣3），結(jié)合方程思想和三角形面積公式列方程求解．
【規(guī)范解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），
∴，
解得b＝﹣2，c＝﹣3，
∴拋物線的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D點坐標為（1，﹣4），
令x＝0，則y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C點坐標為（0，﹣3），
又∵B點坐標為（2，﹣3），
∴BC∥x軸，
∴S△BCD＝×2×1＝1，
設(shè)拋物線上的點P坐標為（m，m2﹣2m﹣3），
∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
當(dāng)|m2﹣2m|＝4×1時，
解得m＝1±，
當(dāng)m＝1+時，m2﹣2m﹣3＝1，
當(dāng)m＝1﹣時，m2﹣2m﹣3＝1，
綜上，P點坐標為（1+，1）或（1﹣，1）．
【真題點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，理解二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用方程思想解題是關(guān)鍵．
?考向八 拋物線與x軸的交點
21．（2023?衡陽）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x2
【思路點撥】畫出拋物線y＝x2+2x﹣3，直線y＝m，直線y＝n，根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，觀察圖象可得答案．
【規(guī)范解答】解：關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點的橫坐標，
關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點的橫坐標，
如圖：
由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故選：B．
【真題點撥】本題考查一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是畫出圖象，數(shù)形結(jié)合解決問題．
22．（2023?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當(dāng)CD∥x軸時，CD＝ 4 ．
【思路點撥】先根據(jù)點A和點B的坐標求出該拋物線的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)具有對稱性，即可得到點D的橫坐標，從而可以求得CD的長．
【規(guī)范解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），
∴該拋物線的對稱軸為直線x＝＝2，
∵拋物線與y軸相交于點C，點D在拋物線上，CD∥x軸，
∴點D的橫坐標為：2×2﹣0＝4，
∴CD＝4﹣0＝4，
故答案為：4
【真題點撥】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
23．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點P的坐標；
（2）求△BCP的面積．
注：注拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣，頂點坐標是（，）．
【思路點撥】（1）直接運用待定系數(shù)法即可求解．
（2）連接OP，用割補求解即可．
【規(guī)范解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣3x﹣4，
∴P（，﹣）；
（2）連接OP，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），P（，﹣）；
∴S△OPC＝＝3，
S△BOP＝＝，
S△BOC＝＝8，
∴S△BPC＝S△OPC+S△BOP﹣S△BOC＝3+﹣8＝．
【真題點撥】本題考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)和三角形的面積，學(xué)會靈活求三角形的面積是解題關(guān)鍵．
?考向九 二次函數(shù)的應(yīng)用
24．（2023?天津）如圖，要圍一個矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結(jié)論：①AB的長可以為6m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2；③菜園ABCD面積的最大值為200m2．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【思路點撥】設(shè)AD邊長為x m，則AB邊長為長為m，根據(jù)AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根據(jù)x取值范圍判斷①；根據(jù)矩形的面積＝192．解方程求出x的值可以判斷②；設(shè)矩形菜園的面積為y m2，
根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值可以判斷③．
【規(guī)范解答】解：設(shè)AD邊長為x m，則AB邊長為m，
當(dāng)AB＝6時，＝6，
解得x＝28，
∵AD的長不能超過26m，
∴x≤26，
故①不正確；
∵菜園ABCD面積為192m2，
∴x?＝192，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得x＝24或x＝16，
∴AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2，
故②正確；
設(shè)矩形菜園的面積為y m2，
根據(jù)題意得：y＝x?＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，
∵﹣＜0，20＜26，
∴當(dāng)x＝20時，y有最大值，最大值為200．
故③正確．
∴正確的有2個，
故選：C．
【真題點撥】此題主要考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系準確地列出函數(shù)解析式和方程是解題的關(guān)鍵．
25．（2023?濱州）某廣場要建一個圓形噴水池，計劃在池中心位置豎直安裝一根頂部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水平距離也為3m，那么水管的設(shè)計高度應(yīng)為 m ．
【思路點撥】利用頂點式求得拋物線的解析式，再令x＝0，求得相應(yīng)的函數(shù)值，即為所求的答案．
【規(guī)范解答】解：由題意可知點（1，3）是拋物線的頂點，
∴設(shè)這段拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+3．
∵該拋物線過點（3，0），
∴0＝a（3﹣1）2+3，
解得：a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣1）2+3．
∵當(dāng)x＝0時，y＝﹣×（0﹣1）2+3＝﹣+3＝，
∴水管的設(shè)計高度應(yīng)為m．
故答案為：m．
【真題點撥】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握待定系數(shù)法及
二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．（2023?菏澤）某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個一面靠墻（墻足夠長）的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A，B兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥．學(xué)校已定購籬笆120米．
（1）設(shè)計一個使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；
（2）在花園面積最大的條件下，A，B兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價25元，芍藥每株售價15元，學(xué)校計劃購買費用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？
【思路點撥】（1）設(shè)垂直于墻的邊為x米，根據(jù)矩形面積公式得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；
（2）設(shè)購買牡丹m株，根據(jù)學(xué)校計劃購買費用不超過5萬元，列不等式可解得答案．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)垂直于墻的邊為x米，圍成的矩形面積為S平方米，則平行于墻的邊為（120﹣3x）米，
根據(jù)題意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，
∵﹣3＜0，
∴當(dāng)x＝20時，S取最大值1200，
∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，
∴垂直于墻的邊為20米，平行于墻的邊為60米，花園面積最大為1200平方米；
（2）設(shè)購買牡丹m株，則購買芍藥1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，
∵學(xué)校計劃購買費用不超過5萬元，
∴25m+15（2400﹣m）≤50000，
解得m≤1400，
∴最多可以購買1400株牡丹．
【真題點撥】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．
?考向十 二次函數(shù)綜合題
26．（2023?綿陽）如圖，拋物線經(jīng)過△AOD的三個頂點，其中O為原點，A（2，4），D（6，0），點F在線段AD上運動，點G在直線AD上方的拋物線上，GF∥A0，GE⊥DO于點E，交AD于點I，AH平分∠OAD，C（﹣2，﹣4），AH⊥CH于點H，連接FH．
（1）求拋物線的解析式及△AOD的面積；
（2）當(dāng)點F運動至拋物線的對稱軸上時，求△AFH的面積；
（3）試探究的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請說明理由．
【思路點撥】（1）運用待定系數(shù)法可得y＝﹣x2+3x．設(shè)點O到AD的距離為d，點A的縱坐標為yA，根據(jù)三角形面積公式即可求得S△AOD＝12；
（2）當(dāng)點F運動至對稱軸上時，點F的橫坐標為3，可得AF＝AD．連接OC、OH，由點A與點C關(guān)于原點O對稱，可得點A、O、C三點共線，且O為AC的中點．推出HO∥AD，可得點H到AD的距離為d．再根據(jù)三角形面積公式即可求得答案；
（3）過點A作AL⊥OD于點L，過點F作FK⊥GE于點K．運用勾股定理可得OA＝＝2．再證得△FIK為等腰直角三角形．設(shè)FK＝m，則KI＝m，再運用解直角三角形可求得GK＝2m，F(xiàn)G＝m，即可求得答案．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx（a≠0）．
將A（2，4），D（6，0）代入，得，
解得：，
∴y＝﹣x2+3x．
設(shè)點O到AD的距離為d，點A的縱坐標為yA，
∴S△AOD＝AD?d＝OD?yA＝×6×4＝12．
（2）∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝3．
當(dāng)點F運動至對稱軸上時，點F的橫坐標為3，
則＝＝，
即AF＝AD．
如圖，連接OC、OH，
由點C（﹣2，4），得點A與點C關(guān)于原點O對稱，
∴點A、O、C三點共線，且O為AC的中點．
∵AH⊥CH，
∴OH＝AC＝OA，
∴∠OAH＝∠AHO．
∵AH平分∠CAD，
∴∠OAH＝∠DAH，
∴∠AHO＝∠DAH，
∴HO∥AD，
∴HO與AD間的距離為d，
∴點H到AD的距離為d．
∵S△AFH＝×AF×d，S△AOD＝×AD×d＝12，
∴S△AFH＝×AF×d＝×AD×d＝×（×AD×d）＝×12＝3．
∴當(dāng)點F運動至拋物線的對稱軸上時，△AFH的面積為3；
（3）如圖，過點A作AL⊥OD于點L，過點F作FK⊥GE于點K．
由題意得AL＝4，OL＝2，
∴OA＝＝＝2．
∴DL＝OD﹣OL＝6﹣2＝4，
在Rt△ADL中，AL＝DL，
∴∠ADL＝45°，
∵GE⊥DO，
∴∠FIK＝45°，即△FIK為等腰直角三角形．
設(shè)FK＝m，則KI＝m，
在Rt△AOL和Rt△GFK中，
∵GF∥AO，
∴∠AOL＝∠GFK，
∴tan∠AOL＝tan∠GFK，
∴＝，
即＝，
∴GK＝2m，
∴GI＝GK+KI＝2m+m＝3m．
又∵sin∠AOL＝sin∠GFK，
∴＝，
即＝，
∴FG＝m，
∴＝＝．
∴的值是定值，定值為．
【真題點撥】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圖形的面積計算，相似三角形判定和性質(zhì)，解直角三角形等，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
27．（2023?武漢）拋物線交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C．
（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；
（2）如圖（1），作直線x＝t（0＜t＜4），分別交x軸，線段BC，拋物線C1于D，E，F(xiàn)三點，連接CF，若△BDE與△CEF相似，求t的值；
（3）如圖（2），將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點．直線y＝2x與拋物線交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線GN交于點P．問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．
【思路點撥】（1）分別令x、y為0，解方程即可求得點A、B、C的坐標；
（2）分兩種情況：①若△BE1D1∽△CE1F1 時，可得∠BCF1＝∠CBO，由平行線的判定可得CF1∥OB，即CF1∥x軸，點F與C的縱坐標相同，建立方程求解即可．②若△BE2D2∽△F2E2C 時，過 F2 作F2T⊥y軸于點T．可證得△BCO∽△CF2T，，即＝，解方程即可求得答案；
（3）由題意知拋物線C2：y＝x2，聯(lián)立方程求解即可得G（2，4）．根據(jù)中點坐標公式可得H（1，2）．設(shè) M（m，m2），N（n，n2），可得直線MN的解析式為y＝（m+n）x﹣mn．將點H的坐標代入可得mn＝m+n﹣2．同理，直線GN的解析式為y＝（n+2）x﹣2n；直線MO的解析式為y＝mx．聯(lián)立方程組求解可得P（，）．代入y＝kx+b，整理得2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，比較系數(shù)可得k＝2，b＝﹣2，故點P在定直線y＝2x﹣2上．
【規(guī)范解答】解：（1）當(dāng)y＝0時，x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
當(dāng)x＝0時，y＝﹣8，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．
（2）∵F是直線x＝t與拋物線 C1的交點，
∴F（t，t2﹣2t﹣8）．
①如圖，若△BE1D1∽△CE1F1時．
則∠BCF1＝∠CBO，
∴CF1∥OB．
∵C（0，﹣8），
∴t2﹣2t﹣8＝﹣8．
解得：t＝0（舍去）或t＝2．
②如圖，若△BE2D2∽△F2E2C時．
過 F2 作F2T⊥y軸于點T．
∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°，
∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°，
∴∠F2CT＝∠OBC，
又∵∠CTF2＝∠BOC，
∴△BCO∽△CF2T，
∴，
∵B（4，0），C（0，﹣8），
∴OB＝4，OC＝8．
∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2，
∴＝，
∴2t2﹣3t＝0，
解得：t＝0（舍去）或 ，
綜上，符合題意的t的值為2或；
（3）點P在一條定直線上．
由題意知拋物線C2：y＝x2，
∵直線OG的解析式為y＝2x，
∴G（2，4）．
∵H是OG的中點，
∴H（1，2）．
設(shè) M（m，m2），N（n，n2），直線MN的解析式為y＝k1x+b1．
則，
解得：，
∴直線MN的解析式為y＝（m+n）x﹣mn．
∵直線MN經(jīng)過點H（1，2），
∴mn＝m+n﹣2．
同理，直線GN的解析式為y＝（n+2）x﹣2n；直線MO的解析式為y＝mx．
聯(lián)立，得，
∵直線OM與NG相交于點P，
∴n﹣m+2≠0．
解得：，
∵mn＝m+n﹣2，
∴P（，）．
設(shè)點P在直線y＝kx+b上，則，
整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，
比較系數(shù)，得，
∴k＝2，b＝﹣2．
∴當(dāng)k＝2，b＝﹣2時，無論m，n為何值時，等式恒成立．
∴點P在定直線y＝2x﹣2上．
【真題點撥】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線與坐標軸的交點，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征等．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，運用分類討論思想思考解決問題．
1．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（﹣2，0），（3，0）．下列結(jié)論：
①＞0；②c＝2b；③若拋物線上有點（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），則y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解為x1＝，x2＝﹣．其中正確的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【思路點撥】由二次函數(shù)的圖象可判斷出個系數(shù)的符號，即可判斷①，由對稱軸可判斷②，然后根據(jù)增減性可判斷③，由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷④．
【規(guī)范解答】解：∵拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸右側(cè)，
∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴①錯誤；
∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（﹣2，0），（3，0）．
∴對稱軸為直線x＝，即﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴a＝﹣b，
把（﹣2，0）代入解析式得4a﹣2b+c＝0，把a＝﹣b，
∴﹣4b﹣2b+c＝0，
∴c＝6b，故②錯誤；
∵拋物線開口向下，
∴越靠近對稱軸的點的函數(shù)值越大，
∴y2＜y1＜y3，故③正確；
a＝﹣b，c＝6b，選項④可變成6bx2+bx﹣b＝0，即6x2+x﹣1＝0；即可求出兩根，x2＝，
故④錯誤．
故選：D．
【真題點撥】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（2021?阜新）如圖，二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象與x軸交于A，B（﹣1，0）兩點，則下列說法正確的是（ ）
A．a(chǎn)＜0
B．點A的坐標為（﹣4，0）
C．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小
D．圖象的對稱軸為直線x＝﹣2
【思路點撥】因為圖象開口方向向上，所以a＞0，故A錯誤，因為圖象對稱軸為直線x＝﹣2，且過B（﹣1，0），所以A點坐標為（﹣3，0），故B錯誤，D正確，當(dāng)x＜0時，由圖象可知y隨x的增大先減小后增大，故C錯誤，即選D．
【規(guī)范解答】解：∵二次函數(shù)y＝a（x+2）2+k的圖象開口方向向上，
∴a＞0，
故A錯誤，
∵圖象對稱軸為直線x＝﹣2，且過B（﹣1，0），
∴A點的坐標為（﹣3，0），
故B錯誤，D正確，
由圖象知，當(dāng)x＜0時，由圖象可知y隨x的增大先減小后增大，
故C錯誤，
故選：D．
【真題點撥】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?湖北）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中：①a﹣b+c＝0；②若點（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；③若m為任意實數(shù)，則am2+bm+c?﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的兩實數(shù)根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1，x2＞3．正確結(jié)論的序號為（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①④
【思路點撥】由拋物線經(jīng)過（﹣1，0）可判斷①，由各點到拋物線對稱軸的距離大小可判斷從而判斷②，由x＝1時y取最大值可判斷③，由拋物線的對稱性可得拋物線與x軸交點坐標，從而判斷④．
【規(guī)范解答】解：∵拋物線經(jīng)過（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，①正確，
∵a＜0，
∴拋物線開口向下，
點（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，且點（﹣3，y1）到對稱軸的距離最大，點（2，y2）到對稱軸的距離最小，
∴y1＜y3＜y2，②錯誤；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣3a，
∵拋物線的最大值為a+b+c，
∴若m為任意實數(shù)，則am2+bm+c?a+b+c，
∴am2+bm+c?﹣4a，③正確；
∵方程ax2+bx+c+1＝0的兩實數(shù)根為x1，x2，
∴拋物線與直線y＝﹣1的交點的橫坐標為x1，x2，
由拋物線對稱性可得拋物線與x軸另一交點坐標為（3，0），
∴拋物線與x軸交點坐標為（﹣1，0），（3，0），
∵拋物線開口向下，x1＜x2，
∴x1＜﹣1，x2＞3，④正確．
故選：B．
【真題點撥】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
4．（2023?武漢）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，c＜0）經(jīng)過（1，1），（m，0），（n，0）三點，且n≥3．下列四個結(jié)論：
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③當(dāng)n＝3時，若點（2，t）在該拋物線上，則t＞1；
④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有兩個相等的實數(shù)根，則．
其中正確的是 ②③④ （填寫序號）．
【思路點撥】①根據(jù)圖象經(jīng)過（1，1），c＜0，且拋物線與x軸的一個交點一定在（3，0）或（3，0）的右側(cè)，判斷出拋物線的開口向下，即a＜0，再把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即可判斷①錯誤；
②先得出拋物線的對稱軸在直線x＝1.5的右側(cè)，得出拋物線的頂點在點（1，1）的右側(cè)，得出，根據(jù)4a＜0，利用不等式的性質(zhì)即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判斷②正確；
③先得出拋物線對稱軸在直線 x＝1.5 的右側(cè)，得出（1，1）到對稱軸的距離大于（2，t）到對稱軸的距離，根據(jù)a＜0，拋物線開口向下，距離拋物線的對稱軸越近的函數(shù)值越大，即可得出③正確；
④根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出 ，即 ，根據(jù) n≥3，得出 求出m的取值范圍，即可判斷④正確．
【規(guī)范解答】解：①圖象經(jīng)過（1，1），c＜0，即拋物線與y軸的負半軸有交點，如果拋物線的開口向上，則拋物線與x軸的交點 都在（1，0）的左側(cè)，
∵（n，0）中n≥3，
∴拋物線與x軸的一個交點一定在（3，0）或（3，0）的右側(cè)，
∴拋物線的開口一定向下，即a＜0，
把（1，1）代入y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝1，
即b＝1﹣a﹣c，
∵a＜0，c＜0，
∴b＞0，
故①錯誤；
②∵a＜0，b＞0，c＜0，，
∴方程ax2+bx+c＝0的兩個根的積大于0，
即mn＞0，
∵n≥3，
∴m＞0，
∴，
即拋物線的對稱軸在直線x＝1.5的右側(cè)，
∴拋物線的頂點在點（1，1）的上方或者右上方，
∴，
∵4a＜0，
∴4ac﹣b2＜4a，
故②正確；
③∵m＞0，
∴當(dāng) n＝3 時，，
∴拋物線對稱軸在直線x＝1.5的右側(cè)，
∴（1，1）到對稱軸的距離大于（2，t）到對稱軸的距離，
∵a＜0，拋物線開口向下，
∴距離拋物線越近的函數(shù)值越大，
∴t＞1，
故③正確；
④方程ax2+bx+c＝x可變?yōu)閍x2+（b﹣1）x+c＝0，
∵方程有兩個相等的實數(shù)解，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．
∵把（1，1）代入 y＝ax2+bx+c 得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，
∴（a+c）2﹣4ac＝0，
即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，
∴（a﹣c）2＝0，
∴a﹣c＝0，
即a＝c，
∵（m，0），（n，0）在拋物線上，
∴m，n為方程 ax2+bx+c＝0 的兩個根，
∴，
∴，
∵n≥3，
∴，
∴．
故④正確．
綜上，正確的結(jié)論有：②③④．
故答案為：②③④．
【真題點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點的坐標的特征，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，一元二次方程的根的判別式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?宜昌）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝ 10 m．
【思路點撥】令y＝0，得到關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：令y＝0，則﹣（x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合題意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10m．
故答案為：10．
【真題點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和利用點的坐標表示出相應(yīng)線段的線段是解題的關(guān)鍵．
6．（2022?六盤水）如圖是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象，該函數(shù)的最小值是 ﹣4 ．
【思路點撥】根據(jù)二次函數(shù)圖象得出其對稱軸和與x軸交點，進而得出二次函數(shù)解析式，即可求出最小值．
【規(guī)范解答】解：由函數(shù)圖象可得：﹣＝﹣＝﹣1，
解得：b＝2，
∵圖象經(jīng)過（﹣3，0）點，
∴0＝（﹣3）2﹣3×2+c，
解得：c＝﹣3，
故二次函數(shù)解析式為：y＝x2+2x﹣3，
則二次函數(shù)的最小值為：＝＝﹣4．
故答案為：﹣4．
【真題點撥】此題主要考查了二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的圖象，正確求出二次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
7．（2023?淮安）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）．
（1）該函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點，若點A坐標為（3，0），
①b的值是 ﹣2 ，點B的坐標是 （﹣1，0） ；
②當(dāng)0＜y＜5時，借助圖象，求自變量x的取值范圍；
（2）對于一切實數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，求t的取值范圍（用含b的式子表示）；
（3）當(dāng)m＜y＜n時（其中m、n為實數(shù)，m＜n），自變量x的取值范圍是1＜x＜2，求n與b的值及m的取值范圍．
【思路點撥】（1）①依據(jù)題意，由二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3過點A（3，0）代入可得b，進而得
二次函數(shù)解析式，從而可以求出B；
②依據(jù)題意，由①令y＝0，y＝5分別求出對應(yīng)自變量進而可以得解；
（2）依據(jù)題意，由不等式變形得x2+bx﹣3﹣t＞0，對于一切實數(shù)成立，即對函數(shù)y＝x2+bx﹣3﹣t與x軸無交點，可得Δ＜0，進而可以得解；
（3）依據(jù)題意可得拋物線上橫坐標為x＝1與x＝2的兩點關(guān)于對稱軸對稱，從而求出b，進而得二次函數(shù)解析式，再由自變量x的取值范圍是1＜x＜2，可得n的值，最后可以求出m的范圍．
【規(guī)范解答】解：（1）①由二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3過點A（3，0），
∴9+3b﹣3＝0．
∴b＝﹣2．
∴二次函數(shù)為：y＝x2﹣2x﹣3．
令y＝0，
∴x2﹣2x﹣3＝0．
∴解得，x＝﹣1或x＝3．
∴B（﹣1，0）．
故答案為：﹣2；（﹣1，0）．
②由題意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，
∴x＝4或x＝﹣2．
又∵a＝1＞0，
∴二次函數(shù)圖象開口向上．
∴當(dāng)0＜y＜5時，滿足題意的自變量有兩部分，
∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．
（2）由題意，∵對于一切實數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，
即x2+bx﹣3＞t恒成立．
即x2+bx﹣3﹣t＞0．
∵y＝x2+bx﹣3﹣t開口向上，
∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0．
∴t＜﹣．
（3）由題意，拋物線上橫坐標為x＝1與x＝2的兩點關(guān)于對稱軸對稱，
∴對稱軸x＝﹣＝．
∴b＝﹣3．
∴二次函數(shù)為y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣）2﹣．
∴當(dāng)x＝1或x＝2時，y＝﹣5，即此時n＝﹣5．
由題意，∵m＜y＜﹣5時，自變量x的取值范圍是1＜x＜2，
∴m≤﹣．
【真題點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．
8．（2023?濟南）在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點A，B在x軸上，C（2，3），D（﹣1，3）．拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于點E（﹣2，0）和點F．
（1）如圖1，若拋物線過點C，求拋物線的表達式和點F的坐標；
（2）如圖2，在（1）的條件下，連接CF，作直線CE，平移線段CF，使點C的對應(yīng)點P落在直線CE上，點F的對應(yīng)點Q落在拋物線上，求點Q的坐標；
（3）若拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與正方形ABCD恰有兩個交點，求a的取值范圍．
【思路點撥】（1）拋物線 y＝ax2﹣2ax+c 過點C（2，3），E（﹣2，0），代入即可求得解析式，令y＝0即可求得F點的坐標；
（2）設(shè)直線CE的表達式為 y＝kx+b，直線過點C（2，3），E（﹣2，0），代入即可求得解析式，則點Q向左平移2個單位，向上平移3個單位得點 ，代入即可；
（3）求出頂點坐標，再分情況解答即可．
【規(guī)范解答】解：（1）∵拋物線 y＝ax2﹣2ax+c 過點C（2，3），E（﹣2，0），
得 ，
解得，
∴拋物線表達式為 ，
當(dāng) y＝0 時，，
解得 x1＝﹣2 （舍去），x2＝4，
∴F（4，0）；
（2）設(shè)直線CE的表達式為 y＝kx+b，
∵直線過點C（2，3），E（﹣2，0），
得 ，
解得 ，
∴直線CE的表達式為 ，
設(shè)點 ，則點Q向左平移2個單位，向上平移3個單位得到點 ，
將 代入 ，
解得 t1＝﹣4，t2＝4 （舍去），
∴Q點坐標為（﹣4，﹣6）；
（3）將 E（﹣2，0）代入 y＝ax2﹣2ax+c 得c＝﹣8a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，
∴頂點坐標為 （1，﹣9a），
①當(dāng)拋物線頂點在正方形內(nèi)部時，與正方形有兩個交點，
∴0＜﹣9a＜3，
解得 ，
②當(dāng)拋物線與直線BC交點在點C上方，且與直線AD交點在點D下方時，與正方形有兩個交點，
，
解得
綜上所述，a的取值范圍為 或 ．
【真題點撥】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及正方形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，求得點的坐標解題的關(guān)鍵．
9．（2022?紹興）已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）當(dāng)﹣4≤x≤0時，求y的最大值．
（3）當(dāng)m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．
【思路點撥】（1）將圖象經(jīng)過的兩個點的坐標代入二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)x的取值范圍，二次函數(shù)圖象的開口方向和對稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判定y的最大值即可；
（3）根據(jù)對稱軸為x＝﹣3，結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分類討論得出m的取值范圍即可．
【規(guī)范解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴當(dāng)x＝﹣3時，y有最大值為6．
（3）①當(dāng)﹣3＜m≤0時，
當(dāng)x＝0時，y有最小值為﹣3，
當(dāng)x＝m時，y有最大值為﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②當(dāng)m≤﹣3時，
當(dāng)x＝﹣3時y有最大值為6，
∵y的最大值與最小值之和為2，
∴y最小值為﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m＝或m＝（舍去）．
綜上所述，m＝﹣2或．
【真題點撥】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，正確分類討論得出m的取值范圍是解題關(guān)鍵．
10．（2023?金昌）如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx與x軸交于點A，與直線y＝﹣x交于點B（4，﹣4），點C（0，﹣4）在y軸上．點P從點B出發(fā)，沿線段BO方向勻速運動，運動到點O時停止．
（1）求拋物線y＝﹣x2+bx的表達式；
（2）當(dāng)BP＝2時，請在圖1中過點P作PD⊥OA交拋物線于點D，連接PC，OD，判斷四邊形OCPD的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，點P從點B開始運動時，點Q從點O同時出發(fā)，以與點P相同的速度沿x軸正方向勻速運動，點P停止運動時點Q也停止運動．連接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．
【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法將B點坐標代入拋物線y＝﹣x2+bx中，即可求解．
（2）作輔助線，根據(jù)題意，求出PD的長，PD＝OC，PD∥OC，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證．
（3）作出圖，證明△CBP≌△MOQ（SAS），CP+BQ的最小值為MB，根據(jù)勾股定理求出MB即可解答．
【規(guī)范解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx過點B（4，﹣4），
∴﹣16+4b＝﹣4，
∴b＝3，
∴y＝﹣x2+3x．
答：拋物線的表達式為y＝﹣x2+3x．
（2）四邊形OCPD是平行四邊形，理由如下：
如圖1，作PD⊥OA交x軸于點H，連接PC、OD，
∵點P在y＝﹣x上，
∴OH＝PH，∠POH＝45°，
連接BC，
∵OC＝BC＝4，
∴．
∴，
∴，
∴，
當(dāng)xD＝2時，DH＝y(tǒng)D＝﹣4+3×2＝2，
∴PD＝DH+PH＝2+2＝4，
∵C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∴PD＝OC，
∵OC⊥x軸，PD⊥x軸，
∴PD∥OC，
∴四邊形OCPD是平行四邊形．
（3）如圖2，由題意得，BP＝OQ，連接BC，
在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC，
∵OC＝BC＝4，BC⊥OC，
∴∠CBP＝45°，
∴∠CBP＝∠MOQ，
∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM，
∴△CBP≌△MOQ（SAS），
∴CP＝MQ，
∴CP+BQ＝MQ+BQ≥MB（當(dāng)M，Q，B三點共線時最短），
∴CP+BQ的最小值為MB，
∵∠MOB＝∠MOQ+∠BOQ＝45°+45°＝90°，
∴，
即CP+BQ的最小值為4．
答：CP+BQ的最小值為4．
【真題點撥】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
11．（2023?青海）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點A和點C（1，0），交y軸于點B（0，3）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點為P，對稱軸與x軸交于點Q，求四邊形AOBP的面積（請在圖1中探索）；
（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點M，使得△AMB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）．
【思路點撥】（1）將B，C兩點坐標代入拋物線的解析式，進一步得出結(jié)果；
（2）連接OP，將二次函數(shù)的解析式配方求得頂點的坐標，令y＝0求得A的坐標，從而求得OQ，PQ，OA的長，再根據(jù)S四邊形AOBP＝S△AOP+S△BOP求得結(jié)果；
（3）設(shè)M（﹣1，m），表示出AM和BM，根據(jù)AM2＝BM2列出方程求得m的值，進而求得結(jié)果．
【規(guī)范解答】解：（1）由題意得，
，
∴，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖，
連接OP，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
∴PQ＝4，OQ＝1，
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝1，x2＝﹣3，
∴OA＝3，
∴S四邊形AOBP＝S△AOP+S△BOP＝＝＝；
（3）設(shè)M（﹣1，m），
由AM2＝BM2得，
[（﹣3）﹣（﹣1）]2+m2＝（﹣1）2+（m﹣3）2，
∴m＝1，
∴M（﹣1，1）．
【真題點撥】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識知識目標（新課程標準提煉）
中考命題趨勢（分析考察方向，精準把握重難點）
重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）
?考向一 二次函數(shù)的圖像
?考向二 二次函數(shù)的性質(zhì)
?考向三 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
?考向四 二次函數(shù)圖象上點的坐標特征
?考向五 二次函數(shù)圖象與幾何變換
?考向六 二次函數(shù)的最值
?考向七 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
?考向八 拋物線與x軸的交點
?考向九 二次函數(shù)的應(yīng)用
?考向十 二次函數(shù)綜合題
最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）
二次函數(shù)
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．
二次函數(shù)解析式的三種形式
1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．
2.頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點坐標是（h，k）
3.交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，a≠0
解析式
二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）
對稱軸
x=– SKIPIF 1 < 0
頂點
（– SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
a的符號
a>0
a0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；
（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；
（3）b2–4ac0
開口向上
a0（a與b同號）
對稱軸在y軸左側(cè)
ab0
與y軸正半軸相交
c

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