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綜合與實(shí)踐題是山西中考的必考題，這類題型屬于過(guò)程探究題，旨在引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、自主探索、小組合作、交流共享.通過(guò)圖形的變化考查學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、推理論證、幾何直觀和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.在實(shí)踐過(guò)程中，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，提高解決問(wèn)題的能力.
?考向一 操作探究型（不含圖形變化）
1．（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是 ．
2．（2023?蘭州）綜合與實(shí)踐：
問(wèn)題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個(gè)已知角，”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點(diǎn)C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平
中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）
重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）
?考向一 操作探究型（不含圖形變化）
?考向二 圖形平移型
?考向三 圖形旋轉(zhuǎn)型
?考向四 圖形折疊型
分線．請(qǐng)寫出OE平分∠AOB的依據(jù)： ；
類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線OC是∠AOB的平分線，請(qǐng)說(shuō)明此做法的理由；
拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問(wèn)路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）
3．（2023?鹽城）綜合與實(shí)踐
【問(wèn)題情境】
如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對(duì)角線BD折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線BD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為B′，折痕與邊AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
【活動(dòng)猜想】
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B′與點(diǎn)D重合時(shí)，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答： ．
【問(wèn)題解決】
（2）如圖3，當(dāng)AB＝4，AD＝8，BF＝3時(shí)，求證：點(diǎn)A′，B′，C在同一條直線上．
【深入探究】
（3）如圖4，當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有A′B′與對(duì)角線AC平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）在（3）的情形下，設(shè)AC與BD，EF分別交于點(diǎn)O，P，試探究三條線段AP，B′D，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
4．（2023?淮安）綜合與實(shí)踐
定義：將寬與長(zhǎng)的比值為（n為正整數(shù)）的矩形稱為n階奇妙矩形．
（1）概念理解：
當(dāng)n＝1時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬（AD）與長(zhǎng)（CD）的比值是 ．
（2）操作驗(yàn)證：
用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：
第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；
第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，展開，折痕為CG；
第三步：過(guò)點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK．
試說(shuō)明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．
（3）方法遷移：
用正方形紙片ABCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．
（4）探究發(fā)現(xiàn)：
小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)n階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．
5．（2023?淄博）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動(dòng)．
（1）操作判斷
小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為 ．
（2）深入探究
小紅在保持矩形ABCD不動(dòng)的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB＝2，AD＝4．
探究一：當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CG與DF相交于點(diǎn)M，如圖②．求△CMF的面積．
探究二：連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，如圖③．求線段DH長(zhǎng)度的最大值和最小值．
6．（2023?寧夏）綜合與實(shí)踐：
問(wèn)題背景
數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．
探究發(fā)現(xiàn)
如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，折痕交AC于點(diǎn)D，連接DE，DB，則∠BDE＝ °，設(shè)AC＝1，BC＝x，那么AE＝ （用含x的式子表示）；
（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：＝，這個(gè)比值被稱為黃金比．在（1）的條件下試證明：＝；
拓展應(yīng)用
當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．
如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，AB＝1．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．
7．（2023?蘭州）綜合與實(shí)踐：
【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，DF⊥CE于點(diǎn)F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，試猜想四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由；
【實(shí)踐探究】（2）小睿受此問(wèn)題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問(wèn)題：如圖2，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，DF⊥CE于點(diǎn)F，AH⊥CE于點(diǎn)H，GD⊥DF交AH于點(diǎn)G，可以用等式表示線段FH，AH，CF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題；
【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖3，在正方形ABCD
中，E是邊AB上一點(diǎn)，AH⊥CE于點(diǎn)H，點(diǎn)M在CH上，且AH＝HM，連接AM，BH，可以用等式表示線段CM，BH的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你思考并解答這個(gè)問(wèn)題．
8．（2023?齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐：
數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．
（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，連接BE，CF，延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系： ，∠BDC＝ °；
（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，連接BE，CF，延長(zhǎng)BE，F(xiàn)C交于點(diǎn)D．請(qǐng)猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）拓展延伸：如圖3，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，連接BE，CF，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)在一條直線上，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BF，垂足為點(diǎn)M．則BF，CF，AM之間的數(shù)量關(guān)
系： ；
（4）實(shí)踐應(yīng)用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面內(nèi)存在點(diǎn)P滿足∠BPD＝90°，PD＝1，則S△ABP＝ ．
9．（2023?大連）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師發(fā)給每名同學(xué)一個(gè)等腰三角形紙片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同學(xué)們將紙片沿一條直線折疊，探究圖形中的結(jié)論．
問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
奮進(jìn)小組在邊AC上取一點(diǎn)D，連接BD，將這個(gè)紙片沿BD翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，如圖1所示．
如圖2，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時(shí)，∠DEC＝2∠ACB．
如圖3，小紅發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)時(shí)，連接CE，若已知AB和CE的長(zhǎng)，則可求BD的長(zhǎng)．
……
問(wèn)題提出與解決
奮進(jìn)小組根據(jù)小明和小紅的發(fā)現(xiàn)，討論后提出問(wèn)題1，請(qǐng)你解答．
問(wèn)題1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，將△ABD沿BD翻折得到△EBD．
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證：∠DEC＝2∠ACB．
（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)時(shí)，連接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的長(zhǎng)．
拓展延伸
小剛受到探究過(guò)程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為銳角，嘗試畫圖，并提出問(wèn)題2，請(qǐng)你解答．
問(wèn)題2：如圖4，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的長(zhǎng)．
?考向二 圖形平移型
1．（2023?德州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，3），D是OA的中點(diǎn)，AC，BD交于點(diǎn)E，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)B．E．且經(jīng)過(guò)平移后可得到一個(gè)反比例函數(shù)的圖象，則該反比例函數(shù)的解析式（ ）
A．y＝﹣B．C．D．
2．（2023?鞍山）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝4，，垂直于BC的直線MN從AB出發(fā)，沿BC方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，當(dāng)直線MN與CD重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中MN分別交矩形的對(duì)角線AC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，以EF為邊在MN左側(cè)作正方形EFGH，設(shè)正方形EFGH與△AOB重疊部分的面積為S，直線MN的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023?濰坊）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），∠AOC＝60°．將菱形OABC沿x軸向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到菱形O′A′B′C′，其中點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣，1）D．（﹣，﹣1）
4．（2023?湖州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），圖象的頂點(diǎn)為M．矩形ABCD的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5）．
（1）求c的值及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）如圖2，將矩形ABCD沿x軸正方向平移t個(gè)單位（0＜t＜3）得到對(duì)應(yīng)的矩形A′B′C′D′．已知邊C′D′，A′B′分別與函數(shù)y＝x2﹣4x+c的圖象交于點(diǎn)P，Q，連接PQ，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥A′B′于點(diǎn)G．
①當(dāng)t＝2時(shí)，求QG的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)Q不重合時(shí)，是否存在這樣的t，使得△PGQ的面積為1？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．（2023?襄陽(yáng)）【問(wèn)題背景】
人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第63頁(yè)“實(shí)驗(yàn)與探究”問(wèn)題1如下：如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1D1O的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，無(wú)論正方形A1B1C1D1O繞
點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積，總等于一個(gè)正方形面積的．想一想，這是為什么？（此問(wèn)題不需要作答）
九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上面的問(wèn)題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P落在線段OC上，＝k（k為常數(shù)）．
【特例證明】
（1）如圖1，將Rt△PEF的直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，兩直角邊分別與邊AB，BC相交于點(diǎn)M，N．
①填空：k＝ ；
②求證：PM＝PN．（提示：借鑒解決【問(wèn)題背景】的思路和方法，可直接證明△PAM≌△PBN；也可過(guò)點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明．請(qǐng)選擇其中一種方法解答問(wèn)題②．）
【類比探究】
（2）如圖2，將圖1中的△PEF沿OC方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說(shuō)明理由．
【拓展運(yùn)用】
（3）如圖3，點(diǎn)N在邊BC上，∠BPN＝45°，延長(zhǎng)NP交邊CD于點(diǎn)E，若EN＝kPN，求k的值．
6．（2023?攀枝花）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝2AC＝8，△ABC沿BC方向向左平移得到△DCE，A、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E．點(diǎn)F是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF，將線段AF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段AG，使得∠BAD＝∠FAG，連接FG．
（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，求FG的長(zhǎng)；
（2）如圖2，連接BG、DF．在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：
①BG和DF是否總是相等？若是，請(qǐng)你證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②當(dāng)BF的長(zhǎng)為多少時(shí)，△ABG能構(gòu)成等腰三角形？
7．（2023?淄博）如圖，直線y＝kx+b與雙曲線y＝相交于點(diǎn)A（2，3），B（n，1）．
（1）求雙曲線及直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將直線AB向下平移至CD處，其中點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)D在y軸上．連接AD，BD，求△ABD的面積；
（3）請(qǐng)直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＞的解集．
8．（2023?青島）許多數(shù)學(xué)問(wèn)題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)O為傘骨OA，OB的交點(diǎn)．點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線上，OA、OB關(guān)于y軸對(duì)
稱．OC＝1分米，點(diǎn)A到x軸的距離是0.6分米，A，B兩點(diǎn)之間的距離是4分米．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）分別延長(zhǎng)AO，BO交拋物線于點(diǎn)F，E，求E，F(xiàn)兩點(diǎn)之間的距離；
（3）以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S1，將拋物線向右平移m（m＞0）個(gè)單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S2．若S2＝S1，求m的值．
9．（2023?常州）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx﹣4的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣2，0），B，其頂點(diǎn)是C．
（1）b＝ ；
（2）D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，tan∠AOD＝．將原拋物線向左平移，使得平移后的拋
物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)（k，0）作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；
（3）將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
10．（2023?濟(jì)南）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，C（2，3），D（﹣1，3）．拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)E（﹣2，0）和點(diǎn)F．
（1）如圖1，若拋物線過(guò)點(diǎn)C，求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）如圖2，在（1）的條件下，連接CF，作直線CE，平移線段CF，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在直線CE上，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q落在拋物線上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）若拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與正方形ABCD恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范
圍．
?考向三 圖形旋轉(zhuǎn)型
1．（2023?綿陽(yáng)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，將△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△A1B1C，滿足A1B1∥AC，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥A1C，垂足為E，連接AE，若S△ABE＝3S△ACE，則AB的長(zhǎng)為 ．
2．（2023?鹽城）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△EDC的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D首次落在斜邊AB上，則點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為 ．
3．（2023?丹東）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．四邊形DEFG是菱形（D，E，F(xiàn)，G按逆時(shí)針順序排列），∠EDG＝60°，且DE＝2，菱形DEFG可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，連接AG和CE，設(shè)直線AG和直線CE所夾的銳角為α．
（1）在菱形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，如圖①，請(qǐng)直接寫出AG與CE的數(shù)量關(guān)系及α的值；
（2）當(dāng)菱形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)直線AG與直線CE的交點(diǎn)為P，在菱形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)EF所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，請(qǐng)直接寫出△APC的面積．
4．（2023?甘孜州）如圖，在Rt△ABC中，，點(diǎn)D在AB邊上，連接CD，將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接BE，DE．
（1）求證：△CAD≌△CBE；
（2）若AD＝2時(shí)，求CE的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究AD2+BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果
不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．（2023?攀枝花）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝2AC＝8，△ABC沿BC方向向左平移得到△DCE，A、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E．點(diǎn)F是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF，將線段AF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段AG，使得∠BAD＝∠FAG，連接FG．
（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，求FG的長(zhǎng)；
（2）如圖2，連接BG、DF．在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：
①BG和DF是否總是相等？若是，請(qǐng)你證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②當(dāng)BF的長(zhǎng)為多少時(shí)，△ABG能構(gòu)成等腰三角形？
6．（2023?淄博）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動(dòng)．
（1）操作判斷
小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為 ．
（2）深入探究
小紅在保持矩形ABCD不動(dòng)的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB＝2，AD＝4．
探究一：當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CG與DF相交于點(diǎn)M，如圖②．求△CMF的面積．
探究二：連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，如圖③．求線段DH長(zhǎng)度的最大值和最小值．
7．（2023?鎮(zhèn)江）[發(fā)現(xiàn)]如圖1，有一張三角形紙片ABC，小宏做如下操作：
①取AB、AC的中點(diǎn)D、E，在邊BC上作MN＝DE．
②連接EM，過(guò)點(diǎn)D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分別為G、H．
③將四邊形BDGM剪下，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形AEST的位置．
④延長(zhǎng)PQ、ST交于點(diǎn)F．
小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：
①點(diǎn)Q、A、T在一條直線上；
②四邊形FPGS是矩形；
③△FQT≌△HMN；
④四邊形FPGS與△ABC的面積相等．
[任務(wù)1]請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明．
[任務(wù)2]如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，P、Q分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接PQ．求證：PQ＝（AD+BC）．
[任務(wù)3]如圖3，有一張四邊形紙片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小麗分別取AB、CD的中點(diǎn)P、Q，在邊BC上作MN＝PQ，連接MQ，她仿照小宏的操作，將四邊形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長(zhǎng)．
8．（2023?鎮(zhèn)江）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB、AC分別與y軸交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)F在點(diǎn)E的上方，EF＝2．
（1）分別求點(diǎn)E、F的縱坐標(biāo)（用含m、n的代數(shù)式表示），并寫出m的取值范圍；
（2）求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)m、縱坐標(biāo)n滿足的數(shù)量關(guān)系（用含m的代數(shù)式表示n）；
（3）將線段EF繞點(diǎn)（0，1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，E、F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是E'、F'．當(dāng)線段E'F'與點(diǎn)B所在的某個(gè)函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．
9．（2023?朝陽(yáng)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接EA，將線段EA繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在射線CB上的點(diǎn)F處，連接EC．
【問(wèn)題引入】
（1）請(qǐng)你在圖1或圖2中證明EF＝EC（選擇一種情況即可）；
【探索發(fā)現(xiàn)】
（2）在（1）中你選擇的圖形上繼續(xù)探索：延長(zhǎng)FE交直線CD于點(diǎn)M．將圖形補(bǔ)充完整，猜想線段DM和線段BF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，AB＝3，延長(zhǎng)AE至點(diǎn)N，使NE＝AE，連接DN．當(dāng)△ADN的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)你直接寫出線段DE的長(zhǎng)．
．
10．（2023?常州）對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)四邊形，若存在點(diǎn)O，使得該四邊形的一條對(duì)角線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定角度后能與另一條對(duì)角線重合，則稱該四邊形為“可旋四邊形”，點(diǎn)O是該四邊形的一個(gè)“旋點(diǎn)”．例如，在矩形MNPQ中，對(duì)角線MP、NQ相交于點(diǎn)T，則點(diǎn)T是矩形MNPQ的一個(gè)“旋點(diǎn)”．
（1）若菱形ABCD為“可旋四邊形”，其面積是4，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)是 ；
（2）如圖1，四邊形ABCD為“可旋四邊形”，邊AB的中點(diǎn)O是四邊形ABCD的一個(gè)“旋點(diǎn)”．求∠ACB的度數(shù)；
（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AC＝BD，AD與BC不平行．四邊形ABCD是否為“可旋四邊形”？請(qǐng)說(shuō)明理由．
?考向四 圖形折疊型
1．（2023?黃石）如圖，有一張矩形紙片ABCD．先對(duì)折矩形ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN，MN．觀察所得的線段，若AE＝1，則MN＝（ ）
A．B．1C．D．2
2．（2023?牡丹江）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：
第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形ABEF，然后把紙片展平；
第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕MN，如圖②．
根據(jù)以上的操作，若AB＝8，AD＝12，則線段BM的長(zhǎng)是（ ）
A．3B．C．2D．1
3．（2023?襄陽(yáng)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將BCD沿BD折疊得到△BED，連接AE．若DE⊥AB于點(diǎn)F，BC＝10，則AF的長(zhǎng)為 ．
4．（2023?盤錦）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝6，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AD上一點(diǎn)，將四邊形ABEF沿EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′H⊥BC于點(diǎn)H，若B′H＝2，則FD的長(zhǎng)是 ．
5．（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是 ．
6．（2023?西寧）折疊問(wèn)題是我們常見的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它是利用圖形變化的軸對(duì)稱性質(zhì)解決的相關(guān)問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動(dòng)．
【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，MD′與BC交于點(diǎn)N．
【猜想】MN＝CN．
【驗(yàn)證】請(qǐng)將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整：
∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，
∴∠CMD＝ ，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC （矩形的對(duì)邊平行），
∴∠CMD＝ （ ），
∴ ＝ （等量代換），
∴MN＝CN（ ）．
【應(yīng)用】
如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD′上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，折痕為ME．
（1）猜想MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若CD＝2，MD＝4，求EC的長(zhǎng)．
7．（2023?鹽城）綜合與實(shí)踐
【問(wèn)題情境】
如圖1，小華將矩形紙片ABCD先沿對(duì)角線BD折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線BD上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為B′，折痕與邊AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
【活動(dòng)猜想】
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B′與點(diǎn)D重合時(shí)，四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答： ．
【問(wèn)題解決】
（2）如圖3，當(dāng)AB＝4，AD＝8，BF＝3時(shí)，求證：點(diǎn)A′，B′，C在同一條直線上．
【深入探究】
（3）如圖4，當(dāng)AB與BC滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有A′B′與對(duì)角線AC平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）在（3）的情形下，設(shè)AC與BD，EF分別交于點(diǎn)O，P，試探究三條線段AP，B′D，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
8．（2023?寧夏）綜合與實(shí)踐：
問(wèn)題背景
數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．
探究發(fā)現(xiàn)
如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC．
（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，折痕交AC于點(diǎn)D，連接DE，DB，則∠BDE＝ °，設(shè)AC＝1，BC＝x，那么AE＝ （用含x的式子表示）；
（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：＝，這個(gè)比值被稱為黃金比．在（1）的條件下試證明：＝；
拓展應(yīng)用
當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．
如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，AB＝1．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．

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