中考數(shù)學一輪復(fù)習重點考向練習專題07 分式方程（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

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1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；
2.能解可化為一元一次方程的分式方程；
3.能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理．
本考點內(nèi)容以考查分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨考查，也有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查,分值為10分左右，預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)考查分式方程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學生應(yīng)扎實掌握。
?考向一分式方程的解
1．（2023?黑龍江）已知關(guān)于x的分式方程+1＝的解是非負數(shù)．則m的取值范圍是（）
A．m≤2B．m≥2C．m≤2且m≠﹣2D．m＜2且m≠﹣2
【思路點撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程的解是非負數(shù)，確定出m的范圍即可．
【規(guī)范解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，
解得：x＝，
由分式方程的解是非負數(shù)，得到≥0，且﹣2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2，
故選：C．
【真題剖析】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023?聊城）若關(guān)于x的分式方程+1＝的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是（）
A．m≤1且m≠﹣1B．m≥﹣1且m≠1C．m＜1且m≠﹣1D．m＞﹣1且m≠1
【思路點撥】解含參的分式方程，然后結(jié)合已知條件及分式有意義的條件列得不等式并計算即可．
【規(guī)范解答】解：+1＝，
兩邊同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，
移項，合并同類項得：2x＝1﹣m，
系數(shù)化為1得：x＝，
∵原分式方程的解為非負數(shù)，
∴≥0，且≠1
解得：m≤1且m≠﹣1，
故選：A．
【真題剖析】本題考查根據(jù)含參分式方程解的情況確定參數(shù)的取值范圍，結(jié)合已知條件解含參分式方程求得x＝是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?日照）若關(guān)于x的方程﹣2＝的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）
A．m＞﹣B．m＜
C．m＞﹣且m≠0D．m＜且m≠
【思路點撥】先解分式方程，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)和分式方程無意義的情況，即可得出m的取值范圍．
【規(guī)范解答】解：﹣2＝，
去分母得，2x﹣4（x﹣1）＝3m，
整理得，2x﹣4x+4＝3m，
解得，x＝，
∵分式方程的解為正數(shù)，
∴4﹣3m＞0且，
∴m＜且m≠．
故選：D．
【真題剖析】本題主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．
?考向二解分式方程
4．（2023?大連）解方程去分母，兩邊同乘（x﹣1）后的式子為（）
A．1+3＝3x（1﹣x）B．1+3（x﹣1）＝﹣3x
C．x﹣1+3＝﹣3xD．1+3（x﹣1）＝3x
【思路點撥】根據(jù)分式方程的解法，兩側(cè)同乘（x﹣1）化簡分式方程即可．
【規(guī)范解答】解：分式方程的兩側(cè)同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．
故選：B．
【真題剖析】本題考查了解分式方程時去分母，找到分式方程的公分母是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?淮安）方程＝1的解是 x＝﹣2 ．
【思路點撥】利用解分式方程的一般步驟解答即可．
【規(guī)范解答】解：去分母得：
x﹣1＝2x+1，
∴x﹣2x＝1+1，
∴﹣x＝2，
∴x＝﹣2，
經(jīng)檢驗：x＝﹣2是原方程的解，
∴原方程的解為：x＝﹣2．
故答案為：x＝﹣2．
【真題剖析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握分式方程解答的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?陜西）解方程：．
【思路點撥】利用解分式方程的步驟解方程即可．
【規(guī)范解答】解：原方程兩邊同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，
去括號得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，
移項，合并同類項得：﹣15x＝25，
解得：x＝﹣，
經(jīng)檢驗，x＝﹣是分式方程的解，
故原方程的解為：x＝﹣．
【真題剖析】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．
?考向三分式方程的增根
7．（2021?宜賓）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【思路點撥】方程兩邊同時乘（x﹣2），將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解這個整式方程得到方程的解，根據(jù)方程有增根，得到x＝2，列出方程計算出m的值即可．
【規(guī)范解答】解：方程兩邊同時乘（x﹣2）得：x﹣3（x﹣2）＝m，
解得：x＝3﹣m，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴3﹣m＝2，
∴m＝2，
故選：C．
【真題剖析】本題考查了分式方程的增根，理解增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵．
8．（2021?無錫）分式方程有增根，則m的值是（）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
【思路點撥】根據(jù)題意可得x＝2，然后把x的值代入整式方程中進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：，
+1＝﹣，
6+2（x﹣2）＝﹣m，
解得：x＝﹣，
∵分式方程有增根，
∴x＝2，
把x＝2代入x＝﹣中，
2＝﹣，
解得：m＝﹣6，
故選：D．
【真題剖析】本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出x的值后代入整式方程中進行計算是解題的關(guān)鍵．
9．（2023?巴中）關(guān)于x的分式方程+＝3有增根，則m＝ ﹣1 ．
【思路點撥】先去分母，再根據(jù)增根的意義列方程求解．
【規(guī)范解答】解：方程兩邊同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），
由題意得：x＝2是該整式方程的解，
∴2+m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【真題剖析】本題考查了分式方程的增根，理解增根的意義是解題的關(guān)鍵．
?考向四由實際問題抽象出分式方程
10．（2023?青海）為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，青海省某學校八年級師生在清明節(jié)期間前往距離學校15km的烈士陵園掃墓．一部分師生騎自行車先走，過了30min后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車師生速度的2倍，設(shè)騎車師生的速度為x km/h．根據(jù)題意，下列方程正確的是（）
A．B．
C．D．
【思路點撥】首先根據(jù)題意得汽車的速度是2x km/h，再將30min轉(zhuǎn)化為h，然后根據(jù)“同時到達”列出方程即可得出答案．
【規(guī)范解答】解：∵騎車師生的速度為x km/h，汽車的速度是騎車師生速度的2倍，
∴汽車的速度是2x km/h，
又∵30min＝h，
∴．
故選：B．
【真題剖析】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是求出汽車的速度，進而根據(jù)“同時到達”列出方程，特別提醒：單位要統(tǒng)一，這也是解答此題的易錯點之一．
11．（2023?張家界）《四元玉鑒》是我國古代的一部數(shù)學著作．該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽”，大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的總售價為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)6210文購買椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（）
A．3（x﹣1）＝B．3（x﹣1）＝6210
C．3（x﹣1）＝D．＝3x
【思路點撥】設(shè)6210元購買椽的數(shù)量為x株，根據(jù)單價＝總價÷數(shù)量，求出一株椽的價錢為，再根據(jù)少拿一株椽后剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，即可列出分式方程，得到答案．
【規(guī)范解答】解：設(shè)6210元購買椽的數(shù)量為x株，則一株椽的價錢為，
由題意得：3（x﹣1）＝，
故選：C．
【真題剖析】本題考查了從實際問題中抽象出分式方程，正確理解題意找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
12．（2023?淄博）為貫徹落實習近平總書記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護和高質(zhì)量發(fā)展的重要講話精神，某學校組織初一、初二兩個年級學生到黃河岸邊開展植樹造林活動．已知初一植樹900棵與初二植樹1200棵所用的時間相同，兩個年級平均每小時共植樹350棵．求初一年級平均每小時植樹多少棵？設(shè)初一年級平均每小時植樹x棵，則下面所列方程中正確的是（）
A．B．
C．D．
【思路點撥】設(shè)初一年級平均每小時植樹x棵，根據(jù)初一植樹900棵與初二植樹1200棵所用的時間相同列出方程解答即可．
【規(guī)范解答】解：設(shè)初一年級平均每小時植樹x棵，根據(jù)題意可得：
，
故選：D．
【真題剖析】此題考查由實際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出方程解答．
?考向五分式方程的應(yīng)用
13．（2023?宜昌）某校學生去距離學校12km的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了20min后，其余學生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，汽車的速度是（）
A．0.2km/minB．0.3km/minC．0.4km/minD．0.6km/min
【思路點撥】設(shè)學生的速度為x km/min，根據(jù)一部分學生騎自行車先走，過了20min后，其余學生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．列出方程，即可求解．
【規(guī)范解答】解：設(shè)學生的速度為x km/min，
由題意可得：﹣20＝，
解得：x＝0.3，
經(jīng)檢驗：x＝0.3是原方程的解，且符合題意；
∴2x＝0.6（km/min），
故選：D．
【真題剖析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．（2023?通遼）某搬運公司計劃購買A，B兩種型號的機器搬運貨物，每臺A型機器比每臺B型機器每天少搬運10噸貨物，且每臺A型機器搬運450噸貨物與每臺B型機器搬運500噸貨物所需天數(shù)相同．
（1）求每臺A型機器，B型機器每天分別搬運貨物多少噸？
（2）每臺A型機器售價1.5萬元，每臺B型機器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機器共30臺，滿足每天搬運貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案．
【思路點撥】（1）設(shè)每臺A型機器每天搬運貨物x噸，則每臺B型機器每天搬運貨物（x+10）噸，根據(jù)“A型機器人每天搬運540噸貨物與B型機器每天搬運600噸貨物所需臺數(shù)相同”列方程即可得解；
（2）先根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組求出m的取值范圍，再根據(jù)題意列出一次函數(shù)解析式，利用次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)每臺A型機器每天搬運貨物x噸，則每臺B型機器每天搬運貨物（x+10）噸，
由題意得：，
解得：x＝90，
當x＝90時，x（x+10）≠0，
∴x+10＝90+10＝100，
答：每臺A型機器每天搬運貨物90噸，每臺B型機器每天搬運貨物100噸；
（2）設(shè)購買A型機器m臺，購買總金額為w萬元，
由題意得：，
解得：10≤m≤12，
w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；
∵﹣0.5＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當m＝12時，w最小，此時w＝﹣0.5×12+60＝54，
∴購買A型機器12臺，B型機器18臺時，購買總金額最低是54萬元．
【真題剖析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出題目中的相等關(guān)系，不等關(guān)系列出分式方程，一元一次不等式組及列出一次函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．
15．（2023?常德）“六一”兒童節(jié)將至，張老板計劃購買A型玩具和B型玩具進行銷售，若用1200元購買A型玩具的數(shù)量比用1500元購買B型玩具的數(shù)量多20個，且一個B型玩具的進價是一個A型玩具進價的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的進價分別是多少？
（2）若A型玩具的售價為12元/個，B型玩具的售價為20元/個，張老板購進A，B型玩具共75個，要使總利潤不低于300元，則A型玩具最多購進多少個？
【思路點撥】（1）設(shè)A型玩具的單價為x元/件．根據(jù)用1200元購買A型玩具的數(shù)量比用1500元購買B型玩具的數(shù)量多20個，列方程即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)購買A型玩具m個．根據(jù)張老板購進A，B型玩具共75個，要使總利潤不低于300元，列不等式即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)A型玩具的進價為x元/個，則B型玩具的進價是1.5x元/個．
由題意得：，
解得：x＝10，
經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的解，
∴B型玩具的進價為10×1.5＝15（元/個），
答：A型玩具的進價是10元/個，B型玩具的進價是15元/個．
（2）設(shè)購買A型玩具m個，則購進B型玩具（75﹣m）個．
根據(jù)題意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300，
解得：m≤25，
答：最多可購進A型玩具25個．
【真題剖析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．
1．（2023?齊齊哈爾）如果關(guān)于x的分式方程的解是負數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（）
A．m＜﹣1B．m＞﹣1且m≠0
C．m＞﹣1D．m＜﹣1且m≠﹣2
【思路點撥】解含參的分式方程，結(jié)合已知條件及分式有意義的條件求得m的取值范圍即可．
【規(guī)范解答】解：將分式方程兩邊同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，
移項，合并同類項得：x＝m+1，
∵原分式方程的解是負數(shù)，
∴m+1＜0，且m+1+1≠0，
解得：m＜﹣1且m≠﹣2，
故選：D．
【真題剖析】本題考查根據(jù)含參分式方程解的情況確定參數(shù)的取值范圍，特別注意解得的分式方程的解不能使最簡公分母為0．
2．（2023?淄博）已知x＝1是方程的解，那么實數(shù)m的值為（）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【思路點撥】將x＝1代入原方程即可求出m的值．
【規(guī)范解答】解：將x＝1代入方程，得：﹣＝3，
解得：m＝2．
故選：B．
【真題剖析】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是將x＝1代入原方程中得到關(guān)于m的方程．
3．（2023?蘭州）方程的解是（）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝5D．x＝﹣5
【思路點撥】方程兩邊同時乘以x+3，即可轉(zhuǎn)化為一個整式方程，求得方程的根后要驗根．
【規(guī)范解答】解：方程兩邊同乘x+3，得2＝x+3
解得x＝﹣1．
檢驗：x＝﹣1時，x+3≠0．
∴x＝﹣1是原分式方程的解．
故選：B．
【真題剖析】本題主要考查了分式方程的解法．（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要驗根．
4．（2021?賀州）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（）
A．2B．3C．4D．5
【思路點撥】方程兩邊同時乘（x﹣3），將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出方程的解，根據(jù)方程增根，得到x＝3，從而列出方程求出m的值．
【規(guī)范解答】解：方程兩邊同時乘（x﹣3）得：m+4＝3x+2（x﹣3），
解得：x＝m+2，
∵方程有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴m+2＝3，
∴m＝5，
故選：D．
【真題剖析】本題考查了分式方程的增根，理解增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵．
5．（2020?遂寧）關(guān)于x的分式方程﹣＝1有增根，則m的值為（）
A．m＝2B．m＝1C．m＝3D．m＝﹣3
【思路點撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，確定出m的值即可
【規(guī)范解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故選：D．
【真題剖析】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
6．（2023?云南）閱讀，正如一束陽光．孩子們無論在哪兒，都可以感受到陽光的照耀，都可以通過閱讀觸及更廣闊的世界．某區(qū)教育體育局向全區(qū)中小學生推出“童心讀書會”的分享活動．甲、乙兩同學分別從距離活動地點800米和400米的兩地同時出發(fā)，參加分享活動．甲同學的速度是乙同學的速度的1.2倍，乙同學比甲同學提前4分鐘到達活動地點．若設(shè)乙同學的速度是x米/分，則下列方程正確的是（）
A．B．
C．D．
【思路點撥】根據(jù)“乙同學比甲同學提前4分鐘到達活動地點”列方程求解．
【規(guī)范解答】解：∵乙同學的速度是x米/分，
則甲同學的速度是1.2x米/分，
由題意得：，
故選：D．
【真題剖析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?綏化）某運輸公司，運送一批貨物，甲車每天運送貨物總量的．在甲車運送1天貨物后，公司增派乙車運送貨物，兩車又共同運送貨物天，運完全部貨物．求乙車單獨運送這批貨物需多少天？設(shè)乙車單獨運送這批貨物需x天，由題意列方程，正確的
是（）
A．+＝1B．+（+）＝1
C．（1+）+＝1D．+（+）＝1
【思路點撥】根據(jù)題意可知：甲單獨工作1天的工作量+甲和乙合作天的工作＝單位”1“，列出相應(yīng)的方程即可．
【規(guī)范解答】解：由題意可得，
+（+）＝1，
故選：B．
【真題剖析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程．
8．（2023?重慶）若關(guān)于x的不等式組的解集為x＜﹣2，且關(guān)于y的分式方程+＝2的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為 13 ．
【思路點撥】先通過不等式組的解確定a的范圍，再根據(jù)分式方程的解求a值即可得出答案．
【規(guī)范解答】解：解不等式組，
得：，
∵原不等式組的解集為：x＜﹣2，
∴﹣≥﹣2，
∴a≤5，
解分式方程+＝2，
得y＝，
∵y＞0且y≠1，
∴＞0且≠1，
∴a＞﹣2且a≠1，
∴﹣2＜a≤5，且a≠1，
∴符合條件的整數(shù)a有：﹣1，0，2，3，4，5，
∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．
故答案為：13．
【真題剖析】本題主要考查解一元一次不等式組、解分式方程，熟練掌握一元一次不等式組、分式方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2023?重慶）若關(guān)于x的一元一次不等式組至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程+＝2有非負整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是 4 ．
【思路點撥】先解不等式組，根據(jù)至少有2個整數(shù)解求出a的取值范圍，再解分式方程，根據(jù)解是非負整數(shù)，可求出滿足條件的a的值，進一步求解即可．
【規(guī)范解答】解：解不等式組，得，
∵至少有2個整數(shù)解，
∴≤4，
∴a≤6，
解分式方程+＝2，
得y＝，
∵y的值是非負整數(shù)，a≤6，
∴當a＝5時，y＝2，
當a＝3時，y＝1，
當a＝1時，y＝0，
∵y＝2是分式方程的增根，
∴a＝5（舍去），
∴滿足條件的a的值有3和1，
∵3+1＝4，
∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是4．
故答案為：4．
【真題剖析】本題考查了分式方程與一元一次不等式組的綜合，熟練掌握解一元一次不等式組和分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．
10．（2023?眉山）關(guān)于x的方程的解為非負數(shù)，則m的取值范圍是 m≥﹣5且m≠﹣3 ．
【思路點撥】根據(jù)解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根據(jù)解為非負數(shù)和分母不為0即可求解．
【規(guī)范解答】解：，
去分母得：x+m﹣3（x﹣2）＝1﹣x，
去括號移項得：x﹣3x+x＝1﹣m﹣6，
合并同類項得：﹣x＝﹣5﹣m，
系數(shù)化為1得：x＝5+m，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，即5+m≠2，
∴m≠﹣3，
∵解為非負數(shù)，
∴x＝5+m≥0，
∴m≥﹣5，
∴m≥﹣5且m≠﹣3．
故答案為：m≥﹣5且m≠﹣3．
【真題剖析】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最簡公分母不能為0．
11．（2023?赤峰）方程+＝1的解為 x＝4 ．
【思路點撥】解分式方程，先去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程再解，最后檢驗看是否有增根．
【規(guī)范解答】解：方程兩邊同時乘以（x2﹣4）得：
x﹣2+x+6＝x2﹣4，
整理得：x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
檢驗：當x1＝4時，x2﹣4≠0，∴x1＝4是原方程的根，
當x2＝﹣2時，x2﹣4＝0，∴x2＝﹣2是原方程的增根，舍去，
∴x＝4是原方程的根．
故答案為：x＝4．
【真題剖析】解分式方程，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
12．（2023?永州）若關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，則增根是 x＝4 ．
【思路點撥】根據(jù)關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，可知x﹣4＝0，進一步計算即可．
【規(guī)范解答】解：∵關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，
∴x﹣4＝0，
∴x＝4，
故答案為：x＝4．
【真題剖析】本題考查了分式方程的增根，熟練掌握分式方程增根的含義是解題的關(guān)鍵．
13．（2020?濰坊）若關(guān)于x的分式方程+1有增根，則m＝ 3 ．
【思路點撥】先把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到轉(zhuǎn)化以后的整式方程中計算即可求出m的值．
【規(guī)范解答】解：去分母得：3x＝m+3+（x﹣2），整理得：2x＝m+1，
∵關(guān)于x的分式方程有增根，即x﹣2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1，
解得：m＝3；
故答案為：3．
【真題剖析】本題主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最簡公分母為零的未知數(shù)的值；解決此類問題的步驟：①化分式方程為整式方程；②讓最簡公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相關(guān)字母的值．
14．（2020?巴中）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m＝ ﹣4 ．
【思路點撥】根據(jù)分式方程有增根，確定出x的值，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，把x的值代入整式方程計算即可求出m的值．
【規(guī)范解答】解：去分母得：x2+3x＝﹣m，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，x＝1，
把x＝1代入方程得：1+3＝﹣m，
解得：m＝﹣4．
故答案為：﹣4．
【真題剖析】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
15．（2023?綿陽）隨著國家提倡節(jié)能減排，新能源車將成為時代“寵兒”．端午節(jié)，君君一家駕乘新購買的新能源車，去相距180km的古鎮(zhèn)旅行，原計劃以速度v km/h勻速前行，因急事以計劃速度的1.2倍勻速行駛，結(jié)果就比原計劃提前了0.5h到達，則原計劃的速度v為 60 km/h．
【思路點撥】根據(jù)比原計劃提前了0.5h到達列方程，即可解得答案．
【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得：＝+0.5，
解得v＝60，
經(jīng)檢驗，v＝60是原方程的解，
∴原計劃的速度v為60km/h；
故答案為：60．
【真題剖析】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出分式方程解決問題．
∴x＝90是分式方程的根，
16．（2023?湖北）（1）計算：（12x4+6x2）÷3x﹣（﹣2x）2（x+1）；
（2）解分式方程：﹣＝0．
【思路點撥】（1）利用整式混合運算法則計算即可；
（2）根據(jù)解分式方程的步驟解方程即可．
【規(guī)范解答】解：（1）原式＝4x3+2x﹣4x2（x+1）
＝4x3+2x﹣4x3﹣4x2
＝2x﹣4x2；
（2）原方程變形為：﹣＝0，
兩邊同乘x（x+1）（x﹣1），去分母得：5（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
去括號得：5x﹣5﹣x﹣1＝0，
移項，合并同類項得：4x＝6，
系數(shù)化為1得：x＝，
檢驗：將x＝代入x（x+1）（x﹣1）中可得：×（+1）×（﹣1）＝≠0，
則原方程的解為：x＝．
【真題剖析】本題考查整式的混合運算及解分式方程，特別注意解分式方程時必須進行檢驗．
17．（2023?浙江）小丁和小迪分別解方程﹣＝1過程如下：
你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．
【思路點撥】根據(jù)解分式方程的步驟進行計算并判斷即可．
【規(guī)范解答】解：小丁和小迪的解法都不正確，正確步驟如下：
﹣＝1，
兩邊同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，
移項，合并同類項得：x＝1，
檢驗：將x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0，
則x＝1是分式方程的解，
故原分式方程的解是x＝1．
【真題剖析】本題考查解分式方程，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．
18．（2023?涼山州）解方程：＝．
【思路點撥】利用解分式方程的一般步驟解答即可．
【規(guī)范解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝2，
去括號得：x2﹣x＝2，
移項得：x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x＝2或x＝﹣1，
將x＝2代入原方程，原方程左右相等，
∴x＝2是原方程的解．
將x＝﹣1代入，使分母為0，
∴x＝﹣1是原方程的增根，
∴原方程的解為：x＝2．
【真題剖析】本題主要考查了分式方程的解法，驗根是常常遺漏的步驟，熟練掌握解分式方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
19．（2023?南通）為推進全民健身設(shè)施建設(shè)，某體育中心準備改擴建一塊運動場地．現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：
信息一
信息二
（1）求x的值；
（2）該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續(xù)施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于15000m2．該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付多少施工費用？
【思路點撥】（1）利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合甲工程隊施工1800m2所需天數(shù)與乙工程隊施工1200m2所需天數(shù)相等，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出x的值；
（2）設(shè)甲工程隊施工m天，則乙工程隊單獨施工（22﹣m）天，根據(jù)22天完成的施工面積不少于15000m2，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設(shè)該段時間內(nèi)體育中心需要支付w元施工費用，利用總費用＝3600×甲工程隊施工時間+2200×乙工程隊施工時間，可找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．
【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)題意得：＝，
解得：x＝600，
經(jīng)檢驗，x＝600是所列方程的解，且符合題意．
答：x的值為600；
（2）設(shè)甲工程隊施工m天，則乙工程隊單獨施工（22﹣m）天，
根據(jù)題意得：（600+300）m+600（22﹣m）≥15000，
解得：m≥6，
設(shè)該段時間內(nèi)體育中心需要支付w元施工費用，則w＝3600m+2200（22﹣m），
即w＝1400m+48400，
∵1400＞0，
∴w隨m的增大而增大，
∴當m＝6時，w取得最小值，最小值＝1400×6+48400＝56800．
答：該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付56800元施工費用．
【真題剖析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．
20．（2023?威海）某校組織學生去郭永懷紀念館進行研學活動．紀念館距學校72千米，一部分學生乘坐大型客車先行，出發(fā)12分鐘后，另一部分學生乘坐小型客車前往，結(jié)果同時到達．已知小型客車的速度是大型客車速度的1.2倍，求大型客車的速度．
【思路點撥】設(shè)大型客車的速度為x km/h，則小型客車的速度為1.2x km/h，根據(jù)時間差為12分鐘列出方程．
【規(guī)范解答】解：設(shè)大型客車的速度為x km/h，則小型客車的速度為1.2x km/h，
根據(jù)題意得12分鐘＝小時．
故列方程為：．
解得：x＝60．
經(jīng)檢驗，x＝60是原方程的根．
答：大型客車的速度是60km/h．
【真題剖析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．
21．（2023?黑龍江）2023年5月30日上午9點31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學組織畢業(yè)班的同學到當?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學校準備為同學們購進A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數(shù)量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知畢業(yè)班的同學一共有300人，學校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？
（3）在實際購買時，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．
【思路點撥】（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結(jié)合用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數(shù)量相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出B款文化衫的單價，再將其代入（x+10）中，可求出A款文化衫的單價；
（2）設(shè)購買y件A款文化衫，則購買（300﹣y）件B款文化衫，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合總價不多于14800元且不少于14750元，可列出關(guān)于y的一元一次不等式組，解之可得出y的取值范圍，再結(jié)合y為正整數(shù)，即可得出共有6種購買方案；
（3）設(shè)購買300件兩款文化衫所需總費用為w元，利用總價＝單價×數(shù)量，可得出w關(guān)于y的函數(shù)關(guān)系式，由（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同（即w的值與y值無關(guān)），利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出m﹣5＝0，解之即可得出m的值．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，
根據(jù)題意得：＝，
解得：x＝40，
經(jīng)檢驗，x＝40是所列方程的解，且符合題意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）設(shè)購買y件A款文化衫，則購買（300﹣y）件B款文化衫，
根據(jù)題意得：，
解得：275≤y≤280，
又∵y為正整數(shù)，
∴y可以為275，276，277，278，279，280，
∴共有6種購買方案；
（3）設(shè)購買300件兩款文化衫所需總費用為w元，則w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），
∵（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，
∴w的值與y值無關(guān)，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5．
答：m的值為5．
【真題剖析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于y的函數(shù)關(guān)系式．
22．（2023?丹東）“暢通交通，扮靚城市”，某市在道路提升改造中，將一座長度為36米的橋梁進行重新改造．為了盡快通車，某施工隊在實際施工時，每天工作效率比原計劃提高了50%，結(jié)果提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)，那么該施工隊原計劃每天改造多少米？
【思路點撥】設(shè)施工隊原計劃每天改造x米，根據(jù)提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)得：＝+2，解方程并檢驗可得答案．
【規(guī)范解答】解：設(shè)施工隊原計劃每天改造x米，
根據(jù)題意得：＝+2，
解得x＝6，
經(jīng)檢驗，x＝6是原方程的解，
答：施工隊原計劃每天改造6米．
【真題剖析】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出分式方程．
23．（2023?鹽城）某校舉行“二十大知識學習競賽”活動，老師讓班長小華到商店購買筆記本作為獎品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價均為整數(shù)）．
（1）若班長小華在甲商店購買，他發(fā)現(xiàn)用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價．
（2）若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件（軟面筆記本單價不變）：一次購買的數(shù)量少于30本，按原價售出；不少于30本按軟面筆記本的單價售出．班長小華打算購買m本硬面筆記本（m為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同，求乙商店硬面筆記本的原價．
【思路點撥】（1）設(shè)甲商店硬面筆記本的單價為x元，則甲商店軟面筆記本的單價為（x﹣3）元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結(jié)合用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數(shù)量相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)乙商店硬面筆記本的原價為y元，則乙商店軟面筆記本的原價為（y﹣3）元，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同，可列出關(guān)于y，m的二元一次方程，結(jié)合且m，y均為正整數(shù)，即可求出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)甲商店硬面筆記本的單價為x元，則甲商店軟面筆記本的單價為（x﹣3）元，
根據(jù)題意得：＝，
解得：x＝16，
經(jīng)檢驗，x＝16是所列方程的解，且符合題意．
答：甲商店硬面筆記本的單價為16元；
（2）設(shè)乙商店硬面筆記本的原價為y元，則乙商店軟面筆記本的原價為（y﹣3）元，
根據(jù)題意得：my＝（m+5）（y﹣3），
整理得：5y﹣3m＝15，
∴y＝m+3．
∵，且m，y均為正整數(shù)，
∴．
答：乙商店硬面筆記本的原價為18元．
【真題剖析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．
24．（2023?荊州）荊州古城旁“荊街”某商鋪打算購進A，B兩種文創(chuàng)飾品對游客銷售．已知1400元采購A種的件數(shù)是630元采購B種件數(shù)的2倍，A種的進價比B種的進價每件多1元，兩種飾品的售價均為每件15元；計劃采購這兩種飾品共600件，采購B種的件數(shù)不低于390件，不超過A種件數(shù)的4倍．
（1）求A，B飾品每件的進價分別為多少元？
（2）若采購這兩種飾品只有一種情況可優(yōu)惠，即一次性采購A種超過150件時，A種超過的部分按進價打6折．設(shè)購進A種飾品x件，
①求x的取值范圍；
②設(shè)計能讓這次采購的飾品獲利最大的方案，并求出最大利潤．
【思路點撥】（1）設(shè)A種飾品每件的進價為a元，則B種飾品每件的進價為（a﹣1）元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結(jié)合用1400元采購A種的件數(shù)是630元采購B種件數(shù)的2倍，即可得出關(guān)于a的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出每臺A種電器的進價，再將其代入（a﹣1）中即可求出每臺B種電器的進價；
（2）①利用“計劃采購這兩種飾品共600件，采購B種的件數(shù)不低于390件，不超過A種件數(shù)的4倍“列不等式組可得結(jié)論；
②設(shè)采購A種飾品x件時的總利潤為w元，分兩種情況：當120≤x≤150時，當150＜x≤210時，分別表示w與x的關(guān)系式根據(jù)增減性可解答．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)A種飾品每件的進價為a元，則B種飾品每件的進價為（a﹣1）元，
由題意得：＝×2，
解得：a＝10，
經(jīng)檢驗，a＝10是所列方程的解，且符合題意，
a﹣1＝9，
答：A種飾品每件的進價為10元，則B種飾品每件的進價為9元；
（2）①由題意得：，
解得：120≤x≤210，
∴購進A種飾品件數(shù)x的取值范圍為：120≤x≤210，且x為整數(shù)；
②設(shè)采購A種飾品x件時的總利潤為w元，
當120≤x≤150時，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600，
∵﹣1＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∴當x＝120時，w有最大值是：﹣120+3600＝3480，
當150＜x≤210時，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣x）＝3x+3000，
∵3＞0，
∴w隨x的增大而增大，
∴當x＝210時，w有最大值是：3×210+3000＝3630，
∵3630＞3480，
∴w的最大值是3630，此時600﹣x＝600﹣210＝390，
即當采購A種飾品210件，B種飾品390件，商鋪獲利最大，最大利潤為3630元．
【真題剖析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
知識目標（新課程標準提煉）
中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢，精準把握重難點）
考點回歸（梳理基礎(chǔ)考點，清晰明了，便于識記）
重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）
?考向一分式方程的解
?考向二解分式方程
?考向三分式方程的增根
?考向四由實際問題抽象出分式方程
?考向五分式方程的應(yīng)用
最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）
分式方程的概念
分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
分式方程的解法
1.解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．
2.解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．
增根
在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．
分式方程的應(yīng)用
主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．
每個問題中涉及到三個量的關(guān)系，
如：工作時間＝ SKIPIF 1 < 0 ，時間＝ SKIPIF 1 < 0 等．
列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟
①設(shè)未知數(shù)；
②找等量關(guān)系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；
⑥答．
解題技巧/易錯易混/特別提醒
注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據(jù)．
解題技巧/易錯易混/特別提醒
解分式方程過程中，易錯點有：
①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；
②忘記驗根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．
解題技巧/易錯易混/特別提醒
增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個整式方程本身無解，
當然原分式方程就一定無解．
工程隊
每天施工面積（單位：m2）
每天施工費用（單位：元）
甲
x+300
3600
乙
x
2200
甲工程隊施工1800m2所需天數(shù)與乙工程隊施工1200m2所需天數(shù)相等．

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