A．B．C．D．
【答案】A
【分析】運(yùn)用等式的基本性質(zhì)解題即可．
【詳解】解：∵∴兩邊同時(shí)減去a得：
∴兩邊同時(shí)乘以得： 故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查等式的基本性質(zhì)，掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2.（2023·河北唐山·統(tǒng)考一模）有三種不同質(zhì)量的物體“■”“▲”“●”，其中同一種物體的質(zhì)量都相等．下列四個(gè)天平中只有一個(gè)天平?jīng)]有處于平衡狀態(tài)，則該天平是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)“■”的質(zhì)量為x，“▲”的質(zhì)量為y “●”的質(zhì)量為m，列出等式，根據(jù)等式的性質(zhì)計(jì)算判斷即可．
【詳解】設(shè)“■”的質(zhì)量為x，“▲”的質(zhì)量為y “●”的質(zhì)量為m，
根據(jù)題意，得即，故A正確，不符合題意；
∴，故C正確，不符合題意；故B不正確，符合題意；
∴，故D正確，不符合題意；故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，正確理解等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3.（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）不是下列哪個(gè)方程的解（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將代入各個(gè)方程，即可判斷．
【詳解】經(jīng)代入計(jì)算，可知能使方程、、成立，
不能使成立，不是的解．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元次一方程的解的定義，正確代入計(jì)算，是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）將方程去分母，結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)解一元一次方程的步驟可進(jìn)行求解．
【詳解】解：將方程去分母得：；故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，滿足條件的m的所有正整數(shù)值為（ ）
A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．1，2，3 D．1，2，3，4
【答案】D
【分析】先解方程組求得x、y的值，再根據(jù)列出關(guān)于m的不等式，解之求得m的取值范圍即可求解．
【詳解】解：解方程組得，
∵，∴，解得，
∴正整數(shù)m的值為1、2、3、4，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組和一元一次不等式，根據(jù)題意列出關(guān)于m的不等式是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·浙江衢州·校考一模）若x、y是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)x、y的取值范圍，去絕對(duì)值符號(hào)并分別討論求得方程組的解，再代入代數(shù)式計(jì)算求解即可．
【詳解】解：當(dāng)，時(shí)，原方程組為：，方程組無解；
當(dāng)，時(shí)，原方程組為：，解得，；
當(dāng)，時(shí)，原方程組為：，方程組無解；
當(dāng)，時(shí)，原方程組為：，方程組無解；
綜上得，原方程組的解為：，∴，故答案選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，涉及到絕對(duì)值計(jì)算，根據(jù)未知數(shù)的范圍判斷去絕對(duì)值后的符號(hào)是解此題的關(guān)鍵．
7．（2023·浙江·模擬預(yù)測）一賓館有一人間、兩人間、三人間三種客房供游客租住，某旅行團(tuán)共15人準(zhǔn)備租用客房共7間，如果每個(gè)房間都住滿，租房方案有（ ）
A．6種B．5種C．4種D．3種
【答案】C
【分析】設(shè)一人間x間，二人間y間，三人間間，根據(jù)旅行團(tuán)共15人列出方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)一人間x間，二人間y間，三人間間．根據(jù)題意得：，
整理得：，
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，．
∴有4種租房方案：①租一人間3間，二人間0間，三人間4間；②租一人間2間，二人間2間，三人間3間；③租一人間1間，二人間4間，三人間2間；④租一人間0間，二人間6間，三人間1間．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題是二元一次方程的應(yīng)用，此題難度較大，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意列方程，然后根據(jù)x，y是整數(shù)求解，注意分類討論思想的應(yīng)用．
8．（2023·安徽六安·?？级＃┮阎猘，b，c均為非負(fù)整數(shù)，且，．當(dāng)時(shí)，則這三個(gè)數(shù)字組成的最大三位數(shù)可能是（ ）
A．340B．430C．520D．610
【答案】C
【分析】根據(jù)進(jìn)行分類討論即可求解．
【詳解】解：，且均為非負(fù)整數(shù)，①當(dāng)時(shí)，
，，
，，會(huì)組成四位數(shù)，不滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，，，
，，故組成最大的三位數(shù)為：；
③時(shí)，，，
，解得：，組成最大的三位數(shù)為：
綜上所述，它們最大三位數(shù)是，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三元一次方程組，掌握三元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想．
9.（2023·浙江·模擬預(yù)測）關(guān)于的方程有無數(shù)多個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．1B．C．1或D．有無數(shù)個(gè)取值
【答案】C
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，即可求解．
【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，
，，
當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，解得：，左邊，右邊，
此時(shí)方程有無數(shù)個(gè)解，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，解得：，左邊，右邊，
此時(shí)方程有無數(shù)個(gè)解，符合題意；
綜上：實(shí)數(shù)的值為1或，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的定義，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．
10．（2023·重慶中考模擬）閱讀理解：，，，是實(shí)數(shù)，我們把符號(hào)稱為階行列式，并且規(guī)定：，例如：.二元一次方程組的解可以利用階行列式表示為：；其中，，.問題：對(duì)于用上面的方法解二元一次方程組時(shí)，下面說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．方程組的解為
【答案】C
【分析】根據(jù)閱讀材料中提供的方法逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得.
【解析】A、D==2×（-2）-3×1=﹣7，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、Dy==2×12﹣1×3=21，故C選項(xiàng)不正確，符合題意；
D、方程組的解：x==2，y==﹣3，故D選項(xiàng)正確，不符合題意，故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了閱讀理解型問題，考查了2×2階行列式和方程組的解的關(guān)系，讀懂題意，根據(jù)材料中提供的方法進(jìn)行解答是關(guān)鍵.
11．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考三模）已知關(guān)于x，y的方程組的解是，則直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】把代入即可求出m的值，再根據(jù)二元一次方程組和一次函數(shù)的關(guān)系，即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：把代入，得：，
關(guān)于x、y的方程組的解是，
直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，以及二元一次方程組和一次函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解是對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．
12．（2023·江西南昌·?？家荒＃┒淮畏匠探M的解滿足，則的值為 ．
【答案】
【分析】將方程組中的兩個(gè)方程相加可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)可得一個(gè)關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得．
【詳解】解：，由得：，∴
二元一次方程組的解滿足，
，解得，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，正確發(fā)現(xiàn)方程組中的兩個(gè)方程與之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．
13．（2023·浙江·模擬預(yù)測）實(shí)數(shù)滿足．則 ．
【答案】
【分析】由得：，，由得：，從而得到，即可求解．
【詳解】解：，
由得：，∴，
由得：，∴，
∴，
∴．故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求代數(shù)式的值，三元一次方程組，根據(jù)題意得到，是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·遼寧沈陽·?？既＃╆P(guān)于的二元一次方程組的解是，則的值為 ．
【答案】0
【分析】把的值代入方程計(jì)算求出的值，代入進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：把代入，得：，解得：，
，故答案為：0．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．
15．（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解都為非負(fù)數(shù)，若，則W的最大值為 ．
【答案】1
【分析】先求出方程組的解，再由二元一次方程組的解都為非負(fù)數(shù)，可得關(guān)于a的不等式組，確定a的取值范圍，再由一次函數(shù)的增減性求解即可．
【詳解】解：，解得：，
∵二元一次方程組的解都為非負(fù)數(shù)，∴，解得：．
∵，W隨a的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，，故答案為：1
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組及一次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練掌握解二元一次方程組，解一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．
16.（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）如圖1，河圖洛書是中國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，被譽(yù)為“宇宙魔方”，是中華文化、陰陽五行術(shù)數(shù)之源．圖2是由河圖洛書得到的的一個(gè)九宮格，把從1~9這九個(gè)數(shù)填入方格中，使其行，列及對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都分別相等，則圖2中x的值應(yīng)為 ．

【答案】1
【分析】設(shè)左上角的數(shù)字為，依題意，則，解方程即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

設(shè)左上角的數(shù)字為，依題意，則解得：，故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）20世紀(jì)70年代，數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯使用兩種不同的菱形，完成了非周期性密鋪，如下圖，使用了，兩種菱形進(jìn)行了密鋪，則菱形的銳角的度數(shù)為 °．

【答案】36
【分析】如圖，設(shè)菱形B的銳角為x，菱形A的銳角和鈍角分別為y、z，根據(jù)密鋪的圖案中一個(gè)頂點(diǎn)處的周角為列出方程組，解答即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)菱形B的銳角為x，菱形A的銳角和鈍角分別為y、z，根據(jù)題意，得
，解得，故答案為：36．

【點(diǎn)睛】本題常考了密鋪問題，涉及了菱形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和、三元一次方程組等知識(shí)，正確理解題意、得出方程組是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）我市各單位為同學(xué)們的返校復(fù)學(xué)采取了一系列舉措．復(fù)課返校后，為了拉開學(xué)生鍛煉的間距，某學(xué)校決定增購適合獨(dú)立訓(xùn)練的兩種體育器材：跳繩和毽子，原來購進(jìn)根跳繩和個(gè)毽子共需元；購進(jìn)根跳繩和個(gè)毽子共需元．學(xué)校計(jì)劃購進(jìn)跳繩和毽子兩種器材共個(gè)，由于受疫情影響，商場決定對(duì)這兩種器材打折銷售，其中跳繩以八折出售，毽子以七五折出售，學(xué)校要求跳繩的數(shù)量不少于毽子數(shù)量的倍，跳繩的數(shù)量不多于根，則最少費(fèi)用是 元．
【答案】
【分析】設(shè)打折前跳繩的單價(jià)為元，毽子的單價(jià)為元，根據(jù)“打折前，購進(jìn)根跳繩和個(gè)毽子共需元；購進(jìn)根跳繩和個(gè)毽子共需元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之可得出跳繩及毽子的單價(jià)，設(shè)購買跳繩根，則購買個(gè)，根據(jù)“購進(jìn)跳繩的數(shù)量不少于毽子數(shù)量的倍，且跳繩的數(shù)量不多于根”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，設(shè)購買跳繩和毽子的總費(fèi)用為元，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，可找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．
【詳解】解：設(shè)打折前跳繩的單價(jià)為元，毽子的單價(jià)為元，
根據(jù)題意得：，解得：，打折前跳繩的單價(jià)為元，毽子的單價(jià)為元．
設(shè)購買跳繩根，則購買毽子個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：．
設(shè)購買跳繩和毽子的總費(fèi)用為元，則，即，
，隨的增大而增大，又，且為正整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值，
最少費(fèi)用是元．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·湖南長沙·?？级＃┫旅媸切》f同學(xué)解一元一次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并解答問題．
(1)以上求解過程中，第三步的依據(jù)是_________．
A．等式的基本性質(zhì) B．不等式的基本性質(zhì) C．分式的基本性質(zhì) D．乘法分配律
(2)從第_________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(3)該方程正確的解為____________
【答案】(1)A(2)一(3)
【分析】（1）根據(jù)移項(xiàng)的變形依據(jù)回答即可；（2）根據(jù)去分母漏乘沒有分母的項(xiàng)回答即可；
（3）寫出正確的解題過程，即可得到答案．
【詳解】（1）解：移項(xiàng)的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，故選：A
（2）從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，方程右邊的1沒有乘以6，故答案為：一
（3）
解：去分母，得……第一步
去括號(hào)，得……第二步
移項(xiàng)，得……第三步
合并同類項(xiàng)，得，……第四步
方程兩邊同除以－1，得．……第五步
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下面是小彬同學(xué)解二元一次方程組的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
填空：①以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是 ；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”變?yōu)椤耙辉?，在此過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是 （填序號(hào)）；
A．?dāng)?shù)形結(jié)合 B．類比思想 C．轉(zhuǎn)化思想 D．分類討論
③小彬同學(xué)的解題過程從第 步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，直接寫出該方程組的正確解： ．
【答案】①等式的性質(zhì)2；②C；③二；
【分析】①根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；②將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，進(jìn)而得到解決；
③利用二元一次方程組的解法求解即可．
【詳解】解：①把的兩邊都乘以3得，根據(jù)是等式的性質(zhì)2，故答案為：等式的性質(zhì)2；
②第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”變?yōu)椤耙辉?，在此過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，答案：C；
③小彬同學(xué)的解題過程從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確的解答如下：
解：①，得③，
②③，得，，
代入①，得，
所以，原方程組的解為， 故答案為：二，．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，掌握解二元一次方程組的解法是正確解答的前提．
21．（2023·黑龍江·統(tǒng)考三模）某手機(jī)經(jīng)銷商計(jì)劃同時(shí)購進(jìn)甲乙兩種型號(hào)手機(jī)，若購進(jìn)2部甲型號(hào)手機(jī)和5部乙型號(hào)手機(jī)，共需要資金6000元；若購進(jìn)3部甲型號(hào)手機(jī)和2部乙型號(hào)手機(jī)，共需要資金4600元．(1)求甲、乙型號(hào)手機(jī)每部進(jìn)價(jià)各為多少元；(2)該店預(yù)計(jì)用不少于1.78萬元且不多于1.92萬元的資金購進(jìn)這兩種型號(hào)手機(jī)共20部，請(qǐng)問有多少種進(jìn)貨方案？(3)若甲型號(hào)手機(jī)的售價(jià)為1500元，乙型號(hào)手機(jī)的售價(jià)為1450元，為了促銷，公司決定每售出一臺(tái)乙型號(hào)手機(jī)．返還顧客現(xiàn)金a元，甲型號(hào)手機(jī)售價(jià)不變，要使（2）中購進(jìn)的手機(jī)全部售完，每種方案獲利相同，求a的值．
【答案】(1)甲型號(hào)手機(jī)每部進(jìn)價(jià)為1000元，乙型號(hào)手機(jī)每部進(jìn)價(jià)為800元．(2)8種(3)a的值為150．
【分析】（1）設(shè)未知數(shù)列二元一次方程組解方程即可；（2）設(shè)未知數(shù)列不等式，解不等式，考慮實(shí)際問題中取整得到解的可能情況；（3）用（2）中未知數(shù)和a列出利潤計(jì)算式，根據(jù)m的值不影響利潤結(jié)果得到含m的項(xiàng)系數(shù)為0，求出a即可．
【詳解】（1）設(shè)甲型號(hào)手機(jī)每部進(jìn)價(jià)為x元，乙型號(hào)手機(jī)每部進(jìn)價(jià)為y元．
依題意，得．解得．
答：甲型號(hào)手機(jī)每部進(jìn)價(jià)為1000元，乙型號(hào)手機(jī)每部進(jìn)價(jià)為800元．
（2）設(shè)購進(jìn)甲型號(hào)手機(jī)m部，則購進(jìn)乙型號(hào)手機(jī)部．
依題意，得，解得．
又m為整數(shù)，m可以為9，10，11，12，13，14，15，16．有8種進(jìn)貨方案．
（3）設(shè)20部手機(jī)全部銷售完后獲得的總利潤相等，則
．
（2）中每種方案獲利相同，利潤計(jì)算式中不能有含的項(xiàng)，
．．答：a的值為150．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，及定值問題．注意定值問題中一個(gè)式子的值與m無關(guān)，則含有m的項(xiàng)中，m的系數(shù)為0．
22．（2023·廣東河源·二模）西安的大唐不夜城，已成為游客們必去的打卡之地，在其商業(yè)街上，擺放著琳瑯滿目的具有古風(fēng)特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜愛，某店鋪老板用元購進(jìn)了折扇和團(tuán)扇共把，這兩種扇子的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如表所示：
(1)折扇和團(tuán)扇各購進(jìn)了多少把？(2)店鋪老板將這兩種扇子打折出售，全部售出后，該店鋪共獲利元，已知折扇按標(biāo)價(jià)的九折出售，則團(tuán)扇的折扣是多少？
【答案】(1)折扇購進(jìn)了把，團(tuán)扇購進(jìn)了把(2)團(tuán)扇的折扣是七五折
【分析】（1）設(shè)折扇購進(jìn)了把，團(tuán)扇購進(jìn)了把，根據(jù)“店鋪老板用元購進(jìn)了折扇和團(tuán)扇共把”，和表格中折扇和團(tuán)扇的進(jìn)價(jià)，列出二元一次方程組，解二元一次方程組即可；
（2）設(shè)團(tuán)扇的折扣是折，根據(jù)“全部售出后，該店鋪共獲利元”，折扇購進(jìn)了把，團(tuán)扇購進(jìn)了把，和表格中折扇和團(tuán)扇的進(jìn)價(jià)與標(biāo)價(jià)，列出一元一次方程，解一元一次方程即可．
【詳解】（1）解：設(shè)折扇購進(jìn)了把，團(tuán)扇購進(jìn)了把，
根據(jù)題意得：，解得：．
答：折扇購進(jìn)了把，團(tuán)扇購進(jìn)了把；
（2）解：設(shè)團(tuán)扇的折扣是折，
根據(jù)題意得：，解得：．
答：團(tuán)扇的折扣是七五折．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程、二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題意、列方程是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）閱讀與思考
小敏在九年級(jí)復(fù)習(xí)階段，針對(duì)“一次方程的解”整理得出以下幾種方法，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).
任務(wù)：
(1)解方程的基本思想是（ ）
A．方程思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C． 數(shù)形結(jié)合 D．分類討論
(2)解方程的步驟從第__________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是_________________，方程正確的解為___________________________.
(3)實(shí)際上，除了解二元一次方程組外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí).例如：可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)一元一次方程的解，請(qǐng)你再舉出一例；
【答案】(1)B(2)一，移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)；(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)題中解方程的方法即可得到解方程的基本思想是；
（2）根據(jù)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1解方程，再進(jìn)行判斷即可；
（3）根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系舉例即可．
【詳解】（1）解：由題意可得，解方程的基本思想是是轉(zhuǎn)化思想，故選：B．
（2）解：由題意可得，第一步：移項(xiàng)得，，
第二步：合并同類項(xiàng)得，，第三步：化系數(shù)為1得，，
∴從第一步開始出錯(cuò)，原因是：x移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)，
故答案為：一，移項(xiàng)時(shí)沒有變號(hào)，．
（3）解：用二次函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程的解（用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元一次不等式的解集）．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程和二元一次方程組、函數(shù)與方程的關(guān)系，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．
限時(shí)檢測2：最新各地中考真題（40分鐘）
1．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）小明解方程的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得①
去括號(hào)，得②
移項(xiàng)，得③
合并同類項(xiàng)，得④
以上解題步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步驟進(jìn)行檢查，即可得出答案．
【詳解】解：方程兩邊同乘6，得①
∴開始出錯(cuò)的一步是①，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟以及注意事項(xiàng)是解決問題的關(guān)鍵．
2．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）《孫子算經(jīng)》記載：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”（尺、寸是長度單位，1尺＝10寸）．意思是，現(xiàn)有一根長木，不知道其長短．用一根繩子去度量長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再度量長木，長木還剩余1尺．問長木長多少？設(shè)長木長為x尺，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)長木長為x尺，則繩子長為尺，根據(jù)“將繩子對(duì)折再度量長木，長木還剩余1尺”，可列出方程．
【詳解】設(shè)長木長為x尺，則繩子長為尺，根據(jù)題意，得 故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程解決實(shí)際問題，理解題意，找出等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2023年山東省威海市中考數(shù)學(xué)真題）常言道：失之毫厘，謬以千里．當(dāng)人們向太空發(fā)射火箭或者描述星際位置時(shí)，需要非常準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)．的角真的很小．把整個(gè)圓等分成360份，每份這樣的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)是．．若一個(gè)等腰三角形的腰長為1千米，底邊長為4.848毫米，則其頂角的度數(shù)就是．太陽到地球的平均距離大約為千米．若以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂角為的等腰三角形底邊長為（ ）
A．24.24千米B．72.72千米C．242.4千米D．727.2千米
【答案】D
【分析】設(shè)以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂角為的等腰三角形底邊長為x毫米，根據(jù)頂角相等的兩等腰三角形相似，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可列出方程，求解即可．
【詳解】解：設(shè)以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂角為的等腰三角形底邊長為x毫米，根據(jù)題意，得解得：
∴等腰三角形底邊長為毫米千米．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵，注意單位換算．
4．（2023年江蘇省連云港市中考數(shù)學(xué)真題）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行里，慢馬每天行里，駑馬先行天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)快馬天可追上慢馬，根據(jù)路程相等，列出方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)真題）為提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)動(dòng)手實(shí)踐能力，某校為物理興趣小組的同學(xué)購買了一根長度為的導(dǎo)線，將其全部截成和兩種長度的導(dǎo)線用于實(shí)驗(yàn)操作（每種長度的導(dǎo)線至少一根），則截取方案共有（ ）
A．5種B．6種C．7種D．8種
【答案】C
【分析】設(shè)和兩種長度的導(dǎo)線分別為根，根據(jù)題意，得出，進(jìn)而根據(jù)為正整數(shù)，即可求解．
【詳解】解：設(shè)和兩種長度的導(dǎo)線分別為根，根據(jù)題意得，
，即，∵為正整數(shù)，∴
則，故有7種方案，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程求整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．
6．（2023年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題）已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則m的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】將方程組的兩個(gè)方程相減，可得到，代入，即可解答．
【詳解】解：，得，，
代入，可得，解得，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)解的情況求參數(shù)，熟練利用加減法整理代入是解題的關(guān)鍵．
7．（2023年四川省南充市中考數(shù)學(xué)真題）關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加減法解方程組，用表示出，再將求得的代數(shù)式代入，得到的關(guān)系，最后將變形，即可解答．
法二：中得到，再根據(jù)求出代入代數(shù)式進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：法一：，
得，解得，
將代入，解得，
，，得到，
，
法二： 得：，即：，
∵，∴，，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二元一次方程解的情況求參數(shù)，同底數(shù)冪除法，冪的乘方，熟練求出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·河北·中考真題）“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖．按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出．然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個(gè)搬運(yùn)工，這時(shí)水位恰好到達(dá)標(biāo)記位置．如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個(gè)搬運(yùn)工，水位也恰好到達(dá)標(biāo)記位置．已知搬運(yùn)工體重均為120斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則正確的是（ ）
A．依題意B．依題意
C．該象的重量是5040斤D．每塊條形石的重量是260斤
【答案】B
【分析】根據(jù)題意列出方程即可解答．
【詳解】解：根據(jù)題意可得方程；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意真確列出方程是解題的關(guān)鍵．
9．（2022年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)真題）五一小長假，小華和家人到公園游玩.湖邊有大小兩種游船．小華發(fā)現(xiàn)1艘大船與2艘小船一次共可以滿載游客32人，2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人．則1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客的人數(shù)為（ ）
A．30B．26C．24D．22
【答案】B
【分析】設(shè)1艘大船與1艘小船分別可載x人，y人，根據(jù)“1艘大船與2艘小船一次共可以滿載游客32人”和“2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人”這兩個(gè)等量關(guān)系列方程組，解出（x+y）即可．
【詳解】設(shè)1艘大船與1艘小船分別可載x人，y人，
依題意：（①+②）÷3得： 故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用；注意本題解出（x+y）的結(jié)果即可．
10．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個(gè)題目：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，四文錢買苦果七，十一文錢九個(gè)甜，甜苦兩果各幾個(gè)？其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個(gè)苦果和甜果，其中四文錢可以買苦果七個(gè)，十一文錢可以買甜果九個(gè)．問：苦、甜果各有幾個(gè)？設(shè)苦果有個(gè)，甜果有個(gè)，則可列方程組為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題．
【詳解】解：設(shè)苦果有個(gè)，甜果有個(gè)，由題意可得，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組的有關(guān)知識(shí)，正確找到相等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
11．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，寫出的一個(gè)整數(shù)值___________．
【答案】7（答案不唯一）
【分析】先解關(guān)于x、y的二元一次方程組的解集，再將代入，然后解關(guān)于a的不等式的解集即可得出答案．
【詳解】將兩個(gè)方程相減得，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴的一個(gè)整數(shù)值可以是7．故答案為：7（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式，整體代入的思想方法是解答本題的
12.（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）小偉用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m，當(dāng)動(dòng)力臂由1.5m增加到2m時(shí)，撬動(dòng)這塊石頭可以節(jié)省________N的力．（杜桿原理：阻力阻力臂動(dòng)力動(dòng)力臂）
【答案】100
【分析】設(shè)動(dòng)力為，根據(jù)阻力阻力臂動(dòng)力動(dòng)力臂，分別解得動(dòng)力臂在1.5m和2m時(shí)的動(dòng)力，即可解答．
【詳解】解：設(shè)動(dòng)力為，根據(jù)阻力阻力臂動(dòng)力動(dòng)力臂，
當(dāng)動(dòng)力臂在1.5m時(shí)，可得方程，解得，
當(dāng)動(dòng)力臂在2m時(shí)，可得方程，解得，
，故節(jié)省100N的力，故答案為：100．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題目中給出的等量關(guān)系，正確列方程是解題的關(guān)鍵．
13．（2021·浙江嘉興市·中考真題）已知二元一次方程，請(qǐng)寫出該方程的一組整數(shù)解_________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意確定出方程的整數(shù)解即可．
【詳解】解：方程的一組整數(shù)解為故答案為：（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
14．（2022·山東威海·中考真題）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”．把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)翻譯出來，就是一個(gè)三階幻方（如圖1），將9個(gè)數(shù)填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個(gè)橫行、每個(gè)豎列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等，就得到一個(gè)廣義的三階幻方．圖2的方格中填寫了一些數(shù)字和字母，若能構(gòu)成一個(gè)廣義的三階幻方，則mn＝_____．
【答案】1
【分析】由第二行方格的數(shù)字，字母，可以得出第二行的數(shù)字之和為m，然后以此得出可知第三行左邊的數(shù)字為4，第一行中間的數(shù)字為m-n+4，第三行中間數(shù)字為n-6，第三行右邊數(shù)字為，再根據(jù)對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和相等且都等于m可得關(guān)于m，n方程組，解出即可．
【詳解】如圖，根據(jù)題意，可得
第二行的數(shù)字之和為：m+2+(-2)=m可知第三行左邊的數(shù)字為：m-(-4)-m=4
第一行中間的數(shù)字為：m-n-(-4)=m-n+4 第三行中間數(shù)字為m-2-(m-n+4)=n-6
第三行右邊數(shù)字為：m-n-(-2)=m-n+2
再根據(jù)對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和相等且都等于m可得方程組為：
解得 ∴ 故答案為：1
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加法，列代數(shù)式，以及二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)表格，利用每行，每列，每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等列方程．
15．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）小紅在解方程時(shí)，第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤：
(1)請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯(cuò)誤處；(2)寫出你的解答過程．
【答案】(1)劃線見解析 (2)，過程見解析
【分析】（1）根據(jù)解一元一次方程去分母的過程，即可解答；
（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟，計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：劃線如圖所示：
（2）解：，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟知解方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
16．（2023年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題）近年來，市民交通安全意識(shí)逐步增強(qiáng)，頭盔需求量增大．某商店購進(jìn)甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費(fèi)2920元，甲種頭盔的單價(jià)比乙種頭盔的單價(jià)高11元．
(1)甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是多少元？
(2)商店決定再次購進(jìn)甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進(jìn)行促銷活動(dòng)，促銷方式如下：甲種頭盔按單價(jià)的八折出售，乙種頭盔每只降價(jià)6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的一半，那么應(yīng)購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費(fèi)用最??？最小費(fèi)用是多少元？
【答案】(1)甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是65元， 54元．
(2)購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費(fèi)用最小,最小費(fèi)用為1976元．
【分析】（1）設(shè)購買乙種頭盔的單價(jià)為x元，則甲種頭盔的單價(jià)為元，根據(jù)題意，得，求解；
（2）設(shè)購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費(fèi)用最小,設(shè)總費(fèi)用為w,則，解得，故最小整數(shù)解為，，根據(jù)一次函數(shù)增減性，求得最小值=．
【詳解】（1）解:設(shè)購買乙種頭盔的單價(jià)為x元，則甲種頭盔的單價(jià)為元，根據(jù)題意，得解得，，，
答：甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是65元， 54元．
（2）解：設(shè)購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費(fèi)用最小,設(shè)總費(fèi)用為w,
則，解得，故最小整數(shù)解為，
，
∵，則w隨m的增大而增大，
∴時(shí)，w取最小值，最小值．
答：購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費(fèi)用最小,最小費(fèi)用為1976元．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用；根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，確定自變量取值范圍是解題的關(guān)鍵．
17．（2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題）某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖．珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計(jì)入次數(shù)，需重新投，計(jì)分規(guī)則如下：
在第一局中，珍珍投中A區(qū)4次，B區(qū)2次，脫靶4次．

(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A區(qū)k次，B區(qū)3次，其余全部脫靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】(1)珍珍第一局的得分為6分；(2)．
【分析】（1）根據(jù)題意列式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意列一元一次方程即可求解.
【詳解】（1）解：由題意得(分)，
答：珍珍第一局的得分為6分；
（2）解：由題意得，解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
18．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）對(duì)聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對(duì)聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一幅對(duì)聯(lián)，對(duì)聯(lián)的長為，寬為．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．（書法作品選自《啟功法書》）

【答案】邊的寬為，天頭長為
【分析】設(shè)天頭長為，則地頭長為，邊的寬為，再分別表示礎(chǔ)裝裱后的長和寬，根據(jù)裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)天頭長為，
由題意天頭長與地頭長的比是，可知地頭長為，
邊的寬為，
裝裱后的長為，
裝裱后的寬為，
由題意可得：解得，∴，
答：邊的寬為，天頭長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，題中的數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，需要合理設(shè)未知數(shù)，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系．
19．（2023年山東省臨沂市中考數(shù)學(xué)真題）大學(xué)生小敏參加暑期實(shí)習(xí)活動(dòng)，與公司約定一個(gè)月（30天）的報(bào)酬是M型平板電腦一臺(tái)和1500元現(xiàn)金，當(dāng)她工作滿20天后因故結(jié)束實(shí)習(xí)，結(jié)算工資時(shí)公司給了她一臺(tái)該型平板電腦和300元現(xiàn)金．(1)這臺(tái)M型平板電腦價(jià)值多少元？
(2)小敏若工作m天，將上述工資支付標(biāo)準(zhǔn)折算為現(xiàn)金，她應(yīng)獲得多少報(bào)酬（用含m的代數(shù)式表示）？
【答案】(1)這臺(tái)M型平板電腦的價(jià)值為元 (2)她應(yīng)獲得元的報(bào)酬
【分析】（1）設(shè)這臺(tái)M型平板電腦的價(jià)值為元，根據(jù)題意，列出方程進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)題意，列出代數(shù)式即可．
【詳解】（1）解：設(shè)這臺(tái)M型平板電腦的價(jià)值為元，由題意，得：
， 解得：；∴這臺(tái)M型平板電腦的價(jià)值為元；
（2）解：由題意，得：；答：她應(yīng)獲得元的報(bào)酬．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．
20．（2023年湖南省長沙市中考數(shù)學(xué)真題）為提升學(xué)生身體素質(zhì)，落實(shí)教育部門“在校學(xué)生每天鍛煉時(shí)間不少于1小時(shí)”的文件精神．某校利用課后服務(wù)時(shí)間，在八年級(jí)開展“體育賦能，助力成長”班級(jí)籃球賽，共個(gè)班級(jí)參加．(1)比賽積分規(guī)定：每場比賽都要分出勝負(fù)，勝一場積分，負(fù)一場積分．某班級(jí)在場比賽中獲得總積分為分，問該班級(jí)勝負(fù)場數(shù)分別是多少？(2)投籃得分規(guī)則：在分線外投籃，投中一球可得分，在分線內(nèi)含分線投籃，投中一球可得分，某班級(jí)在其中一場比賽中，共投中個(gè)球只有分球和分球，所得總分不少于分，問該班級(jí)這場比賽中至少投中了多少個(gè)分球？
【答案】(1)該班級(jí)勝負(fù)場數(shù)分別是場和場；(2)該班級(jí)這場比賽中至少投中了個(gè)分球．
【分析】（1）設(shè)勝了場，負(fù)了場，根據(jù)場比賽中獲得總積分為分可列方程組，求解即可．
（2）設(shè)班級(jí)這場比賽中投中了個(gè)分球，則投中了個(gè)分球，根據(jù)所得總分不少于分，列出相應(yīng)的不等式，從而可以求出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)勝了場，負(fù)了場，根據(jù)題意得：，解得，
答：該班級(jí)勝負(fù)場數(shù)分別是場和場；
（2）設(shè)班級(jí)這場比賽中投中了個(gè)分球，則投中了個(gè)分球，
根據(jù)題意得：，解得，答：該班級(jí)這場比賽中至少投中了個(gè)分球．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組和不等式．
解方程：
解：去分母，得……第一步
去括號(hào)，得……第二步
移項(xiàng)，得……第三步
合并同類項(xiàng)，得，……第四步
方程兩邊同除以－1，得．……第五步
解方程組：
解：①，得．③第一步
②③，得．第二步
．第三步
代入①，得．第四步
所以，原方程組的解為．第五步
種類價(jià)格
折扇
團(tuán)扇
進(jìn)價(jià)（元/把）
標(biāo)價(jià)（元/把）
九年級(jí)總復(fù)習(xí)筆記
引例：求一元一次方程和方程組的解.
基本步驟：去括號(hào)，去分母，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，化系數(shù)為
基本思想：________________
解答：
第一步：
移項(xiàng)得：
第二步：
合并同類項(xiàng)得：
第三步：
化系數(shù)為1得：
方法一：
由得
，
把代入①中得
所以原方程組的解為
方法二：利用兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)求得方程組的解為

投中位置
A區(qū)
B區(qū)
脫靶
一次計(jì)分（分）
3
1

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