1．如圖，在3×3正方形網(wǎng)格中，點A，B在格點上，若點C也在格點上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．如果把分式中的x和y都擴大10倍，則分式的值（ ）
A．擴大20倍B．擴大10倍C．不變D．縮小10倍
3．如圖，已知△ABC中，PM、QN分別是AB，AC邊上的垂直平分線，∠BAC＝100°，AB＞AC，則∠PAQ的度數(shù)是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40
4．如圖，長方形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E在AB邊上，將紙片沿CE折疊，點B落在點F處，EF，CF分別交AD于點G，H，且EG＝GH，則AE的長為（ ）
A．B．1C．D．2
5．若平面直角坐標系中的兩點A（a，3），B（1，b）關(guān)于x軸對稱，則a+b的值是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
6．如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CE＝a，HG＝b，則斜邊BD的長是（ ）
A．a(chǎn)+bB．a(chǎn)﹣bC．D．
7．與點P（a2+2，﹣a2﹣1）在同一個象限內(nèi)的點是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）
8．如圖，△ABC是等邊三角形，P是BC上任意一點，PD⊥AB，PE⊥AC，連接DE．記△ADE的周長為L1，四邊形BDEC的周長為L2，則L1與L2的大小關(guān)系是（ ）
A．L1＝L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．無法確定
二．填空題（共9小題）
9．A（0，a），B（3，5）是平面直角坐標系中的兩點，線段AB長度的最小值為 ．
10．在平面直角坐標系中，點P（﹣2，1）關(guān)于y軸對稱的點的坐標是 ．
11．若y＝++4，則x2+y2的平方根是 ．
12．如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上的點，且AD＝CE，則∠ADC+∠BEA＝ °．
13．如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠CAB與∠CBA的平分線交于點G，分別與CB、CA邊交于點D、E，GF⊥AB，垂足為點F，若AC＝6，CD＝2，則GF＝ ．
14．如圖，長方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是1，△ABC是格點三角形（頂點都在格點上），則點C到AB的距離為 ．
15．如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝9，折疊紙片ABCD，使頂點C落在邊AD上的點G處，折痕分別交邊AD、BC于點E、F，則△GEF的面積最大值是 ．
16．如果點P（m，3）與點Q（﹣5，n）關(guān)于y軸對稱，則m+n的值為 ．
17．如圖，在△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，BD平分∠ABC．若P，Q分別是BD和AB上的動點，則PA+PQ的最小值是 ．
三．解答題（共3小題）
18．△ABC、△DPC都是等邊三角形．
（1）如圖1，求證：AP＝BD；
（2）如圖2，點P在△ABC內(nèi)，M為AC的中點，連PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．
①求證：BP⊥BD；
②判斷PC與PA的數(shù)量關(guān)系并證明．
19．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，將△BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點B的對應(yīng)點恰好與點A重合，得到△ACE．
（1）求證：AE⊥BD；
（2）若AD＝2，CD＝3，試求四邊形ABCD的對角線BD的長．
20．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，點F是AB的中點，點E是BC邊上的點，DE＝AD+BE，△DEF的周長為l．
（1）求證：DF平分∠ADE；
（2）若FD＝FC，AB＝2，AD＝3，求l的值．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．【解答】解：以AB為腰的等腰三角形有兩個，以AB為底的等腰三角形有一個，如圖：
所以符合條件的點C的個數(shù)為3個，
故選：C．
2．【解答】解：＝，
故選：B．
3．【解答】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝80°，
∵PM，QN分別是AB，AC的垂直平分線，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）＝20°．
故選：B．
4．【解答】解：∵將△CBE沿CE翻折至△CFE，
∴∠F＝∠B＝∠A＝90°，BE＝EF，
在△AGE與△FGH中，
∴△AGE≌△FGH（AAS），
∴FH＝AE，GF＝AG，
∴AH＝BE＝EF，
設(shè)AE＝x，則AH＝BE＝EF＝4﹣x
∴DH＝x+2，CH＝6﹣x，
∵CD2+DH2＝CH2，
∴42+（2+x）2＝（6﹣x）2，
∴x＝1，
∴AE＝1，
故選：B．
5．【解答】解：∵兩點A（a，3），B（1，b）關(guān)于x軸對稱，
∴a＝1，b＝﹣3，
∴a+b＝1﹣3＝﹣2，
故選：B．
6．【解答】解：設(shè)CD＝x，則DE＝a﹣x，
∵HG＝b，
∴AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x，
∴x＝，
∴BC＝DE＝a﹣＝，
∴BD2＝BC2+CD2＝（）2+（）2＝，
∴BD＝，
故選：C．
7．【解答】解：∵a2≥0，
∴a2+2≥2，﹣a2﹣1≤﹣1，
∴點P在第四象限，
（2，﹣1），（﹣1，2）（﹣2，﹣1）（2，1）中只有（2，﹣1）在第四象限．
故選：A．
8．【解答】解：∵等邊三角形各內(nèi)角為60°，∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPD＝∠CPE＝30°，
∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，
∴BP＝2BD，CP＝2CE，
∴BD+CE＝BC，
∴AD+AE＝AB+AC﹣BC＝BC，
∴BD+CE+BC＝BC，
L1＝BC+DE，
L2＝BC+DE，
即得L1＝L2，
故選：A．
二．填空題（共9小題）
9．【解答】解：如圖．
∵A（0，a），
∴A在y軸上．
∴線段AB的長度為B點到y(tǒng)軸上點的距離．
若使得線段AB長度的最小，由垂線段最短，
∴當A在（0，5）時，即AB⊥y軸，線段AB長度最小．
∴（dAB）min＝3．
故答案為：3．
10．【解答】解：點P（﹣2，1）關(guān)于y軸對稱的點的坐標是（2，1），
故答案為：（2，1）．
11．【解答】解：∵2﹣x≥0，x﹣2≥0，
∴x＝2，
∴y＝4，
故x2+y2＝22+42＝20，
∴x2+y2的平方根是：±＝±2．
故答案為：±2．
12．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形
∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC
∵AD＝CE
∴△ADC≌△CEB（SAS）
∴∠ACD＝∠CBE
∴∠BCD+∠CBE＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°．
∴∠BOC＝120°，
∴∠DOE＝120°，
∴∠ADC+∠BEA＝360°﹣60°﹣120°＝180°，
故答案為：180．
13．【解答】解：過G作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，連接CG，
∵GF⊥AB，∠CAB與∠CBA的平分線交于點G，
∴GM＝GM＝GF，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴S△ACD＝AC?CD＝AC?GM+CD?GN，
∴6×2＝6?GM+2×GN，
∴GM＝1.5，
∴GF＝1.5，
故答案為：1.5
14．【解答】解：設(shè)點C到AB的距離為h，
∵AB＝＝5，
∴S△ABC＝×2×3＝×5×h，
∴h＝1.2，
故答案為：1.2．
15．【解答】解：如圖，當點G與點A重合時，△GEF的面積最大，
∵折疊
∴GF＝FC，∠AFE＝∠EFC
在Rt∠ABF中，AF2＝AB2+BF2，
∴AF2＝9+（9﹣AF）2，
∴AF＝5
∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC
∴∠AEF＝∠AFE
∴AE＝AF＝5
∴△GEF的面積最大值＝×5×3＝7.5
故答案為：7.5
16．【解答】解：∵點P（m，3）與點Q（﹣5，n）關(guān)于y軸對稱，
∴m＝5，n＝3，
∴m+n＝8
故答案為：8
17．【解答】解：如圖，作點Q關(guān)于直線BD的對稱點Q′，作AM⊥BC于M．
∵PA+PQ＝PA+PQ′，
∴根據(jù)垂線段最短可知，當A，P，Q′共線，且與AM重合時，PA+PQ的值最小，最小值＝線段AM的長．
設(shè)CM＝x，AM＝y(tǒng)，
由題意：，
解得y＝12，
∴PA+PQ的最小值為12．
故答案為12．
三．解答題（共3小題）
18．【解答】（1）證明：如圖1中，
∵△ABC，△CDP都是等邊三角形，
∴CB＝CA，CD＝CP，∠ACB＝∠DCP＝60°，
∴∠BCD＝∠ACP，
在△BCD和△ACP中，
，
∴△BCD≌△ACP（SAS），
∴BD＝AP；
（2）①證明：如圖2中，延長PM到K，使得MK＝PM，連接CK．
∵AP⊥PM，
∴∠APM＝90°，
在△AMP和△CMK中，
，
∴△AMP≌△CMK（SAS），
∴MP＝MK，AP＝CK，∠APM＝∠K＝90°，
同法可證△BCD≌△ACP，
∴BD＝PA＝CK，
∵PB＝2PM，
∴PB＝PK，
∵PD＝PC，
∴△PDB≌△PCK（SSS），
∴∠PBD＝∠K＝90°，
∴PB⊥BD．
②解：結(jié)論：PC＝2PA．
∵△PDB≌△PCK，
∴∠DPB＝∠CPK，
設(shè)∠DPB＝∠CPK＝x，則∠BDP＝90°﹣x，
∵∠APC＝∠CDB，
∴90°+x＝60°+90°﹣x，
∴x＝30°，
∴∠DPB＝30°，
∵∠PBD＝90°，
∴PD＝2BD，
∵PC＝PD，BD＝PA，
∴PC＝2PA．
19．【解答】（1）證明：如圖，設(shè)AC與BD的交點為點M，BD與AE的交點為點N，
∵將△BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，
∴AC＝BC，∠DBC＝∠CAE
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DBC+∠BMC＝90°
∴∠AMN+∠CAE＝90°
∴∠AND＝90°
∴AE⊥BD，
（2）解：如圖，連接DE，
∵將△BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，
∴CD＝CE＝3，BD＝AE，∠DCE＝∠ACB＝90°
∴DE＝＝3，∠CDE＝45°
∵∠ADC＝45°
∴∠ADE＝90°
∴EA＝＝
∴BD＝．
20．【解答】解：（1）延長DF，CB交于點M，
∵點F是AB的中點，
∴AF＝BF，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠M，且∠AFD＝∠BFM，AF＝BF
∴△AFD≌△BFM（AAS）
∴BM＝AD，MF＝DF
∵DE＝AD+BE
∴DE＝BM+BE＝ME，
∴∠M＝∠EDM
∴∠ADF＝∠EDM
∴DF平分∠ADE；
（2）∵點F是AB的中點，
∴AF＝BF＝1
∵AD＝BM，AD＝BC
∴BM＝BC，
∵FD＝FC＝MF，
∴FB⊥BC
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，且FB⊥BC
∴四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，BCD＝∠ABC＝90°，
在Rt△DEC中，DE2＝DC2+EC2，
∴（3+BE）2＝（3﹣BE）2+4
∴BE＝，
∴DE＝
在Rt△BEF中，EF＝＝
在Rt△ADF中，DF＝＝
∴△DEF的周長為l＝DE+EF+DF＝+
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/16 15:08:

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