1．在 ，1.414，﹣，π，2+，，中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
2．下列命題中正確的是（ ）
A．若m≠n，則|m|≠|(zhì)n|
B．若a+b＝0，ab＞0
C．若ab＜0，且a＜b，則|a|＜|b|
D．互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為正
3．若x是整數(shù)，則使分式的值為整數(shù)的x值有（ ）個(gè)．
A．2B．3C．4D．5
4．若，，則a與b的大小關(guān)系為（ ）
A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)＜bD．無法確定
5．當(dāng)x分別取2020、2018、2016、…、2、0、、、…、、、時(shí)，計(jì)算分式的值，再將所得結(jié)果相加，其和等于（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2020
6．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線m上運(yùn)動(dòng)，連接PC，那點(diǎn)P在直線m上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點(diǎn)P的位置有（ ）
A．6個(gè)B．5個(gè)C．4個(gè)D．3個(gè)
7．如圖，△ABC≌△ADE，D在BC上，連接CE，則以下結(jié)論：①AD平分∠BDE；②∠CDE＝∠BAD；③∠DAC＝∠DEC； ④AD＝DC．其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
8．若a＝20220，b＝2021×2023﹣20222，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．b＜c＜a
9．如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB，在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E，……，按此做法繼續(xù)下去，則第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是（ ）
A．?80°B．2n?80°
C．?80°D．?80°
10．一支部隊(duì)排成a米長隊(duì)行軍，在隊(duì)尾的戰(zhàn)士要與最前面的團(tuán)長聯(lián)系，他用t1分鐘追上了團(tuán)長、為了回到隊(duì)尾，他在追上團(tuán)長的地方等待了t2分鐘．如果他從最前頭跑步回到隊(duì)尾，那么他需要的時(shí)間是（ ）
A．分鐘B．分鐘
C．分鐘D．分鐘
二．填空題（共9小題）
11．已知，則yx的算術(shù)平方根是 ．
12．已知不等式3x﹣a≤0的正整數(shù)解恰是1，2，3，4，那么a的取值范圍是 ．
13．a(chǎn)化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是 ．
14．如果代數(shù)式（x+2）x﹣1的值等于1，那么x的值為 ．
15．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為 ．
16．已知方程組的解是，則方程組的解是 ．
17．已知關(guān)于x的分式方程無解，則a的值為 ．
18．M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點(diǎn)N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，則△ABC的周長等于 ．
19．根據(jù)a1＝n，，，，…，所蘊(yùn)含的規(guī)律可得a2022等于 ．
三．解答題（共4小題）
20．背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。@個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠CPB＝120°時(shí)，則PA+PB+PC取得最小值．
（1）如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△APB繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時(shí)△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB＝ ；
知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與△ABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問題．
（2）如圖3，△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：CB'過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
（3）如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．
21．已知，求的值．
22．永州市萬達(dá)廣場(chǎng)籌建之初的一項(xiàng)挖土工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書，每施工一天，需付甲工程隊(duì)工程款2.4萬元，付乙工程隊(duì)工程款1.8萬元，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測(cè)算，可有三種施工方案：
（方案一）甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好按規(guī)定工期完成：
（方案二）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定工期多用6天；
（方案三）若由甲、乙兩隊(duì)合作做5天，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好按規(guī)定工期完工．
（1）請(qǐng)你求出完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間；
（2）如果你是工程領(lǐng)導(dǎo)小組的組長，為了節(jié)省工程款，同時(shí)又能如期完工，你將選擇哪一種方案？說明理由．
23．如圖，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長線于點(diǎn)F，連CF，交AB于點(diǎn)G、交AD于點(diǎn)M，連DG．
（1）求證：AD⊥CF；
（2）求證：∠ADC＝∠BDG；
（3）連AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．【解答】解：，1.414是分?jǐn)?shù)，故是有理數(shù)；
＝3是整數(shù)，故是有理數(shù)；
﹣，π，2+，是無限不循環(huán)小數(shù)，故是無理數(shù)．
故選：D．
2．【解答】解：A、可舉例子﹣1≠1，則|﹣1|＝|1|，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、可舉例子a＝﹣1，b＝1，ab＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、可舉例子a＝﹣5，b＝1，|﹣5|＞|1|，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，所以互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為正，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
3．【解答】解：＝＝＝4+，
要使的值為整數(shù)，就是為整數(shù)，
即2x﹣1＝±1，2x﹣1＝±2，2x﹣1＝±3，2x﹣1＝±6，
而當(dāng)2x﹣1＝±2，2x﹣1＝±6時(shí)，x不是整數(shù)，
因此x是整數(shù)，分式的值也是整數(shù)的x值有4個(gè)，
故選：C．
4．【解答】解：∵a﹣b＝
＝
＝
＞＞0，
∴a＞b．
故選：A．
5．【解答】解：當(dāng)x＝a（a≠0）時(shí)，＝，
當(dāng)x＝時(shí)，＝＝﹣，
即互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)代入分式的和為0，
當(dāng)x＝0時(shí)，＝﹣1，
故選：A．
6．【解答】解：如圖所示：以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交直線m于點(diǎn)P4，P2，
以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交直線m于點(diǎn)P1，P3，
邊AC和BC的垂直平分線都交于點(diǎn)P3位置，
因此出現(xiàn)等腰三角形的點(diǎn)P的位置有4個(gè)，
故選：C．
7．【解答】解：AC和DE交于O，
∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，
∴∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠CAE，∠ACE＝∠AEC，
∴∠ADB＝∠ADE，∠ACE＝∠ADB＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE，
∵∠AOD＝∠EOC，
∴∠DAC＝∠DEC，
∵∠CDE+∠ADE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
由條件不能推出AD＝DC，
∴①②③正確．
故選：C．
8．【解答】解：a＝20220＝1；
b＝2021×2023﹣20222
＝（2022﹣1）×（2022+1）﹣20222
＝20222﹣1﹣20222
＝﹣1；
c＝（﹣）3022×（）3023
＝（﹣）3022×（）3022×
＝（﹣×）3022×
＝（﹣1）3022×
＝；
∵﹣1＜1＜，
∴b＜a＜c，
故選：B．
9．【解答】解：在△CBA1中，∠B＝20°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝80°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×80°；
同理可得，
∠EA3A2＝（）2×80°，∠FA4A3＝（）3×80°，
∴第n個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是（）n﹣1×80°．
故選：C．
10．【解答】解：由題意列代數(shù)式得：，化簡(jiǎn)得：．
故選：C．
二．填空題（共9小題）
11．【解答】解：要使++3有意義，必須x﹣2≥0且2﹣x≥0，
解得：x＝2，
即y＝++3＝3，
所以yx＝32＝9，
所以yx的算術(shù)平方根是＝3，
故答案為：3．
12．【解答】解：不等式的解集是：x≤，∵不等式的正整數(shù)解恰是1，2，3，4，∴4≤＜5，∴a的取值范圍是12≤a＜15．
13．【解答】解：a
＝a?（﹣）
＝﹣．
故答案為：﹣．
14．【解答】解：①當(dāng)指數(shù)為0，即x﹣1＝0∴x＝1，
原式＝30＝1，成立；
②當(dāng)?shù)讛?shù)為1，即x+2＝1，∴x＝﹣1，
原式＝1﹣2＝1，成立；
③當(dāng)?shù)讛?shù)為﹣1，即x+2＝﹣1，∴x＝﹣3，
原式＝（﹣1）﹣4＝1，成立，
綜上所述，x的值為：1或﹣1或﹣3．
15．【解答】解：當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，如圖1，可求得其頂角的鄰補(bǔ)角為60°，則頂角為120°；
當(dāng)頂角為銳角時(shí)，如圖2，可求得其頂角為60°；
綜上可知該等腰三角形的頂角為120°或60°．
故答案為：60°或120°．
16．【解答】解：將第二個(gè)方程組兩個(gè)方程的兩邊都除以9，得，
，
∵方程組的解是，
∴，
解得．
故答案為：．
17．【解答】解：，
去分母得：x﹣5﹣（a﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
（11﹣2a）x＝（3a﹣10），
當(dāng)11﹣2a＝0，即a＝時(shí)，整式方程無解，分式方程也無解；
當(dāng)11﹣2a≠0，即a≠時(shí)，整式方程有唯一解，但是x＝＝5或x＝＝﹣分式方程無解，
當(dāng)x＝＝5時(shí)，a＝5，
當(dāng)x＝＝﹣時(shí)a不存在．
∴a＝5或a＝時(shí)分式方程無解．
故答案為：5或．
18．【解答】解：延長線段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN＝∠EAN，
又∵AN＝AN，∠ANB＝∠ANE＝90°，
∴△ABN≌△AEN，
∴AE＝AB＝10，BN＝NE，
又∵M(jìn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，
∴CE＝2MN＝2×3＝6，
∴△ABC的周長是AB+BC+AC＝10+15+10+6＝41．
故答案為41．
19．【解答】解：∵a1＝n，
a2＝1﹣＝1﹣＝，
a3＝1﹣＝1﹣＝，
a4＝1﹣＝1+n﹣1＝n，
…
∴每3個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)，
∵2022÷3＝674，
∴a2022＝a3＝﹣，
故答案為：﹣．
三．解答題（共4小題）
20．【解答】（1）解：如圖2中，連接PP′．
∵點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3、4、5，
∴AP＝3，BP＝4，CP＝5，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3，CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，∠CAP′＝∠BAP，
∴∠CAP′+∠PAC＝∠BAP+∠PAC，
即∠PAP′＝∠BAC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠PAP′＝60°，
∴△PAP′是等邊三角形，
∴∠AP′P＝60°，PP′＝AP＝3，
∵32+42＝52，
∴PP′2+CP′2＝CP2，
∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P＝90°，
∴∠AP′C＝∠AP′P+∠CP′P＝60°+90°＝150°，
∴∠APB＝150°，
故答案為：150°；
（2）證明：證明：在CB'上取點(diǎn)P，使∠BPC＝120°．連接AP，再在PB'上截取PE＝PB，連接BE．
∠BPC＝120°，
∴∠EPB＝60°，
∴△PBE為正三角形，
∴PB＝BE，∠PBE＝60°，∠BEB'＝120°．
∵△ABB'為正三角形，
∴AB＝B′B，∠ABB'＝60°，
∴∠PBA＝∠EBB′，
∴△ABP≌△B′BE，
∴∠APB＝∠B′EB＝120°，PA＝EB′，
∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，
∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
∴CB'過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P；
（3）解：將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A'P'B處，連接PP'，如圖4所示：
則∠ABP＝∠A′BP′，∠APB＝∠A′P′B，∠PBP′＝60°，PA＝P′A′，PB＝P′B，AB＝A′B，
∴△PBP′是等邊三角形，
∴PB＝PP′，∠P′PB＝∠PP′B＝60°，
∵點(diǎn)P為直角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，
∴∠APC＝∠BPC＝∠BPA＝120°，
∴∠A′P′B＝∠BPC＝120°，
∵∠P′PB＝∠PP′B＝60°，
∴C、P、P′、A′四點(diǎn)共線，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∴A′B＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝，
∵∠ABC＝30°，
∴∠A′BC＝∠A′BP′+∠CBP+∠PBP′＝∠ABP+∠CBP+∠PBP′＝∠ABC+∠PBP′＝30°+60°＝90°，
在Rt△A′BC中，由勾股定理得：A′C＝＝＝，
∴PA+PC+PB＝P′A′+PC+PP′＝A′C＝．
21．【解答】解：兩邊平方，得：x2+﹣2＝4，
則x2+＝6．
22．【解答】解：（1）設(shè)完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間為x天，則甲工程隊(duì)需x天完成這項(xiàng)工程，乙工程隊(duì)需（x+6）天完成這項(xiàng)工程，
根據(jù)題意得：5×（+）+＝1，
解得：x＝30，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是原方程的解，且符合題意．
答：完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間為30天．
（2）選擇方案三，理由如下：
方案一需付工程款：2.4×30＝72（萬元）；
方案二不能如期完工，不符合題意；
方案三需付工程款：2.4×5+1.8×30＝66（萬元）．
∵72＞66，
∴選擇方案三．
23．【解答】（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°
∴∠CAB＝45°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF＝∠ACB＝90°，
∴∠ABF＝∠CBA＝45°，即BE平分∠DBF，
而DE⊥AB，
∴AB垂直平分DF，
∴BD＝BF，
∵D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，
∴DC＝DB，
∴CD＝BF，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠2＝∠1，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴AD⊥CF；
（2）證明：在△BGD和△BFG中，
，
∴△BDG≌△BFG（SAS），
∴∠BDG＝∠BFG，
∵△ACD≌△CBF，
∴∠ADC＝∠CFB，
∴∠ADC＝∠BDG；
（3）解：△ACF為等腰三角形．理由如下：
∵AB垂直平分DF，
∴AF＝AD，
∵△ACD≌△CBF，
∴AD＝CF，
∴AF＝CF，
∴△ACF為等腰三角形．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
A
A
C
C
B
C
C

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