第六章　幾何圖形初步專題10　線段與角的計算中的思想方法【大概念整合】?D2. 如圖，M，N為線段AB上兩點，且AM∶MB ＝1∶3，AN∶NB＝5∶7.若MN＝2，則AB的長 為 ?.12　3. 如圖，O為直線AB上的一點，且∠COD為直 角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，∠BOC＋ ∠FOD＝117°，求∠BOE的度數(shù).解：設(shè)∠BOE＝α.因為OE平分∠BOD，所以∠BOD＝2α，∠EOD＝α.因為∠COD＝∠BOD＋∠BOC＝90°，所以∠BOC＝90°－2α.因為OF平分∠AOE，解：設(shè)∠BOE＝α.因為OE平分∠BOD，所以∠BOD＝2α，∠EOD＝α.因為∠COD＝∠BOD＋∠BOC＝90°，所以∠BOC＝90°－2α.因為OF平分∠AOE，?????因為∠BOC＋∠FOD＝117°，?所以α＝18°.所以∠BOE＝18°.所以α＝18°.所以∠BOE＝18°.??解：設(shè)BD＝xcm.?所以AB＝4BD＝4xcm，CD＝3BD＝3xcm.又因為DC＝DB＋BC，所以BC＝3x－x＝2x（cm）.又因為AC＝AB＋BC，所以AC＝4x＋2x＝6x（cm）.?因為E為線段AB的中點，?又因為EC＝BE＋BC，所以EC＝2x＋2x＝4x（cm）.又因為EC＝12cm，所以4x＝12，解得x＝3.所以AC＝6x＝6×3＝18（cm）.?D?3或9　7. 如圖所示，已知∠AOB＝20°，從點O出發(fā)的一 條射線OC滿足∠AOC＝60°，OM是∠AOB的平 分線，ON是∠AOC的平分線，請補全圖形（畫出 符合題意的草圖即可），并求出∠MON的大小.?解：分OC在OA上方和下方兩種情況：（1）如圖①所示，因為∠AOB＝20°，OM是 ∠AOB的平分線，? ?因為∠AOC＝60°，ON是∠AOC的平分線，?所以∠MON＝∠AON－∠AOM＝30°－10°＝ 20°.所以∠MON＝∠AON－∠AOM＝30°－10°＝ 20°.（2）如圖②所示，∠MON＝∠AON＋∠AOM＝ 30°＋10°＝40°.所以∠MON＝20°或40°.（2）如圖②所示，∠MON＝∠AON＋∠AOM＝ 30°＋10°＝40°.所以∠MON＝20°或40°.8. （2023－2024·沈陽和平區(qū)月考）在一條直線上順次取A，B，C三點，點O是線段AC的中點.（1）當AB＝3cm，BC＝2AB時，請你畫出圖形， 并求出線段BO的長；?解：（1）因為AB＝3cm，BC＝2AB，所以BC＝6cm.又因為A，B，C是直線l上的順次三點，如圖①所 示，所以AB＋BC＝3＋6＝9（cm）.因為點O為線段AC的中點，?所以BO＝AO－AB＝4.5－3＝1.5（cm）. （2）當AB＝3cm，BO＝0.5cm時，求線段BC的 長.解：（2）分兩種情況討論如下：①當點O在線段 AB的延長線上時，如圖②所示.因為AB＝3cm，BO＝0.5cm，解：（2）分兩種情況討論如下：①當點O在線段 AB的延長線上時，如圖②所示.因為AB＝3cm，BO＝0.5cm，所以AO＝AB＋BO＝3＋0.5＝3.5（cm）.又因為A，B，C是直線l上的順次三點，且點O為 線段AC的中點，所以AO＝OC＝3.5cm，又因為A，B，C是直線l上的順次三點，且點O為 線段AC的中點，所以AO＝OC＝3.5cm，所以AO＝AB＋BO＝3＋0.5＝3.5（cm）.所以BC＝BO＋OC＝0.5＋3.5＝4（cm）.②當點O在線段AB上時，如圖③所示.因為AB＝3cm，BO＝0.5cm，所以AO＝AB－BO＝3－0.5＝2.5（cm）.又因為A，B，C是直線l上的順次三點，且點O為 線段AC的中點，所以AO＝OC＝2.5cm.所以BC＝OC－BO＝2.5－0.5＝2（cm）.綜上所述，BC的長為4cm或2cm.②當點O在線段AB上時，如圖③所示.因為AB＝3cm，BO＝0.5cm，所以AO＝AB－BO＝3－0.5＝2.5（cm）.又因為A，B，C是直線l上的順次三點，且點O為 線段AC的中點，所以AO＝OC＝2.5cm.所以BC＝OC－BO＝2.5－0.5＝2（cm）.綜上所述，BC的長為4cm或2cm.◆類型三　整體思想9. 如圖，點P在線段AB的延長線上，C為線段AB 的中點，若PA＋PB＝6，求PC的長.解：設(shè)AC＝BC＝x，PB＝y(tǒng)，則PC＝x＋y， PA＝2x＋y，所以PA＋PB＝2x＋y＋y＝2（x＋y）＝2PC. 所以PA＋PB＝2PC＝6.所以PC＝3.解：設(shè)AC＝BC＝x，PB＝y(tǒng)，則PC＝x＋y， PA＝2x＋y，所以PA＋PB＝2x＋y＋y＝2（x＋y）＝2PC. 所以PA＋PB＝2PC＝6.所以PC＝3.10. 已知∠ABC＝∠DBE，射線BD在∠ABC的內(nèi) 部，按要求完成下列各小題.嘗試探究：如圖①，已知∠ABC＝90°，當BD是 ∠ABC的平分線時，∠ABE＋∠DBC＝ °；180　初步應(yīng)用：如圖②，已知∠ABC＝90°，若BD不 是∠ABC的平分線，則∠ABE＋∠DBC的度數(shù) 為 ?；180°　拓展提升：如圖③，若∠ABC＝45°，試判斷 ∠ABE與∠DBC之間的等量關(guān)系，并說明理由.解：∠ABE＋∠DBC＝90°.理由如下：因為∠DBE＝∠ABC＝45°，所以∠ABE＋∠DBC＝∠ABC＋∠CBE＋∠DBC ＝∠ABC＋∠DBE＝90°.解：∠ABE＋∠DBC＝90°.理由如下：因為∠DBE＝∠ABC＝45°，所以∠ABE＋∠DBC＝∠ABC＋∠CBE＋∠DBC ＝∠ABC＋∠DBE＝90°.◆類型四　從特殊到一般的思想11. 如圖，D，E順次為線段AB上的兩點，C是 AD的中點，A，B兩點間的距離為20，A，E兩點 間的距離為m，BE－DE＝4.（1）若m＝12，求CE的長；解：（1）因為AE＝m＝ 12，AB＝20，所以BE＝AB－AE＝20 －12＝8.因為BE－DE＝4，所以 DE＝4.所以AD＝AE－DE＝12 －4＝8.解：（1）因為AE＝m＝ 12，AB＝20，所以BE＝AB－AE＝20 －12＝8.因為BE－DE＝4，所以 DE＝4.所以AD＝AE－DE＝12 －4＝8.??所以CE＝CD＋DE＝4＋4＝8.（2）若m≠12，求CE的長.解：（2）因為AE＝m，AB＝20，所以BE＝AB－AE＝20－m.因為BE－DE＝4，所以DE＝16－m.解：（2）因為AE＝m，AB＝20，所以BE＝AB－AE＝20－m.因為BE－DE＝4，所以DE＝16－m.所以AD＝AE－DE＝2m－16.因為C是AD的中點，所以CD＝m－8.所以CE＝CD＋DE＝m－8＋16－m＝8.所以AD＝AE－DE＝2m－16.因為C是AD的中點，所以CD＝m－8.所以CE＝CD＋DE＝m－8＋16－m＝8.

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