1．（5分）已知集合A＝{x||x|?2}，B＝{t|1?2t?8（t∈Z）}，則A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3]B．{0，1}C．[0，2]D．{0，1，2}
2．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足|z﹣i|＝1，則|z|的取值范圍是（ ）
A．[0，1]B．[0，1）C．[0，2）D．[0，2]
3．（5分）已知是奇函數(shù)，q：a＝﹣1，則p是q成立的（ ）
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
4．（5分）若銳角α滿足，則＝（ ）
A．B．C．或D．或
5．（5分）某大學(xué)在校學(xué)生中，理科生多于文科生，女生多于男生，則下述關(guān)于該大學(xué)在校學(xué)生的結(jié)論中，一定成立的是（ ）
A．理科男生多于文科女生
B．文科女生多于文科男生
C．理科女生多于文科男生
D．理科女生多于理科男生
6．（5分）如圖，某車間生產(chǎn)一種圓臺形零件，其下底面的直徑為4cm，上底面的直徑為8cm，高為4cm，已知點P是上底面圓周上不與直徑AB端點重合的一點，且AP＝BP，O為上底面圓的圓心，則OP與平面ABC所成的角的正切值為（ ）
A．2B．C．D．
7．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與圓C：x2+y2＝1交于A，B兩點，則△AOB的面積的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝（x2+ax+b）lnx，若f（x）≥0，則a的最小值為（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．1
二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。）
（多選）9．（6分）已知n＞2，且n∈N*，下列關(guān)于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則P（X＝1）＝P（X＝n﹣1）
D．當(dāng)樣本總數(shù)遠(yuǎn)大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布
（多選）10．（6分）已知函數(shù)f（x）＝sinωx+acsωx（x∈R，ω＞0）的最大值為2，其部分圖象如圖所示，則（ ）
A．a(chǎn)＞0
B．函數(shù)為偶函數(shù)
C．滿足條件的正實數(shù)ω存在且唯一
D．f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期為π
（多選）11．（6分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線交x軸于點D，直線l經(jīng)過F且與C交于A，B兩點，其中點A在第一象限，線段AF的中點M在y軸上的射影為點N．若|MN|＝|NF|，則（ ）
A．l的斜率為
B．△ABD是銳角三角形
C．四邊形MNDF的面積是
D．|BF|?|FA|＞|FD|2
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分。）
12．（5分）在△ABC中，AD是邊BC上的高，若，則＝ ．
13．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足2f（x）＝f（﹣x）+3ex，則曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為 ．
14．（5分）小澄玩一個游戲：一開始她在2個盒子A，B中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲一個質(zhì)地均勻的骰子，如果結(jié)果小于3她就將B中的1顆糖放入A中，否則將A中的1顆糖放入B中，直到無法繼續(xù)游戲．那么游戲結(jié)束時B中沒有糖的概率是 ．
四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
15．（13分）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，且an≠0，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若，求數(shù)列{cn}的前n項和．
16．（15分）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形CDEF均為等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，CD＝2AB＝2EF＝4，．
（1）證明：平面ABCD⊥平面CDEF；
（2）若M為線段CD上一點，且CM＝1，求二面角A﹣EM﹣B的余弦值．
17．（15分）已知函數(shù)f（x）＝e2x﹣2ax，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對于任意的x＞0，都有f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．
18．（17分）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，E的一條漸近線方程為，過F1且與x軸垂直的直線與E交于P，Q兩點，且△PQF2的周長為16．
（1）求E的方程；
（2）A，B為雙曲線E右支上兩個不同的點，線段AB的中垂線過點C（0，4），求∠ACB的取值范圍．
19．（17分）對于集合A，B，定義運算符“Δ”：AΔB＝{x|x∈A，x∈B兩式恰有一式成立}，|A|表示集合A中元素的個數(shù)．
（1）設(shè)A＝[﹣1，1]，B＝[0，2]，求AΔB；
（2）對于有限集A，B，C，證明|AΔB|+|BΔC|≥|AΔC|，并求出固定A，C后使該式取等號的B的數(shù)量；（用含A，C的式子表示）
（3）若有限集A，B，C滿足|AΔB|+|BΔC|＝|AΔC|，則稱有序三元組（A，B，C）為“聯(lián)合對”，定義I＝{1，2，?，n}，n∈N*，u＝{（A，B，C）|A，B，C?I}．
①設(shè)m∈I，求滿足|AΔC|＝m的“聯(lián)合對”（A，B，C）?u的數(shù)量；（用含m的式子表示）
②根據(jù)（2）及（3）①的結(jié)果，求u中“聯(lián)合對”的數(shù)量．
2024-2025學(xué)年湖南省長沙市長郡中學(xué)大聯(lián)考高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（二）
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個部選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．（5分）已知集合A＝{x||x|?2}，B＝{t|1?2t?8（t∈Z）}，則A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3]B．{0，1}C．[0，2]D．{0，1，2}
【分析】解絕對值不等式與指數(shù)不等式可化簡集合A，B，再利用交集的定義求解即可．
【解答】解：B＝{t|1≤2t≤8（t∈Z）}＝{0，1，2，3}，A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，
所以A∩B＝{x|﹣2≤x≤2}∩{0，1，2，3}＝{0，1，2}．
故選：D．
【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足|z﹣i|＝1，則|z|的取值范圍是（ ）
A．[0，1]B．[0，1）C．[0，2）D．[0，2]
【分析】利用|z﹣i|＝1表示以（0，1）為圓心，1為半徑的圓，|z|表示圓上的點到原點的距離可得答案．
【解答】解：因為在復(fù)平面內(nèi)，
|z﹣i|＝1表示到點（0，1）距離為1的所有復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，
即|z﹣i|＝1表示以（0，1）為圓心，1為半徑的圓，
|z|表示圓上的點到原點的距離，所以最短距離為0，
最長距離為1+1＝2，
則|z|的取值范圍是[0，2]．
故選：D．
【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的模長，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知是奇函數(shù)，q：a＝﹣1，則p是q成立的（ ）
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】當(dāng)p成立，判斷q是否成立，再由q成立時，判斷p是否成立，即可知p是q成立何種條件．
【解答】解：根據(jù)題意，由f（x）是奇函數(shù)，且其定義域為（﹣1，1），
則f（0）＝0，即ln（2+a）＝0，解得a＝﹣1，
所以p?q，p是q的充分條件．
當(dāng)a＝﹣1時，，﹣1＜x＜1，
∴，所以f（x）是奇函數(shù)，
所以p?q，p是q的必要條件．
綜合可得：p是q的充要條件．
故選：A．
【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）若銳角α滿足，則＝（ ）
A．B．C．或D．或
【分析】首先根據(jù)利用輔助角公式得到，再利用角的變換＝，結(jié)合誘導(dǎo)公式，以及二倍角公式，即可求解．
【解答】解：已知，
則，
因為，，
則，
則＝
＝．
故選：B．
【點評】本題考查了輔助角公式，重點考查了誘導(dǎo)公式及二倍角公式，屬中檔題．
5．（5分）某大學(xué)在校學(xué)生中，理科生多于文科生，女生多于男生，則下述關(guān)于該大學(xué)在校學(xué)生的結(jié)論中，一定成立的是（ ）
A．理科男生多于文科女生
B．文科女生多于文科男生
C．理科女生多于文科男生
D．理科女生多于理科男生
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，利用不等式性質(zhì)求解．
【解答】解：根據(jù)已知條件設(shè)理科女生有x1人，理科男生有x2人，
文科女生有y1人，文科男生有y2人，
根據(jù)題 意可知x1+x2＞y1+y2，x2+y2＜x1+y1，
根據(jù)異向不等式可減的性質(zhì)有（x1+x2）﹣（x2+y2）＞（y1+y2）﹣（x1+y1），
∴x1＞y2，
∴理科女生多于文科男生，C正確；
其他選項沒有足夠證據(jù)論證．
故選：C．
【點評】本題考查簡單的合情推理、根據(jù)問題的特征將其轉(zhuǎn)化等價的排列問題等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
6．（5分）如圖，某車間生產(chǎn)一種圓臺形零件，其下底面的直徑為4cm，上底面的直徑為8cm，高為4cm，已知點P是上底面圓周上不與直徑AB端點重合的一點，且AP＝BP，O為上底面圓的圓心，則OP與平面ABC所成的角的正切值為（ ）
A．2B．C．D．
【分析】作出直線OP與平面ABC所成的角，通過直角三角形來求得直線OP與平面ABC所成的角的正切值．
【解答】解：設(shè)O′為下底面圓的圓心，連接OO′，CO′和CO，
因為AP＝BP，所以AB⊥OP，
又因為AB⊥OO′，OP∩OO′＝O，OP、OO′?平面OO′P，
所以AB⊥平面OO′P，
因為PC是該圓臺的一條母線，所以O(shè)，O′，C，P四點共面，且O′C∥OP，
又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面POC，
又因為平面ABC∩平面POC＝OC，
所以點P在平面ABC的射影在直線OC上，
則OP與平面ABC所成的角，即為∠POC＝∠OCO′，
過點C作CD⊥OP于點D，因為OP＝4cm，O′C＝2cm，
所以．
故選：A．
【點評】本題考查異面直線所成的角的正切值的求法，屬于中檔題．
7．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與圓C：x2+y2＝1交于A，B兩點，則△AOB的面積的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
【分析】求得直線過定點以及圓心到直線的距離的取值范圍，得出△AOB的面積的表達(dá)式利用三角函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)論．
【解答】解：已知線，
令x＝0，
即，
即直線l恒過點，
又，
則該點在圓x2+y2＝1內(nèi)，
圓C：x2+y2＝1的圓心為C（0，0），半徑r＝1，
作CD⊥l于點D，如圖所示：
易知圓心C到直線l的距離為，
所以，
又，
可得；
因此可得，
所以△AOB的面積為．
故選：D．
【點評】本題考查了圓的性質(zhì)，重點考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．
8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝（x2+ax+b）lnx，若f（x）≥0，則a的最小值為（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．1
【分析】根據(jù)題意，分析出二次方程根的區(qū)間，進(jìn)而求出a的最值．
【解答】解：f（x）＝（x2+ax+b）lnx，f（x）≥0，
由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，x∈（0，1），lnx＜0，x∈（1，+∞），lnx＞0，
則x∈（0，1），x2+ax+b＜0，x∈（1，+∞），x2+ax+b＞0，
x2+ax+b＝0的一個根小于等于0，一個根為1，
，a＝﹣b﹣1≥﹣1，所以a的最小值為﹣1．
故選：B．
【點評】本題考查對函數(shù)函數(shù)的值域，一元二次方程根的分布，屬于中檔題．
二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。）
（多選）9．（6分）已知n＞2，且n∈N*，下列關(guān)于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則P（X＝1）＝P（X＝n﹣1）
D．當(dāng)樣本總數(shù)遠(yuǎn)大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布
【分析】利用二項分布的期望、方差公式及期望、方差的性質(zhì)計算判斷AB；利用二項分布的概率公式計算判斷C；利用二項分布與超幾何分布的關(guān)系判斷D．
【解答】解：對于A，由，得，
所以，故A正確；
對于B，由，得，
所以，故B錯誤；
對于C，由，得，
故P（X＝1）≠P（X＝n﹣1），故C錯誤；
對于D，當(dāng)樣本總數(shù)遠(yuǎn)大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布，故D正確．
故選：BC．
【點評】本題主要考查了二項分布的期望公式和方差公式，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．（6分）已知函數(shù)f（x）＝sinωx+acsωx（x∈R，ω＞0）的最大值為2，其部分圖象如圖所示，則（ ）
A．a(chǎn)＞0
B．函數(shù)為偶函數(shù)
C．滿足條件的正實數(shù)ω存在且唯一
D．f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期為π
【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解．
【解答】解：由函數(shù)，且tanφ＝a，
因為函數(shù)f（x）的最大值為2，可得，解得，
又因為f（0）＝a＞0，所以，所以A正確；
因為，且函數(shù)f（x）在的附近單調(diào)遞減，
所以，所以ω＝2+8k，k∈Z，
又因為，可得，所以，解得0＜ω＜4，所以ω＝2，
此時，其最小正周期為T＝π，所以C、D正確；
設(shè)，
F（﹣x）＝2sin[2（﹣x）]＝﹣2sin2x＝﹣F（x），所以F（x）為奇函數(shù)，
即函數(shù)為奇函數(shù)，所以B不正確．
故選：ACD．
【點評】本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，是中檔題．
（多選）11．（6分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線交x軸于點D，直線l經(jīng)過F且與C交于A，B兩點，其中點A在第一象限，線段AF的中點M在y軸上的射影為點N．若|MN|＝|NF|，則（ ）
A．l的斜率為
B．△ABD是銳角三角形
C．四邊形MNDF的面積是
D．|BF|?|FA|＞|FD|2
【分析】根據(jù)題意分析可知△MNF為等邊三角形，即可得直線l的傾斜角和斜率，進(jìn)而判斷A；可知直線l的方程，聯(lián)立方程求點A，B的坐標(biāo)，求相應(yīng)長度，結(jié)合長度判斷BD；根據(jù)面積關(guān)系判斷C．
【解答】解：由題意可知：拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，即，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＜0，
則，所以，
因為，
所以|MN|＝|MF|，即|MN|＝|NF|＝|MF|，
可知△MNF為等邊三角形，即∠NMF＝60°，
且MN∥x軸，可知直線l的傾斜角為60°，斜率為，故A正確；
則直線，
聯(lián)立方程，解得或，
即，，則，
可得，
在△ABD中，|BD|＜|AD|＜|AB|，且|BD|2+|AD|2﹣|AB|2＜0，
可知∠ADB為最大角，且為銳角，所以△ABD是銳角三角形，故B正確；
四邊形MNDF的面積為，故C錯誤；
因為，所以|BF|?|FA|＞|FD|2，故D正確．
故選：ABD．
【點評】本題考查了直線與拋物線的綜合，考查了方程思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分。）
12．（5分）在△ABC中，AD是邊BC上的高，若，則＝ ．
【分析】設(shè)，表達(dá)出，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出，進(jìn)而得到答案．
【解答】解：設(shè)，
則，
由，得，
解得，所以，
所以．
故答案為：．
【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題．
13．（5分）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足2f（x）＝f（﹣x）+3ex，則曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為 y＝x+3 ．
【分析】利用方程組法求出函數(shù)解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，由點斜式可得切線方程．
【解答】解：因為2f（x）＝f（﹣x）+3ex，所以2f（﹣x）＝f（x）+3e﹣x，
聯(lián)立可解得f（x）＝e﹣x+2ex，所以f（0）＝3，
所以f′（x）＝﹣e﹣x+2ex，f′（0）＝1．
所以曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y﹣3＝x，
故所求的切線方程為y＝x+3．
故答案為：y＝x+3．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想、運算能力，屬于中檔題．
14．（5分）小澄玩一個游戲：一開始她在2個盒子A，B中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲一個質(zhì)地均勻的骰子，如果結(jié)果小于3她就將B中的1顆糖放入A中，否則將A中的1顆糖放入B中，直到無法繼續(xù)游戲．那么游戲結(jié)束時B中沒有糖的概率是 ．
【分析】設(shè)最初在A中有k顆糖，B中有6﹣k顆糖時，游戲結(jié)束時B中沒有糖的概率為ak（k＝0，1，?，6），歸納找出遞推關(guān)系，利用方程得出a0，再由遞推關(guān)系求a3．
【解答】解：設(shè)A中有k顆糖，B中有6﹣k顆糖，游戲結(jié)束時B中沒有糖的概率為ak（k＝0，1，?，6）．
顯然，，
可得ak+1﹣ak＝2（ak﹣ak﹣1），則，
所以
＝3a0
＝a0+2a0
＝a0
＝（27﹣1）a0，
同理，
所以，解得，
所以．
故答案為：．
【點評】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查運算求解能力，屬于中檔題．
四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
15．（13分）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，且an≠0，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若，求數(shù)列{cn}的前n項和．
【分析】（1）求出，可求出通項公式，即可求得{an}的通項公式；
（2）求出，再討論n為奇、偶數(shù)，利用裂項相消法即可求數(shù)列{cn}的前n項和．
【解答】解：（1），
當(dāng)n≥2時，Sn﹣Sn﹣1＝an，
兩式相除可得，
可得是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，
則，所以，
an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，n≥2，當(dāng)n＝1時a1＝1也滿足該式，
所以an＝2n﹣1．
（2）由（1）結(jié)論可知an＝2n﹣1，
所以，
設(shè){cn}的前n項和為Tn，當(dāng)n為偶數(shù)時，
，
當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn＝Tn﹣1+cn＝﹣﹣＝﹣．
所以．
【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的裂項相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．
16．（15分）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形CDEF均為等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，CD＝2AB＝2EF＝4，．
（1）證明：平面ABCD⊥平面CDEF；
（2）若M為線段CD上一點，且CM＝1，求二面角A﹣EM﹣B的余弦值．
【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理得出線面垂直，再結(jié)合面面垂直的判定定理得出面面垂直；
（2）應(yīng)用空間向量法計算二面角余弦即可．
【解答】解：（1）證明：在平面CDEF內(nèi)，過E作EO垂直于CD交CD于點O，
由CD＝2EF＝4，得DO＝1，且DE＝，所以O(shè)E＝2，
連接AO，由△ADO?△EDO，可知AO⊥CD且AO＝2，
所以在三角形OAE中，AE2＝OE2+OA2，從而OE⊥OA，
又OE⊥CD，OA∩CD＝O，OA，CD?平面ABCD，所以O(shè)E⊥平面ABCD，
OE?平面CDEF，所以平面ABCD⊥平面CDEF；
（2）由（1）知，平面ABCD⊥平面CDEF，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，2），E（2，0，0），M（0，2，0），B（0，2，2），
，
設(shè)平面AEM的法向量為，
則，即，取z＝1，則，
設(shè)平面BEM的法向量為，
則，即，取y＝1，則，
所以|cs＜，＞|＝＝，
由圖可以看出二面角A﹣EM﹣B為銳角，故二面角A﹣EM﹣B的余弦值為．
【點評】本題考查面面垂直的判定定理以及二面角的求法，屬于中檔題．
17．（15分）已知函數(shù)f（x）＝e2x﹣2ax，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對于任意的x＞0，都有f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．
【分析】（1）對f（x）＝e2x﹣2ax求導(dǎo)，可得f′（x）＝2e2x﹣2a，再分類討論a的取值，得出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得出單調(diào)區(qū)間；
（2）對a進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求得f（x）的最小值，判斷是否滿足f（x）≥1，即可求解．
【解答】解：（1）對f（x）＝e2x﹣2ax求導(dǎo)，可得f′（x）＝2e2x﹣2a，
令f′（x）＝0，即2e2x﹣2a＝0，即e2x＝a，
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，，
當(dāng)時，f′（x）＜0，f（x）在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，f′（x）＞0，f（x）在上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R；
當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）因為對于任意的x＞0，都有f（x）≥1恒成立，
對f（x）＝e2x﹣2ax求導(dǎo)，可得f′（x）＝2e2x﹣2a，
令f′（x）＝0，即2e2x﹣2a＝0，即e2x＝a，
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，f（x）＞f（0）＝1，符合題意；
②當(dāng)0＜a≤1時，e2x＝a，則，
則f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，f（x）＞f（0）＝1，符合題意；
③當(dāng)a＞1時，e2x＝a，則，
當(dāng)時，f′（x）＜0，則f（x）在單調(diào)遞減，
當(dāng)時，f′（x）＞0，則f（x）在單調(diào)遞增，
所以，
令g（a）＝a﹣alna，a＞1，則g′（a）＝﹣lna＜0，
所以g（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以g（a）＜g（1）＝1，不合題意；
綜上所述，a∈（﹣∞，1]．
【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題．
18．（17分）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，E的一條漸近線方程為，過F1且與x軸垂直的直線與E交于P，Q兩點，且△PQF2的周長為16．
（1）求E的方程；
（2）A，B為雙曲線E右支上兩個不同的點，線段AB的中垂線過點C（0，4），求∠ACB的取值范圍．
【分析】（1）將x＝﹣c代入曲線E得，故得，從而結(jié)合雙曲線定義以及題意得，解出a，b即可得解．
（2）設(shè)AB：y＝kx+m，聯(lián)立雙曲線方程求得中點坐標(biāo)，再結(jié)合弦長公式求得∠ACM的正切值，進(jìn)而得∠ACM范圍，從而由∠ACB＝2∠ACM即可得解．
【解答】解：（1）先將x＝﹣c代入雙曲線方程，得，
因此，因此，
因此根據(jù)題意可得，
整理方程組可得，
因此雙曲線E的方程為．
（2）由題意可知直線AB斜率存在且斜率，
令A(yù)B：y＝kx+m，B（x2，y2），A（x1，y1），令A(yù)B的中點為M．
根據(jù)消去y并整理得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，3﹣k2≠0，
所以Δ＝（2km）2+4（3﹣k2）（m2+3）＝12（3+m2﹣k2）＞0，所以m2＞k2﹣3，
，，，
因此M點為，，．
根據(jù)中垂線知kMC?kAB＝﹣1，因此，解得：m＝3﹣k2．
因此根據(jù)A，B在雙曲線的右支上可得：
，
并且，
并且Δ＝4（3m2﹣3k2+9）＞0，
整理得（3﹣k2）2+（3﹣k2）＝（3﹣k2）（4﹣k2）＞0，
所以k2＜3或k2＞4，
又因為k2＞3，
所以k2＞4，
綜上所述，k2＞4，所以k＞2，
又因為，
因此
＝．
又由于k2＞4，因此m＝3﹣k2＜﹣1，所以，因此，
因此．
因此．
【點評】本題考查直線與雙曲線綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
19．（17分）對于集合A，B，定義運算符“Δ”：AΔB＝{x|x∈A，x∈B兩式恰有一式成立}，|A|表示集合A中元素的個數(shù)．
（1）設(shè)A＝[﹣1，1]，B＝[0，2]，求AΔB；
（2）對于有限集A，B，C，證明|AΔB|+|BΔC|≥|AΔC|，并求出固定A，C后使該式取等號的B的數(shù)量；（用含A，C的式子表示）
（3）若有限集A，B，C滿足|AΔB|+|BΔC|＝|AΔC|，則稱有序三元組（A，B，C）為“聯(lián)合對”，定義I＝{1，2，?，n}，n∈N*，u＝{（A，B，C）|A，B，C?I}．
①設(shè)m∈I，求滿足|AΔC|＝m的“聯(lián)合對”（A，B，C）?u的數(shù)量；（用含m的式子表示）
②根據(jù)（2）及（3）①的結(jié)果，求u中“聯(lián)合對”的數(shù)量．
【分析】（1）根據(jù)新定義，對區(qū)間逐一分析即可得解；
（2）利用韋恩圖及新定義，求出不等式等號成立的條件，利用集合的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為求子集個數(shù)；
（3）①分別求出（A，C），B取法的種數(shù)，再由分步乘法計數(shù)原理得解②結(jié)合（2）及（3）①的結(jié)果，利用二項式定理求解．
【解答】解：（1）當(dāng)x?[﹣1，2]，x?A，x?B，故x?AΔB；
當(dāng)x∈（1，2]，x?A，x∈B，故x∈AΔB；
當(dāng)x∈[0，1]，x∈A，x∈B，故x?AΔB；
當(dāng)x∈[﹣1，0），x∈A，x?B，故x∈AΔB；
所以AΔB＝[﹣1，0）∪（1，2]．
（2）如圖，畫出Venn圖，將A∪B∪C劃分成7個集合S1，?，S7，
根據(jù)題干已知新定義，得|AΔB|＝|S1|+|S4|+|S5|+|S6|，|AΔC|＝|S1|+|S2|+|S6|+|S7|，|BΔC|＝|S2|+|S5|+|S4|+|S7|，
所以|AΔB|+|BΔC|﹣|AΔC|＝2|S4|+2|S5|≥0成立，當(dāng)且僅當(dāng)S5＝S4＝?時取等號，
S5＝?等價于B?（A∪C），S4＝?等價于（A∩C）?B，所以當(dāng)且僅當(dāng)（A∩C）?B?（A∪C）取等號．
令B＝（A∩C）∪D，其中集合D與A∩C無交集，
因為AΔC＝（A∪C）（A∩C），所以有??D?（A∪C）（A∩C）＝AΔC，
所以D為AΔC的某一子集，有2|AΔC|種，因此使上式取等的B有2|AΔC|個．
（3）①令X＝AΔC?u，有|X|＝m，所以X有種取法，
對于每一個x，可知X中每一個元素x有兩種情形：x?A，x∈C或x∈A，x?C．
且I中每一個元素x有兩種情形：x?A，x∈C或x∈A，x?C．
所以?x∈I，x共有兩種選擇，所以這樣的（A，C）有2|I|＝2n種，
對于每一個（A，C），根據(jù)第二問可知B有2|AΔC|＝2m種取法．
所以由乘法原理，這樣的“聯(lián)合對”（A，B，C）有個．
②由①知，u中“聯(lián)合對”的數(shù)量為（二項式定理），
所以u中“聯(lián)合對”（A，B，C）的數(shù)量為6n．
【點評】本題考查集合新定義問題，屬于難題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/10/27 23:40:53；用戶：15342633586；郵箱：15342633586；學(xué)號：5784952

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