本試卷共 8 頁.時量 120 分鐘.滿分 150 分.
一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的.）
1. 命題 ： ， 為真的一個充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意 在 上恒成立，得 ，進而得 ，即得.
【詳解】因命題 為真，故 在 上恒成立，
故 ，解得 ，
故命題 為真的一個充分不必要條件為 的子集，
故選：B
2. 已知復數(shù) ， 為虛數(shù)單位，則復數(shù) 在復平面內所對應的點位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先化簡復數(shù) z，再利用復數(shù)的幾何意義求解.
【詳解】解：法一：復數(shù) ，
其在復平面內所對應的點 位于第四象限，
法二：復數(shù) ，
第 1頁/共 26頁
其在復平面內所對應的點 位于第四象限，
故選：D．
3. 在矩形 ABCD 中， ，E 為 BC 的中點，則向量 在向量 上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以 為基底向量表示 ，根據(jù)數(shù)量積結合投影向量的定義運算求解.
【詳解】由題意可知： ， ， ，
且 ，
則 ，
，
所以向量 在向量 上的投影向量是 .
故選：A.
4. 已知圓 與圓 的公共弦與直線 垂直，且垂足為
，則圓 N 的半徑為（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求公共弦方程，再根據(jù)直線垂直結論得到 ，解得 .將點 的坐標代入
，求出 ，得到圓的方程即可.
第 2頁/共 26頁
【詳解】因為圓 與圓 ，
所以它們的公共弦方程為 .
因為公共弦與直線 垂直，所以 ，解得 .
將點 的坐標代入 ，可得 ，
圓 可化為 ，故圓 N 的半徑為 .
故選：B.
5. 2020 年 3 月 14 日是全球首個國際圓周率日（ Day）．歷史上，求圓周率 方法有多種，與中國傳統(tǒng)
數(shù)學中的“割圓術”相似．數(shù)學家阿爾·卡西的方法是：當正整數(shù) 充分大時，計算單位圓的內接正 邊形的
周長和外切正 邊形（各邊均與圓相切的正 邊形）的周長，將它們的算術平均數(shù)作為 的近似值．按
照阿爾·卡西的方法， 的近似值的表達式是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】計算出單位圓內接正 邊形和外切正 邊形的周長，利用它們的算術平均數(shù)作為 的近似值可
得出結果.
【詳解】單位圓內接正 邊形的每條邊所對應的圓心角為 ，每條邊長為 ，
所以，單位圓的內接正 邊形的周長為 ，
單位圓的外切正 邊形的每條邊長為 ，其周長為 ，
，
則 .
故選：A.
第 3頁/共 26頁
【點睛】本題考查圓周率 的近似值的計算，根據(jù)題意計算出單位圓內接正 邊形和外切正 邊形的周
長是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.
6. 近年來，國內中、短途旅游人數(shù)增長顯著，2024 年上半年旅游人數(shù)更創(chuàng)新高，充分展示了國內文旅消費
潛力．甲、乙、丙、丁四位同學打算去北京、成都、貴陽三個地方旅游，每位同學只去一個地方，每個地
方至少去 1 人，則甲、乙都去北京的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意四位同學去三個地方，每個地方至少去一人，即可得到總的方案，甲、乙都去北京，則
丙丁只能在成都和貴陽各自選一個有 2 種選法，根據(jù)古典概型即可求解.
【詳解】四位同學去三個地方，每個地方至少去一人，總共有 （種）方案．因為甲、乙都去北
京，則丙、丁分別去成都或貴陽，所以有 2 種方案，故甲、乙都去北京的概率為 .
故選：B．
7. 定 義 域 為 的 函 數(shù) 滿 足 ， 且 當 時 ， ， 則 不 等 式
的解集為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，問題轉化為 .由 得 ，
即 為偶函數(shù)；結合 可知 在 上單調遞增，在 上單調遞減.根據(jù)函數(shù)
的單調性和奇偶性求出不等式 的解集即可．
【詳解】設 .
， ，∴ 為 上的偶
函數(shù).
∵當 時， ， ，
第 4頁/共 26頁
所以 在 上單調遞增，在 上單調遞減.
由 得 ，
即 ， 所 以 ， 即 ， 解 得 ， 即 不 等 式
的解集為 .
故選：B.
【點睛】構造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，
設法構造目標函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調性、最值等問題，進而解決不等式、方程及最值之類問題.準確構
造出符合題意的函數(shù)是解題的關鍵.本題解題關鍵為構造函數(shù) ，研究函數(shù) 的奇偶性
和單調性，從而求解不等式.
8. 如圖，在一個有蓋的圓錐容器內放入兩個球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長都是 ，則（
）
A. 這兩個球體的半徑之和的最大值為
B. 這兩個球體的半徑之和的最大值為
C. 這兩個球體的表面積之和的最大值為
D. 這兩個球體的表面積之和的最大值為
【答案】D
【解析】
【分析】當這兩個球體的半徑或者表面積之和取最大值時，有一個球體和圓錐的底面相切，過底面圓的直
徑作截面，設兩圓的半徑，則 ， ，其中 ，表達出
第 5頁/共 26頁
， ，求導得到函數(shù)單調性，得到最值，并求出
，令 ，函數(shù) 在 上單調
遞增，求出 ，得到答案.
【詳解】當這兩個球體的半徑或者表面積之和取最大值時，上面的球與圓錐的底面相切，
過底面圓的直徑作截面，
如圖所示，過點 O 作 OF⊥AB，垂足為 F，過點 作 ⊥AB，垂足為 E，
過點 作 ⊥OF，垂足為 D．
設圓 O 的半徑為 R，圓 的半徑為 r，當下面的球與上底面相切時， 取得最大值，
此時 為該圓的內切球半徑，等邊三角形的邊長為 ，內切球半徑為 ，
故 ，故 R 的最大值為 ，且取最大值時，
三點共線，設 ，則 ，
則 ，解得 ，
所以 ， ， ， ，
.
因為 ，所以 ①，
整理得 ，解得 ，
令函數(shù) ， ，
第 6頁/共 26頁
.
令函數(shù) ， ，所以 是增函數(shù).
又因為 ， ，所以 ， ，
所以 ， ， ， ，
即 ， ， ， ，
所以 在 上單調遞減，在 上單調遞增.
因為 ，所以 ，即這兩個球體的半徑之和的最大值為 .
由①可得 ，
這兩個球體的表面積之和為 .
令 ，函數(shù) 在 上單調遞增，
所以 ，即這兩個球體的表面積之和的最大值為 .
故選：D．
【點睛】方法點睛：
立體幾何中最值問題，一般可從三個方面考慮：一是構建函數(shù)法，即建立目標函數(shù)，轉化為函數(shù)的最值問
題進行求解；二是借助基本不等式求最值，幾何體變化過程中兩個互相牽制的變量（兩個變量之間有等量
關系），往往可以使用此種方法；三是根據(jù)幾何體的結構特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得
最值.
二、選擇題（本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題
目要求，全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.）
9. 設數(shù)列 的前 項和為 ，已知 ，則下列結論正確的是（ ）
第 7頁/共 26頁
A.
B. 數(shù)列 為等比數(shù)列
C.
D. 若 ，則數(shù)列 的前 10 項和為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可得 ，所以數(shù)列 為以 為首項，以 為公比的等比數(shù)列，依次可判斷 A、
B、C，再由裂項相消法判斷 D.
【詳解】當 時，由 ，得 ，解得 ，
當 時， ，
即 ，
即數(shù)列 為以 為首項，以 為公比的等比數(shù)列，
則 ， ， ，所以 A、C 錯誤，B 正確；
又 ，
數(shù)列 的前 10 項和為：
，D 正確.
故選：BD.
10. 數(shù)學美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念、公式符號、推理論證、
思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學的真實美.在平面直角坐標系中，曲線
就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，下列說法正確的有（ ）
A. 曲線 圍成的圖形有 4 條對稱軸
B. 曲線 圍成的圖形的周長是
第 8頁/共 26頁
C. 曲線 上的任意兩點間的距離不超過 5
D. 若 是曲線 上任意一點， 的最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】分類討論去掉絕對值可得曲線的四段關系式，從而作出曲線的圖象，由曲線圖象判斷各選項即可.
【詳解】曲線 ,
當 時，曲線 的方程可化為 ，
當 時，曲線 的方程可化為 ，
當 時，曲線 的方程可化為 ，
當 時，曲線 的方程可化為 ，
所以曲線 的圖象如圖所示，
對于 A：由圖可知曲線 圍成的圖形有 4 條對稱軸，故 A 正確；
對于 B：曲線 由 4 個半圓組成，其周長為 ，故 B 正確；
對于 C：由圖可知曲線 上任意兩點間的最大距離為 ，故 C 錯誤；
對于 D： 到直線 的距離 ，
而 到直線 的距離為 ，由圓的性質得曲線 上一點到直線
的距離最小為 ，
故 的最小值為 ，故 D 正確；
第 9頁/共 26頁
故選：ABD
11. 定義在 上的函數(shù) 同時滿足① ；②當 時， ，
則（ ）
A. B. 為偶函數(shù)
C. ，使得 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令 ，求得 ，求得 ，可判定 A 正確；根據(jù)題意求得 和
的值，得到 ，可判定 B 不正確；由 ，結合疊加法，可判定
C 正確；設 ，得出函數(shù) 是以 1 為周期的周期函數(shù)，且 ，結合絕對值
的性質，可判定 D 正確.
【詳解】對于 A 中，因為 ，
令 ，可得 ，即 ，
又因為 時， ，即 ，
則 ，即 ，可得 ，
所以 ，所以 A 正確；
對于 B 中，由選項 A 可得 ，
令 ，可得 ，解得 ，所以 ，
所以函數(shù) 不是偶函數(shù)，所以 B 錯誤；
對于 C 中，因為 ，
當 時，
，
且 ，符合上式，所以 ，
第 10頁/共 26頁
令 ，則 ，
即存 ，使得 ，所以 C 正確；
對于 D 中，令 ，
則 ，
即 ，即函數(shù) 是以 1 為周期的周期函數(shù)，
因為 時， ，則 ，
結合周期性可知，對任意 ，均有 ，
所以
又由 C 項可得 ，
令 ，即 ，即 ，
當 時，上式不成立；
當 時，上式化簡得 ，此時方程無解；
當 時，上式化簡得 ，此時方程無解；
可得對于任意 ， ，
所以，對于任意 ，都有 成立，所以 D 正確.
故選：ACD
【點睛】方法點睛：對于函數(shù)的新定義試題的求解：
1、根據(jù)函數(shù)的新定義，可通過舉出反例，說明不正確，同時正確理解新定義與高中知識的聯(lián)系和轉化；
2、正確理解函數(shù)的定義的內涵，緊緊結合定義，結合函數(shù)的基本性質（如單調性、奇偶性和周期等性質）
進行推理、論證求解.
3、利用函數(shù)的周期性時，將自變量較大的函數(shù)值轉化為自變量較小的函數(shù)值，知道自變量的值進入已知解
析式的區(qū)間內或與已知的函數(shù)值相聯(lián)系，必要時可再次運用奇偶性將自變量的符號進行轉化.
三、填空題（本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.）
12. 已知雙曲線 的左、右焦點分別為 ， ，過 作一條漸近線的垂線，垂
第 11頁/共 26頁
足為 ，延長 與雙曲線的右支相交于點 ，若 ，則雙曲線 的離心率為__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】設出雙曲線的一條漸近線方程，運用點到直線的距離公式可得 ，進而得到 ，分
別在直角三角形 中運用勾股定理，在 中，運用余弦定理，結合雙曲線的定義和離心率公式，
計算可得所求值．
【詳解】雙曲線的方程為 ，一條漸近線方程為 ，
設 ，可得 ，
若 ，則 ，由雙曲線的定義可得 ，
在直角三角形 中， ， ，
在 中，
，
即有 ，
所以 ，即 ，
則 .
故答案為： .
13. 一條直線與函數(shù) 和 的圖象分別相切于點 和點 ，則 的
值為__________．
【答案】-2
第 12頁/共 26頁
【解析】
【分析】求導，由導數(shù)幾何意義得到切線方程，對照系數(shù)得到 ，聯(lián)立得到
，故 .
【詳解】因為 ， ，所以 ， ，
則 在點 處的切線方程為 ，即 ；
在點 處的切線方程為： ，即 ，
由已知 ，由 得 ，故 ，
故 ，解得 ，
所以 ，因此 ．
故答案為： ．
【點睛】方法點睛：應用導數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：
(1) 已知切點 求斜率 ,即求該點處的導數(shù) ；
(2) 已知斜率 求切點 即解方程 ；
(3) 已知切線過某點 (不是切點) 求切點, 設出切點 利用
求解.
14. 質點每次都在四邊形 的頂點間移動，每次到達對角頂點的概率是它到達每個相鄰頂點概率的兩
倍，若質點的初始位置在 A 點，經過 n 次移動到達 C 點的概率為______.
【答案】
【解析】
第 13頁/共 26頁
【分析】設移動 次后，點 移動到 的概率分別為 ， ， ， ，根據(jù)題目條件列關系式可
得 ，代入數(shù)據(jù)通過構造法得到數(shù)列 是以 為首項，以 為公比的等比數(shù)列，結合
可求結果.
【詳解】設移動 次后，點 移動到 的概率分別為 ， ， ， ，
則 ， ， ， ， ，
由 得 ， ，
∵ ，∴ ，故 ，
∴
∴ ，故 ，
∵ ，∴數(shù)列 是以 為首項，以 為公比的等比數(shù)列，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ .
故答案為： .
第 14頁/共 26頁
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是通過構造法得到數(shù)列 是以 為首項， 為公比的等
比數(shù)列，利用 的關系式即可求出 .
四、解答題（本大題共 5 小題，共 77 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 在 中，角 的對邊分別為 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， 為邊 的中點， ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可以得到 ，進而得到 的值，即可求出結果.
（2）利用向量知識得到 ，結合余弦定理求出 和 ，即可得到
【小問 1 詳解】
因為 .
所以 ，故 ，所以 .
【小問 2 詳解】
由于 .
故 ，由余弦定理又有 ，而 ，
故有
，
.
第 15頁/共 26頁
所以 .
16. 設 ， .
（1）若 ，求 在 處的切線方程；
（2）若 ，試討論 的單調性.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）當 時，先求導，再求 ，利用點斜式即可寫出切線方程；
（2）分 ， ， ， 四種情況，結合求導討論即可求解．
【小問 1 詳解】
若 ，則 ， ，
又 ，故 ，
所以 在 處的切線方程為 ，
即 ；
【小問 2 詳解】
， ，
當 時， ，令 ，即 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上單調遞減， , 上單調遞增；
當 時， ， 在 上單調遞增，
當 ， 即 時 ， 令 ， 解 得 ， 或 ， 令 ． 解 得
，
所以 在 ， , 上單調遞增， , 上單調遞減；
當 ，即 時，令 ，解得 ，或 ，令 ．解得 ，
第 16頁/共 26頁
所以 在 ， , 上單調遞增， , 上單調遞減．
綜上：當 時，所以 在 上單調遞減， , 上單調遞增；
當 時，所以 在 ， , 上單調遞增， , 上單調遞減；
當 時， ， 在 上單調遞增，
當 時，所以 在 ， , 上單調遞增， , 上單調遞減．
17. 如圖，在四棱錐 中， 平分 ， ， ， ，
為正三角形， ．
（1）求證：平面 平面 ；
（2）設 為 上一點， ，四棱錐 的體積為 ，求平面 與平面 夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）先證明 ，結合 ，根據(jù)線面垂直判定定理證明 平面 ，再由面
面垂直判定定理證明結論；
（2）由條件結合體積公式求得四棱錐四棱錐 的高為 ，建立空間直角坐標系求平面 與平
面 的法向量，結合向量夾角公式求結論.
【小問 1 詳解】
證明：因為 平分 ，且 ， ，又 ，
所以 ，所以 ，又
所以 ，所以 ， ，
所以 ，
第 17頁/共 26頁
因為 為正三角形，所以 ．
在 中， ，
所以 ，
因為 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因為 平面 ，所以平面 平面 .
【小問 2 詳解】
設點 到平面 的距離為 ，
則 ，
解得 ，
如圖，取 的中點 ，連接 ，
則 ，且 ，
因為平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
因為 平面 ，所以 ，
因為 ，所以 ，
又因為 ，
所以 為等邊三角形，
所以 ，且 .
故可以 為原點 所在直線分別為 軸建立如圖所示的空間直角坐標系 ，
第 18頁/共 26頁
則 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
設平面 的法向量為 ，
則 即 ，
令 ，則 ，
故 為平面 的一個法向量，
設平面 的法向量為 ，
則 即 ，
令 ，則 ，
所以 為平面 一個法向量，
所以 ，
所以平面 與平面 夾角的余弦值為 .
18. 已知橢圓 的左右焦點分別為 ，點 為橢圓 上異于頂點的一動點，
第 19頁/共 26頁
的角平分線分別交 軸、 軸于點 ．
（1）若 ，求 ；
（2）求證： 為定值；
（3）當 面積取到最大值時，求點 的橫坐標 ．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩點間距離公式化簡即可.
（2）根據(jù)角平分線定理知 得 ，由 即可求出 為定值
（3）表示出 的面積，利用導函數(shù)求出面積表達式的單調性，即可求出 面積取到最大值時，
求點 的橫坐標.
【小問 1 詳解】
由已知得 ，
則 ．
所以當 時， ；
【小問 2 詳解】
設 ，在 中， 是 的角平分線，所以 ，
第 20頁/共 26頁
由（1）知 ，
同理 ，
即 ，解得 ，所以 ，
過 作 軸于 ．所以 ．
【小問 3 詳解】
記 面積的面積為 ，由（1）可得，
，其中 ，
則 ，
當 時， 單調遞增；
當 時， 單調遞減．
所以當 時， 最大．
【點睛】關鍵點點睛：本題第三問的關鍵是利用導函數(shù)求解面積表達式的最值，注意函數(shù)的定義域.
19. 給定整數(shù) ，由 元實數(shù)集合 定義其相伴數(shù)集 ，如果 ，
則稱集合 S 為一個 元規(guī)范數(shù)集，并定義 S 的范數(shù) 為其中所有元素絕對值之和.
（1）判斷 、 哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；
（2）任取一個 元規(guī)范數(shù)集 S，記 、 分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：
；
（3）當 遍歷所有 2023 元規(guī)范數(shù)集時，求范數(shù) 的最小值.
注： 、 分別表示數(shù)集 中的最小數(shù)與最大數(shù).
【答案】（1）集合 A 不是規(guī)范數(shù)集；集合 B 是規(guī)范數(shù)集；
（2）證明見詳解； （3） .
第 21頁/共 26頁
【解析】
【分析】（1）根據(jù) 元規(guī)范數(shù)集的定義，只需判斷集合 中的元素兩兩相減的差的絕對值，是否都大于
等于 1 即可；
（2）利用 元規(guī)范數(shù)集的定義，得到 ，從而分類討論 、 與 三種情況，
結合去絕對值的方法即可證明；
（3）法一：當 時，證得 ，從而得到 ；當 時，證得
，從而得到 ；當 時，分類討論 與 兩
種情況，推得 ，由此得解；
法二：利用規(guī)范數(shù)集的性質與（2）中結論即可得解.
【小問 1 詳解】
對于集合 A：因為 ，所以集合 A 不是規(guī)范數(shù)集；
對于集合 B：因為 ，
又 ， ， ， ， ，
，
所以 B 相伴數(shù)集 ，即 ，故集合 B 是規(guī)范數(shù)集.
【小問 2 詳解】
不妨設集合 S 中的元素為 ，即 ，
因為 S 為規(guī)范數(shù)集，則 ，則 ，且 ，使得
，
當 時，
則
，
當且僅當 且 時，等號成立；
當 時，
第 22頁/共 26頁
則
，
當且僅當 且 時，等號成立；
當 時，
則 ，
當且僅當 時，等號成立；
綜上所述： .
【小問 3 詳解】
法一：
不妨設 ，
因 S 為規(guī)范數(shù)集，則 ，則 ，且 ，使得
，
當 時，
則當 時，可得 ，
當且僅當 時，等號成立，
則范數(shù) ，
當且僅當 時，等號成立，
又 ，
當且僅當 時，等號成立，
故 ，即范數(shù) 的最小值 ；
當 時，
則當 時，可得
第 23頁/共 26頁
，
當且僅當 時，等號成立，則 ，
則范數(shù)
，
當且僅當 時，等號成立，
又
，
當且僅當 時，等號成立，
故 ，即范數(shù) 的最小值 ；
當 ，使得 ，且 ，
當 ，即 ，即 時，
則當 時，可得 ，
當且僅當 時，等號成立，
則當 時，可得 ，
當且僅當 時，等號成立，
則范數(shù)
；
第 24頁/共 26頁
對于 ，其開口向上，對稱軸為 ，
所以 ，
所以范數(shù) 的最小值為 ；
當 ，即 ，即 時，
則當 時，可得 ，
當且僅當 時，等號成立，
則當 時，可得 ，
當且僅當 時，等號成立，
則范數(shù)
；
對于 ，其開口向上，對稱軸為 ，
所以 ，
所以范數(shù) ；
綜上所述：范數(shù) 的最小值 .
法二：
不妨設 ，
因為 S 為規(guī)范數(shù)集，則 ，則 ，且 ，使得
，
第 25頁/共 26頁
所以對于 ，同樣有 ，則 ，
由（2）的證明過程與結論 可得， ，當且僅
當 時，等號成立，
即 ， ，…… ，
所以范數(shù)
，
當且僅當 時，等號成立，
所以范數(shù) 的最小值 .
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是理解 元規(guī)范數(shù)集的定義，得到 ，再將集合中的元素進
行從小到大排列，利用分類與整合的思想進行討論分析，從而得解.
第 26頁/共 26頁

相關試卷

湖南省長沙市長郡中學2025屆高三上學期月考（四）數(shù)學試題（Word版附解析）：

這是一份湖南省長沙市長郡中學2025屆高三上學期月考（四）數(shù)學試題（Word版附解析），文件包含湖南省長沙市長郡中學2025屆高三上學期月考四數(shù)學試卷原卷版docx、湖南省長沙市長郡中學2025屆高三上學期月考四數(shù)學試卷解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共23頁， 歡迎下載使用。

湖南省長沙市長郡中學2024-2025學年高三上學期月考（二）數(shù)學試卷（Word版附答案）：

這是一份湖南省長沙市長郡中學2024-2025學年高三上學期月考（二）數(shù)學試卷（Word版附答案），共22頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

湖南省長沙市長郡中學2024-2025學年高三上學期月考卷（三）數(shù)學試卷（Word版附解析）：

這是一份湖南省長沙市長郡中學2024-2025學年高三上學期月考卷（三）數(shù)學試卷（Word版附解析），共17頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

湖南省長沙市長郡中學2023-2024學年高三上學期月考（四）數(shù)學試題（Word版附解析）

湖南省長沙市長郡中學2023-2024學年高三上學期月考（四）數(shù)學試題（Word版附解析）
湖南省長沙市長郡中學2023-2024學年高三上學期月考（三）數(shù)學試卷（Word版附答案）

湖南省長沙市長郡中學2023-2024學年高三上學期月考（三）數(shù)學試卷（Word版附答案）
湖南省長沙市長郡中學2024屆高三數(shù)學上學期月考（一）試題（Word版附解析）

湖南省長沙市長郡中學2024屆高三數(shù)學上學期月考（一）試題（Word版附解析）
2023屆湖南省長沙市長郡中學高三上學期月考（四）數(shù)學試卷（word版）

2023屆湖南省長沙市長郡中學高三上學期月考（四）數(shù)學試卷（word版）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部