湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期月考（八）數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1. 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.
2. 回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【詳解】，則，故的虛部為.
故選：D.
2. 已知集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【詳解】或，∴，
∴，故的真子集個(gè)數(shù)為3個(gè).
故選：C.
3. 若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）
A. 1B. C. －1D.
【答案】D
【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，即，
解之得，則，
，
故偶函數(shù)，符合題意.
故選：D.
4. 空間內(nèi)有五點(diǎn)A，P，Q，S，T，則“”是“Q為重心”的（）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 既不充分也不必要條件D. 必要不充分條件
【答案】D
【詳解】當(dāng)Q為重心時(shí)，可得，
所以，所以，
所以，∴成立；
設(shè)，如圖所示則Q可不為重心.
所以“”是“Q為重心”的必要不充分條件.
故選：D.
5. 已知，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【詳解】由兩邊平方，得，
∴，，
而，，∴，∴，
∴.
故選：C.
6. 若，，，，構(gòu)成等差數(shù)列，公差，，且其中三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)，，則下列說法正確的是（）
A. k一定大于0B. ，，可能構(gòu)成等比數(shù)列
C. 若，，則為5的倍數(shù)D.
【答案】C
【詳解】A. 取，則，，為等比數(shù)列，，故A錯(cuò)誤.
B. ，與公差，矛盾，故B錯(cuò)誤.
C. 為5的倍數(shù)，故C正確.
D. ，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
7. 雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)P在C上，，則的外接圓與內(nèi)切圓的半徑之比為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【詳解】設(shè)中的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，，，
不妨設(shè)，則，
中，由正弦定理，得，
中，由余弦定理，得，
∴，
，
∵，
∴，
∵，∴.
故選：D.
8. 已知正方體，如圖，延長(zhǎng)至P使，O為的中點(diǎn)，設(shè)交平面于K，則下列說法正確的是（）
A. 與異面B.
C. 的余弦值為D. 平面與平面的夾角的正切值為
【答案】D
【詳解】連接，易知，，所以四邊形為直角梯形，與相交，故A錯(cuò)誤；
令正方體的棱長(zhǎng)為3，由知，，
，所以，，故B錯(cuò)誤；
以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，，，，
，∴，故C錯(cuò)誤；
由，，，，，
易知平面的法向量，
設(shè)平面的法向量，
則，
則，可得，
取，得，，則，
∴，，，
∴，，
∴，D正確.
故選：D.
二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列結(jié)論正確的是（）
A. 若隨機(jī)變量，則
B. 測(cè)量重力加速度大小實(shí)驗(yàn)中所測(cè)g的值服從正態(tài)分布，則越大時(shí)，測(cè)得的g在間的概率越大
C. 某次考試中有三道題，小黃同學(xué)做對(duì)每道題的概率均為，則他做對(duì)的題數(shù)的期望為2
D. 已知某10個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為7，方差為1.1，則加入一個(gè)數(shù)據(jù)7后方差變?yōu)?
【答案】CD
【詳解】對(duì)于A，，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)為定值時(shí)，正態(tài)密度曲線的峰值與成反比，越大，峰值越低，測(cè)得的g越分散，即在間的概率越低，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，做對(duì)的題數(shù)X服從二項(xiàng)分布，故，故C正確；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：CD.
10. 記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)D，則（）
A. B.
C. D. 若的面積為18，，則
【答案】ACD
【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，選項(xiàng)A正確；
設(shè)，由可得，
由B，D，C三點(diǎn)共線可得，，即，D是邊BC的中點(diǎn)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
因?yàn)镈是邊BC的中點(diǎn)，則，即，選項(xiàng)C正確；
因?yàn)?，則，
由，可知，，
則，且，則，選項(xiàng)D正確.
故選：ACD.
11. 函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)，x，，恒成立，且，下列說法正確的是（）
A. 的圖象關(guān)于對(duì)稱
B. 若在上單調(diào)遞減，則對(duì)x，，
C. 若是公差不為零且恒不為零的等差數(shù)列，則有
D. 若為等比數(shù)列，公比為3，則
【答案】BD
【詳解】對(duì)于A，，，相加得，
故，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，（*），
又，所以即，故B正確；
對(duì)于C，左邊，
右邊，所以左邊－右邊，
又對(duì)，x，，，所以，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，則，，由（*）得，
所以
，故D正確.
注：是解之一，全部解為，，，因?yàn)?
故選：BD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知，其中，，則的最小值為______.
【答案】20
【詳解】由知，由知，故，
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故的最小值為.
故答案：20.
13. 已知，，則的值為______.
【答案】0
【詳解】不妨令，設(shè)，
因，則，，
由可得：
，
故.
故答案為：0.
14. 一副二色牌共有紙牌22張，其中紅、藍(lán)每種顏色各11張，編號(hào)分別為0，1，2，…，10，從這副牌中任取若干張牌，然后按照如下規(guī)則計(jì)算分值：每張編號(hào)為k的牌記為分，若它們的分值之和為2025，就稱這些牌為一個(gè)“好”牌組，則“好”牌組的個(gè)數(shù)為______.
【答案】2026
【詳解】因，
設(shè)x為一個(gè)“好”牌組中，未出現(xiàn)的編號(hào)的最大值（且），
由知“好”牌組中不可能每種編號(hào)的牌都有，知x必然存在，
當(dāng)時(shí)，由于，則編號(hào)為，，…，10的牌各恰有一張，
此時(shí)剩余要取出的分值為，
且此時(shí)只能從編號(hào)為0，1，2，…，的牌中取，
而編號(hào)為0，1，2，…，的所有牌的分值總和為，
因此只需從編號(hào)為0，1，2，…，的牌中去除21分，由于，則只能從編號(hào)為0，1，2，3，4的牌中取出21分，
又
，共種取法，
對(duì)，6，7，8，9，10進(jìn)行計(jì)數(shù)，總共有種取法；
當(dāng)時(shí)，則編號(hào)為5，6，7，8，9，10的牌各恰有一張，此時(shí)剩余要取出的分值為，
又，共種取法，
以上取法均滿足，那么總共有種取法，
綜合與的情況，可得共有個(gè)“好”牌組.
故答案為：2026.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知數(shù)列滿足，，令.
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列.在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）不存在，理由見解析
【小問1詳解】
法一：∵，
∴若，則；若，則，
∵，
∴，
∴，
∴為等比數(shù)列.
法二：∵，，∴，
∴，
即，又，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）知，
由題意知，即，
假設(shè)存在3項(xiàng)，，成等比數(shù)列，則，
∴，∵，
∴化簡(jiǎn)可得，
∴，這與已知條件m，k，p互不相等矛盾，
所以不存在3項(xiàng)，，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.
16. 已知拋物線C：，直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，.
（1）求證：弦過定點(diǎn)；
（2）已知弦的中點(diǎn)為T，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)Q在拋物線C上，求的面積.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【小問1詳解】
設(shè)直線：，，，
聯(lián)立，
∴ ，
又，代入得，
∴，∴弦過定點(diǎn).
【小問2詳解】
由（1）知定點(diǎn)也為拋物線焦點(diǎn)，又關(guān)于直線對(duì)稱，

∴，可得，即，
∴，
當(dāng)時(shí)，的中點(diǎn)為，
則，：，
∴，
∴，此時(shí)；
由對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，.
綜上，.
17. 如圖，直三棱柱中，，，.

（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面平面；
（2）當(dāng)，記平面與平面，平面，平面，平面所成的角分別為，，，，，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【小問1詳解】
設(shè)，
∵為直三棱柱，且，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)P為的中點(diǎn)，
∴在中，，，則，
∵平面，平面，∴，
又∵，，∴平面，
又平面，∴，
∵，平面，
∴平面.∵平面，
∴平面平面.
【小問2詳解】
由（1）知，，兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
.
設(shè)平面的法向量，
則
令，則，
同理，平面的法向量，
平面的法向量，
平面的法向量，
平面的法向量，
∴，
同理，，，
∴，，
∴，
∴的取值范圍為.

18. 已知函數(shù).
（1）求的定義域；
（2）求證：無論a取何值，都有兩個(gè)極值點(diǎn)；
（3）設(shè)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）證明見解析
【小問1詳解】
函數(shù)中，，解得或，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
【小問2詳解】
求導(dǎo)得，
令，由，，得，，
因此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
顯然，當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
所以函數(shù)始終有兩個(gè)極值點(diǎn).
【小問3詳解】
由（2）知，，，
，
，
由，得，，
，，
，
令，則，令，求導(dǎo)得，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
所以.
19. （1）已知集合，，若集合，其中，，滿足，寫出所有符合條件的C；
（2）集合，，從M，N中各自等概率地取出一個(gè)元素a和b，，求X的數(shù)學(xué)期望；
（3）若集合，，滿足，，考慮以下2500個(gè)數(shù)（可以相同）：，，對(duì)，設(shè)為k在上面2500個(gè)數(shù)中出現(xiàn)的次數(shù)，證明：.
（注：表示，，…，中最小的數(shù)，.）
【答案】（1），，，；（2）；（3）證明見解析
【詳解】（1），，，.
（2）1出現(xiàn)50次，2、3出現(xiàn)49次，4、5出現(xiàn)48次，…，98、99出現(xiàn)1次，100出現(xiàn)0次.
故
.
（3）不妨設(shè)，
即滿足的組數(shù)，
剛只需且，這樣的組數(shù)有組.
由基本不等式，
而為所有小于11的，的數(shù)量，即，
故，即證

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