湖南省長沙市長郡中學(xué)2025屆高三上學(xué)期月考（四）數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷共8頁.時量120分鐘.滿分150分
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1 設(shè)集合，，則（）
A. B. C. D.
2. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，“”，“”，則是的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 已知是的重心，過點作一條直線與邊分別交于點（點與所在邊的端點均不重合），設(shè)，則的最小值是（）
A 1B. C. 2D. 4
4. 若，則（）
A. B. C. D.
5. 已知為數(shù)列的前項和，且，若對任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的最小值為（）
A 4B. C. 3D.
6. 在棱長為4的正方體中，分別是棱，的中點，過作平面，使得，則點到平面的距離是（）
A. B. C. D.
7. 記表示中的最大數(shù)，若，，則的最小值為（）
A. B. C. 2D. 3
8. 如圖，過原點的直線交橢圓于兩點，過點分別作軸、的垂線，且分別交橢圓于點，，連接交于點，若，則橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9. 已知函數(shù)，則（）
A. 有兩個極值點B. 有三個零點
C. 點是曲線的對稱中心D. 直線是曲線的切線
10. 已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點均在以原點為圓心的單位圓上，且，則（）
A. B. 與實部之和為
C. 為純虛數(shù)D.
11. 已知函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列命題為真命題的是（）
A. B. 在上單調(diào)遞減
C. 若，則D. 若，則
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 在中，角，，的對邊分別為，，，已知.則______.
13. 第十五屆中國國際航空航天博覽會在2024年11月12日至17日在廣東珠海舉行.此次航展，觀眾累計參觀近60萬人次，簽約金額超2800億人民幣.為慶祝這一盛會的成功舉行，珠海某商場決定在航展期間舉行“購物抽獎送航模”活動.盒中裝有5個除顏色外均相同的小球，其中2個是紅球，3個是黃球.每位顧客均有一次抽獎機(jī)會，抽獎時從盒中隨機(jī)取出1球，若取出的是紅球，則可領(lǐng)取“隱形戰(zhàn)機(jī)殲-35A”模型，該小球不再放回；若取出的是黃球，則可領(lǐng)取“隱形戰(zhàn)機(jī)殲-20S”模型，并將該球放回盒中.則在第2位顧客抽中“殲-20S”模型的條件下，第1位顧客抽中“隱形戰(zhàn)機(jī)殲-35A”模型的概率為______.
14. 高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是_________.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 在數(shù)列中，，.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列前項和為，若恒成立，求的取值范圍.
16. 如圖，在四棱錐中，，，
，平面平面．
（1）求證：平面；
（2）點Q在棱上，與平面所成角正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.
17. 已知橢圓與拋物線有相同的焦點，為橢圓上一點，分別為橢圓的左、右焦點，且的面積的最大值為，過點做斜率之和為3的兩條直線和與橢圓交于兩點，與橢圓交于兩點，線段的中點分別為.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請給出理由.
18. 已知函數(shù).
（1）求的導(dǎo)函數(shù)的極值；
（2）不等式對任意恒成立，求k的取值范圍；
（3）對任意，直線與曲線有且僅有一個公共點，求b的取值范圍.
19. 集合是數(shù)學(xué)中的基本概念和重要內(nèi)容.對于實數(shù)集中的兩個非空有限子集和，定義和集.記符號表示集合中的元素個數(shù).當(dāng)時，設(shè)是集合中所有元素按從小到大順序的一種排列，記集合.
（1）已知集合，求的值；
（2）已知集合，若，求的值；
（3）已知，記集合或.
（?。┊?dāng)時，證明：的充要條件是；
（ⅱ）若，求的所有可能取值.