本試卷共8頁(yè)。時(shí)量120分鐘。滿分150分。
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1．設(shè)集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，則（ ）
A．5B．C．D．
3．已知向量，滿足，，且，則在方向上的投影向量為（ ）
A．3B．C．D．
4．已知函數(shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，，有，則（ ）
A．B．C．D．
5．若正四棱錐的高為8，且所有頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為（ ）
A．24B．32C．96D．128
6．已知曲線在處的切線恰好與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．在直角坐標(biāo)系中，繞原點(diǎn)將軸的正半軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點(diǎn)、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角交單位圓于點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且的面積為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
8．已知雙曲線的左頂點(diǎn)為是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且的最大值是，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）
9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列勻選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．的最小正周期為
B．是的最小值
C．在區(qū)間上的值域?yàn)?br>D．把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象
10．在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)滿足，其中，則（ ）
A．若與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
B．當(dāng)時(shí)，平面
C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得
D．當(dāng)時(shí)，的最小值為
11．在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以69.800分的成績(jī)奪得金牌，這是中國(guó)藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類(lèi)似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（ ）
A．開(kāi)口向上的拋物線的方程為
B．
C．直線截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)的最大值為
D．陰影區(qū)域的面積大于4
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）
12．若，則_____．
13．已知函數(shù)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．
14．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，若，其中常數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，則_____．
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
15．（本小題滿分13分）
記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若為邊上一點(diǎn)，，求．
16．（本小題滿分15分）
如圖，三棱柱中，．
（1）求證：平面；
（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．
17．（本小題滿分15分）
人工智能（AI）是一門(mén)極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來(lái)，理論和技術(shù)日益成熟．某公司研究了一款答題機(jī)器人，參與一場(chǎng)答題挑戰(zhàn)．若開(kāi)始基礎(chǔ)分值為分，每輪答2題，都答對(duì)得1分，僅答對(duì)1題得0分，都答錯(cuò)得－1分．若該答題機(jī)器人答對(duì)每道題的概率均為，每輪答題相互獨(dú)立，每輪結(jié)束后機(jī)器人累計(jì)得分為，當(dāng)時(shí)，答題結(jié)束，機(jī)器人挑戰(zhàn)成功，當(dāng)時(shí)，答題也結(jié)束，機(jī)器人挑戰(zhàn)失敗．
（1）當(dāng)時(shí)，求機(jī)器人第一輪答題后累計(jì)得分的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）當(dāng)時(shí)，求機(jī)器人在第6輪答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功的概率．
18．（本小題滿分17分）．
已知橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的倍，且橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為3．是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)分別做橢圓的切線，取橢圓上軸上方任意兩點(diǎn)（在的左側(cè)），并過(guò)，兩點(diǎn)分別作橢圓的切線交于點(diǎn)，直線交點(diǎn)的切線于，直線交點(diǎn)的切線于，過(guò)作的垂線交于．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，直線與的斜率分別為與，求的值；
（3）求證：．
19．（本小題滿分17分）
對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則稱(chēng)為的不動(dòng)點(diǎn)．已知，且的不動(dòng)點(diǎn)的集合為．以和分別表示集合中的最小元素和最大元素．
（1）若，求的元素個(gè)數(shù)及；
（2）當(dāng)恰有一個(gè)元素時(shí)，的取值集合記為．
（i）求；
（ii）若，數(shù)列滿足，集合．求證：．
長(zhǎng)郡中學(xué)2025屆高三月考試卷（三）
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．）
1．C【解析】由題意，，對(duì)比選項(xiàng)可知只有C選項(xiàng)符合題意．
2．A【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，所以，所以．
3．D【解析】因?yàn)?，則，故，所以在方向上的投影向量為．
4．B【解析】因?yàn)?，有，所以在上單調(diào)遞增，又是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)B正確；，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；的正負(fù)不能確定，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
5．C【解析】如圖，設(shè)在底面的投影為，易知正四棱錐的外接球球心在上，
由題意，球的半徑，
所以，
故中，邊的高為，
所以該正四棱錐的側(cè)面積為．
6．B【解析】由得，又切點(diǎn)為（1，e），故，切線為，
設(shè)與曲線的切點(diǎn)為，所以，解得切點(diǎn)為，
所以，解得．
7．B【解析】由點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，得，顯然，
而，即，又，
因此，，有，顯然點(diǎn)在第四象限，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．
8．D【解析】如圖，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，
則．
因?yàn)椋?br>所以
．
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
整理得，則，解得．
二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．）
9．BD【解析】∵，由題圖知，∴，，故A錯(cuò)誤；
∵，∴可得是的最小值，故B正確；
∵，∴，∴，，
又，∴，∴，∵，∴，
∴，故C錯(cuò)誤；
將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象為，故D正確．
10．BCD【解析】對(duì)于A中，連接，在長(zhǎng)方體中，可得平面，所以即為與平面所成的角，即，在直角中，可得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，其周長(zhǎng)為，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，且點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在線段上，連接，在長(zhǎng)方體中，可得，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以平面，同理可證平面，又因?yàn)椋移矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以B正確；
對(duì)于C中．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，且點(diǎn)滿足，取的中點(diǎn)，過(guò)接，可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若，因?yàn)槠矫媲移矫?，所以平面、故平面，又平面，故，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，又因?yàn)?，可得線段與以為直徑的圓只有一個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，即當(dāng)且僅當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，能使得，所以C正確；
對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，且點(diǎn)滿足，取的中點(diǎn)，連接，可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，沿著將直角和平面展開(kāi)在一個(gè)平面上，如圖所示，在中，，由余弦定理得，所以，即的最小值為，所以D正確．
11．ABD【解析】由題意，開(kāi)口向右的拋物線方程為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，即，故A正確；
對(duì)于B，根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得或，即，代入可得，
由圖象對(duì)稱(chēng)性，可得，故，即B正確；
對(duì)于C，如圖，設(shè)直線與第一象限花瓣分別交于點(diǎn)，
由解得由解得，
即得，
則弦長(zhǎng)為，
由圖知，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取最大值4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取最小值0，即在第一象限部分滿足，
不妨設(shè)，則，且，
代入得，，
由此函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，即C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值．如圖：
在拋物線上取一點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)的切線與直線平行，由可得切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)到直線的距離為，
于是，由圖知，半個(gè)花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）
12．【解析】的展開(kāi)式通項(xiàng)是：，依題意，得，即，所以．
13．（－3，6）【解析】函數(shù)當(dāng)時(shí)，方程，解得，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)須有兩個(gè)零點(diǎn)，即在時(shí)有兩個(gè)解．
設(shè)，對(duì)稱(chēng)軸為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，且，即解得，所以的取值范圍是（－3，6）．
14．1或2【解析】當(dāng)時(shí)，，
所以．
由數(shù)列為等差數(shù)列，則為常數(shù)，
①若，則恒成立，即恒成立，∴；
②若，則，∴解得
綜上所述，或．
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
15．【解析】（1），則，
所以，因?yàn)椋裕?br>（2）由（1）得，，因?yàn)椋裕?br>如圖，在中，由余弦定理，得
，即，
在中，由正弦定理，即，所以，
因?yàn)椋剩?br>在中，．
16．【解析】（1）在中，由余弦定理可得，
則，解得，
由，則在中，，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>（2）易知兩兩相互垂直，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則
設(shè)平面的法向量，則可得
令，則，所以平面的一個(gè)法向量，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，可得，解得，
易知，設(shè)平面的法向量，
則可得令，則，
所以平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，則．
17．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，第一輪答題后累計(jì)得分所有取值為4，3，2，
所以第一輪答題后累計(jì)得分的分布列為：
所以．
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)“第六輪答題后，答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功”為事件，此時(shí)情況有2種，分別為：
情況①：前5輪答題中，得1分的有3輪，得0分的有2輪，第6輪得1分；
情況②：前4輪答題中，得1分的有3輪，得—1分的有1輪，第5、6輪都得1分，
所以．
18．【解析】（1）由題意：
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．4分
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，
由消去，整理得，
由，整理得，所以．
（3）設(shè)的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，如圖：
因?yàn)?，則．
設(shè)P，Q兩點(diǎn)處切線斜率分別為，過(guò)點(diǎn)的橢圓的切線方程為，即，由消去，化簡(jiǎn)整理，得，
由，得，
化簡(jiǎn)整理，得，
由韋達(dá)定理，得，所以，
所以要證明，只需證明，即因?yàn)?，所以上式成立，即成立?br>19．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?br>由得．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
注意到，所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，且，
又，所以，所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，
即在上恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)在上恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
所以，所以的元素個(gè)數(shù)為2，又因?yàn)椋裕?br>（2）（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知，有兩個(gè)元素，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?br>由得．
設(shè)，則，
設(shè)，則，
①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，
即在上恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，故恰有兩個(gè)零點(diǎn)．
又因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
注意到，所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，且，
又時(shí)，，所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，從而至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，不符合題意；
所以的取值范圍為，即集合．
（ii）由（i）知，，所以，
此時(shí)，，
由（i）知，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，
，所以，即，
故若，則，因?yàn)?，若存在正整?shù)使得，則，
從而，重復(fù)這一過(guò)程有限次后可得，與矛盾，從而，，
下面我們先證明當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，所以，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
即當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，
從而，即，故，
即，由于，
所以，故，
故時(shí)，，
所以，故．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
D
B
C
B
B
D
BD
BCD
ABD
X
4
3
2
P（X）

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