得分_______
本試卷共 8 頁(yè)．時(shí)量 120 分鐘．滿分 150 分．
一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一
項(xiàng)是符合題目要求的．）
★1．若 （i 為虛數(shù)單位），則
A． B．1 C． D．
★2．已知向量 ．若 ，則實(shí)數(shù) 的值是
A．－2 B．2 C． D．
★3． 的展開(kāi)式中 的系數(shù)為
A．2 B．6 C．4 D．－4
★4．設(shè) a 為實(shí)數(shù)，則“ ”是“ ”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
★5．若存在 滿足 ，則 a 的取值范圍是
A． B． C． D．
★6．．A，B 為隨機(jī)事件，已知 ，下列結(jié)論中正確的是
A．若 A，B 為互斥事件，則
B．若 A，B 為互斥事件，則
C．若 A，B 是相互獨(dú)立事件，則
D．若 ，則
7．已知 ，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為
A． B． C． D．
8．已知 分別是橢圓 的左，右頂點(diǎn)， 是橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)．若 ，
則 的值是
A． B． C． D．
二、選擇題（本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合
題目要求．全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分．）
★9．下列說(shuō)法中正確的是
A．回歸直線 恒過(guò)樣本中心點(diǎn) ，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)
B．用決定系數(shù) 刻畫(huà)回歸效果時(shí)， 越接近 1，說(shuō)明模型的擬合效果越好
C．將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)正數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變大
D．基于小概率值 的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng) 時(shí)，我們就推斷 不成立，即認(rèn)為 和 不獨(dú)立，該推斷
犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)
★10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn) 和定直線 ，若到點(diǎn) 與直線 的距離之和等于 10
的點(diǎn)的軌跡記為曲線 ．給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是
A．曲線 關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)
B．若點(diǎn) 在曲線 上，則
C．若點(diǎn) 在曲線 上，則
D．若點(diǎn) 在曲線 上，則
11．已知函數(shù) ，則下面說(shuō)法正確的是
A． 是 的一個(gè)周期 B． 的最大值為
C． 是 的對(duì)稱(chēng)軸 D． 是 的對(duì)稱(chēng)中心
三、填空題（本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．）
12．已知 ，刪除數(shù)列 中所有能被 2 整除的數(shù)，剩下的數(shù)從小到大排成數(shù)列 ，則
_______．
13．已知 ，集合 中的元素恰有 2 個(gè)整數(shù)，則 的取值范圍是_______．
14．為美化環(huán)境，某地決定在一個(gè)大型廣場(chǎng)建一個(gè)同心圓形花壇，花壇分為兩部分，中間小圓部分種植草坪，
周?chē)膱A環(huán)分為 等份種植紅，黃，藍(lán)三色不同的花．要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．如
圖①，圓環(huán)分成的 3 等份分別為 ，有 6 種不同的種植方法．
① ② ③
（1）如圖②，圓環(huán)分成的 4 等份分別為 ，有_______種不同的種植方法；
（2）如圖③，圓環(huán)分成的 等份分別為 ，有_______種不同的種植方法．
四、解答題（本大題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）
★ 15．（ 本 小 題 滿 分 13 分 ） 如 圖 ， 四 邊 形 中 ， ，
，且 為銳角．
（1）求 ；
（2）求 的面積．
★16．（本小題滿分 15 分）已知函數(shù) ．
（1）若 ，求函數(shù) 過(guò)點(diǎn) 的切線方程；
（2）證明：當(dāng) 時(shí)， ．
17．（本小題滿分 15 分）已知 在橢圓 上，過(guò)點(diǎn) 的直線 交橢圓 于 兩
點(diǎn)（異于點(diǎn) ），過(guò)點(diǎn) 作 軸的垂線與直線 交于點(diǎn) ，設(shè)直線 的斜率分別為 ．
（1）試探究 是否為定值，并給出理由；
（2）證明：直線 過(guò)線段 的中點(diǎn)．
18．（本小題滿分 17 分）如圖，四棱錐 中，底面 是矩形， ，且平面
平面 ． 分別是 的中點(diǎn)， ．
（1）求證： 是直角三角形；
（2）求四棱錐 體積的最大值；
（3）求平面 與平面 的夾角余弦值的范圍．
19．（ 本 小 題 滿 分 17 分 ） 記 集 合 的 元 素 個(gè) 數(shù) 為 ， 若 ， 定 義 集 合
，我們稱(chēng)集合 為集合 A 的積集．
（1）當(dāng) 時(shí)，寫(xiě)出集合 的積集 及 ；
（2）若 是由 4 個(gè)有理數(shù)構(gòu)成的集合，積集 ，求集合
中的所有元素之和；
（3）現(xiàn)給定一個(gè)正實(shí)數(shù)集合 ，試求滿足 的非空有限正數(shù)集合 的個(gè)數(shù)的最大可能值．
大聯(lián)考長(zhǎng)郡中學(xué) 2025 屆高三月考試卷（六）
數(shù)學(xué)參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B B A A D D C BD CD ABD
一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分）
7．D【解析】由 1n ，令 且 ，則 ，
所以 在 上遞減，則 ，即 ，
所以 ，
由 ，只需比較 與 的大小，
根據(jù) 與 ，相交于 兩點(diǎn)，圖象如圖，
由 ，結(jié)合圖知 ，故 ，
綜上， ，
8．C【解析】由題意知 ，設(shè) ，直線 的斜率分別為 ，
則 ，
又 ，即 ，即 ，
由正弦定理得 ．
又 ，則 ，
聯(lián)立解得 ，即 ，
所以 ，即 ．
二、選擇題（本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．）
10．CD【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn) ，根據(jù)點(diǎn) 到點(diǎn) 與直線 的距離之和等于 10，
所以 ，即 ，
化簡(jiǎn)得，當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ，圖象如圖，
選項(xiàng) A，根據(jù)圖象得，曲線 C 不關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，故 A 錯(cuò)誤；
選項(xiàng) B，若點(diǎn) 在曲線 C 上，則 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，故 B 錯(cuò)誤；
選項(xiàng) C，若點(diǎn) 在曲線 C 上，則 ．C 正確；
選項(xiàng) D，若點(diǎn) 在曲線 C 上，
當(dāng) 時(shí)， ，得 ，故 ；
當(dāng) 時(shí)， ，得 ，故 ．
所以 ，D 正確．
11．ABD【解析】
．
因?yàn)?的最小正周期為 的最小正周有為 ，
所以 的最小正周期為 ，故 A 正確；
．
又 ，令 ， ，
因?yàn)?的周期為 ，所以只需討論 內(nèi)的 的最大值，
此時(shí)當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
故當(dāng) ，即 時(shí)， 有極大值，
又 ，因此 的最大值為 ，故 B 正確；
因?yàn)?，
所以直線 不是 圖象的對(duì)稱(chēng)軸，故 C 錯(cuò)誤；
，
所以點(diǎn) 是 圖象的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，故 D 正確．
三、填空題（本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．）
12．861 【解析】由題意可知 ，
觀察得從第一個(gè)數(shù)開(kāi)始每連續(xù)四個(gè)數(shù)需要?jiǎng)h掉后兩個(gè)數(shù)，
， 可被 2 整除，
則 為第 11 組的第一個(gè)數(shù)，即 ．
13． 【解析】因?yàn)榧?中的元素恰有兩個(gè)整數(shù)，
所以 ，解得 ，
當(dāng) 時(shí)，集合 A 中的兩個(gè)整數(shù)分別為 2，3，則 ，解得
當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)，集合 A 中元素為整數(shù)的只有 3，4，合乎題意，
綜上所述，實(shí)數(shù) m 的取值范圍是
14．（1）18 （2） （第一空 2 分，第二空 3 分）
【解析】（1）18；
（2）如圖 3，圓環(huán)分為 n 等份，對(duì) 有 3 種不同的種法，對(duì) 都有兩種不同的種法，
但這樣的種法只能保證 與 不同顏色，但不能保證 與 不同顏色．
于是一類(lèi)是 與 不同色的種法，這是符合要求的種法，記為 種；
另一類(lèi)是 與 同色的種法，這時(shí)可以把 與 看成一部分，
這樣的種法相當(dāng)于對(duì) 部分符合要求的種法，記為 種，共有 種種法，
這樣就有 ，即 ，
則數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為－1 的等比數(shù)列，
則 ，由題意知： ，則 ，
．
四、解答題（本大題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
15．【解析】（1）由已加 Sur ，
．
是銳角， ，
由余弦定理可得 ，則 ．
是四邊形 外接圓的直徑，
利用正弦定理知 ．
（2）由 ，
則 ，又 ，則 ，
因此 ，
故意 的面積為 ．
16．【解析】（1）若 ，則 ．
設(shè)過(guò)點(diǎn) 的切線方程的切點(diǎn)為 ，
則 切線方程為 ．
代入點(diǎn) 得 ，
解得 ，故切線方程為 ．
（2）當(dāng) 時(shí)，設(shè) ，則 ，
令 ，得 ；令 ．但 ，
，
設(shè) ，則 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
，
，即 ．
17．【解析】（1） 為定值．
理由：①當(dāng)直線的斜率為 0 時(shí)，有 ；
②當(dāng)直線 的斜率不為 0 時(shí)，設(shè)直線 ，
聯(lián)立直線 與橢圓 C 的方程 消去 x 整理得 ，
則 ，
所以 ，所以
．
綜上， 為定值．
（2）設(shè)線段 PM 的中點(diǎn)為 ，易得
可得直線 AQ 的方程為 ，則 ，
直線 的方程為 ，則 ，
所以 ，
由（1）知 ，所以 ，
又直線 的字提為 ，所以點(diǎn) 在直線 上，
即直線 過(guò)線段 PM 的中點(diǎn)．
18．【解析】（1）設(shè)平面 平兩
由于 平面 平面 ，因此 平面 ，
又平面 平面 ，因此 ，
而 ，因此 ．
而平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
因比 平面 PDC，
而 平面 PDC，因此 ，故 是直角三角形．
（2）由于 ， ，因此 是以 為直徑的半圓上的點(diǎn)，
而 平面 ，
因此 平面 ，而 平面 ，因此平面 平面 ，
故 到平面 的最大距離為 ，所以四棱錐 的體積最大為 ．
（3）設(shè) EF 中點(diǎn)為 ，在平面 中，作過(guò) 垂直 EF 的直線 ．
設(shè)平面 PEF 與平面 的夾角為 ．
以 O 為原點(diǎn)，OE，m，過(guò) O 垂直于平面 ABCD 的直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 O－xyz
，
則 ．
易知平面 PEF 的一個(gè)法向量為 ，
可設(shè) ，則 ， ．
設(shè)平面 PBC 的法向量為 ，因此 可取 ，
則 ，
不妨設(shè) ，
因此 隨 的增大而增大，因此 ．
19．【解析】（1）圖為 ，所以 ．
（2）對(duì)一個(gè) 4 元集合 A， 中的元素個(gè)數(shù)最多的情況為 ，是 6 個(gè)互不相
同的數(shù)．
同時(shí) 中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，因此 A 其中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)是互為相反數(shù)，
由此知， 的絕對(duì)值互不相等，不妨設(shè) ，
那么則有： （ ）中最小的與次小的兩個(gè)數(shù)分別是 及 ，
最大的與次大的兩個(gè)數(shù)分別是 及 ，
從而必須有： ，
于是 ，故 ，
結(jié)合 ，只可能取 ，
由此易知， 或 ，
經(jīng)檢驗(yàn)知這兩組解均滿足問(wèn)題的條件，故 ．
（3）設(shè) ，不妨設(shè) ，
因?yàn)?，所以有 ，
由于 ，故 為 5 元集．
設(shè)集合 的元素為 ， 的元素為 ，
于是 ，
由 知 中有三項(xiàng)分別為 ，已知 ，
下證明至多存在 2 組 滿足 ，
假設(shè)存在 2 組 記為 ，則 中不存在 0，
否則由 比例給定立即得到 矛盾！
于是 ， 必為（3，4，5）和（4，5，6），這同時(shí)也說(shuō)明了 A 至多只有 2 組．
另一方面，根據(jù)上述說(shuō)明容易給出存在 2 個(gè) A 的構(gòu)造，
， ，
．
所以，滿足 的非空有限正數(shù)集合 的個(gè)數(shù)的最大可能值為 2．

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