長郡中學(xué)2023屆高三月考試卷（四）數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. ，若，則集合（    ）A.  B.  C.  D. 2. 函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（    ）A.  B.  C.  D. 3. 已知函數(shù)，則（    ）A.  B.  C. 2 D. 4. 在雙曲線中，虛軸長為6，且雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程是（    ）A.  B. C.  D. 5. 已知向量，且，則（    ）A. 68 B.  C.  D. 6. 為了解某種產(chǎn)品與原材料之間的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該產(chǎn)品5個(gè)不同時(shí)段的產(chǎn)品與原材料的價(jià)格，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：原材料價(jià)格（萬元/噸）產(chǎn)品價(jià)格（萬元/件但是統(tǒng)計(jì)員不小心丟失了一個(gè)數(shù)據(jù)（用代替），在數(shù)據(jù)丟失之前得到回歸直線方程為，則的值等于（    ）A.  B.  C.  D. 7. 的展開式中，的系數(shù)為（    ）A. 60 B.  C. 120 D. 8. 三棱錐中，，則三棱錐的外接球的表面積為（    ）A  B.  C.  D. 二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A.  B. 的虛部為1C.  D. 10. 對(duì)拋物線，下列描述不正確的是（    ）A. 開口向上，焦點(diǎn)為 B. 開口向上，焦點(diǎn)為C. 準(zhǔn)線方程為 D. 準(zhǔn)線方程為11. 已知直線，則（    ）A. 若，則B 若，則C. 若與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為1，則D. 當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過第一象限12. 某校3200名高中生舉行了一次法律常識(shí)考試，其成績大致服從正態(tài)分布，設(shè)表示其分?jǐn)?shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)布，則）A. B. C. 分?jǐn)?shù)在的學(xué)生數(shù)大約為2185D. 分?jǐn)?shù)大于94的學(xué)生數(shù)大約為4三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 將半徑為4的半圓卷成一個(gè)圓錐，則圓錐底面半徑為________，圓錐的體積為________．14. 寫出一個(gè)最小正周期為12奇函數(shù)__________．15. 已知函數(shù)，若，則__________．16. 某校電子閱覽系統(tǒng)的登錄碼由學(xué)生的屆別+班級(jí)+學(xué)號(hào)+特別碼構(gòu)成．這個(gè)特別碼與如圖數(shù)表有關(guān)，數(shù)表構(gòu)成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每兩個(gè)相鄰數(shù)的和寫在這兩個(gè)數(shù)正中間下方得到．以此類推，特別碼是學(xué)生屆別數(shù)對(duì)應(yīng)表中相應(yīng)行的自左向右第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，如：1997屆3班21號(hào)學(xué)生的登陸碼為1997321*．（*為表中第1997行第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字）．若某學(xué)生的登錄碼為202*2138（），則可以推斷該學(xué)生是__________屆2班13號(hào)學(xué)生．四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步聚．17. 已知等差數(shù)列滿足，前4項(xiàng)和．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．18. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是．已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面積．19. 2022年卡塔爾世界杯（英語：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行?也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的界杯足球賽，體育生更是熱愛觀看世界杯，某體育學(xué)院統(tǒng)計(jì)了該校足球系10個(gè)班級(jí)的學(xué)生喜歡觀看世界杯的人數(shù)，統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表所示：班級(jí)12345喜歡觀看世界杯的人數(shù)3935383836班級(jí)678910喜歡觀看世界杯的人數(shù)3940374038 （1）該校計(jì)劃從這10個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取3個(gè)班級(jí)的學(xué)生，就世界杯各國水平發(fā)揮進(jìn)行交談，求這3個(gè)班級(jí)喜歡觀看世界杯的人數(shù)不全相同的概率；（2）從10個(gè)班級(jí)中隨機(jī)選取一個(gè)班級(jí)，記這個(gè)班級(jí)喜歡觀看世界杯的人數(shù)為X，用上表中的頻率估計(jì)概率，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．20. 如圖，在四棱錐中，底面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．21. 已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由．22. 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的最值；（2）若，當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．                   長郡中學(xué)2023屆高三月考試卷（四）數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 【答案】AC10. 【答案】BC11.【答案】BCD12.【答案】BCD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 【答案】    ①. 2，    ②. 14. 寫出一個(gè)最小正周期為12的奇函數(shù)__________．【答案】（答案不唯一）15. 【答案】或或16. 【答案】或##或四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步聚．17. 已知等差數(shù)列滿足，前4項(xiàng)和．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由題干條件分別求出公差d和首項(xiàng)，再代入公式即可；（2）由（1）求得的數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算和，進(jìn)而得到數(shù)列的首項(xiàng)和公比，最后代入等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由題可知，，所以.又，所以.故的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）知，，于是等比數(shù)列的公比為，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，的前項(xiàng)和為.18. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是．已知．（1）求角的大?。?/span>（2）若，求的面積．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊得，再根據(jù)余弦定理可求出結(jié)果；（2）由正弦定理求出，再求出，再根據(jù)兩角和的正弦公式求出，最后根據(jù)三角形的面積公式可求出結(jié)果.小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以.【小問2詳解】由得，所以，所以，所以的面積為.19. 2022年卡塔爾世界杯（英語：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行?也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的界杯足球賽，體育生更是熱愛觀看世界杯，某體育學(xué)院統(tǒng)計(jì)了該校足球系10個(gè)班級(jí)的學(xué)生喜歡觀看世界杯的人數(shù)，統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表所示：班級(jí)12345喜歡觀看世界杯的人數(shù)3935383836班級(jí)678910喜歡觀看世界杯的人數(shù)3940374038 （1）該校計(jì)劃從這10個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取3個(gè)班級(jí)的學(xué)生，就世界杯各國水平發(fā)揮進(jìn)行交談，求這3個(gè)班級(jí)喜歡觀看世界杯的人數(shù)不全相同的概率；（2）從10個(gè)班級(jí)中隨機(jī)選取一個(gè)班級(jí)，記這個(gè)班級(jí)喜歡觀看世界杯的人數(shù)為X，用上表中的頻率估計(jì)概率，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）    （2）分布列見解析，【解析】【分析】(1)“不全相同”是指可以部分相同，三個(gè)班完全相同只有一種情況，就是抽取的三個(gè)班恰好是3,4,10班；(2)根據(jù)表格計(jì)算出人數(shù)為35,36,37,38,39,40人的頻率，再按照數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式計(jì)算.【小問1詳解】從10個(gè)班任取3個(gè)班有 種選法，人數(shù)完全相同只有1種選法，就是恰好抽取3,4,10班，3個(gè)班級(jí)喜歡看世界杯的人數(shù)不全相同的概率 ；【小問2詳解】根據(jù)表格知：任取1個(gè)班人數(shù)為35,36,37,38,39,40的概率為0.1，0.1，0.1，0.3，0.2，0.2，分布列如下表：人數(shù)353637383940概率0.10.1010.30.20.2 數(shù)學(xué)期望 (人)；綜上，（1）3個(gè)班級(jí)喜歡看世界杯的人數(shù)不全相同的概率；（2）數(shù)學(xué)期望為38.20. 如圖，在四棱錐中，底面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以，且底面，底面，所以,所以以方向分別為軸建系如圖，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，所以，所以，所以平面平面.【小問2詳解】因?yàn)?/span>底面,底面,所以，且，平面，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成角為，所以，所以面與平面所成角的余弦值為.21. 已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．（1）求雙曲線方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；    （2）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可求出，，即可求出雙曲線的方程；（2）設(shè)，，.設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立得到，根據(jù)韋達(dá)定理求出，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，整理得到，因?yàn)樵撌綖槌?shù)，所以有，求出，代入即可求出常數(shù).【小問1詳解】由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線焦點(diǎn)，.則到漸近線，即的距離為，所以，又漸近線的斜率為2，即，所以，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】由已知可得，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則.聯(lián)立直線的方程與雙曲線的方程可得，，設(shè)，，.當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，不滿足題意，所以，.，解得，且.由韋達(dá)定理可得，，且，.又，，則，因?yàn)?/span>，，所以，要使為常數(shù)，則應(yīng)與無關(guān)，即應(yīng)有，解得，此時(shí)是個(gè)常數(shù)，這樣的點(diǎn)存在.所以，在軸上存在定點(diǎn)的坐標(biāo)為，使得為常數(shù).22. 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的最值；（2）若，當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）最小值為，最大值為    （2）時(shí)，函數(shù)在R上只有1個(gè)零點(diǎn).，理由見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，從而得到極值和最值情況；（2）先求定義域，再求導(dǎo)，，令，分，與三種情況，進(jìn)行討論，得到的單調(diào)性及極值，最值情況，得到答案.【小問1詳解】，，，令得：，令得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，，又，，其中，故；【小問2詳解】，定義域?yàn)?/span>R，，令，當(dāng)時(shí)，則，，故在R上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，恒成立，綜上：在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，，由零點(diǎn)存在性定理可知：在R上只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，其中，，令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，所以存在唯一，使得，即，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，，所以當(dāng)時(shí)，在R上只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，，所以存在唯一，使得，即，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，，所以當(dāng)時(shí)，恰有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，令，解得：，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在R上只有1個(gè)零點(diǎn)，綜上：時(shí)，函數(shù)在R上只有1個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方.  

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