本試題卷共4頁.時量120分鐘，滿分150分.
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，若，則（ ）
A. 或2B. 或1C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由集合相等即可求得結(jié)果.
【詳解】集合，，
因為，所以，
解得，
故選：D
2. 已知向量，，若，則實數(shù)的值為（ ）
A. 2或B. 或C. 2或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，利用向量的坐標(biāo)運算可得，求解即可.
【詳解】由題意可知.因為，，
所以，整理得，解得或.
故選：A.
3. 若復(fù)數(shù)，滿足，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義以及復(fù)數(shù)的基本運算法則，再由復(fù)數(shù)相等解方程組可得結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
由，得，即，
所以，解得，所以.
故選：A.
4. 已知命題，為假命題，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得，令，利用數(shù)形結(jié)合可求得.
【詳解】由題意知，，令，則，
作出函數(shù)的圖象如圖所示，
若，則直線與函數(shù)的圖象沒有公共點，數(shù)形結(jié)合可知,
所以的取值范圍為.
故選：D.
5. 某地區(qū)2024年全年月平均溫度（單位：℃）與月份之間近似滿足.已知該地區(qū)2月份的月平均溫度為℃，全年月平均溫度最高的月份為6月份，且平均溫度為32℃，則該地區(qū)12月份的平均溫度為（ ）
A. ℃B. ℃C. ℃D. ℃
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，可求得，進而根據(jù)已知可得，，可求得解析式，進而可求得時的函數(shù)值，可得結(jié)論.
【詳解】由題意可知，直線是曲線的一條對稱軸，
所以，，即，.又，
即，所以.
因為全年月平均溫度的最大值為32℃，所以①.
又當(dāng)時，，所以，所以②.
由①②解得，，
所以，則當(dāng)時，℃.
故選：A.
6. 扇子發(fā)源于我國，我國的扇文化有著深厚的文化底蘊，是民族文化的一個組成部分，歷來我國有“制扇王國”之稱.現(xiàn)有某工藝廠生產(chǎn)的一款優(yōu)美的扇環(huán)形扇子，如圖所示，其扇環(huán)面是由畫有精美圖案的油布構(gòu)成，扇子對應(yīng)的扇環(huán)外環(huán)的弧長為48cm，內(nèi)環(huán)的弧長為16cm，油布徑長（外環(huán)半徑與內(nèi)環(huán)半徑之差）為24cm，則該扇子的油布面積大約為（油布與扇子骨架皺折部分忽略不計）
A. 1024cm2B. 768cm2
C. 640cm2D. 512cm2
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)扇子對應(yīng)的扇形的圓心角為，內(nèi)環(huán)的半徑為cm，外環(huán)的半徑為cm，利用扇形面積公式計算即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)扇子對應(yīng)的扇形的圓心角為，內(nèi)環(huán)的半徑為cm，外環(huán)的半徑為cm，
則，因為扇環(huán)外環(huán)的弧長為48cm，內(nèi)環(huán)的弧長為16cm，
所以，則，所以該扇子的油布面積為cm2.
故選：B
7. 高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.已知等差數(shù)列的第5項為5，前10項和為55，等比數(shù)列的第3項為4，第6項為32.若數(shù)列的前項和為，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念求解出，，然后利用錯位相減法求解出，再求出.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由第5項為5，前10項和為55，
得，解得，所以.
設(shè)等比數(shù)列的公比為，由第3項為4，第6項為32，得，
所以，所以，
，
則，
兩式相減得
所以，
故，
則
因，所以，
故選：B.
8. 在湖南省桂陽縣舂陵水上，巍然聳立著一座世界上最早的大型深孔溢流雙曲線攔河拱壩，如圖所示.若該拱壩下方邊界線近似看作以直線為其中一條漸近線的雙曲線的上支，，分別為該雙曲線的下焦點和上焦點，若為該拱壩下方邊界線上的一點，則的最小值為（ ）
A. 17B. C. 11D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)漸近線方程可得，在利用雙曲線的定義結(jié)合基本不等式運算求解.
【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則.
又因為點在雙曲線的上支，則，即.
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
所以的最小值為17.
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知正數(shù)，滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論檢驗各選項即可判斷.
【詳解】對于A，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A正確；
對于B，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，B錯誤；
對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；
對于D，由，，，知，，所以，所以，D正確.
故選：ACD
10. 如圖，某電子實驗貓線路圖上有，兩個即時紅綠指示燈，當(dāng)遇到紅燈時，實驗貓停止前行，恢復(fù)綠燈后，繼續(xù)前行，，兩個指示燈工作相互獨立，且出現(xiàn)紅燈的概率分別為，.同學(xué)甲從第一次實驗到第五次實驗中，實驗貓在處遇到紅燈的次數(shù)為，在，兩處遇到紅燈的次數(shù)之和為，則（ ）
A.
B.
C. 一次實驗中，，兩處至少遇到一次紅燈的概率為
D. 當(dāng)時，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意知道，再根據(jù)二項分布得概率公式，方差公式，期望公式逐個計算判定即可.
【詳解】由題意可知，所以，，故A正確，B錯誤；
一次實驗中，，兩處至少遇到一次紅燈的概率為，故C正確；
當(dāng)時，一次實驗中沒有遇到紅燈的概率為，遇到一次紅燈的概率為，遇到兩次紅燈的概率為，
故一次實驗中遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，所以，故D正確.
故選：ACD.
11. 如圖，已知圓，的頂點，在圓周上，，現(xiàn)將在圓內(nèi)按逆時針方向依次作旋轉(zhuǎn)、具體方法如下：第一次，以為中心，使落到圓周上；第二次，以為中心，使落到圓周上；第三次，以為中心，使落到圓周上，以此類推旋轉(zhuǎn).若旋轉(zhuǎn)了次后點所走路程的總長度為，則的值可能為（ ）

A. 2022B. 2023C. 2024D. 2026
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)分析每次旋轉(zhuǎn)所走路程，并找到其中的周期性，結(jié)合已知求出一個周期內(nèi)所走路程長度，進而確定的值.
【詳解】如下圖，第一次，以為中心，使落到圓周上，所走路程為0；
第二次，以為中心，使落到圓周上，所走路程為；
第三次，以為中心，使落到圓周上，所走路程為；
由題意知，每三次一輪，初始位置出現(xiàn)類似情況，
由及圖知，，，則，即，
又，，故，
綜上，，，所以一輪所走路程為，
若旋轉(zhuǎn)了次后點所走路程的總長度為，
則，可得,
所以至少旋轉(zhuǎn)了輪，即至少旋轉(zhuǎn)了次，
又每輪的第一次所走路程為0，故次，也滿足要求.

綜上，A、B都對.
故選：AB
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是確定每次旋轉(zhuǎn)所走路程，并找到一個周期所旋轉(zhuǎn)的次數(shù).
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 計算：______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用二倍角公式及兩角和差的正弦公式計算可得.
【詳解】
.
故答案為：
13. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，則的解析式可以為______（寫出一個滿足條件的解析式即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】舉例，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進而分析判斷
【詳解】當(dāng)時，，且，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意.
故答案為：（答案不唯一）.
14. 已知的展開式中各項系數(shù)的和是2，則展開式中的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】代入，解出，再利用二項展開式的通項公式進行合理賦值即可.
【詳解】令，得的展開式中各項系數(shù)的和為，
解得，
的展開式的通項為，
分別令，，可得展開式中的系數(shù)為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求的最大值，并判斷此時的形狀；
（2）若，，求的面積．
【答案】（1）最大值，直角三角形
（2）6.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，得到與的關(guān)系，利用基本不等式得到的最大值，求出當(dāng)取最大值時A，B，C的大小，從而判斷出的形狀；
（2）解法一：先求，的值，過點B作于點D，求BD的長，最后求的面積；解法二：過B作于點D，根據(jù)（1）中可求得AD，CD，結(jié)合求出BD，求的面積.
【小問1詳解】
由及正弦定理，得，
所以，即，
所以．
易知，則．①
所以．
易知，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值．②
此時，所以，．由三角形內(nèi)角和定理得，
所以當(dāng)取得最大值時，為直角三角形．
【小問2詳解】
解法一：由題，，得，
由（1）可得，所以，
所以，．③
易知為銳角三角形，過點B作于點D，則D在邊AC上，
設(shè)，則，
由得，所以，從而，④
所以．
解法二：由題意得是銳角三角形，過點B作于點D，則D在邊AC上，
且，．因為，所以，
因為，所以，，
設(shè)，則，，
所以，得，即，⑤
所以．
16. 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點，.
（1）證明：平面；
（2）若，直線與平面所成角為，求二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）方法一：建系，利用空間向量求解二面角的正弦值，方法二：根據(jù)二面角定義，找到二面角的平面角求解.
【小問1詳解】
因為，為的內(nèi)角，
所以得，，
又為的中點，
故，
而，則，
因為平面平面，
所以平面.
【小問2詳解】
解法一如圖①，取中點，連接，
由題知，又，
則為等邊三角形，故.
由（1）知平面平面，
所以，
因為底面為平行四邊形，且，
則四邊形為矩形，
則.
因為平面平面，
所以平面，
因為平面，
則，
又因為，且平面平面，
所以平面，
則為直線與平面所成角，
設(shè)，，
則，
解得.
過點作，故以點為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，得，
則，
易知平面的一個法向量為，
設(shè)二面角的大小為，
則，
則，
所以二面角的正弦值為.
解法二如圖②，過點作于點，
由（1）知平而平面，
所以，
因為底而為平行四邊形，且，
則四邊形為矩形，則.
因為平面平面，
所以平面，
又平面，則，
又，平面，
故平面，
過點作于點，連接
因為平面，
所以，又，平面，
所以平面，
因為平面，
故，
則為二面角的平面角，
取中點，連接，
由題知，又，
則為等邊三角形，
故.
又，
因為平面平面，
所以平面，
則為直線與平面所成角，
設(shè)，則，
解得，易知，
故在Rt中，.
在Rt中，，
在中，由余弦定理得，
則.
在Rt中，，
解得，易知，
在Rt中，，
所以二面角的正弦值為.
17. 已知函數(shù)．
（1）若曲線在點處的切線與的圖象有且僅有一個交點，求的值；
（2）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）0或或4；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，再將問題化為僅有一個解，討論參數(shù)a，求范圍；
（2）根據(jù)題設(shè)有恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)的最大值，即可得范圍.
【小問1詳解】
由題知，則，又，
所以曲線在點處的切線方程為，即，
因為該切線與的圖象有且只有一個交點，
所以方程僅有一個解，即僅有一個解，
當(dāng)時，方程可化為，僅有一個解，滿足題意；
當(dāng)時，由，得，解得或．
綜上，的值為0或或4．
【小問2詳解】
因為在上單調(diào)遞增，所以恒成立，
由（1）知，故恒成立，所以，
令，，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，則，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為．
18. 已知拋物線，過點作斜率為的直線交于，兩點.
（1）當(dāng)時，
（i）若點在的準(zhǔn)線上，且滿足，求的值；
（ii）若點，在軸上，且滿足，求取得最小值時的值.
（2）若存在，使得對任意實數(shù)成立，求的值.
【答案】（1）（i）（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）法一、將直線的方程與的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，求點的坐標(biāo)，進而利用兩直線斜率間的關(guān)系得到，結(jié)合射影定理計算比值即可；
法二、過點，分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，利用拋物線的定義及三角形全等的判定得，再根據(jù)射影定理計算比值即可；
（ii）利用拋物線的定義得到，再由三角函數(shù)的定義及直線的斜率與傾斜角的關(guān)系得到，換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值；
（2）根據(jù)韋達定理及弦長公式分別求，再計算，根據(jù)對任意實數(shù)成立求的值即可.
【小問1詳解】
（ⅰ）由題意知直線的方程為，設(shè)，
聯(lián)立得，消去得，
所以.
當(dāng)時，，
，
易得的準(zhǔn)線方程為，直線的方程為，
所以.
因為，所以，
所以
所以，
所以.
在中，易得，
所以，所以.
法二、當(dāng)時，點為的焦點，
過點，分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，（拋物線的定義）
易得，
易得，即，
在中，易得，
所以，所以.
（ii）由（?。┙夥ㄒ豢傻?，
設(shè)直線的傾斜角為，
則.
令，則，且，
設(shè)，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，取得最小值，即取得最小值，
此時，得.
【小問2詳解】
由（1）（?。┙夥ㄒ豢芍?，
由題可得，同理，
所以，
所以，
由題意可得對任意的實數(shù)恒成立，
所以，故的值為1.
【點睛】方法點睛：1、與長度有關(guān)的最值（范圍）問題的求解方法
（1）代數(shù)法，根據(jù)已知條件將所求長度表示出來，即確定長度的目標(biāo)函數(shù)，可以通過函數(shù)思想，在定義域內(nèi)確定函數(shù)的最值（值域），也可以借助基本不等式求解，但一定要注意等號成立的條件.
（2）幾何法，借助圓錐曲線的定義進行“幾何”轉(zhuǎn)化，通常利用“兩點之間線段最短”“垂線段最短”等求得最值.
2、射影定理
如圖，在直角三角形中，于點，則有以下結(jié)論：①；②；③.
19. 錯排問題最早由伯努利與歐拉系統(tǒng)研究，歷史上稱為伯努利一歐拉的裝錯信封問題.現(xiàn)在定義錯排數(shù)為將，，，，共個元素排列在，，，，共個位置上，其中有個元素不在其對應(yīng)位置上的情況數(shù)（的對應(yīng)位置為，，）.容易得到，，，，規(guī)定.
（1）計算：，；
（2）記，的前項和為，證明：；
（3）定義錯排概率為隨機將，，，，共個元素排列在，，，，共個位置上，其中恰有個元素不在其對應(yīng)位置上的概率，證明：.
【答案】（1）9，44
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）有種排法, 討論的排法，進而討論可得，的的排法，從而可求，類似可求得.
（2）得到的通項，轉(zhuǎn)化要證明的等式，根據(jù)（1）的提示，尋找遞推關(guān)系，進而運算可得結(jié)論；
（3）由定義得到與之間的關(guān)系，尋找與的關(guān)系，變形并求的表達式，運算可得結(jié)論.
【小問1詳解】
可以排在，，上，有種排法.
不妨設(shè)排在上，接下來討論.
當(dāng)排在上時，剩下兩個元素，的排法有（種）.
當(dāng)不排在上時，可以排在，上，有種情況.
若排在上，剩下兩個元素，只有1種排法.
所以.
可以排在，，，上，有種情況.
不妨設(shè)排在上，接下來討論，
①當(dāng)排在上時，剩下三個元素，，分別不排在，，上，
則，，的不同排法有（種）.
②當(dāng)不排在上時，可以排在，，上，有種排法，
若排在上，接下來討論.
（?。┊?dāng)排在上時，剩下兩個元素，的排法有（種）；
（ⅱ）當(dāng)不排在上時，可以排在，上，有種排法，
剩下兩個元素，只有1種排法.
故.
【小問2詳解】
當(dāng)時，，滿足.
當(dāng)時，要證明，只需證明，
所以只需證明，.
當(dāng)時，，成立.
回到定義，當(dāng)時，對于，不妨從開始排列，
設(shè)排在上，有種排法.
接下來討論，
①當(dāng)排在上時，剩下，，，，，，共個元素
分別不在，，，，，，上，
共有種排法.
②當(dāng)不排在上時，
因，，，，，，分別不在，，，，，，上，
所以，，，，，，共個元素
分別不在，，，，，，上，
共有種排法.
所以.
所以，，
即，.
綜上，成立.
【小問3詳解】
根據(jù)定義，
先從個元素中選出個元素，再對它們進行排列，并使它們均不排在對應(yīng)位置上，
所以.
所以.
不妨記，
則，且，，，
得，
則，
故是等比數(shù)列，且公比為，
又，所以，
變形得，
則當(dāng)時，，，
，，
累加得
經(jīng)檢驗，也符合上式，
所以，
所以.
【點睛】方法點睛：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算，使得問題得以解決.

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湖南省長沙市長郡中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末適應(yīng)性考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

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