1．（2024·山東濟南·二模）已知隨機變量，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全國·專題練習）已知隨機變量，其中，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·全國·專題練習）已知小明射箭命中靶心的概率為，且每次射擊互不影響，則小明在射擊4次后，恰好命中兩次的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山西呂梁·三模）如圖所示，已知一質點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為.若該質點每次移動一個單位長度，設經(jīng)過5次移動后，該質點位于的位置，則（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·湖北·開學考試）小明有一枚質地不均勻的骰子，每次擲出后出現(xiàn)1點的率為，他擲了k次骰子，最終有6次出現(xiàn)1點，但他沒有留意自己一共擲了多少次骰子.設隨機變量X表示每擲N次骰子出現(xiàn)1點的次數(shù)，現(xiàn)以使最大的N值估計N的取值并計算.（若有多個N使最大，則取其中的最小N值）.下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．與6的大小無法確定
6．（2024·青海海西·模擬預測）小王、小張兩人進行象棋比賽，共比賽2n（）局，且每局小王獲勝的概率和小張獲勝的概率均為.如果某人獲勝的局數(shù)多于另一人，則此人贏得比賽.記小王贏得比賽的概率為，則下列結論錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．隨著n的增大而增大
7．（2023·山東泰安·模擬預測）某人在次射擊中擊中目標的次數(shù)為，，其中，，擊中奇數(shù)次為事件，則（ ）
A．若，，則取最大值時
B．當時，取得最小值
C．當時，隨著的增大而增大
D．當時，隨著的增大而減小
8．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、多選題
9．（2024·福建泉州·模擬預測）某人在次射擊中擊中目標的次數(shù)為，其中，設擊中偶數(shù)次為事件，則（ ）
A．當時，取得最大值B．當時，取得最小值
C．當隨的增大而減小D．當隨的增大而減小
10．（2024·江蘇徐州·模擬預測）投擲一枚骰子，向上點數(shù)共有1-6六種可能，每一種情況的發(fā)生是等可能的，則下列說法正確的是（ ）
A．事件A“點數(shù)為1或2”和事件B“點數(shù)為偶數(shù)”是相互獨立事件；
B．每一局投兩次，記較大點數(shù)為該局得分，則每局得分的數(shù)學期望為4；
C．事件C“點數(shù)為1或2或3”和事件B“點數(shù)為偶數(shù)”是相互獨立事件；
D．連續(xù)投擲40次，記出現(xiàn)6點的次數(shù)，則隨機變量的分布列中，時概率最大．
11．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習）芯片時常制造在半導體晶元表面上.某企業(yè)使用新技術對某款芯片制造工藝進行改進.部分芯片由智能檢測系統(tǒng)進行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進入流水線由工人進行抽樣檢驗.記A表示事件“某芯片通過智能檢測系統(tǒng)篩選”，B表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”.改進生產工藝后，這款芯片的某項質量指標服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機抽取M個，這M個芯片中恰有m個的質量指標位于區(qū)間，則下列說法正確的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．
B．
C．
D．取得最大值時，M的估計值為54
三、填空題
12．（2024·重慶渝中·模擬預測）已知每門大炮擊中目標的概率都是0.6，現(xiàn)有14門大炮同時對某一目標各射擊一次，則最有可能擊中目標 次.
13．（24-25高三上·四川眉山·階段練習）英國生物統(tǒng)計學家高爾頓設計了高爾頓釘板來研究隨機現(xiàn)象.如圖是一個高爾頓釘板的設計圖，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機的向兩邊等概率的下落.數(shù)學課堂上，老師向學生們介紹了高爾頓釘板放學后，愛動腦的小明設計了一個不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當有大量的小球依次滾下時，最終都落入釘板下面的5個不同位置.若一個小球從正上方落下，經(jīng)過5層釘板最終落到4號位置的概率是 .

14．（2024·河北·模擬預測）在一次抽獎活動中，抽獎箱里有編號為到的個相同小球.每次抽獎從箱中隨機抽取一個球，記錄編號后放回. 連續(xù)抽獎次，設抽到編號為的小球的次數(shù)為，已知服從二項分布. 若展開式中的系數(shù)是的概率的倍，則的值為 （結果用含的式子表示）
四、解答題
15．（2024·陜西商洛·一模）甲、乙兩人進行羽毛球比賽、雙方約定采用五局三勝制（有一方先勝三局即贏得比賽，比賽結束），根據(jù)雙方以往的比賽情況可知每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是．假設每局比賽結果互不影響．
(1)求比賽進行四局且甲獲勝的概率：
(2)比賽結束時、甲、乙共進行了局比賽，求的分布列和期望．
16．（2024·海南·模擬預測）甲、乙兩位跑步愛好者堅持每天晨跑，上周的7天中，他們各有5天晨跑路程超過.
(1)從上周任選3天，設這3天中甲晨跑路程超過的天數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.
(2)用上周7天甲、乙晨跑路程的頻率分布估計他們各自每天晨跑路程的概率分布，且他們每天晨跑的路程互不影響.設“下個月的某3天中，甲晨跑路程超過的天數(shù)比乙晨跑路程超過的天數(shù)恰好多2”為事件，求.
參考數(shù)據(jù)：.
17．（2024·甘肅白銀·一模）某導彈試驗基地對新研制的兩種導彈進行試驗，導彈每次擊中空中目標?地面目標的概率分別為，導彈每次擊中空中目標?地面目標的概率分別為.
(1)若一枚導彈擊中一個空中目標，且一枚導彈擊中一個地面目標的概率為，一枚導彈擊中一個地面目標，且一枚導彈擊中一個空中目標的概率為，比較的大小；
(2)現(xiàn)有兩枚A導彈，一枚導彈，用來射擊兩個空中目標，一個地面目標（每枚導彈各射擊一個目標），請你設計一個射擊方案，使得擊中目標的個數(shù)的期望最大，并求此時擊中目標的個數(shù)的分布列和期望.
18．（2024·廣東廣州·模擬預測）在某地區(qū)進行高中學生每周戶外運動調查，隨機調查了名高中學生戶外運動的時間（單位：小時），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.
(1)求的值，估計該地區(qū)高中學生每周戶外運動的平均時間；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）
(2)為進一步了解這名高中學生戶外運動的時間分配，在，兩組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人進行訪談，記在內的人數(shù)為，求的分布列和期望；
(3)以頻率估計概率，從該地區(qū)的高中學生中隨機抽取名學生，用“”表示這名學生中恰有名學生戶外運動時間在內的概率，當最大時，求的值.
19．（24-25高三上·上?！て谥校?024年某瓷器公司計劃向市場推出兩種高檔中國紅瓷杯A和，已知A和燒制成功率分別為和，燒制成功一個A，盈利30元，否則虧損10元；燒制成功一個，盈利80元，否則虧損20元.
(1)設為燒制一個A和一個所得的利潤之和，求隨機變量的分布和數(shù)學期望；
(2)求燒制4個A所得的利潤不少于80元的概率；
(3)公司將用戶對中國紅瓷器的喜歡程度分為“非常滿意”（得分不低于85分）和“滿意”（得分低于85分）兩類，通過調查完成下表.
根據(jù)調查數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表，并依據(jù)顯著性水平的獨立性檢驗，判斷居民對瓷器的喜歡程度是否與年齡有關聯(lián)？
附：，，，與的若干對應數(shù)值見下表：
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)二項分布直接求解即可.
【詳解】因為隨機變量，
所以.
故選：B
2．D
【分析】由二項分布的概率公式可得，可求，進而可求.
【詳解】由二項分布的知識得，
得，又，所以，
所以．
故選：D．
3．D
【分析】利用二項分布的概率即可得解．
【詳解】由已知命中的概率為，不命中的概率為，射擊4次，命中兩次，
故概率.
故選：D.
4．C
【分析】根據(jù)題意，由條件可得的可能取值為，且，結合二項分布的概率計算公式代入計算，即可求解.
【詳解】由題意可知，當時，的可能取值為，且，
所以
.
故選：C
5．B
【分析】先求得的表達式，由此列不等式，結合數(shù)學期望的知識確定正確答案.
【詳解】X服從二項分布，則，
最大即為滿足，
解得，
又，故為整數(shù)時，結合題設要求，；
不為整數(shù)時N為小于，，故，
故選：B
【點睛】要解決本題，首先要根據(jù)已知條件，判斷出滿足二項分布，從而可利用二項分布的知識來求概率和期望.求解含有組合數(shù)的最值計算問題，可以考慮利用商比較法來進行.
6．B
【分析】小王至少贏局，小王贏得比賽的概率為，進而逐項判斷即可.
【詳解】由題意知，要使小王贏得比賽，則小王至少贏局，
因為每局贏的概率是相同的，所以服從二項分布，
由二項分布的概率公式可得贏局的概率為，
贏局的概率為，
，
贏局的概率為，
小王贏的概率為
有
，
有，，，，可知選項A，C正確，選項B錯誤；
由，
又由，
可得，可知D選項正確.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：由題設得到，利用二項式各項系數(shù)和的性質判斷可得結論.
7．C
【分析】對于A，根據(jù)直接寫出，然后根據(jù)取最大值列式計算即可判斷；對于B，根據(jù)，直接寫出即可判斷；對于CD，由題意把表示出來，然后利用單調性分析即可.
【詳解】對于A，在次射擊中擊中目標的次數(shù)，
當時對應的概率，
因為取最大值，所以，
即，
即，解得，
因為且，所以，即時概率最大，故A不正確；
對于B，，當時，取得最大值，故B不正確；
對于C、D，
，
，
，
當時，，為正項且單調遞增的數(shù)列，
所以隨著的增大而增大，故C正確；
當時，，為正負交替的擺動數(shù)列，
所以不會隨著的增大而減小，故D不正確；
故選：C.
8．B
【分析】由題意，服從二項分布，，代入公式可得結果．
【詳解】每下落一層向左或向右落下等可能，概率均為，
每一層均要乘以，共做10次選擇，
故服從二項分布，，
又，
令最大，
則，
即,
解得，又因為，所以,
所以，
，且．
故選：B．
9．AD
【分析】對于AB，直接由二項分布的方差公式即可求解；對于CD，可以根據(jù)二項式定理得出，進一步通過的范圍即可判斷的單調性.
【詳解】對于AB：，
當時，取得最大值，故A正確，B錯誤；
對于CD：，
，
，
，
當時，為正負交替的擺動數(shù)列，
所以不會隨著的增大而減小，故C錯誤；
當時，為正項且單調遞減的數(shù)列，
所以隨著的增大而減小，故D正確.
故選：AD．
10．AD
【分析】根據(jù)獨立事件的概念判斷AC的真假；列出得分的分布列，求期望，判斷B的真假；列出的分布列，借助數(shù)列的單調性分析概率的最大值.
【詳解】對A：因為，，，由，所以事件相互獨立，故A正確；
對B：設每局的得分為，則的值可能為：1，2，3，4，5，6
且，，，
，，
，
所以，故B錯誤；
對C：因為，，，由，所以事件不獨立，故C錯誤；
對D：由題意，所以.
由；由.
所以時，最大，即時概率最大．故D正確.
故選：AD
11．BC
【分析】A選項，由條件概率的定義進行判斷；B選項，在A選項基礎上，推出，結合，得到，簡單變形即可得到B正確；C選項，利用正態(tài)分布的對稱性和原則得到答案；D選項，，，令，作商法得到其單調性，求出，，得到答案.
【詳解】A選項，由條件概率的定義可知，，A錯誤；
對于B，因為，所以，
其中，故，
又，
于是，
即，
即，而，
所以，即，故，B正確；
C選項，指標服從正態(tài)分布，故，
則，
因為，，
所以，C正確；
D選項，，，
設，
令，
解得，故，
令，
解得，即，
所以取得最大值時，M的估計值為53，D錯誤.
故選：BC
【點睛】結論點睛：條件概率的性質：設，
（1）；
（2）如果是兩個互斥事件，則；
（3）設和為對立事件，則；
12．8或9
【分析】根據(jù)題意，擊中目標的次數(shù)，設最大，列式運算得解.
【詳解】設擊中目標的次數(shù)為，由題可知，擊中目標的次數(shù)，
則，
令，即，
化簡得，解得，又，
所以最有可能擊中目標8或9次.
故答案為：8或9.
13．
【分析】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，由二項分布的性質計算概率即可.
【詳解】因為向左下落的概率為向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，
則下落的過程中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，
此時概率為：.
故答案為：.
14．
【分析】分別使用二項分布的性質和二項式定理得到和展開式中的系數(shù)是，然后利用條件即可得到結果.
【詳解】由于，故.
再根據(jù)二項式定理，展開式中的系數(shù)是.
所以根據(jù)條件有，得，即、.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于對不同類型知識的混合運用.
15．(1)
(2)分布列見解析；期望為
【分析】（1）根據(jù)比賽規(guī)則可知前三局中，甲獲勝兩局，乙獲勝一局，第四局甲獲勝滿足題意，計算可得結果；
（2）求得的所有可能取值分別是3，4，5對應的概率，可得分布列及期望值.
【詳解】（1）由題意可知前三局中，甲獲勝兩局，乙獲勝一局，第四局甲獲勝，
則所求概率
（2）由題意可知的所有可能取值分別是3，4，5．
則的分布列為
故．
16．(1)分布列見解析，
(2)
【分析】（1）確定的可能取值，再由即可求解；
（2）由題意確定，均服從二項分布.即可求解.
【詳解】（1）(1)由題意知的所有可能取值為1，2，3，
且，.
所以的分布列為
.
（2）設下個月的某3天中，甲晨跑路程超過的天數(shù)為，乙晨跑路程超過的天數(shù)為，
則，均服從二項分布.
則
.
17．(1)
(2)安排兩枚A導彈射擊兩個空中目標，一枚B導彈射擊一個地面目標，分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)條件，利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，即可求解；
（2）設導彈擊中目標的個數(shù)為，根據(jù)題意，利用相互獨立重復事件公式，即可求出分步列，再利用期望公式，即可求解.
【詳解】（1）由題意得，，所以.
（2）因為，所以安排兩枚A導彈射擊兩個空中目標，一枚B導彈射擊一個地面目標.
設導彈擊中目標的個數(shù)為，則，
，
，
，
，
的分布列為
所以.
18．(1)，平均時間為小時
(2)分布列見解析，期望
(3)
【分析】（1）根據(jù)頻率和為，可得，再根據(jù)平均數(shù)公式直接計算平均數(shù)即可；
（2）分別計算時間在，的頻數(shù)，結合分層抽樣可得兩組分別抽取人，根據(jù)超幾何分布的概率公式分別計算概率，可得分布列與期望；
（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知運動時間在內的頻率，根據(jù)二項分布的概率公式可得，根據(jù)最值可列不等式，解不等式即可.
【詳解】（1）由已知，解得，
所以平均數(shù)為
.
（2）這名高中學生戶外運動的時間分配，
在，兩組內的學生分別有人，和人；
所以根據(jù)分層抽樣可知人中在的人數(shù)為人，在內的人數(shù)為人，
所以隨機變量的可能取值有，，
所以，，
則分布列為
期望；
（3）由頻率分布直方圖可知運動時間在內的頻率為，
則，
若為最大值，則，
即，
即，解得，
又，且，則.
19．(1)分布列見詳解；元
(2)0.8192
(3)列聯(lián)表見解析，居民對瓷器的喜歡程度是否與年齡有關聯(lián)
【分析】（1）分析可知隨機變量的可能取值為，結合獨立事件概率求法求分布列，進而可得期望；
（2）設相應隨機變量，分析可知，根據(jù)題意可得，結合二項分布運算求解即可；
（3）完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析即可.
【詳解】（1）由題意可知：A和燒制成功率分別為0.8和0.9，
隨機變量的可能取值為，則有：
，
，
所以隨機變量的分布列為
隨機變量的期望（元）.
（2）設燒制4個A成功的件數(shù)為，則，
設燒制4個A所得的利潤為，則，
令，解得，
所以.
（3）根據(jù)題意完善列聯(lián)表可得：
零假設：居民對瓷器的喜歡程度是否與年齡沒有關聯(lián)，
則，
依據(jù)顯著性水平的獨立性檢驗，可知零假設不成立，
所以居民對瓷器的喜歡程度是否與年齡有關聯(lián).年齡低于45歲
6
14
42
31
7
年齡不低于45歲
4
6
47
35
8
非常滿意
滿意
合計
年齡低于45歲
年齡不低于45歲
合計
0.25
0.05
0.005
1.323
3.841
7.879
3
4
5
1
2
3
0
1
2
3
10
70
110
0.02
0.08
0.18
0.72
非常滿意
滿意
合計
年齡低于45歲
80
20
100
年齡不低于45歲
90
10
100
合計
30
170
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