一、離散型隨機(jī)變量分布列、期望、方差及其性質(zhì)
（1）離散型隨機(jī)變量的分布列.
表13-1
= 1 \* GB3 ① ;
= 2 \* GB3 ② .
（2）表示的期望：，反應(yīng)隨機(jī)變量的平均水平，若隨機(jī)變量滿足，則.
（3）表示的方差：，反映隨機(jī)變量取值的波動(dòng)性。越小表明隨機(jī)變量越穩(wěn)定，反之越不穩(wěn)定。若隨機(jī)變量滿足，則。
二、幾種特殊的分布列、期望、方差
（1）兩點(diǎn)分布（又稱0，1分布）
= ，= .
（2）二項(xiàng)分布：若在一次實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，則在次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生次概率 ，稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記作 ，=，=.
（3）超幾何分布：總數(shù)為的兩類物品，其中一類為件，從中取件恰含中的件， ，其中為與的較小者，，稱 服從參數(shù)為的超幾何分布，記作 ，此時(shí)有公式。
三、正態(tài)分布
（1）若是正態(tài)隨機(jī)變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為 ， （其中是參數(shù)，且，）。
其圖像如圖13-7所示，有以下性質(zhì)：
= 1 \* GB3 ①曲線在軸上方，并且關(guān)于直線對(duì)稱；
= 2 \* GB3 ②曲線在處處于最高點(diǎn)，并且此處向左右兩邊延伸時(shí)，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；
= 3 \* GB3 ③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”；
= 4 \* GB3 ④圖像與軸之間的面積為1.
（2）= ，= ，記作 .
當(dāng)時(shí)， 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作 .
（3） ，則在， ，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態(tài)分布的原則。
【典型例題】
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了12元，然后發(fā)給朋友，如果猜中，將獲得紅包里的所有金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，，平分紅包里的金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，，和平分紅包里的金額；如果未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)，，C猜中的概率分別為，，，且，，是否猜中互不影響．
（1）求恰好獲得4元的概率；
（2）設(shè)獲得的金額為元，求的概率分布．
例2．（2021·遼寧·大連市一0三中學(xué)高二階段練習(xí)）(1)拋擲一顆骰子兩次,定義隨機(jī)變量
試寫出隨機(jī)變量的分布列(用表格格式);
(2)拋擲一顆骰子兩次,在第一次擲得向上一面點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的條件下,求第二次擲得向上一面點(diǎn)數(shù)也是偶數(shù)的概率．
例3．（2021·北京市第五中學(xué)通州校區(qū)高三階段練習(xí)）在全民抗擊新冠肺炎疫情期間，北京市開展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，此活動(dòng)為學(xué)生提供了多種網(wǎng)絡(luò)課程資源．活動(dòng)開展一個(gè)月后，某學(xué)校隨機(jī)抽取了高三年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：h），將樣本數(shù)據(jù)分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五個(gè)組，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）已知該校高三年級(jí)共有600名學(xué)生，根據(jù)甲班的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)該校高三年級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到5小時(shí)及以上的學(xué)生人數(shù)；
（2）已知這兩個(gè)班級(jí)各有40名學(xué)生，從甲、乙兩個(gè)班級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記抽到的甲班學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和均值；
（3）記甲、乙兩個(gè)班級(jí)學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的方差分別為，，試比較與的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一次國(guó)際大型體育運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某運(yùn)動(dòng)員報(bào)名參加了其中3個(gè)項(xiàng)目的比賽．已知該運(yùn)動(dòng)員在這3個(gè)項(xiàng)目中，每個(gè)項(xiàng)目能打破世界紀(jì)錄的概率都是，那么在本次運(yùn)動(dòng)會(huì)上：
（1）求該運(yùn)動(dòng)員至少能打破2項(xiàng)世界紀(jì)錄的概率；
（2）若該運(yùn)動(dòng)員能打破世界紀(jì)錄的項(xiàng)目數(shù)為X，求X的分布列及期望．
例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2021年是“十四五”規(guī)劃開局之年，也是建黨100周年．為了傳承紅色基因，某學(xué)校開展了“學(xué)黨史，擔(dān)使命”的知識(shí)競(jìng)賽．現(xiàn)從參賽的所有學(xué)生中，隨機(jī)抽取100人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖，如圖．
（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該校此次競(jìng)賽成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；
（2）在該樣本中，若采用分層抽樣的方法，從成績(jī)高于75分的學(xué)生中隨機(jī)抽取7人查看他們的答題情況，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查分析，求這3人中至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率；
（3）假設(shè)競(jìng)賽成績(jī)服從正態(tài)分布，已知樣本數(shù)據(jù)的方差為121，用平均分作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，求該校本次競(jìng)賽的及格率（60分及以上為及格）．
參考數(shù)據(jù)：，，．
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2019年2月13日《煙臺(tái)市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動(dòng)文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè)．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間 (單位：小時(shí))并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)和樣本方差 (同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表)；
（2）由直方圖可以看出，目前該校學(xué)生每周的閱讀時(shí)間服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.
①一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且.利用直方圖得到的正態(tài)分布，求．
②從該高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取20名，記表示這20名學(xué)生中每周閱讀時(shí)間超過10小時(shí)的人數(shù)，求(結(jié)果精確到)以及的均值．
參考數(shù)據(jù)：，.若，則.
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球的號(hào)碼之和為隨機(jī)變量X，則X所有可能取值的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5B．9C．10D．25
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一袋中裝有5個(gè)球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在袋中同時(shí)取出3個(gè)，以ξ表示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，則m的值為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量的概率分布為，．若，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則等于（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列下表：已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若，則（ ）
A．9B．7C．5D．3
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：
已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(ξ≤1)等于（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)班級(jí)共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級(jí)參加學(xué)校開展的某項(xiàng)活動(dòng)，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X，男生的人數(shù)為變量Y，則等于
A．B．
C．D．
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“石頭、剪刀、布”，又稱“猜丁殼”，是一種流傳多年的猜拳游戲，起源于中國(guó)，然后傳到日本、朝鮮等地，隨著亞歐貿(mào)易的不斷發(fā)展，它傳到了歐洲，到了近代逐漸風(fēng)靡世界.其游戲規(guī)則是：“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、而“布”又勝過“石頭”.若所出的拳相同，則為和局.小明和小華兩位同學(xué)進(jìn)行“五局三勝制”的“石頭、剪刀、布”游戲比賽，則小華獲勝的概率是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)變量，，若，則（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則
A．B．C．D．
15．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）《乘風(fēng)破浪的姐姐》是一檔深受觀眾喜愛的電視節(jié)目，節(jié)目采用組團(tuán)比賽的方式進(jìn)行，參賽選手需要全部參加完五場(chǎng)公開比賽，其中五場(chǎng)中有四場(chǎng)獲勝，就能取得參加決賽的資格.若某參賽選手每場(chǎng)比賽獲勝的概率是，則這名選手能參加決賽的概率是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入袋中的概率為（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為：
則等于（ ）
A．15B．11
C．2.2D．2.3
18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，，，則（ ）
A．B．
C．D．
19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某科技公司生產(chǎn)一批同型號(hào)的光纖通信儀器，每臺(tái)儀器的某個(gè)部件由三個(gè)電子元件按如圖方式連接而成，若元件或元件正常工作，且元件正常工作，則該部件正常工作.由大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示：三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：時(shí)）均服從正態(tài)分布，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立.現(xiàn)從這批儀器中隨機(jī)抽取臺(tái)檢測(cè)該部件的工作情況（各部件能否正常工作相互獨(dú)立），那么這臺(tái)儀器中該部件的使用壽命超過小時(shí)的臺(tái)數(shù)的均值為（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)變量，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））由以往的統(tǒng)計(jì)資料表明，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在比賽中的得分情況為
現(xiàn)有一場(chǎng)比賽，應(yīng)派哪位運(yùn)動(dòng)員參加較好（ ）
A．甲B．乙
C．甲、乙均可D．無法確定
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的方差為（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回的摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為，已知，則
A．B．C．D．
24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三個(gè)隨機(jī)變量的正態(tài)密度函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））某市期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是（ ）
A．甲學(xué)科總體的均值最小
B．乙學(xué)科總體的方差及均值都居中
C．丙學(xué)科總體的方差最大
D．甲、乙、丙的總體的均值不相同
26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，7），若P（ξ＜2）=P（ξ＞4），則與D（ξ）的值分別為（ ）
A．B．C．μ=3，D（ξ）=7D．
27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知隨機(jī)變量，若，則＝（ ）
A．0.7B．0.5C．0.3D．0.2
29．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某無人機(jī)配件廠商從其所生產(chǎn)的某種無人機(jī)配件中隨機(jī)抽取了一部分進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，其某項(xiàng)質(zhì)量測(cè)試指標(biāo)值X服從正態(tài)分布，且落在區(qū)間內(nèi)的無人機(jī)配件個(gè)數(shù)為則可估計(jì)所抽取的這批無人機(jī)配件中質(zhì)量指標(biāo)值低于的個(gè)數(shù)大約為（ ）
(附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則
A．B．C．D．
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在某校高三月考中理科數(shù)學(xué)成績(jī)X～N(90，σ2)(σ>0)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示P(60≤X≤120)＝0.8，假設(shè)該校參加此次考試的有780人，那么試估計(jì)此次考試中，該校成績(jī)高于120分的有（ ）人
A．78B．156
C．234D．390
31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某中學(xué)在高三上學(xué)期期末考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī).若已知，則從該校理科生中任選一名學(xué)生，他的數(shù)學(xué)成績(jī)大于120分的概率為（ ）
A．0.86B．0.64C．0.36D．0.14
32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．0.12B．0.22C．0.32D．0.42
33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)X~N（1，1），且其概率密度曲線如圖所示，那么從正方形ABCD中隨機(jī)取100000個(gè)點(diǎn)，則取自陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是（ ）
（注：若，則≈0.6827
A．75385B．60375C．70275D．65865
34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某班有名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，平均分為，標(biāo)準(zhǔn)差為，理論上說在分到分的人數(shù)約為（ ）
附：若隨機(jī)變量，則，，.
A．B．C．D．
二、多選題
35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市有，，，四個(gè)景點(diǎn)，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽的概率為，游覽，和的概率都是，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立.用隨機(jī)變量表示該游客游覽的景點(diǎn)的個(gè)數(shù)，下列正確的（ ）
A．游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率B．
C．D．
36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱為中國(guó)四大傳統(tǒng)節(jié)日．扒龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國(guó)自古傳承，至今不輟．在一個(gè)袋中裝有大小一樣的個(gè)豆沙粽，個(gè)咸肉粽，現(xiàn)從中任取個(gè)粽子，設(shè)取出的個(gè)粽子中咸肉粽的個(gè)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布
C．隨機(jī)變量服從超幾何分布D．
37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）紅外線自動(dòng)測(cè)溫門能有效避免測(cè)溫者與被測(cè)溫者近距離接觸，從而降低潛在的感染風(fēng)險(xiǎn).某廠生產(chǎn)了一批紅外線自動(dòng)測(cè)溫門，其測(cè)量體溫誤差服從正態(tài)分布，設(shè)X表示其測(cè)量體溫誤差，且，則下列結(jié)論正確的是（附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，（ ）
A．，B．
C．D．
38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．已知隨機(jī)變量，則
B．已知隨機(jī)變量，滿足，且，則
C．線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，則這兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng).
D．設(shè)，則越大，正太分布曲線越矮胖
三、雙空題
39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某學(xué)校實(shí)行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8道試題中隨機(jī)挑選4道進(jìn)行作答，至少答對(duì)3道才能通過初試.記在這8道試題中甲能答對(duì)6道，甲答對(duì)試題的個(gè)數(shù)為，則甲通過自主招生初試的概率為______，______.
40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知某品牌電子元件的使用壽命（單位：天）服從正態(tài)分布.
（1）一個(gè)該品牌電子元件的使用壽命超過天的概率為_______________________；
（2）由三個(gè)該品牌的電子元件組成的一條電路（如圖所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一個(gè)能正常工作，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立）的概率為__________________．
（參考公式：若，則）
四、填空題
41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ，則P(ξ≤6)＝________.
42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量，，若，，則________
43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，則______.
44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在羽毛球場(chǎng)進(jìn)行羽毛球比賽，已知每局比賽甲勝的概率為，乙勝的概率為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.當(dāng)比賽采取5局3勝制時(shí)，甲用4局贏得比賽的概率為.現(xiàn)甲、乙進(jìn)行6局比賽，則甲勝的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為______.
45．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）某人共有三發(fā)子彈，他射擊一次命中目標(biāo)的概率是，擊中目標(biāo)后射擊停止，射擊次數(shù)X為隨機(jī)變量，則方差______．
46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量的概率分布為
且，則________.
47．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為
設(shè)Y＝2X＋3，則E（Y）的值為____
48．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)變量，且，則_________．
49．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)變量，且，則______．
50．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某校在一次月考中約有人參加考試，數(shù)學(xué)考試的成績(jī)（，試卷滿分分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)诜值椒种g的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次月考中數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于分的學(xué)生約有__________人.
五、解答題
51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布．
（1）求；
（2）若，寫出Y的分布列．
52．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）北京冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國(guó)北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行.這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京、張家口同為主辦城市，也是中國(guó)繼北京奧運(yùn)會(huì)、南京青奧會(huì)之后第三次舉辦奧運(yùn)賽事.北京冬奧組委對(duì)報(bào)名參加北京冬奧會(huì)志愿者的人員開展冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行了一次考核.為了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，從中隨機(jī)抽取80名志愿者的考核成績(jī)，根據(jù)這80名志愿者的考核成績(jī)，得到的統(tǒng)計(jì)圖表如下所示.
若參加這次考核的志愿者考核成績(jī)?cè)趦?nèi)，則考核等級(jí)為優(yōu)秀.
（1）分別求這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù)；
（2）若從樣本中考核等級(jí)為優(yōu)秀的志愿者中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行學(xué)習(xí)心得分享，記抽到女志愿者的人數(shù)為X，求X的分布列及期望.
53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有6個(gè)粽子，其中肉粽1個(gè)，蛋黃粽2個(gè)，豆沙粽3個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個(gè).
（1）用表示取到的豆沙粽的個(gè)數(shù)，求的分布列；
（2）求選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的概率.
54．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨著我國(guó)國(guó)民消費(fèi)水平的不斷提升，進(jìn)口水果也受到了人們的喜愛，世界各地鮮果紛紛從空中、海上匯聚中國(guó)：泰國(guó)的榴蓮、山竹、椰青，厄瓜多爾的香蕉，智利的車?yán)遄?，新西蘭的金果獼猴桃等水果走進(jìn)了千家萬戶，某種水果按照果徑大小可分為五個(gè)等級(jí)：特等、一等、二等、三等和等外，某水果進(jìn)口商從采購(gòu)的一批水果中隨機(jī)抽取500個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：
（1）若將樣本頻率視為概率，從這批水果中隨機(jī)抽取6個(gè)，求恰好有3個(gè)水果是二等級(jí)別的概率．
（2）若水果進(jìn)口商進(jìn)口時(shí)將特等級(jí)別與一等級(jí)別的水果標(biāo)注為優(yōu)級(jí)水果，則用分層抽樣的方法從這500個(gè)水果中抽取10個(gè)，再?gòu)某槿〉?0個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，表示抽取的優(yōu)級(jí)水果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
55．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某外語學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語，2人只會(huì)英語，3人既會(huì)法語又會(huì)英語，現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪問.求：
（1）在選派的3人中恰有2人會(huì)法語的概率；
（2）求在選派的3人中既會(huì)法語又會(huì)英語的人數(shù)的分布列.
56．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．
（1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率．
（2）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．
57．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2021年7月24日，中國(guó)選手楊倩在東京奧運(yùn)會(huì)女子10米氣步槍決賽中，為中國(guó)代表團(tuán)攬入本界奧運(yùn)會(huì)第一枚金牌.受奧運(yùn)精神的鼓舞，某射擊俱樂部組織200名射擊愛好者進(jìn)行一系列的測(cè)試，并記錄他們的射擊技能分?jǐn)?shù)（單位：分），將所得數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求這200名射擊愛好者中射擊技能分?jǐn)?shù)低于60分的人數(shù)；
（2）從樣本中射擊技能分?jǐn)?shù)在的射擊愛好者中采用分層抽樣的方法抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步進(jìn)行射擊訓(xùn)練，記抽取的3人中射擊技能分?jǐn)?shù)不低于70分的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
58．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）新高考的數(shù)學(xué)試卷第1至第8題為單選題，第9至第12題為多選題.多選題A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中至少有兩個(gè)選項(xiàng)符合題意，其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選錯(cuò)或不選得0分.在某次考試中，第11、12兩題的難度較大，第11題正確選項(xiàng)為AD，第12題正確選項(xiàng)為ABD.甲?乙兩位同學(xué)由于考前準(zhǔn)備不足，只能對(duì)這兩道題的選項(xiàng)進(jìn)行隨機(jī)選取，每個(gè)選項(xiàng)是否被選到是等可能的.
（1）若甲同學(xué)每題均隨機(jī)選取一項(xiàng)，求甲同學(xué)兩題得分合計(jì)為4分的概率；
（2）若甲同學(xué)計(jì)劃每題均隨機(jī)選取一項(xiàng)，乙同學(xué)計(jì)劃每題均隨機(jī)選取兩項(xiàng)，記甲同學(xué)的兩題得分為，乙同學(xué)的兩題得分為，求的期望并判斷誰的方案更優(yōu).
59．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲?乙兩所學(xué)校之間進(jìn)行排球比賽，采用五局三勝制(先贏3局的學(xué)校獲勝，比賽結(jié)束)，約定比賽規(guī)則如下：先進(jìn)行男生排球比賽，共比賽兩局，后進(jìn)行女生排球比賽.按照以往比賽經(jīng)驗(yàn)，在男生排球此賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，在女生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為.每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
（1）求甲校以3：1獲勝的概率；
（2）記比賽結(jié)束時(shí)女生比賽的局?jǐn)?shù)為，求的概率分布.
60．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知甲命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是，，，乙命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是，，，任意兩次射擊相互獨(dú)立.
（1）求甲運(yùn)動(dòng)員兩次射擊命中環(huán)數(shù)之和恰好為18的概率；
（2）現(xiàn)在甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每一輪比賽兩人各射擊1次，環(huán)數(shù)高于對(duì)方為勝，環(huán)數(shù)低于對(duì)方為負(fù)，環(huán)數(shù)相等為平局，規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的選手為最終的勝者，比賽結(jié)束，求恰好進(jìn)行3輪射擊后比賽結(jié)束的概率
61．（2021·北京·模擬預(yù)測(cè)）第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年在北京市和張家口舉行.為了調(diào)查學(xué)生對(duì)冬奧會(huì)知識(shí)的了解情況，某校對(duì)高一?高二年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行了相關(guān)知識(shí)測(cè)試，然后從高一?高二各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生成績(jī)(百分制)，并對(duì)數(shù)據(jù)(成績(jī))進(jìn)行了整理?描述和分析.下面給出了整理的相關(guān)信息：
高一年級(jí)成績(jī)分布表
（1）從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個(gè)人成績(jī)都不低于分的概率是多少？
（2）分別從高一全體學(xué)生中抽取一人，從高二全體學(xué)生中抽取人，這三人中成績(jī)不低于分的人數(shù)記為，用頻率估計(jì)概率，求的分布列和期望？
（3）若按照得分從高到底分為A?B?C?D?E，學(xué)校為提高對(duì)冬奧會(huì)知識(shí)的了解情況需要在高一或高二進(jìn)行一場(chǎng)講座，假設(shè)講座能夠使學(xué)生成績(jī)普遍提高一個(gè)級(jí)別，那么若要想高一和高二學(xué)生的平均分盡可能的高，需要在高一講座還是高二講座？
62．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）新冠疫情這特殊的時(shí)期，規(guī)定居民出行或出席公共場(chǎng)合均需佩戴口罩，現(xiàn)將地區(qū)居民人一周的口罩使用量統(tǒng)計(jì)如表所示，其中個(gè)人一周的口罩使用為個(gè)以及個(gè)上的有人.
（1）求、的值；
（2）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，若從地區(qū)的所有居民中隨機(jī)抽取人，記一周使用口罩?jǐn)?shù)量（單位：個(gè)）在范圍的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
63．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某行業(yè)對(duì)本行業(yè)人員的身高有特殊要求，該行業(yè)人員的身高（單位：）服從正態(tài)分布.已知，.
（1）從該行業(yè)中隨機(jī)抽取一人，求此人身高在區(qū)間的概率；
（2）從該行業(yè)人員中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中身高在區(qū)間上的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（分布列結(jié)果可以只列式不計(jì)算）.
64．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某書店打算對(duì)A，B，C，D四類圖書進(jìn)行促銷，為了解銷售情況，在一天中隨機(jī)調(diào)查了15位顧客（記為，）購(gòu)買這四類圖書的情況，記錄如下（單位：本）：
（1）若該書店每天的人流量約為100人次，一個(gè)月按30天計(jì)算，試估計(jì)A類圖書的月銷售量（單位：本）；
（2）書店進(jìn)行促銷活動(dòng)，對(duì)購(gòu)買過兩類及以上圖書的顧客贈(zèng)送5元電子紅包現(xiàn)有甲、乙、丙三人，記他們獲得的電子紅包的總金額為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
65．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭(zhēng)早日脫貧的工作計(jì)劃，該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入 (單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示)；
（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入X服從正態(tài)分布，其中μ近似為年平均收入，近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得s2＝6.92，利用該正態(tài)分布，求：
①在扶貧攻堅(jiān)工作中，若使該地區(qū)約有84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？
②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實(shí)情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了1 000位農(nóng)民．若每位農(nóng)民的年收入互相獨(dú)立，記這1 000位農(nóng)民中的年收入高于12.14千元的人數(shù)為ξ，求E（ξ）．
附參考數(shù)據(jù)：≈2.63，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
66．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)，，的頻率之比為4：2：1．
（1）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率；
（2）若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間[45，75）內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
67．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）羽毛球是一項(xiàng)隔著球網(wǎng)，使用長(zhǎng)柄網(wǎng)狀球拍擊打用羽毛和軟木刷制作而成的一種小型球類的室內(nèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目．羽毛球比賽的計(jì)分規(guī)則：采用21分制，即雙方分?jǐn)?shù)先達(dá)21分者勝，3局2勝．每回合中，取勝的一方加1分．每局中一方先得21分且領(lǐng)先至少2分即算該局獲勝，否則繼續(xù)比賽；若雙方打成29平后，一方領(lǐng)先1分，即算該局取勝．某次羽毛球比賽中，甲選手在每回合中得分的概率為，乙選手在每回合中得分的概率為．
（1）在一局比賽中，若甲、乙兩名選手的得分均為18，求在經(jīng)過4回合比賽甲獲勝的概率；
（2）在一局比賽中，記前4回合比賽甲選手得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
68．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2020新年伊始爆發(fā)的新冠疫情讓廣大民眾意識(shí)到健康的重要性，云南省全面開展愛國(guó)衛(wèi)生7個(gè)專項(xiàng)行動(dòng)及健康文明生活的6條新風(fēng)尚行動(dòng)，其中“科學(xué)健身”鼓勵(lì)公眾每天進(jìn)行60分鐘的體育鍛煉．某社區(qū)從居民中隨機(jī)抽取了若干名，統(tǒng)計(jì)他們的平均每天鍛煉時(shí)間（單位：分鐘/天），得到的數(shù)據(jù)如下表：（所有數(shù)據(jù)均在0~120分鐘/天之間）
（1）求，，的值；
（2）為了鼓勵(lì)居民進(jìn)行體育鍛煉，該社區(qū)決定對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于分鐘的居民進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，為使30%的人得到獎(jiǎng)勵(lì)，試估計(jì)的取值？
（3）在第（2）問的條件下，以頻率作為概率，在該社區(qū)得到獎(jiǎng)勵(lì)的人中隨機(jī)抽取4人，設(shè)這4人中日均鍛煉時(shí)間不低于80分鐘的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
69．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））某高中隨機(jī)抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需的時(shí)間(單位:分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)路上所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為
（1）求直方圖中的值；
（2）如果上學(xué)路上所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，若招生1200名，請(qǐng)估計(jì)新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿；
（3）從學(xué)校的高一學(xué)生中任選4名學(xué)生，這4名學(xué)生中上學(xué)路上所需時(shí)間少于 40分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率)
70．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖.
（1）求的值并估計(jì)該市中學(xué)生中的全體男生的平均身高（假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
（2）從該市的中學(xué)生中隨機(jī)抽取一名男生，根據(jù)直方圖中的信息，估計(jì)其身高在以上的概率.若從全市中學(xué)的男生（人數(shù)眾多）中隨機(jī)抽取人，用表示身高在以上的男生人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
71．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過血液化驗(yàn)來確定患病的動(dòng)物，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的為患病動(dòng)物．下面是兩種化驗(yàn)方案：
方案甲：將各動(dòng)物的血液逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物為止．
方案乙：先取3只動(dòng)物的血液進(jìn)行混合，然后檢查，若呈陽性，對(duì)這3只動(dòng)物的血液再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病動(dòng)物；若不呈陽性，則檢查剩下的2只動(dòng)物中1只動(dòng)物的血液．分析哪種化驗(yàn)方案更好．
72．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù).
（1）求值及的數(shù)學(xué)期望的值；
（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，檢驗(yàn)員判斷這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，檢驗(yàn)員的判斷是否合理？說明理由.
附：.若，則.
73．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在創(chuàng)建“全國(guó)文明衛(wèi)生城”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對(duì)創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識(shí)問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次)，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：
（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這人得分的平均值．(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，利用該正態(tài)分布，求；
（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：
①得分不低于可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi)；
②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率如下表所示：
現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記 (單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(附：參考數(shù)據(jù)：①；②；③若，則，，．
74．（2021·全國(guó)·（理））2020年某地在全國(guó)志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊(cè)登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過150萬小時(shí)．為了了解此地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；
（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長(zhǎng)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且．
（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；
（ⅱ）從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過10小時(shí)的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0.001）以及的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：，．若，則．
75．（2020·山東菏澤·）某高中調(diào)查暑假學(xué)生居家每天鍛煉時(shí)間情況，從高一、高二年級(jí)學(xué)生中分別隨機(jī)抽取100人，由調(diào)查結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：
（1）求a的值；并求高二這100名學(xué)生的鍛煉時(shí)間的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）在高一、高二學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，求至少有一人的鍛煉時(shí)間大于30分鐘的概率；
（3）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，高二學(xué)生鍛煉時(shí)間Z服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，且每名學(xué)生鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，設(shè)X表示從高二學(xué)生中隨機(jī)抽取50人，其鍛煉時(shí)間位于的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.
注：①計(jì)算得；②若，則：，.
76．（2020·全國(guó)·（理））某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100 人的體重?cái)?shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.
（1）估計(jì)這100人體重?cái)?shù)據(jù)的平均值和樣本方差；(結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
（2）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記為體重在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若，則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.
77．（2021·山東泰安·）某市為了了解本市初中生周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們的周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間，制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）按照分層抽樣，從和中隨機(jī)抽取了名學(xué)生.現(xiàn)從已抽取的名學(xué)生中隨機(jī)推薦名學(xué)生參加體能測(cè)試.記推薦的名學(xué)生來自的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為：周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間服從正態(tài)分布，其中，為周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得.可以用該樣本的頻率估計(jì)總體的概率，現(xiàn)從本市所有初中生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，記周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間在之外的人數(shù)為，求(精確到).
參考數(shù)據(jù)：當(dāng)時(shí)，，，.
參考數(shù)據(jù)： .
78．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市在實(shí)施垃圾分類的過程中，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的A類社區(qū)（全市共320個(gè)）中隨機(jī)抽取了50個(gè)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)這50個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過28噸的社區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū).
（1）估計(jì)該市類社區(qū)這一天垃圾量的平均值.
（2）若該市類社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為個(gè)樣本社區(qū)的平均值（精確到0.1噸，估計(jì)該市類社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù).
（3）根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個(gè)社區(qū)中，這一天共有8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定從這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中任選5個(gè)跟蹤調(diào)查其垃圾來源.設(shè)這一天垃圾量不小于30.5噸的社區(qū)個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望附：若服從正態(tài)分布，則，，.
…
0
1
1-

1
2
3

1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
7
8
9
10
0.1
0.3
X
0
1
P
a
b
7
8
9
10
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
0
1
X
－1
0
1
P
等級(jí)
特等
一等
二等
三等
等外
個(gè)數(shù)
50
100
250
60
40
成績(jī)(分?jǐn)?shù))
人數(shù)
1
2
3
4
10
個(gè)人的一周口罩使用數(shù)量（單位：個(gè)）
頻率
A
1
1
1
1
1
B
1
1
1
1
1
1
1
1
C
1
1
1
1
1
1
1
D
1
1
1
1
1
1
平均鍛煉時(shí)間
人數(shù)
27
39
a
b
45
15
頻率
0.09
0.13
0.38
c
0.15
0.05
組別
頻數(shù)
贈(zèng)送話費(fèi)的金額(元)
概率
垃圾量
頻數(shù)
5
6
9
12
8
6
4

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