〔1〕求獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率
求獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的3個(gè)步驟
(1)判斷：依據(jù)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征，判斷所給試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).
(2)分析：分析所求事件的構(gòu)成.
(3)計(jì)算：對(duì)每個(gè)事件依據(jù)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式進(jìn)行求解，最后利用互斥事件的概率加法公式計(jì)算。
〔2〕二項(xiàng)分布及其實(shí)際應(yīng)用
1.二項(xiàng)分布的判斷：判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵在于它是否滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：
(1)在一次試驗(yàn)中事件A只有兩種試驗(yàn)結(jié)果(發(fā)生和不發(fā)生)，而且事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的概率為1-p；
(2)試驗(yàn)可以獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行，即每重復(fù)做一次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的概率都是同一常數(shù)p，事件A發(fā)生的概率都是1—p.
2.運(yùn)用二項(xiàng)分布求概率的一般方法
(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；
(2)分析出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布；
(3)明確參數(shù)n，p，寫(xiě)出二項(xiàng)分布的分布列；
(4)將k值代入表達(dá)式(公式)求出概率。
〔3〕二項(xiàng)分布與超幾何分布辨析
有放回抽樣時(shí)，每次抽取時(shí)的總體沒(méi)有改變，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此種抽樣是二項(xiàng)分布模型.而不放回抽樣時(shí)，取出一個(gè)總體中就少一個(gè)，因此每次取到某物的概率是不同的，此種抽樣為超幾何分布模型.因此，二項(xiàng)分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣。
例1．（2022·全國(guó)·新高考卷Ⅱ·19）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
【答案】(1)歲；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可解出；
（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．
【詳解】（1）平均年齡
（歲）．
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以
．
（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
則由已知得：
,
則由條件概率公式可得
從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．
例2．（2020·北京·高考·18）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．
（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與 的大小．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）,（Ⅲ）
【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得結(jié)果；
（Ⅱ）先分類(lèi)，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及分類(lèi)計(jì)數(shù)加法公式求結(jié)果；
（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得大小.
【詳解】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，
該校女生支持方案一的概率為；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;
（Ⅲ）。
1．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測(cè)（理））現(xiàn)有 兩所學(xué)校的高三學(xué)年分別采用甲，乙兩種方案進(jìn)行線(xiàn)上教學(xué)， 為觀測(cè)其教學(xué)效果， 分別在兩所學(xué)校的高三學(xué)年各隨機(jī)抽取 60 名學(xué)生， 對(duì)每名學(xué)生進(jìn)行綜合測(cè)試評(píng)分， 記綜合評(píng)分為 80 及以 上的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)生， 經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到兩所學(xué)校抽取的學(xué)生中共有 72 名優(yōu)秀學(xué)生.
(1)用樣本估計(jì)總體， 以頻率作為概率， 若在 兩個(gè)學(xué)校的高三學(xué)年隨機(jī)抽取 3 名學(xué)生， 求所抽取的 學(xué)生中的優(yōu)秀學(xué)生數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差;
(2)已知 A 學(xué)校抽出的優(yōu)秀學(xué)生占該校抽取總?cè)藬?shù)的 ， 填寫(xiě)下面的列聯(lián)表， 并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為學(xué)生綜合測(cè)試評(píng)分優(yōu)秀與教學(xué)方案有關(guān).
附：
， 其中.
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為1.8，方差為0.72；
(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析，不能.
【分析】（1）記優(yōu)秀學(xué)生數(shù)為，分析出，求出概率，即可寫(xiě)出分布列；（2）由題意分析數(shù)據(jù)，完善列聯(lián)表，套公式計(jì)算，對(duì)著參數(shù)下結(jié)論.
【詳解】（1）由已知，學(xué)生為優(yōu)秀的概率為 ， 記優(yōu)秀學(xué)生數(shù)為. 由題意知，的所有可能取值為，且
則 ，
.
故 的分布列為
所以 的數(shù)學(xué)期望為， 方差;
（2）填寫(xiě)列聯(lián)表如下:
計(jì)算 ，
所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為學(xué)生綜合測(cè)試評(píng)分優(yōu)秀與教學(xué)方案有關(guān).
2．（2022·湖南永州·一模）我市為了解學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng)度是否與性別因素有關(guān)，從某幾所學(xué)校中隨機(jī)調(diào)查了男?女生各100名的平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間，得到如下數(shù)據(jù)：
根據(jù)學(xué)生課余體育運(yùn)動(dòng)要求，平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在（60，120]內(nèi)認(rèn)定為“合格”，否則被認(rèn)定為“不合格”，其中，平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在（90，120]內(nèi)認(rèn)定為“良好”.
(1)完成下列22列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別因素有無(wú)關(guān)聯(lián)；
(2)從女生平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的100人中用分層抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取2人，記為2人中平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為“良好”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)從全市學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，其中平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為“良好”的人數(shù)設(shè)為，記“平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為'良好'的人數(shù)為”的概率為，視頻率為概率，用樣本估計(jì)總體，求的表達(dá)式，并求取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的值.
附：，其中.
【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于；
(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為；
(3)，
【分析】（1）通過(guò)題意可得列聯(lián)表，計(jì)算的值，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)分層抽樣的比例可得抽取的女生平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的人數(shù)，確定的取值，根據(jù)超幾何分布可求得每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即得分布列，從而計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
（3）通過(guò)題意可得滿(mǎn)足二項(xiàng)分布，能得到，然后通過(guò)作商法可得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可得到答案
【詳解】（1）由題意可知，22列聯(lián)表如下表
零假設(shè)為：性別與學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間無(wú)關(guān)聯(lián).
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立即認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于；
（2）抽取的20人中，女生平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的人數(shù)分別為2人，8人，8人，2人，易知的所有可能取值為，
，，，
所以的分布列為
所以數(shù)學(xué)期望為；
（3）平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間在的頻率為，
由題意可知，
所以，
由，得，
所以，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，即取最大值時(shí)，.
3．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）某校組織圍棋比賽，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽中，如果四局及四局以?xún)?nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負(fù)者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負(fù)者積1分.已知甲?乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為.
(1)在一場(chǎng)比賽中，甲的積分為，求的概率分布列；
(2)求甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分的概率.
【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)
【分析】(1)結(jié)合已知條件，可能取值為，，，，然后分析每種積分對(duì)應(yīng)的輸贏情況，然后利用二項(xiàng)分布和獨(dú)立事件的概率乘法求解即可；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，分析積分之和為5時(shí)三場(chǎng)比賽的積分情況，然后利用獨(dú)立事件的概率乘法求解即可.
【詳解】（1）由題意可知，可能取值為，，， ，
當(dāng)時(shí)，則前三場(chǎng)比賽都輸或前三場(chǎng)比賽贏一場(chǎng)且第四場(chǎng)比賽輸，
則，
當(dāng)時(shí)，前四場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第五場(chǎng)比賽輸，
則；
當(dāng)時(shí)，前四場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第五場(chǎng)比賽贏，
則，
當(dāng)時(shí)，前三場(chǎng)比賽都贏或前三場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第四場(chǎng)比賽贏，
則，
故的概率分布列如下：
（2）設(shè)甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分為事件，
則甲的三場(chǎng)比賽積分分別為1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，
故，
故甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分為.
4．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（理））我國(guó)出現(xiàn)了新冠疫情后，醫(yī)護(hù)人員一直在探索治療新冠的有效藥，并對(duì)確診患者進(jìn)行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，分成兩組，組3人，服用甲種中藥，組3人，服用乙種中藥.服藥一個(gè)療程后，組中每人康復(fù)的概率都為，組3人康復(fù)的概率分別為.
(1)設(shè)事件表示組中恰好有1人康復(fù)，事件表示組中恰好有1人康復(fù)，求；
(2)求組康復(fù)人數(shù)比組康復(fù)人數(shù)多的概率.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用二項(xiàng)分布概率公式求得,利用獨(dú)立、互斥事件的概率公式求得,進(jìn)而利用的獨(dú)立性求得；
（2）先仿照（1）中的方法求得A組中服用甲種中藥康復(fù)的人數(shù)的分布列和B組中服用乙種中藥康復(fù)的人數(shù)的分布列，再根據(jù)獨(dú)立、互斥事件概率公式計(jì)算A組康復(fù)人數(shù)比B組康復(fù)人數(shù)多的概率.
【詳解】（1）解：依題意有，，
，
又事件與相互獨(dú)立，
則；
（2）解：設(shè)A組中服用甲種中藥康復(fù)的人數(shù)為，則，
，
，
，
設(shè)組中服用乙種中藥康復(fù)的人數(shù)為，則的可能取值為，
，
，
A組康復(fù)人數(shù)比B組康復(fù)人數(shù)多的概率
5．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測(cè)）華容道是古老的中國(guó)民間益智游戲，以其變化多端、百玩不厭的特點(diǎn)與魔方、獨(dú)立鉆石一起被國(guó)外智力專(zhuān)家并稱(chēng)為“智力游戲界的三個(gè)不可思議”．據(jù)《資治通鑒》注釋中說(shuō)“從此道可至華容也”．通過(guò)移動(dòng)各個(gè)棋子，幫助曹操?gòu)某跏嘉恢靡频狡灞P(pán)最下方中部，從出口逃走．不允許跨越棋子，還要設(shè)法用最少的步數(shù)把曹操移到出口．2021年12月23日，在廈門(mén)蓮坂外圖書(shū)城四樓佳希魔方，廈門(mén)市新翔小學(xué)六年級(jí)學(xué)生胡宇帆現(xiàn)場(chǎng)挑戰(zhàn)“最快時(shí)間解數(shù)字華容道”世界紀(jì)錄，并以4.877秒打破了“最快時(shí)間解數(shù)字華容道”世界紀(jì)錄，成為了該項(xiàng)目新的世界紀(jì)錄保持者．
(1)小明一周訓(xùn)練成績(jī)?nèi)绫硭荆F(xiàn)用作為經(jīng)驗(yàn)回歸方程類(lèi)型，求出該回歸方程．
(2)小明和小華比賽破解華容道，首局比賽小明獲得勝利的概率是0.6，在后面的比賽中，若小明前一局勝利，則他贏下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，則他贏下后一局比賽的概率為0.5，比賽實(shí)行“五局三勝”，求小明最終贏下比賽的概率是多少．
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小
二乘估計(jì)公式分別為：，
參考數(shù)據(jù)：，
【答案】(1)；(2)0.6855
【分析】（1）先求出，套公式求出和，得到回歸方程；（2）記小明獲勝時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為3、4、5．分別求出其對(duì)應(yīng)的概率，利用概率的加法公式即可求解.
【詳解】（1）由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，
可得
所以，
因此y關(guān)于x的回歸方程為：．
（2）記小明獲勝時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為3、4、5．
，
．
．
6．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））產(chǎn)品開(kāi)發(fā)是企業(yè)改進(jìn)老產(chǎn)品?開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，使其具有新的特征或用途，以滿(mǎn)足市場(chǎng)需求的流程.某企業(yè)開(kāi)發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進(jìn)入到樣品試制階段，需要對(duì)5個(gè)樣品進(jìn)行性能測(cè)試，現(xiàn)有甲?乙兩種不同的測(cè)試方案，每個(gè)樣品隨機(jī)選擇其中的一種進(jìn)行測(cè)試，已知選擇甲方案測(cè)試合格的概率為，選擇乙方案測(cè)試合格的概率為，且每次測(cè)試的結(jié)果互不影響.
(1)若3個(gè)樣品選擇甲方案，2個(gè)樣品選擇乙方案.
（i）求5個(gè)樣品全部測(cè)試合格的概率；
（ii）求4個(gè)樣品測(cè)試合格的概率.
(2)若測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3，求選擇甲方案進(jìn)行測(cè)試的樣品個(gè)數(shù).
【答案】(1)（i）（ii）
(2)選擇甲方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為，或者
【分析】（1）（i）利用乘法公式即可求解（ii）4個(gè)樣品測(cè)試合格分兩種情況,第一種情況, 3個(gè)樣品甲方案測(cè)試合格和1個(gè)樣品乙方案測(cè)試合格, 第二種情況, 2個(gè)樣品甲方案測(cè)試合格和2個(gè)樣品乙方案測(cè)試合格,利用互斥的加法公式即可求解（2）設(shè)通過(guò)甲方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為, 通過(guò)乙方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為,則，分類(lèi)討論即可求解
【詳解】（1）（i）因?yàn)?個(gè)樣品選擇甲方案, 2個(gè)樣品選擇乙方案,
所以5個(gè)樣品全部測(cè)試合格的概率為
（ii）4個(gè)樣品測(cè)試合格分兩種情況,
第一種情況, 3個(gè)樣品甲方案測(cè)試合格和1個(gè)樣品乙方案測(cè)試合格,
此時(shí)概率為
第二種情況, 2個(gè)樣品甲方案測(cè)試合格和2個(gè)樣品乙方案測(cè)試合格,
此時(shí)概率為
所以 4 個(gè)樣品測(cè)試合格的概率為
（2）設(shè)選擇甲方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為, 則選擇乙方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為,并設(shè)通過(guò)甲方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為, 通過(guò)乙方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為,
當(dāng)時(shí), 此時(shí)所有樣品均選擇方案乙測(cè)試, 則,
所以, 不符合題意;
當(dāng)時(shí), 此時(shí)所有樣品均選擇方案甲測(cè)試, 則
所以,符合題意;
當(dāng)時(shí), ,
所以
若使, , 則,
由于, 故時(shí)符合題意,
綜上, 選擇甲方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為 3,4 或者5時(shí), 測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3 .
7．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））國(guó)內(nèi)某大學(xué)有男生6000人，女生4000人，該校想了解本校學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取100人，調(diào)查他們平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），統(tǒng)計(jì)表明該校學(xué)生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍是，若規(guī)定平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，低于2小時(shí)的學(xué)生為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)按性別與“是否為‘運(yùn)動(dòng)達(dá)人’”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下2×2列聯(lián)表：
(1)請(qǐng)根據(jù)題目信息，將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并通過(guò)計(jì)算判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為性別與“是否為‘運(yùn)動(dòng)達(dá)人’”有關(guān)；
(2)將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查該校的3名男生，設(shè)調(diào)查的3人中運(yùn)動(dòng)達(dá)人的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差.
附表及公式：
，其中.
【答案】(1)列聯(lián)表答案見(jiàn)解析，在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.025的前提下，可以認(rèn)為性別與“是否為‘運(yùn)動(dòng)達(dá)人’”有關(guān)
(2)分布列答案見(jiàn)解析，，
【分析】(1)根據(jù)題意完善2×2列聯(lián)表，根據(jù)卡方公式計(jì)算出，結(jié)合臨界表即可得出結(jié)論；
(2)根據(jù)題意可知隨機(jī)變量滿(mǎn)足二項(xiàng)分布，求出對(duì)應(yīng)事件的概率，列出隨機(jī)變量的分布列，結(jié)合二項(xiàng)分別的數(shù)學(xué)期望和方差公式直接計(jì)算即可.
【詳解】（1）由題意，該校根據(jù)性別采取分層抽樣的方法抽取的100人中，有60人為男生，
40人為女生，據(jù)此2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充如下.
所以，又，
所以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.025的前提下，可以認(rèn)為性別與“是否為‘運(yùn)動(dòng)達(dá)人’”有關(guān).
（2）由題意可知，該校每個(gè)男生是運(yùn)動(dòng)達(dá)人的概率為，
故，X可取的值為0，1，2，3，
所以，，
，.
X的分布列為：
∴，.
8．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））核酸檢測(cè)是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì)，如果有病毒，樣本檢測(cè)會(huì)呈現(xiàn)陽(yáng)性，否則為陰性．某檢測(cè)點(diǎn)根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該處疑似病例核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率為．現(xiàn)有4例疑似病例，分別對(duì)其取樣檢測(cè)，多個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)．混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會(huì)呈陽(yáng)性．若混合樣本呈陽(yáng)性，則再將該組中每一個(gè)備份的樣本逐一進(jìn)行化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個(gè)樣本均為陰性，無(wú)需再檢驗(yàn)．現(xiàn)有以下兩種方案：
方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；
方案二：平均分成兩組，每組兩個(gè)樣本混合在一起，再分組化驗(yàn)．
在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢查能力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．
(1)求4個(gè)疑似病例中至少有1例呈陽(yáng)性的概率；
(2)現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，請(qǐng)問(wèn)：方案一、二中哪個(gè)較“優(yōu)”？做出判斷并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)方案二較“優(yōu)”；理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意可得4個(gè)疑似病例中化驗(yàn)呈陽(yáng)性的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，由概率公式可得答案.
（2）分別計(jì)算利用方案一、方案二進(jìn)行檢驗(yàn)的次數(shù)，進(jìn)行比較可得答案.
【詳解】（1）用表示4個(gè)疑似病例中化驗(yàn)呈陽(yáng)性的人數(shù)，則，
由題意可知，設(shè)4個(gè)疑似病例中至少有1例呈陽(yáng)性為事件A
；
（2）方案一：逐個(gè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)次數(shù)為4．
方案二：每組兩個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，呈陰性的概率為，
設(shè)方案二的檢測(cè)次數(shù)為隨機(jī)變量Y，則Y的可能取值為2，4，6，所以
，
，
，
所以隨機(jī)變量Y的分布列為：
所以方案二檢測(cè)次數(shù)Y的期望為．
則采取方案二較“優(yōu)”.
9．（2022·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)（理））大豆是我國(guó)重要的農(nóng)作物，種植歷史悠久．某種子實(shí)驗(yàn)基地培育出某大豆新品種，為檢驗(yàn)其最佳播種日期，在A，B兩塊試驗(yàn)田上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)（兩地塊的土質(zhì)等情況一致）.6月25日在A試驗(yàn)田播種該品種大豆，7月10日在B試驗(yàn)田播種該品種大豆．收獲大豆時(shí)，從中各隨機(jī)抽取20份（每份1千粒），并測(cè)量出每份的質(zhì)量（單位：克），按照，，進(jìn)行分組，得到如下表格：
把千粒質(zhì)量不低于200克的大豆視為籽粒飽滿(mǎn)，否則視為籽粒不飽滿(mǎn)．
(1)判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為大豆籽粒飽滿(mǎn)與播種日期有關(guān)？
(2)從A，B兩塊實(shí)驗(yàn)田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒飽滿(mǎn)的概率；
(3)用樣本估計(jì)總體，從A試驗(yàn)田隨機(jī)抽取100份（每份千粒）大豆，記籽粒飽滿(mǎn)的份數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差．
參考公式：，其中．
【答案】(1)有
(2)
(3)，
【分析】（1）根據(jù)完成列聯(lián)表，然后根據(jù)公式計(jì)算，再與臨界值表比較可得結(jié)論，
（2）A，B兩塊實(shí)驗(yàn)田中各抽取一份大豆中，籽粒飽滿(mǎn)的概率分別為兩份大豆都籽粒不飽滿(mǎn)的概率為，再結(jié)合對(duì)立事件概率和為1求解即可；
（3）根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望與方差公式，即可求解.
【詳解】（1）列聯(lián)表為
，
所以有97.5%的把握認(rèn)為大豆籽粒飽滿(mǎn)與播種日期有關(guān)．
（2）A，B兩塊實(shí)驗(yàn)田中各抽取一份大豆，
抽取的大豆中有一份籽粒飽滿(mǎn)的概率分別為，，
兩份大豆籽粒都不飽滿(mǎn)的概率為
故抽取的大豆中至少有一份籽粒飽滿(mǎn)的概率為
.
（3）從A試驗(yàn)田的樣本中隨機(jī)抽取1份小麥，抽到飽滿(mǎn)的概率為，
則，故，
.
10．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，于2022年2月4日星期五開(kāi)幕，2月20日星期日閉幕，該奧運(yùn)會(huì)激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情，某冰雪運(yùn)動(dòng)品商店對(duì)消費(fèi)達(dá)一定金額的顧客開(kāi)展了“冬奧”知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)答活動(dòng)，試題由若干選擇題和填空題兩種題型構(gòu)成，共需要回答三個(gè)問(wèn)題，對(duì)于每一個(gè)問(wèn)題，答錯(cuò)得0分；答對(duì)填空題得30分答對(duì)選擇題得20分現(xiàn)設(shè)置了兩種活動(dòng)方案供選擇，方案一：只回答填空題；方案二：第一題是填空題，后續(xù)選題按如下規(guī)則：若上一題回答正確，則下一次是填空題，若上題回答錯(cuò)誤，則下一次是選擇題．某顧客獲得了答題資格，已知其答對(duì)填空題的概率均為，答對(duì)選擇題的概率均為P，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)
(1)若該顧客采用方案一答題，求其得分不低于60分的概率；
(2)以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，該顧客選擇何種方案更加有利？并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)，選方案一；，方案一、方案二均可；，選方案二．
【分析】（1）根據(jù)題意得分不低于60分的情況為至少答對(duì)兩道填空題，結(jié)合二項(xiàng)分布概率公式求解；（2）根據(jù)題意分別求，，作差比較大小．
【詳解】（1）采用方案一答題，得分不低于60分的情況為至少答對(duì)兩道填空題
∴其概率為
（2）若采用方案一，設(shè)其答對(duì)題數(shù)為，得分為X
則，，
∴
若采用方案二，設(shè)其得分為Y，則，20，30，50，60，90
，
，，
令，則，解得或（舍去）
即，選方案一數(shù)學(xué)期望大
，則，方案一、方案二數(shù)學(xué)期望一樣
，則，選方案二數(shù)學(xué)期望大
綜上所述：選方案一；方案一、方案二均可；選方案二．
11．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））某省會(huì)城市為了積極倡導(dǎo)市民優(yōu)先乘坐公共交通工具綠色出行，切實(shí)改善城市空氣質(zhì)量，緩解城市交通壓力，公共交通系統(tǒng)推出“2元換乘暢享公交”“定制公交”“限行日免費(fèi)乘公交”“綠色出行日免費(fèi)乘公交”等便民服務(wù)措施．為了更好地了解人們對(duì)出行工具的選擇，交管部門(mén)隨機(jī)抽取了1000人，做出如下統(tǒng)計(jì)表：
同時(shí)交管部門(mén)對(duì)某線(xiàn)路公交車(chē)統(tǒng)計(jì)整理了某一天1200名乘客的年齡數(shù)據(jù)，得到的頻率分布直方圖如下圖所示：
(1)求m的值和這1200名乘客年齡的中位數(shù)；
(2)用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，從該市所有市民中抽取4人，記X為抽到選擇公共交通出行方式的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)，中位數(shù)為；
(2)分布列見(jiàn)解析，
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，即可求出，再根據(jù)中位數(shù)計(jì)算公式計(jì)算可得；
（2）依題意可得，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望；
【詳解】（1）解：依題意可得，解得，
因?yàn)?，所以中位?shù)為于，
設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故這1200名乘客年齡的中位數(shù)為；
（2）解：選擇公共交通出行方式的頻率為，
所以，則的可能取值為、、、、，
所以，，
，，
所以的分布列為：
所以；
12．（2022·北京·北大附中三模）北京市某區(qū)針對(duì)高三年級(jí)的一次測(cè)試做調(diào)研分析，隨機(jī)抽取同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生330名，下表是物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：
(1)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知該生的物理成績(jī)等級(jí)為，估計(jì)該生的化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的概率；
(2)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以表示這2人中物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（以上表中物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的頻率作為每名學(xué)生物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的概率）；
(3)記抽取的330名學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)（滿(mǎn)分150分）的方差為，排名前的成績(jī)方差為，排名后的成績(jī)方差為，則不可能同時(shí)大于和，這種判斷是否正確.（直接寫(xiě)出結(jié)論）.
【答案】(1)
(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為
(3)不正確
【分析】（1）由表可知，樣本中物理成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)為，在該群體中化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)為110，即可估計(jì)該生的化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的概率；
（2）從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生隨機(jī)選取一名，物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的概率估計(jì)為，可知隨機(jī)變量的取值范圍，分別求出相應(yīng)概率即可得到分布列及其數(shù)學(xué)期望；
（3）假設(shè)排名前的成績(jī)均為分，排名后的成績(jī)均為分，即可判斷.
【詳解】（1）設(shè)事件為“該生物理成績(jī)等級(jí)為的情況下，化學(xué)成績(jī)等級(jí)為”，
樣本中物理成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)為，在該群體中化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)為110，所以頻率為，由樣本估計(jì)總體可得，
故該生物理成績(jī)等級(jí)為，估計(jì)該生化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的概率為.
（2）從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生隨機(jī)選取一名，物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的概率估計(jì)為.
由題意隨機(jī)變量的取值范圍是
則的分布列：
（3）不正確；
舉例：，排名前的成績(jī)均為分，方差為，排名后的成績(jī)均為分，方差為，顯然，所以，，故同時(shí)大于和。
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
優(yōu)秀學(xué)生
非優(yōu)秀學(xué)生
合計(jì)
甲方案
乙方案
合計(jì)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
優(yōu)秀學(xué)生
非優(yōu)秀學(xué)生
合計(jì)
甲方案
40
20
60
乙方案
32
28
60
合計(jì)
72
48
120
分鐘
性別
（0，40]
（40，60]
（60，90]
（90，120]
女生
10
40
40
10
男生
5
25
40
30
不合格
合格
合計(jì)
女生
男生
合計(jì)
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
不合格
合格
合計(jì)
女生
50
50
100
男生
30
70
100
合計(jì)
80
120
200
0
1
2
0
1
2
3
第x（天）
1
2
3
4
5
6
7
用時(shí)y（秒）
105
84
49
39
35
23
15
運(yùn)動(dòng)時(shí)間
性別
運(yùn)動(dòng)達(dá)人
非運(yùn)動(dòng)達(dá)人
合計(jì)
男生
36
女生
26
合計(jì)
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
運(yùn)動(dòng)時(shí)間性別
運(yùn)動(dòng)達(dá)人
非運(yùn)動(dòng)達(dá)人
合計(jì)
男生
36
24
60
女生
14
26
40
合計(jì)
50
50
100
X
0
1
2
3
P
Y
2
4
6
P
A試驗(yàn)田/份
3
6
11
B試驗(yàn)田/份
6
10
4
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
6月25日播種
7月10日播種
合計(jì)
飽滿(mǎn)
11
4
15
不飽滿(mǎn)
9
16
25
合計(jì)
20
20
40
出行方式
步行
騎行
自駕
公共交通
比例
5%
25%
30%
40%
物理成績(jī)等級(jí)
化學(xué)成績(jī)等級(jí)
人數(shù)（名）
110
53
2
55
70
15
3
12
10
0
1
2

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