三角與導(dǎo)數(shù)壓軸是近年來比較熱門的題型之一，它為導(dǎo)數(shù)壓軸題目帶來了新的活力，既然如此，這個(gè)題型也一定有它獨(dú)到的地方，本文就詳細(xì)地梳理了我認(rèn)為它可能會(huì)被選擇作為壓軸的五大特色優(yōu)質(zhì)基因，它們分別是：
1.逐段討論. 三角函數(shù)的周期性和有界性導(dǎo)致了一些綜合問題中需要逐段討論，這樣的討論中對(duì)取點(diǎn)，估計(jì)，以及函數(shù)的性質(zhì)等考察力度均很大，對(duì)考生要求很高.
2.無窮零點(diǎn). 用一個(gè)正余弦函數(shù)去乘指對(duì)函數(shù)，就會(huì)導(dǎo)致有無窮多個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)，這是其他指對(duì)函數(shù)沒有的特性，我們甚至可進(jìn)一步討論這無窮個(gè)零點(diǎn)直接的關(guān)系.
3.震蕩上行，以為例，由于的有界性，若出現(xiàn)三角函數(shù)+增函數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)震蕩上行，會(huì)出現(xiàn)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有能成立，這樣的命題形式，此時(shí)，必要性分析是一個(gè)很重要的手段.
4.配合三角恒等式. 配合三角恒等式就可以做到更強(qiáng)的綜合性，需要考生有很強(qiáng)的觀察能力.
5.三角不等式與放縮.一些重要的三角不等式，例如，，以及均值不等式等等，在一些三角恒成立或者極值點(diǎn)偏移問題中會(huì)用到.
二．典例分析
特色1. 逐段討論
三角與導(dǎo)數(shù)綜合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的處理的關(guān)鍵就是零點(diǎn)存在唯一性定理，即弄清楚單調(diào)性和端點(diǎn)值.前者通過導(dǎo)數(shù)完成，這一塊要注意往往可能需要高階導(dǎo)數(shù)，這是由三角函數(shù)求導(dǎo)的特征所決定的！后者要注意三角函數(shù)的有界性，往往過了某個(gè)范圍后，函數(shù)恒正或者恒負(fù)，不再出現(xiàn)零點(diǎn)，這就決定了分段討論，而分段的依據(jù)主要是由三角函數(shù)的取值象限來進(jìn)行，等.除此之外，有的區(qū)間上找點(diǎn)時(shí)注意不等式放縮，從而減少找點(diǎn)的難度！總結(jié)起來，有關(guān)三角函數(shù)的零點(diǎn)問題處理主要手段有：
分段處理；
討論好單調(diào)性與端點(diǎn)（特殊點(diǎn)），注意高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，直到能清楚判斷所討論區(qū)間的單調(diào)性；
關(guān)注有關(guān)三角的不等式放縮，有時(shí)候可優(yōu)化解題，避免繁雜的找點(diǎn)過程！
；；.
例1.（2019全國(guó)1卷）已知函數(shù).
若為的導(dǎo)函數(shù)，證明：在上存在唯一的極大值點(diǎn)；
證明：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
解答：（1）由題意知：定義域?yàn)椋呵遥?，，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.
下面考慮端點(diǎn)值：因?yàn)椋?br>，使得. 當(dāng)時(shí)，；時(shí)，
即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，則為唯一的極大值點(diǎn). 即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn).
（2）由（1）知：，.下面分區(qū)間逐次討論：
①．當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，又，為在上的唯一零點(diǎn).
②．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又 ，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不存在零點(diǎn).
又，使得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
考慮端點(diǎn)值：由于.在上恒成立，此時(shí)不存在零點(diǎn).
③．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減
又，.即，又在上單調(diào)遞減.在上存在唯一零點(diǎn).
④.當(dāng)時(shí)，，，，即在上不存在零點(diǎn). 綜上所述：有且僅有個(gè)零點(diǎn).
特色2. 無窮零點(diǎn)
例2（2019天津）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).
求的單調(diào)區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，證明：；
設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中，試證明：.
（3）首先我們需要把區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)搬到熟悉的區(qū)間上來，這一點(diǎn)可通過變換實(shí)現(xiàn)，令，故，且.這樣我們就把題干轉(zhuǎn)化到第（2）問的條件下了.
下面我們來利用改寫題干條件，即證：.由于，故只需證①即可.由于，故證明①成立，只需等價(jià)于證明：②，結(jié)合的表達(dá)式可知，不等式②成立等價(jià)于③即可，看到這里，是不是發(fā)現(xiàn)跟第（2）問的神似之處！
另一方面，注意到以及第（2）問的結(jié)論，可得：④.
故欲使得③成立，只需使得.所以，只要能說明，整個(gè)題目就解決了！而這個(gè)步驟，就需要第（1）問，由于且滿足對(duì)于，，且在上減，故，證畢！
特色3.震蕩上行函數(shù)的拐點(diǎn)分析
例3.（2021武漢高三畢業(yè)班二診）．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有能成立，求的值．
解析：（1）時(shí)，．．
∴切線方程為：．整理得：．
（2）．令，得．．
（?。┊?dāng)時(shí)，為上的減函數(shù)，．
∴時(shí)，，遞增．又此時(shí)，故時(shí)，，遞減．時(shí)，，遞增．∴時(shí)，，遞增．
由．故時(shí)，．時(shí)，．
此時(shí)，存在使時(shí)，，滿足條件．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，遞增．
此時(shí)，．故存在使得．當(dāng)時(shí)，遞增．∴時(shí)，，遞減．即時(shí)，，不存在，使時(shí)，．
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，令，得．
∴時(shí)，遞減，遞減．
即時(shí)，，不存在，使時(shí)，．
（ⅳ）當(dāng)時(shí)，在遞減．遞減．故時(shí)，，不存在，使時(shí)，．綜上所述：．
特色四.三角導(dǎo)數(shù)與三角恒等式
例4．定義在上的函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；
(2)將的所有極值點(diǎn)按照從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，若，求的值.
解析：（1）當(dāng)時(shí)，，故.
曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令.所以切線與軸的交點(diǎn).此時(shí)所求三角形的面積為.
（2），當(dāng)時(shí)，.
由函數(shù)在區(qū)間上遞增，且值域?yàn)?，故存在唯一，使?此時(shí)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此.同理，存在唯一，使得.
此時(shí)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此.由.
同理：.由，整理得：. 又，故，則有，由，故或.
又，當(dāng)時(shí)，不滿足，舍去. 所以，即，則. 綜上所述，.
特色5.三角放縮
例7.設(shè)，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（ ）
A．B．
C．D．
解析：由于，故.
另一方面，由于，故.
再對(duì)也用帕德逼近故
，故.
例8（1）求證時(shí)，；
（2）當(dāng)時(shí)，，證明不等式恒成立.
解析：（1）證明：令，，
顯然對(duì)恒成立，故在上單調(diào)遞增，從而
，故在上單調(diào)遞增，從而
即時(shí)，恒有成立.
（2）對(duì)于由（1）得①②，故對(duì)，，要證，只要證
即證（*），當(dāng)時(shí)，（*）顯然成立；當(dāng)時(shí)，即證
.令，則，
時(shí)有，故在上單調(diào)遞增，所以
從而在上單調(diào)遞增，所以，即(*)成立.終上所述:
當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立.

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