A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)方向向量的定義即可求解.
【詳解】的一個(gè)方向向量是,
故選：A
2. 在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等軸雙曲線即可求解.
【詳解】的漸近線方程為，
故選：C
3. 圓：與圓：的公共弦所在直線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將兩圓方程作差即可得相交弦方程.
【詳解】由，即，半徑為，
由，即，半徑為，
所以，即兩圓相交，
將兩圓方程作差得，整理得，
所以公共弦所在直線方程為.
故選：B
4. 已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（）
A. 4B. 6C. 2D. 4或6
【答案】D
【解析】
【分析】直接根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】已知點(diǎn)，，直線，
由于點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等，
則有，解得：或.
故選：D
5. “直線與直線相互垂直”是“”的（）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線垂直，求出的值，則可判斷充分性和必要性.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線相互垂直，
所以，
所以．
當(dāng)時(shí)，直線與直線相互垂直，
而當(dāng)直線與直線相互垂直時(shí)，不一定成立，
所以“直線與直線相互垂直”是“”的必要而不充分條件，
故選:B．
6. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)C上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B.若，則的外接圓面積為（）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而得到，利用勾股定理求得，進(jìn)而得到，然后利用正弦定理中的外接圓直徑公式，求得的外接圓半徑為R，然后計(jì)算其面積.
【詳解】設(shè)，由拋物線的定義可知，
所以，代入拋物線的方程中得到，
由幾何關(guān)系可知，.
設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理可知，解得，
所以的外接圓面積為.
故選：A
7. 有以下三條軌跡：
①已知圓，圓，動(dòng)圓P與圓A內(nèi)切，與圓B外切，動(dòng)圓圓心P的運(yùn)動(dòng)軌跡記為；
②已知點(diǎn)A，B分別是x，y軸上動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足，AB，AO的中點(diǎn)分別為M，N，MN的中點(diǎn)為P，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡記為；
③已知，直線：，點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與到直線的距離之比為，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡記為.設(shè)曲線的離心率分別是，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡方程，進(jìn)而求出曲線的離心率，比較它們大小即可得出答案.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)閳A，圓．
所以為，的半徑，，的半徑，
設(shè)動(dòng)圓的半徑為，
則，，
可得為定值，
所以圓心在以、為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)，
由，得，，
所以橢圓方程為，
即動(dòng)圓圓心的軌跡方程為，所以，
對(duì)于②，設(shè)，，因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)锳B，AO的中點(diǎn)分別為M，N，所以，，
MN的中點(diǎn)為P，所以，
所以，因?yàn)椋?br>所以，故點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡記為：，
所以；
對(duì)于③，設(shè)點(diǎn)，由題意可得，
整理可得.
所以，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡的方程為：，所以，
所以.
故選：A.
8. 已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓的離心率的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓定義，結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)則，,
所以，
由余弦定理可得，
故，進(jìn)而可得，
令，則，，
令，所以，對(duì)稱軸為，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故當(dāng)和時(shí)，，
故的最大值為，
所以，故的最大值為，
故選：A
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知雙曲線：的焦點(diǎn)在軸上，且實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的3倍，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6B. 雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2
C. 雙曲線的焦距為D. 雙曲線的離心率為
【答案】AB
【解析】
【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合已知方程得雙曲線方程為，進(jìn)而判斷各項(xiàng)正誤.
【詳解】由題設(shè)，而，故，則，
所以雙曲線方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為，
故A、B對(duì)，C、D錯(cuò).
故選：AB
10. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，左、右頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是橢圓上異于和的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. B. 直線與直線的斜率之積為
C. 存在點(diǎn)滿足D. 若的面積為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A，計(jì)算出和的斜率計(jì)算B，根據(jù)圓的直徑所對(duì)圓周角為判斷C，由三角形面積公式判斷D.
【詳解】A選項(xiàng)中，因?yàn)闄E圓方程為，則，所以，
由橢圓的定義知，，所以，A正確；
B選項(xiàng)中，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，，設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上異于和的任意一點(diǎn)，所以將代入到橢圓方程得：，且，，
所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，B正確；
C選項(xiàng)中，由橢圓方程知，，，，
若，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，
以線段為直徑的圓的方程為的圓在橢圓內(nèi)，
所以橢圓上不存在滿足，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)中，，所以，
所以代入到知，，D正確.
故選：ABD
11. 設(shè)直線系M:，則下面四個(gè)命題正確的是（）
A. 存在定點(diǎn)P在M中的任意一條直線上
B. 圓與M中的所有直線都沒(méi)有公共點(diǎn)
C. 對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在M中的直線上
D. M中的直線所能?chē)傻恼切蚊娣e都相等
【答案】BC
【解析】
【分析】由于點(diǎn)到直線系的距離均為，則直線系表示與圓的切線的集合，然后結(jié)合題意判斷四個(gè)選項(xiàng)是否正確即可.
【詳解】由于點(diǎn)到直線系的距離為，
故直線系表示與圓的切線的集合，
對(duì)于A選項(xiàng)，由于直線系表示圓的切線，其中存在兩條切線平行，所以中所有直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)不可能，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，由于直線系表示圓的切線，而圓內(nèi)含于圓中，得中的所有直線均與圓無(wú)公共點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，由于圓所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對(duì)于任意正數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，正的三邊所在的直線均與圓相切，可以分為切點(diǎn)全在邊上或者一個(gè)切點(diǎn)在邊上，兩個(gè)切點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上兩種情況，三角形面積不相等，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
12. 三支不同的曲線交拋物線于點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，記的面積為，下列說(shuō)法正確的是（）
A. 為定值B.
C. 若，則D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】設(shè)直線與拋物線的交于點(diǎn)，則與關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，則，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得，進(jìn)而可求得，結(jié)合焦半徑公式即可判斷A；判斷是否為定值即可判斷B；求出，即可判斷CD.
【詳解】如圖，設(shè)直線與拋物線的交于點(diǎn)，則與關(guān)于軸對(duì)稱，
設(shè)，則，
聯(lián)立，消得，
則，
又，
則，
則，
對(duì)于A，，
，故A正確；
對(duì)于B，，
因?yàn)椴皇嵌ㄖ担圆皇嵌ㄖ?，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)直線的傾斜角為，則，
則，
所以
，
又因，所以，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，故D正確.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線和拋物線的位置關(guān)系類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般方法是設(shè)出直線方程并聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，要結(jié)合題中條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，但要注意的是計(jì)算量一般都較大而復(fù)雜，要十分細(xì)心.
三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.
13. 已知直線的方程為，則傾斜角為_(kāi)______，在軸上的截距為_(kāi)_______.
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】根據(jù)給定的直線方程，求出直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角，再求出直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即得.
【詳解】直線的方程為的斜率，令其傾斜角為，則，于是；
當(dāng)時(shí)，，所以直線在軸上的截距為4.
故答案為：；4
14. 準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)準(zhǔn)線方程確定拋物線開(kāi)口方向并求出值，進(jìn)而求其標(biāo)準(zhǔn)方程
【詳解】已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，
得該拋物線開(kāi)口向右，且，得，
故拋物線的方程為：.
故答案為：
15. 過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的最大值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意可知即為橢圓與直線的交點(diǎn)，設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式以及二次函數(shù)性即可求出的最大值是.
【詳解】根據(jù)題意可知，顯然在橢圓上，不妨取，則，
設(shè)，由不重合可知，且，即
所以，
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取最大值為，
即可得的最大值是.
故答案為：
16. 已知分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，，則雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)圓切、、分別于點(diǎn)、、，推導(dǎo)出，可得出，可得出關(guān)于、的不等式，即可求得該雙曲線離心率的取值范圍.
【詳解】設(shè)、的內(nèi)切圓圓心分別為、，
設(shè)圓切、、分別于點(diǎn)、、，
過(guò)的直線與雙曲線的右支交于A、兩點(diǎn)，
由切線長(zhǎng)定理可得，，，
所以，
，
則，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為，同理可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故軸，
故圓和圓均與軸相切于，圓和圓兩圓外切.
在中，，
即，
，，所以，，
所以，，則，
所以，
即，
由題意可得：，可得，即，
所以.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.
（1）求直線的一般式方程；
（2）若點(diǎn)，求點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出直線l的斜率，從而利用點(diǎn)斜式求出直線l的方程，化為一般式；
（2）設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系得到方程組，求出，得到對(duì)稱點(diǎn).
【小問(wèn)1詳解】
直線l的斜率為，
所以直線l方程為，即；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為,
顯然的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足，
即，
又直線與直線l垂直，故，
聯(lián)立與，解得，
所以點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.
18. 已知直線，圓，圓.
（1）求直線被圓截得的弦AB的長(zhǎng)；
（2）判斷圓和圓的位置關(guān)系，并給出證明.
【答案】（1）
（2）內(nèi)切，證明見(jiàn)詳解
【解析】
【分析】（1）化簡(jiǎn)圓為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出到直線的距離，則，代入求解即可得出答案；
（2）化簡(jiǎn)圓為標(biāo)準(zhǔn)方程，求兩圓圓心距與，比較，即可得出答案.
小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閳A，
所以，則圓的圓心為，，
則到直線的距離為：
，
所以
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，則，
則圓的圓心為，，
，
所以兩圓內(nèi)切.
19. 已知圓經(jīng)過(guò)，，.
（1）求圓的方程；
（2）若直線與圓相切，且與軸正半軸交于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn).求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)在圓上列方程組求參數(shù)，即得圓的方程；
（2）設(shè)直線，根據(jù)直線與圓相切及點(diǎn)線距離公式列方程整理，即可求值.
【小問(wèn)1詳解】
令圓，則，可得，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由題意，設(shè)直線，即，而且半徑為2，
直線與圓相切，則，則，
所以，化簡(jiǎn)得.
20. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離小1.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）取上一點(diǎn)，任作弦，滿足,則直線AB是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)，否則說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）定點(diǎn)為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）首先將點(diǎn)代入拋物線中求得參數(shù)的值，然后假設(shè)，，利用已知條件，得到，最后代入直線方程中即可得到恒過(guò)定點(diǎn).
【小問(wèn)1詳解】
已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離小，
可得動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，
由拋物線的定義易知軌跡的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
將代入中，可得：，
，故得：，即得：；
如圖，設(shè)，，由于，
整理可得：.
，
則根據(jù)點(diǎn)斜式方程可得：，
整理得：
由直線的方程，
可知直線恒過(guò)定點(diǎn)
21. 已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最大值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求橢圓的外切矩形（即矩形的四邊所在直線均與橢圓相切）的面積的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出，進(jìn)而可求出結(jié)果；
（2）當(dāng)矩形的一組對(duì)邊斜率不存在時(shí)，可求出矩形的面積；當(dāng)矩形四邊斜率都存在時(shí)，不防設(shè)所在直線斜率為，則斜率為，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式等，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，，解得?br>所以，
所以橢圓方程為；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)矩形一組對(duì)邊斜率不存在時(shí)，矩形的邊長(zhǎng)分別為4和2，
則矩形的面積為8，
當(dāng)矩形的四邊斜率都存在時(shí)，不妨設(shè)的斜率為，
則的斜率為，
設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立，
得，由，可得，
顯然直線CD的方程為，則直線之間的距離為，
同理可得：之間的距離為，
所以矩形的面積為，
取等條件：，
當(dāng)AB斜率存在時(shí)，.
綜上所述，面積S的取值范圍是.

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