2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.
3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 直線的傾斜角為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分析出直線與軸垂直，據(jù)此可得出該直線的傾斜角.
【詳解】由題意可知，直線與軸垂直，該直線的傾斜角為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角，關(guān)鍵是掌握直線傾斜角的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2. 雙曲線的漸近線方程為（）
AB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程直接求其漸近線方程.
【詳解】解析：∵，∴雙曲線的漸近線方程為，故選B.
【點(diǎn)睛】求雙曲線的漸近線的方法:直接令標(biāo)準(zhǔn)方程中的1變成0,得到,利用平方差公式得到漸近線方程: .
3. 平面的一個(gè)法向量為，一條直線的方向向量，則這條直線與平面所成的角為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)直線與平面所成的角為，利用空間向量法求出的值，結(jié)合的取值范圍可求得的值.
【詳解】設(shè)直線與平面所成的角為，則，
又因?yàn)?，故，即直線與平面所成的角為.
故選：D.
4. 如圖，在四面體OABC中，，，點(diǎn)M在上，且分別為中點(diǎn)，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合圖形將向量放在一個(gè)閉合路徑中線性轉(zhuǎn)化表示即可.
【詳解】
又點(diǎn)M在OA上，且M，N分別OA，BC中點(diǎn)，
所以,,
,
，
故選：A.
5. 設(shè)，，則以線段為直徑的圓的方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】根據(jù)已知確定圓的圓心和半徑，即可得圓的方程.
【分析】由題設(shè)，所求圓的圓心為，半徑為，
所以以線段為直徑的圓的方程是.
故選：B
6. 已知點(diǎn)P，Q是圓O：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l：上，若的最大值為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判斷直線與圓為相離，再由題設(shè)得為圓的切線，根據(jù)已知確定，設(shè)應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求坐標(biāo).
【詳解】由到的距離，
故直線任意一點(diǎn)與圓上兩點(diǎn)所成角最大，則為圓的切線，
要使的最大值為，即為邊長(zhǎng)為的正方形，則，
此時(shí)，令，有，，
所以，即.
故選：A
7. 在長(zhǎng)方體中，，，E，F(xiàn)，G分別是棱，BC，的中點(diǎn)，M是平面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面EFG平行，則的最小值為（）
A. B. 9
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先合理建立空間直角坐標(biāo)系，然后設(shè)，利用已知條件確定變量與變量之間的關(guān)系，利用坐標(biāo)表示出，并利用、的關(guān)系將其轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)，進(jìn)而求解最小值即可.
【詳解】如圖，分別以、、方向?yàn)?、、軸建立空間直角坐標(biāo)系
可得：，，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量，
則，得，
解得：，，，即.
由于直線與平面平行，則，
得：，即：.
，，
，
，
可知：由于，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.
故選：C
8. 如圖，已知，是雙曲線C：的左?右焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線C的離心率為（）
（
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)P＇，易得，設(shè)，結(jié)合雙曲線定義得，進(jìn)而在中應(yīng)用勾股定理得到齊次方程，即可得離心率.
【詳解】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)P＇，因?yàn)?，根?jù)對(duì)稱性知，
設(shè)，則，，可得，即，
所以，則，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，即，解得.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)P＇，利用雙曲線對(duì)稱性及定義求出，最后在中應(yīng)用勾股定理得到齊次方程為關(guān)鍵.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知、，則下列命題中正確的是（）
A. 平面內(nèi)滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓
B. 平面內(nèi)滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支
C. 平面內(nèi)滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線
D. 平面內(nèi)滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓
【答案】AD
【解析】
【分析】由橢圓的定義可直接判定選項(xiàng)A；由雙曲線的定義可直接判定選項(xiàng)B；由拋物線的定義可直接判定選項(xiàng)C；設(shè)點(diǎn)，列式化簡(jiǎn)即可判定選項(xiàng)D；
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,有、，且,由橢圓定義可知選項(xiàng)A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B,有、，且,軌跡為射線，不符合雙曲線的定義可知選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)C,有、，且,軌跡為線段的垂直平分線，不符合拋物線的定義可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)D,有、，且,設(shè)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)可得，可知選項(xiàng)D正確;
故選：AD
10. 正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，，的中點(diǎn),則正確的是（）
A.
B. 平面AEF
C. 點(diǎn)B、C到平面AEF的距離相等
D. 若P為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P軌跡是線段
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，逐一判斷求解.
【詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，，，
選項(xiàng)A：，，
，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：設(shè)平面的法向量為，，
，
故有，即，令，則，
因?yàn)榍移矫妫?br>所以平面；
選項(xiàng)C：，
，
點(diǎn)到平面的距離為：，
點(diǎn)到平面的距離為：，
所以點(diǎn)B、C到平面AEF的距離相等，故選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D：設(shè)，，
，
因?yàn)椋?br>所以，即，
所以點(diǎn)坐標(biāo)滿足且，
故點(diǎn)的軌跡是一條線段，故選項(xiàng)D正確.
故選：BCD.
11. 瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．若滿足，頂點(diǎn)，，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 題中的“歐拉線”的方程為：
B. 圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為
C. 若點(diǎn)在圓上，則的最大值是
D. 若圓與圓有公共點(diǎn)，則
【答案】AC
【解析】
【分析】由題意，的“歐拉線”為線段的垂直平分線，可判斷A；利用圓心到直線距離判斷B；設(shè)，可知與圓有公共點(diǎn)即可判斷C；根據(jù)兩圓相交可得到關(guān)于的方程，即可判斷D.
【詳解】由題意，的“歐拉線”為線段的垂直平分線，
因?yàn)?，的中點(diǎn)為，
所以線段的垂直平分線所在直線方程為，即，
所以的“歐拉線”的方程為，故A正確；
所以，
所以圓的方程為，且圓心為，
所以圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故B錯(cuò)誤；
設(shè)，即，
由題意知與有交點(diǎn)，
所以，解得，所以的最大值是，故C正確；
圓的圓心為，半徑為，
圓與圓有公共點(diǎn)，
所以，解得，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
12. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，，側(cè)面為正三角形，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 平面平面
B. 二面角的大小為30°
C. 異面直線與所成的角為90°
D. 三棱錐外接球的表面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】若為中點(diǎn)，連接，根據(jù)已知證明面，再根據(jù)面面垂直的判定、二面角定義判斷A、B，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，并求其大小判斷C，根據(jù)分析確定三棱錐外接球的球心位置，進(jìn)而求半徑，即可得表面積判斷D.
【詳解】若為中點(diǎn)，連接，
又面為正三角形，故，且，
由面為菱形，，且，則，且，
所以，故，顯然，即，
由，面，故面，
面，則，，面，則面，
面，則，綜上，二面角的平面角為，B錯(cuò)；
由面，故平面平面，A對(duì)；
由，故異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，
連接，面，則，故，
而，則，故，
所以異面直線與所成的角為90°，C對(duì)；
由題意，已知三棱錐外接球的球心必在內(nèi)，如下圖，
分別是靠近的三等分點(diǎn)，是中點(diǎn)，為上述三點(diǎn)在各邊上垂線的交點(diǎn)，
所以為三棱錐外接球的球心，半徑平方為，故外接球的表面積為，D對(duì).
故選：ACD
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知直線：，直線：，若，則______.
【答案】或1
【解析】
【分析】由兩線垂直的判定列方程求參數(shù)即可.
【詳解】由，則，即，
所以或.
故答案為：或1
14. 已知P為空間中任意一點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量共面的基本定理求即可求解.
【詳解】P為空間中任意一點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，
但四點(diǎn)共面，且，
則根據(jù)向量共面定理，，即.
故答案為：
15. 已知點(diǎn)，，則滿足點(diǎn)A到直線l的距離為2，點(diǎn)B到直線l距離為3的直線l的條數(shù)有_______條.
【答案】3
【解析】
【分析】先求，結(jié)合已知及空間想象判斷滿足條件的直線條數(shù).
【詳解】由，故之間存在一條垂直于的直線滿足題設(shè)；
顯然在線段的兩側(cè)各有一條直線滿足條件，
所以共有3條直線滿足要求.
故答案為：3
16. 已知橢圓C：，點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)，A，B為橢圓的左，右頂點(diǎn)，當(dāng)M不與A，B重合時(shí)，射線交橢圓C于點(diǎn)N，直線交于點(diǎn)T，則動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程為_(kāi)______________.
【答案】（）
【解析】
【分析】由題意，設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立橢圓方程并由韋達(dá)定理得，，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線AM、AN的方程，聯(lián)立得，結(jié)合韋達(dá)公式化簡(jiǎn)，即可得軌跡方程.
【詳解】由題知，MN不與x軸重合，設(shè)直線MN的方程為，
聯(lián)立，消x整理得，，
設(shè)、，則，.
因?yàn)锳M的方程為，AN的方程為
兩直線方程聯(lián)立得：，
因?yàn)?
所以，解得.
所以動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程為（）.
故答案為：（）
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)直線，并聯(lián)立橢圓得到一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理寫(xiě)出，，再由AM、AN的方程得到為關(guān)鍵.
四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是，，．
（1）求邊上的中線所在直線的方程；
（2）求的面積．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）求出中點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式方程求出直線方程；
（2）求出的長(zhǎng)度，及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形面積公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
∵，，
∴中點(diǎn)為，
所以中線斜率為，
所以邊上的中線所在直線的方程為即.
【小問(wèn)2詳解】
，
邊所在的直線方程為，
點(diǎn)到直線的距離，
所以.
18. 如圖，某海面有O，A，B三個(gè)小島（小島可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)大?。?，A島在O島正東方向距O島20千米處，B島在O島北偏東45°方向距O島千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，10千米為一個(gè)單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一漁船D在O島的南偏東30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東30°方向行駛，若不改變方向，試問(wèn)該漁船是否有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；
（2）沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知確定，，，再設(shè)圓的方程，將所過(guò)的點(diǎn)代入求參數(shù)，即得方程；
（2）該船航線所在直線l與圓心C的距離，判斷其與半徑的大小，即可得結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
由已知，，．
法1：設(shè)圓C的一般方程為，將O，A，B三點(diǎn)代入得
，解得，
∴圓C的方程為
法2：設(shè)圓C方程為，將O，A，B三點(diǎn)代入得
，解得，
∴圓C的方程為
【小問(wèn)2詳解】
由已知該船初始位置為點(diǎn)，且該船航線所在直線l的斜率為．
∴海船行駛路線l:即，
圓心到l的距離，
∵，
∴沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．
19. 在直三棱柱中，，、分別是、的中點(diǎn)，.
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值；
（3）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)可得出，根據(jù)線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）解法1：取中點(diǎn)，連接，分析可知，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，求出三邊邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出的值，即可得解；
解法2：以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值；
（3）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
【小問(wèn)1詳解】
證明：因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，則，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以，平?
【小問(wèn)2詳解】
解：解法1：取中點(diǎn)，連接，
在三棱柱中，且，所以，四邊形為平行四邊形，
且，
又因?yàn)?，且，則且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
所以，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，
在直三棱柱中，平面，平面，則，
同理，，
因?yàn)?，則，所以，，
由勾股定理可得，
同理可得，，
，
由余弦定理可得，
所以，異面直線與所成角的余弦值為.
解法2：在直三棱柱中，因?yàn)?，則，
如圖所示，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則、、、、、、、
則，，
，
所以，異面直線與所成角的余弦值為.
【小問(wèn)3詳解】
解：，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
，
所以，直線與平面所成角的正弦值為.
20. 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切.
（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡的方程.
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且為定值，證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知的幾何關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義求解軌跡方程即可；
（2）首先設(shè)，，，設(shè)直線AB的方程為：，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，，再利用題干條件，得到兩條直線的斜率關(guān)系，即可得到，將韋達(dá)定理的結(jié)果代入得到，進(jìn)而判斷直線恒過(guò)的定點(diǎn).
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)動(dòng)圓圓心，設(shè)C到直線的距離為d，則，
∴點(diǎn)C的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線.
設(shè)拋物線方程為：，由，得，
∴點(diǎn)C的軌跡方程為：.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，，，
∵，顯然直線AB斜率存，
∴設(shè)直線AB的方程為：
，消x得：
，
設(shè)OA的斜率為，OB的斜率為，
∵
則，，
∴，∴，∴，∴，
∴直線AB的方程為：，即，恒過(guò)定點(diǎn)
21. 如圖，在三棱柱與四棱錐的組合體中，已知，四邊形是菱形，，，，．
（1）求證：平面．
（2）點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，求平面與平面所成角的余弦值的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的交角公式即可求.
【小問(wèn)1詳解】
證明：在三棱柱中，
∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴，
又∵，面
∴平面；
【小問(wèn)2詳解】
連接交于點(diǎn)，
∵四邊形為菱形，
∴
以為原點(diǎn)，，為，軸，向上方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè)，
∴，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
由，得，
取，則.
∵是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面所成角為，
∴.
平面與平面所成角的余弦值的取值范圍為.
22. 已知點(diǎn)P是拋物線：的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點(diǎn).
（1）寫(xiě)出拋物線焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程；
（2）求弦AB長(zhǎng)的最小值；
（3）若直線AB交橢圓：于C、D兩點(diǎn)，、分別是△PAB、△PCD的面積，求的最小值.
【答案】（1）焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為
（2）4（3）.
【解析】
【分析】（1）由拋物線方程直接得到參數(shù)，繼而可得拋物線焦點(diǎn)及準(zhǔn)線方程；
（2）先證明出拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為，然后設(shè)、，由同一法可得直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立用弦長(zhǎng)公式求出最值即可；
（3）將面積比轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)比，然后求出直線與橢圓的弦長(zhǎng)，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的函數(shù)求最值即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閽佄锞€：，
所以由題意得，
所以，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)點(diǎn)在拋物線上，則，
聯(lián)立，消去x得，，即，
所以，關(guān)于y的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，此時(shí)，
因此，直線與拋物線相切，且切點(diǎn).
設(shè)點(diǎn)、，，
則以A為切點(diǎn)的切線方程為，
同理以B為切點(diǎn)的切線方程為，
∵兩條切線均過(guò)點(diǎn)，
∴，即，
所以，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿足直線的方程，
所以，直線AB的方程為，
在直線AB的方程中，令，可得，所以，直線AB過(guò)定點(diǎn)；
由題意可知，直線AB不與x軸重合，可設(shè)直線AB的方程為，
聯(lián)立，可得，
恒成立，
由韋達(dá)定理得，，
由弦長(zhǎng)公式可得，
當(dāng)時(shí)，弦AB長(zhǎng)的最小值為4.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則,
設(shè)、，
由，得，
恒成立.
由韋達(dá)定理得，，
由弦長(zhǎng)公式得.
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
因此，的最小值為.
【點(diǎn)睛】方法法點(diǎn)睛：求切點(diǎn)弦，一般可從同構(gòu)出發(fā)利用同一法求解。

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