浙江省臺(tái)州市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

這是一份浙江省臺(tái)州市2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析，共20頁(yè)。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
總分：150分考試時(shí)間：120分鐘
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1. 已知全集，集合，，則等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求，然后由交集運(yùn)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以.
故選：A
2. 命題“”的否定為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在寫命題否定中要把存在變?nèi)我?，任意變存?
【詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定為全稱命題，
所以的否定即為.
故選：C.
3. 設(shè)，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，再判斷不等式解集的包含關(guān)系即可.
【詳解】由得，
由得，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法錯(cuò)誤的是（）
A. B. 不等式的解集是
C. D. 不等式的解集是或
【答案】B
【解析】
【分析】先求得的關(guān)系式，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，所以確定正確答案.
【詳解】由于關(guān)于的不等式的解集為或，
所以（A選項(xiàng)正確），且，整理得，
由得，所以不等式的解集是，
所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
，所以C選項(xiàng)正確.
，
解得或，所以D選項(xiàng)正確.
故選：B
5. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?br>A. 或B. 或
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知列出不等式組，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，
解得，或.
故選：A．
6. 已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題可得函數(shù)在及時(shí)，單調(diào)遞減，且，進(jìn)而即得.
【詳解】由題意可知：在上單調(diào)遞減，即；
在上也單調(diào)遞減，即；
又是上的減函數(shù)，則，
∴，
解得．
故選：C．
7. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，且對(duì)任意都有，若，則不等式的解為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由知，在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)，知其在在上單調(diào)遞減即可解.
【詳解】對(duì)，滿足，
等價(jià)于函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
則可化為，
解得.
故選：B.
8. 函數(shù)，.若存在，使得，則的最大值是（）
A. 8B. 11C. 14D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】
令，原方程可化為存在，使得，算出左側(cè)的取值范圍和右側(cè)的取值范圍后可得的最大值.
【詳解】因?yàn)榇嬖冢?br>使得，
故.
令，，則，
故，因?yàn)?br>故，故.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值，注意根據(jù)解析式的特征把原方程合理整合，再根據(jù)方程有解得到滿足的條件，本題屬于較難題.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 對(duì)實(shí)數(shù)，，，，下列命題中正確的是（）
A. 若，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D. 是的充要條件
【答案】BC
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)一一判定即可.
【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，由不等式的同向可加性可得，故B正確；
對(duì)于C，，由不等式的同向可加性可得，故C正確；
對(duì)于D，若，明顯，不能得出，充分性不成立，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 已知函數(shù)，則（）
A. 的定義域?yàn)锽. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. D. 的值域是
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)解析式可得函數(shù)的定義域可判斷A，利用特值可判斷，直接求函數(shù)值可判斷C，根據(jù)定義域及不等式的性質(zhì)求函數(shù)的值域可判斷D.
【詳解】由，可得，所以的定義域?yàn)?，則A正確；
因?yàn)?，，所以，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，則B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，則C正確；
因?yàn)?，所以，且?br>所以，且，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以的值域是，故D錯(cuò)誤．
故選：AC.
11. 高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德?牛頓并列為七界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）
A. ，
B. ，
C. ，，若，則有
D. 方程的解集為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A：取，不成立；
對(duì)于B：設(shè)，討論與求解；
對(duì)于C：，，由得證；
對(duì)于D：先確定，將代入不等式得到的范圍，再求得值.
【詳解】對(duì)于A：取，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：設(shè),
，
當(dāng)時(shí)，，，則 ，
則，,故當(dāng)時(shí)成立.
當(dāng)時(shí)，，則 ，
則，故當(dāng)時(shí)成立.
綜上B正確.
對(duì)于C：設(shè)，則，，則，因此，故C正確;
對(duì)于D：由知，一定為整數(shù)且，
所以，所以，所以，
由得，
由解得，只能取，
由解得或(舍)，故，
所以或，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以方程的解集為，
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】高斯函數(shù)常見處理策略:
(1)高斯函數(shù)本質(zhì)是分段函數(shù),分段討論是處理此函數(shù)的常用方法.
(2)由求時(shí)直接按高斯函數(shù)的定義求即可.由求時(shí)因?yàn)椴皇且粋€(gè)確定的實(shí)數(shù),可設(shè)，處理.
(3)求由構(gòu)成的方程時(shí)先求出的范圍,再求的取值范圍.
(4)求由與混合構(gòu)成的方程時(shí),可用放縮為只有構(gòu)成的不等式求解.
12. 函數(shù)，，其中.記，設(shè)，若不等式恒有解，則實(shí)數(shù)的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為；分別在和的情況下，得到與的大致圖象，由此可得確定的解析式和單調(diào)性，進(jìn)而確定，由可確定的取值范圍，由此可得結(jié)論.
【詳解】由題意可知：若不等式恒有解，只需即可.
，
令，解得：或；
令，解得：或；
①當(dāng)，即時(shí)，則與大致圖象如下圖所示，
，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，不合題意；
②當(dāng)，即時(shí)，則與大致圖象如下圖所示，
，
在，上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增；
又，，
若，則需，即，解得：；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值集合，
，，，，AB錯(cuò)誤，CD正確.
故選：CD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)不等式能成立問題的求解，解題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，通過分類討論的方式，確定與圖象的相對(duì)位置，從而得到的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性來(lái)確定最值.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若冪函數(shù)過點(diǎn)，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)定義域和單調(diào)性求不等式的解集．
【詳解】設(shè)冪函數(shù)，其圖像過點(diǎn)，則，解得；
∴，函數(shù)定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，
不等式等價(jià)于，解得；
則實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
14. 已知，，且，則的最小值是______．
【答案】18
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【詳解】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．
故答案為：18
15. 若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則_______．
【答案】7
【解析】
【分析】由對(duì)稱性得，取特殊值求得，再檢驗(yàn)滿足即可得，
【詳解】由題意，即，
所以，即，解得，
此時(shí)，
，滿足題意．
所以，．
故答案為：7．
16. 設(shè)函數(shù)存在最小值，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意分，，和四種情況結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可》
【詳解】①當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此不存在最小值；
②當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)存在最小值；
③當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
若，則不存在最小值，故，解得.
此時(shí)滿足題設(shè)；
④當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)?，所以?br>因此不存在最小值.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查含參數(shù)的分段函數(shù)求最值，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最小值，考查分類討論思想，屬于較難題.
四、解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知集合，集合．
（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）命題：，命題：，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)是否為空集進(jìn)行分類討論，由此列不等式來(lái)求得的取值范圍.
（2）根據(jù)是的充分條件列不等式，由此求得的取值范圍.
【小問1詳解】
由于，
①當(dāng)時(shí)，，解得，
②當(dāng)時(shí)，或，
解得．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【小問2詳解】
命題，命題，若p是q的充分條件，故，
所以，解得；
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
18. 2018年8月31日，全國(guó)人大會(huì)議通過了個(gè)人所得稅法的修訂辦法，將每年個(gè)稅免征額由42000元提高到60000元.2019年1月1日起實(shí)施新年征收個(gè)稅.
個(gè)人所得稅稅率表（2019年1月1日起執(zhí)行）
有一種速算個(gè)稅的辦法：個(gè)稅稅額=應(yīng)納稅所得額×稅率－速算扣除數(shù).
（1）請(qǐng)計(jì)算表中的數(shù)X；
（2）假若某人2021年稅后所得為200000元時(shí)，請(qǐng)按照這一算法計(jì)算他的稅前全年應(yīng)納稅所得額.
【答案】（1）
（2）153850元.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)公式“個(gè)稅稅額=應(yīng)納稅所得額×稅率－速算扣除數(shù)”計(jì)算，其中個(gè)稅稅額按正常計(jì)稅方法計(jì)算；
（2）先判斷他的全年應(yīng)納稅所參照的級(jí)數(shù)，是級(jí)數(shù)2還是級(jí)數(shù)3，然后再根據(jù)計(jì)稅公式求解.
【小問1詳解】
按照表格，假設(shè)個(gè)人全年應(yīng)納稅所得額為元()，可得：
，.
【小問2詳解】
按照表格，級(jí)數(shù)3，；
按照級(jí)數(shù)2，；
顯然，
所以應(yīng)該參照“級(jí)數(shù)3”計(jì)算.
假設(shè)他的全年應(yīng)納稅所得額為元，
所以此時(shí)，解得，
即他的稅前全年應(yīng)納稅所得額為153850元.
19. 已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.
（1）求的值，并證明為奇函數(shù)；
（2）求證在上是增函數(shù)；
（3）若，解關(guān)于的不等式.
【答案】（1）,證明見解析
（2）證明見解析（3）或
【解析】
【分析】（1）賦值法；（2）結(jié)合增函數(shù)的定義，構(gòu)造即可；（3）運(yùn)用題干的等式，求出，結(jié)合（2）的單調(diào)性即可.
【小問1詳解】
令，得.
，所以函數(shù)奇函數(shù)；
【小問2詳解】
證明：在R上任取，則，所以.
又，
所以函數(shù)在R上是增函數(shù).
【小問3詳解】
由，得，.
由得.
因?yàn)楹瘮?shù)在R上是增函數(shù)，
所以，解得或.
故原不等式的解集為或.
20. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的奇偶性（寫出結(jié)論，不需要證明）；
（2）如果當(dāng)時(shí)，的最大值是，求的值.
【答案】（1）答案見解析
（2）1或3
【解析】
【分析】（1）對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)奇偶性的知識(shí)確定正確答案.
（2）將表示為分段函數(shù)的形式，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性求得的值.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，＝，則＝＝，即為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，＝，，
，則不是奇函數(shù)，
，則不是偶函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是非奇非偶函數(shù).
【小問2詳解】
由題設(shè)，，
函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為；
函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為.
1、當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，
∵，∴在上是增函數(shù)；
2、當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，
∵1，∴在上是增函數(shù)；
∴或，在上的最大值是，
解得（舍去）或；
3、當(dāng)，即時(shí)，在上為增函數(shù)，
令，解得或（舍去）.
綜上，的值是1或3.
【點(diǎn)睛】研究函數(shù)的奇偶性的題目，如果要判斷函數(shù)的奇偶性，可以利用奇偶函數(shù)的定義或來(lái)求解.也可以利用特殊值來(lái)判斷函數(shù)不滿足奇偶性的定義.對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù)的最值的研究，可將函數(shù)寫為分段函數(shù)的形式，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論來(lái)求解.
21. 已知函數(shù)，.
（1）若對(duì)任意，存在，使得，求的取值范圍；
（2）若，對(duì)任意，總存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將題目條件轉(zhuǎn)化為的值域包含于的值域，再根據(jù)的兩端點(diǎn)的函數(shù)值得到對(duì)稱軸為，從而得到，進(jìn)而求出的取值范圍；
（2）將不等式化簡(jiǎn)得不等式成立，再構(gòu)造函數(shù)，從而得到，再構(gòu)造函數(shù)，求出即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)當(dāng)，的值域?yàn)?，?dāng)，的值域?yàn)椋?br>由題意得，
∴，得，
此時(shí)對(duì)稱軸為，
故，
即得或，
綜上可得.
【小問2詳解】
由題意得對(duì)任意，總存在，使得不等式成立，
令，由題意得，
而，
設(shè)，則，
而，
易得，故.
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
22. 已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1．
（1）求實(shí)數(shù)a值；
（2）若函數(shù)，是否存在正實(shí)數(shù)，對(duì)區(qū)間上任意三個(gè)實(shí)數(shù)r、s、t，都存在以、、為邊長(zhǎng)的三角形？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由題意，，然后分，兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果；
（2）由題意，可證得在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，設(shè)，，則，從而把問題轉(zhuǎn)化為：，時(shí)，求實(shí)數(shù)取值范圍．結(jié)合的單調(diào)性，分，，，四種情況討論即可求得答案.
【小問1詳解】
由題意，
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞減，
所以，得（舍去）．
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞增，
所以，得．
綜上所述，．
【小問2詳解】
由題意，又，
由（1）知函數(shù)在區(qū)間上遞增，
∴，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>∴，
令，則，
當(dāng)，時(shí)，，所以，為減函數(shù)；
當(dāng)，時(shí)，，所以，為增函數(shù)；
∴在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
設(shè)，由（1）知，∴；
所以，在區(qū)間上任意三個(gè)實(shí)數(shù)r、s、t，都存在、、為邊長(zhǎng)的三角形，等價(jià)于，．
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
∴，，
由，得，從而．
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，，
由得，從而．
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，，
由得，從而．
④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，∴，，
由得，從而．
綜上，．
級(jí)數(shù)
全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間
（對(duì)應(yīng)免征額為60000）
稅率（%）
速算扣除數(shù)
1
3
0
2
10
2520
3
20
X
4
25
31920
5
30
52920
6
35
85920
7
45
181920