3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效，考試結(jié)束后，只需上交答題卷；
4．參加聯(lián)批學(xué)校的學(xué)生可關(guān)注“啟望教育”公眾號(hào)查詢個(gè)人成績(jī)分析.
一．單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 直線的傾斜角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將直線方程化為斜截式，從而得到直線的斜率與傾斜角.
【詳解】直線，即，則直線的斜率，
所以傾斜角為.
故選：D
2. 若復(fù)數(shù)z滿足：，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解出，然后判斷出的虛部即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以的虛部為，
故選：A.
3. “”是“”成立的
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【詳解】由，解得，所以“”是“”成立的必要不充分條件.故選B.
4. 若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦函數(shù)對(duì)稱軸列式，計(jì)算即可得解.
【詳解】由題意
，，，，，…，
則的最小值是，
故選：C
5. 在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則可得為異面直線與所成的角或補(bǔ)角，然后在中求解即可.
【詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥，，
因?yàn)椤?，，所以∥，?br>所以四邊形為平行四邊形，所以∥，
所以為異面直線與所成的角或補(bǔ)角.
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，
所以.
故選：D
6. 若關(guān)于x的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)m的最小值為（）
A. 9B. 5C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】先通過分離參數(shù)得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，則的最小值可求.
【詳解】因?yàn)樵谏嫌薪?，所以在上有解?br>所以，
又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
所以，所以，即的最小值為，
故選：B.
7. 設(shè)橢圓：與雙曲線：的離心率分別為，，且雙曲線的漸近線的斜率小于，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由雙曲線的漸近線的斜率小于，即可得出，由此即可求出的取值范圍，從而求解
【詳解】由題意得，，，
所以，
又因?yàn)殡p曲線的漸近線的斜率小于，得，
所以，即，得，故C正確.
故選：C.
8. 如圖，四棱錐中，，，是正三角形，，平面平面，若點(diǎn)F是所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)E是棱PC（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)直線AE與CD所成角取最小值時(shí)，線段EF的長(zhǎng)度不可能為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三余弦定理確定直線AE與CD所成角取最小值時(shí)點(diǎn)的位置，根據(jù)橢圓定義確定點(diǎn)的軌跡，在平面內(nèi)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求橢圓方程，求范圍；因?yàn)槠矫?，所以，根?jù)勾股定理求.
【詳解】
三余弦定理：如圖直線與平面相交于點(diǎn)，
過作平面,垂足，為平面內(nèi)一直線,
過向引垂線且垂足為，連結(jié)，
因?yàn)槠矫妫?
又因?yàn)?且,
所以平面，所以
所以,,,
設(shè),,,
,,,
所以；
因?yàn)槭钦切危?,
又因?yàn)椋?
在中，,,，由余弦定理有：
，解得,
滿足,所以,
過作于點(diǎn),
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?
由面面垂直的性質(zhì)可知,
又,所以平面；
因?yàn)锳E與CD所成的角等于AE與AB所成的角設(shè)為，即，
由三余弦定理得：，此時(shí)E與C重合，
設(shè)AD的中點(diǎn)為O，因?yàn)槭钦切危?
則，
根據(jù)已知條件，點(diǎn)F的軌跡滿足橢圓定義，
設(shè)橢圓方程為，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以點(diǎn)F的軌跡是橢圓，，所以,
在平面內(nèi)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
橢圓方程為，設(shè)，則，
又因?yàn)?,,
所以平面,,,
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?
所以，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
故選：A
【點(diǎn)睛】三余弦定理的應(yīng)用，利用橢圓方程求的范圍，利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化邊長(zhǎng)求范圍.
二．多項(xiàng)選擇題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)或不選的得0分）
9. 下列命題正確的是（）
A. 集合子集共有8個(gè)
B. 若直線：與：垂直，則
C. 若（x，），則的最大值為5
D. 長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、3的長(zhǎng)方體的外接球的表面積是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)子集的概念求出子集判斷A，利用兩直線垂直的公式列式計(jì)算判斷B，換元法利用余弦函數(shù)的最值判斷C，根據(jù)長(zhǎng)方體的外接球的直徑為體對(duì)角線求解半徑，代入球的表面積公式計(jì)算判斷D.
【詳解】集合的子集有，，，，，，，共個(gè)，
故A正確；
因?yàn)橹本€：與：垂直，則，
即，解得或1，故B錯(cuò)誤；
由設(shè)，，則，
故C正確；
由長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為其外接球的直徑知：，所以，
所以長(zhǎng)方體的外接球的表面積是，故D正確；
故選：ACD
10. 已知向量，，則下列命題正確的是（）
A. 不存在，使得B. 當(dāng)時(shí)，
C. 對(duì)任意，都有D. 當(dāng)時(shí)，在方向上的投影向量的模為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)向量間運(yùn)算與三角恒等變換逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，若，則有
不存在，故A正確；
對(duì)于B，若，則
，故B正確；
若，存在，故C不正確；
其中
所以，
，故D正確；
故選：ABD
11. 已知直線l：，：，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 直線l恒過定點(diǎn)
B. 直線l與必定相交
C. 與：公共弦所在直線方程為
D. 當(dāng)時(shí)，直線l與的相交弦長(zhǎng)是
【答案】BC
【解析】
【分析】求出直線過的定點(diǎn)判斷A；由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷B；求出公共弦所在直線方程判斷C；利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算判斷D.
【詳解】依題意，直線：，由，解得，直線恒過定點(diǎn)，A錯(cuò)誤；
顯然點(diǎn)在內(nèi)，則直線與必定相交，B正確；
的圓心，半徑，的圓心，半徑，，
即與相交，把兩個(gè)圓的方程相減得公共弦所在直線方程，即，C正確；
當(dāng)時(shí)，直線：，點(diǎn)到直線的距離，，
因此直線l與的相交弦長(zhǎng)為，D錯(cuò)誤.
故選：BC
12. 設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓C的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P、Q都在橢圓C上且P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線與橢圓C相交于點(diǎn)M、N，則下列說法正確的是（）
A. 四邊形不可能是矩形
B. 周長(zhǎng)的最小值為6
C. 直線PA，QA的斜率之積為定值
D. 當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，的面積是
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：先判斷出四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)對(duì)角線長(zhǎng)度的關(guān)系判斷即可；
B：利用橢圓的定義以及的范圍求解出周長(zhǎng)的最小值；
C：利用坐標(biāo)表示出斜率關(guān)系，然后根據(jù)點(diǎn)在橢圓上化簡(jiǎn)運(yùn)算，從而求得結(jié)果；
D：將點(diǎn)設(shè)為，然后表示出的周長(zhǎng)，結(jié)合三角形函數(shù)確定出周長(zhǎng)最小時(shí)的值，從而可求面積.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)辄c(diǎn)平分，所以四邊形是平行四邊形，
又因?yàn)?，且，所以?br>所以，所以有可能成立，故A不正確；
對(duì)于B：因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以?br>所以周長(zhǎng)為，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)?，設(shè)，所以，
所以，故C正確；
對(duì)于D：由題意可知，設(shè)，，
所以，
所以的周長(zhǎng)為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，故D正確；
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓性質(zhì)的綜合運(yùn)用，其中涉及到焦點(diǎn)三角形、定值等問題，著重考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與計(jì)算能力，難度較大.C項(xiàng)的解答關(guān)鍵在于表示完斜率乘積后利用點(diǎn)所滿足的橢圓方程進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，D項(xiàng)的解答關(guān)鍵在于將點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為三角函數(shù)形式，利用三角形函數(shù)的取值范圍進(jìn)行分析求解.
三．填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡相應(yīng)的橫線上）
13. 若雙曲線上一點(diǎn)與它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為________．
【答案】或
【解析】
【分析】化雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用雙曲線定義求解.
【詳解】因?yàn)?，所以，，?br>設(shè)點(diǎn)與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，
則由雙曲線的定義得，，解得或.
故答案為：或
14. 已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積為，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為___________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，分析得出，由圓錐的側(cè)面積計(jì)算出、的值，可求得圓錐的高，再利用圓錐的體積公式可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，可得，
圓錐的側(cè)面積為，解得，，
所以，圓錐的高為，
因此，該圓錐的體積為.
故答案為：.
15. 若直線l：與曲線C：只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】先對(duì)曲線C進(jìn)行變形，可知其表示圓的上半部分，畫出曲線C及直線l，采用數(shù)形結(jié)合即可求得結(jié)果．
【詳解】因?yàn)榍€，可化為，
所以曲線C是以為圓心，3為半徑的圓的上半部分，
直線的斜率為，在軸上的截距為，畫圖如下：
由于直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
由圖得：，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，則，由圖可知，
綜上：或．
故答案為：．
16. 已知扇形OPQ中，半徑，圓心角為，若要在扇形上截取一個(gè)面積為1的矩形ABCD，且一條邊在扇形的一條半徑上，如圖所示，則的最小值為________．
【答案】
【解析】
【分析】連接，設(shè)，分別用含的三角函數(shù)表示，表示出矩形的面積，由矩形面積為1求得的最小值.
【詳解】連接，設(shè)，則，
，，，
則，
則，即，
即，
∴當(dāng)時(shí)，，
故答案為：
四．解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，AC邊上的中線，求的面積S．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理統(tǒng)一為角的三角函數(shù)，化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用中線的向量性質(zhì)，結(jié)合余弦定理求出，用面積公式求的面積
【小問1詳解】
，
因?yàn)?，所?br>【小問2詳解】
18. 亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)簡(jiǎn)稱亞運(yùn)會(huì)，是亞洲規(guī)模最大的綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，由亞洲奧林匹克理事會(huì)的成員國(guó)輪流主辦，每四年舉辦一屆．1951年第1屆亞運(yùn)會(huì)在印度首都新德里舉行，七十多年來亞洲運(yùn)動(dòng)員已成為世界體壇上一支不可忽視的力量，而中國(guó)更是世界的體育大國(guó)和亞洲的體育霸主．第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦，為普及體育知識(shí)，增強(qiáng)群眾體育鍛煉意識(shí)，衢州舉辦了亞運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)分為男子組和女子組進(jìn)行，最終決賽男女各有40名選手參加，下圖是其中男子組成績(jī)的頻率分布直方圖（成績(jī)介于85到145之間），
（1）求圖中缺失部分的直方圖的高度，并估算男子組成績(jī)排名第8的選手分?jǐn)?shù)：
（2）若計(jì)劃從男子組中105分以下的選手中隨機(jī)抽樣調(diào)查2個(gè)同學(xué)的答題狀況，則抽到的選手中至多有1位是95分以下選手的概率是多少？
（3）若女子組40位選手的平均分為117，標(biāo)準(zhǔn)差為11，試求所有選手的平均分和方差．
【答案】18. ；131
19.
20. 118；146
【解析】
【分析】（1）先求出所有矩形的面積和為1，從而可求缺失部分的面積，根據(jù)矩形面積可求得第8名的成績(jī)位于區(qū)間分至分之間，從而求解；
（2）求得105以下合計(jì)6個(gè)人，對(duì)這6人編號(hào)后，利用列舉法求解；
（3）利用平均數(shù)和方差的定義求解即可.
【小問1詳解】
根據(jù)題意得：，得：，所以：圖中缺失部分的直方圖的高度；
因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)位于分至分人數(shù)為：人，分?jǐn)?shù)位于分至分人數(shù)：，設(shè)第名選手的分?jǐn)?shù)為，則：，得：，所以可估算排名第名選手的分?jǐn)?shù)為.
【小問2詳解】
分?jǐn)?shù)以下人數(shù)有：分至分人數(shù)：人，分至分人數(shù)：人，總共：人，
將人依次編號(hào)為，，，，，（分以下的人編號(hào)為，），任選個(gè)人的方法如下：
列舉出所有樣本點(diǎn)：，，，，，，，，，，，，，，共計(jì)種，
至多有位是分以下的選手有種，所以概率為：.
【小問3詳解】
男子組位選手的平均分:，
所有選手的平均分：，女子組的方差：，
男子組的方差：
，
，
所有選手的方差：
綜述：所有選手的平均分，所有選手的方差.
19. 已知雙曲線C的漸近線方程是，點(diǎn)在雙曲線C上.
（1）求雙曲線C的離心率e的值；
（2）若動(dòng)直線l：與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，問直線MA，MB的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）2（2）是，3
【解析】
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線設(shè)出方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解方程，利用離心率公式直接求解即可；
（2）聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，代入兩斜率之和表達(dá)式化簡(jiǎn)即可求解.
【小問1詳解】
由雙曲線C的漸近線方程是，故設(shè)C：，
因?yàn)樵陔p曲線C上，所以，所以：，
所以，，所以，所以；
【小問2詳解】
設(shè)，，聯(lián)立得，
則得且，，，
又，
，
所以
.
即直線MA，MB的斜率之和是3.
20. 如圖，四棱錐中，底面為矩形，，，為的中點(diǎn)．
（1）若，求證：；
（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；
（2）設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接、、，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，分析可知，二面角的平面角為，根據(jù)已知條件求出、的長(zhǎng)，推導(dǎo)出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得的值.
【小問1詳解】
證明：因?yàn)樗倪呅螢榫匦危瑒t，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
又因?yàn)?，，則為等腰直角三角形，所以，，
同理可證，所以，，即，
因?yàn)?，，、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，所以?
【小問2詳解】
證明：設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接、、，
過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，
因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，
則為等邊三角形，且，，
因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則且，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，且，
所以，四邊形為矩形，所以，，
所以，二面角的平面角為，則，
因?yàn)?，則，
則，
因?yàn)?，，，、平面?br>所以，平面，
因?yàn)槠矫?，則，
因?yàn)椋?，、平面，所以，平面?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，則，所以，，
因此，直線與平面所成角的正弦值為.
21. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值域；
（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)分別求各段的取值范圍，然后取其并集即得. （2）首先去絕對(duì)值，分別求出和時(shí)，的最小值，結(jié)合恒成立條件解不等式即得.
【小問1詳解】
（1），
①；
②；
綜上：函數(shù)的值域是；
【小問2詳解】
（2）去絕對(duì)值得，
當(dāng)時(shí)，方程的，
，
當(dāng)時(shí)，方程的，
，
①，不符題意，∴舍去；
②，，
；
綜上：
22. 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，若內(nèi)切圓的半徑，求直線l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意可求得，，并且，求得，，，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得解；
（2）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，可求得，再根據(jù)內(nèi)切圓半徑可表示出，由此求得答案.
【小問1詳解】
由題可得，焦點(diǎn)在x軸上，，，
，解得，，
所以橢圓：.
【小問2詳解】
設(shè)，，設(shè)直線的方程為，
的根為，，
，，且，
又∵，，
∴，
所以直線的方程為：.

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