高二數(shù)學試卷
考生須知：
1.本卷共6頁滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.
3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題意的.
1. 直線的傾斜角為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求直線的斜率，再求傾斜角.
【詳解】直線的斜率，
所以直線的傾斜角為.
故選：A
2. 已知點為橢圓上一點，為該橢圓的兩個焦點，若，則（）
A. 1B. 5C. 7D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義直接計算即可.
【詳解】因為橢圓方程為，
所以，又
所以，
故，
故選：.
3. 已知為圓上的兩個動點，若，則的面積為（）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】圓的方程化為標準方程可得圓心和半徑，再利用三角形面積公式計算可得答案.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
所以.
故選：B.
4. 幾何體是平行六面體，底面為矩形，其中，且，則線段的長為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將用來表示，然后向量求模即可.
【詳解】因為底面是矩形，所以，
又因為，
所以，，
因為，
所以，
故選：D
5. 過雙曲線的右焦點作其漸近線的垂線，垂足為點，交雙曲線的左支于點，若，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題中幾何條件及雙曲線的定義可求出，從而求解.
【詳解】將點與雙曲線的左焦點連接，從而得到，如下圖所示，
因為到其一條漸近線：的距離：，
因為：，所以得：點為中點，且，，
又因為原點為的中點，所以得：為的中位線，所以得：，
由雙曲線的定義得：，化簡得：，
因為雙曲線的離心率：，所以得：，故B項正確.
故選：B.
6. 已知，點是直線和的交點，若存在點使，則實數(shù)的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直線與都過定點且，可得交點的軌跡是圓，又點滿足，坐標化可得點在另一個圓上，存在點滿足，即兩圓有公共點即可，由此得解.
【詳解】因為直線過定點，直線過定點，且，
所以直線與的交點的軌跡是以，為直徑端點的圓，除去，
所以點的軌跡方程為：，
設其圓心為，半徑，
若點滿足，設，可得，
化簡整理得，，設其圓心為，半徑，
由題存在點滿足，即圓與圓有公共點即可，
由于點的軌跡為圓除去點，
所以得，即，
所以
故選：C.
7. 如圖，長方體，以為坐標原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，點是棱的中點，點是與的交點，如果，那么三棱錐的體積為（）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得，長方體的棱長分別為，，，利用等體積法即可求.
【詳解】在長方體中，設，，，
所以，,故，又因為，
所以，，，即，，，
取中點，連接，，如圖：
因為點是與的交點，所以是的中點，
又因為是中點，所以，
又因為，所以，
又因為平面，平面，
所以平面，
所以，
在矩形中，如圖：，，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
所以，即.
故選：B
8. 瑞士數(shù)學家歐拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的幾何學》一書中提出：三角形的外心（中垂線的交點）?重心（中線的交點）?垂心（高的交點）在同一條直線上，后來，人們把這條直線稱為歐拉線.已知的頂點，且，則的歐拉線被橢圓截得的弦長的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設出歐拉線的方程，聯(lián)立方程，表示出弦長，求出最值即可.
【詳解】因為，由等腰三角形的性質(zhì)可得歐拉線一定過點,
當斜率不存在時，被橢圓截得的弦長為2；
當斜率存在時，設方程為，直線與橢圓的交點為,
與橢圓方程聯(lián)立可得，
則，；
令，則，且；
，
因為，所以，所以當時，即，取到最大值，最大值為.
故選：C
二?多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. 已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 的最大值2D. 的最小值
【答案】AB
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積運算的坐標表示，即可判斷選項.
【詳解】A.若，則，得，故A正確；
B.若，則，即，得
，解得：，故B正確；
CD.，當時，的最小值2，故CD錯誤；
故選：AB
10. 已知直線，圓，則下列結(jié)論正確的有（）
A. 若，則直線恒過定點
B. 若，則直線與圓相切
C. 若圓關(guān)于直線對稱，則
D. 若直線與圓相交于兩點，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，直線系方程和直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，以及圓的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，若，代入直線方程可得，即，
由，解得，所以直線恒過點，所以A正確；
對于B中，由圓，可得圓心，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
當時，可得，所以直線與圓相切，所以B正確；
對于C中，若圓關(guān)于直線對稱，可得直線經(jīng)過圓心，
將圓心代入直線的方程，可得，即，所以C正確；
對于D中，若直線與圓相交于兩點，則滿足，
解得，所以D錯誤.
故選：ABC.
11. 已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）
A. ，曲線都不表示圓
B. ，曲線表示焦點在軸上的橢圓
C. ，曲線都不表示焦點在軸上的雙曲線
D. 當時，曲線的焦距為定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.由求解判斷；B.由求解判斷；C.由求解判斷；D.由當時，方程表示焦點在x軸上雙曲線求解判斷.
【詳解】解：若方程表示圓，則，無解，
所以，曲線都不表示圓，故A正確；
若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，無解，
所以不存在m，使得曲線表示焦點在軸上的橢圓，故B錯誤；
若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則，無解，
所以，曲線都不表示焦點在軸上的雙曲線，故C正確；
D. 當時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線，
則，故曲線的焦距為定值，故D正確，
故選：ACD
12. 如圖，在直三棱柱中，分別是的中點，是與的交點，為線段上的動點（包含線段的端點），則以下說法正確的是（）
A. 為線段中點時，
B. 存在點，使得平面
C. 與平面所成的角可能為
D. 與所成角的正弦值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，由向量的加法、減法及數(shù)乘運算即可判斷；
利用空間向量解答B(yǎng)，D；
對于C，由題意可得為與平面所成的角，當運動到點時，取得最大，且，從而即可判斷.
【詳解】對于，
，故錯誤；
對于，以為原點，以為坐標軸建立空間直角坐標系，
設，
則，
所以
設平面的法向量為
則，
令，可得，
設，
則，
所以，
當時，可得∥平面，
所以，即.
所以在線段上存在點，且，故B正確；
對于C，在中，為的中點，所以，
又平面平面，
可得，而，
平面，平面，所以平面，
與平面所成的角即為，
由題可得當運動到點時，取得最大，且，
所以與平面所成的角可能為，此時，故C正確.
對于D，，
所以與所成角的正弦值為，故D正確；
故選：BCD.
非選擇題部分
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若直線的一方向向量與平面的一個法向量的夾角為，則直線與平面所成的角為_________．
【答案】
【解析】
【分析】由所求角與方向向量和法向量夾角互余即可求得結(jié)果.
【詳解】直線與平面所成角與其方向向量與平面法向量的夾角互余，
直線與平面所成的角為.
故答案為：.
14. 直線與之間的距離相等，則直線的方程是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)題意設出直線的方程，然后根據(jù)平行線間的距離公式即可列式求解.
【詳解】顯然直線平行，所以要求的直線也與平行，設直線的方程為，
則由平行線間的距離公式得，解得，
所以直線的方程為.
故答案為：.
15. 與雙曲線有公共漸近線，且過點的雙曲線的標準方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】設所求雙曲線方程為，代入，求出的值即可.
【詳解】設所求的雙曲線方程為，
因為雙曲線過點，所以，解得，
所以，，化為標準方程得，
即.
故答案為：.
16. 已知橢圓的左右焦點分別為，點是橢圓上任意一點（長軸端點除外），的角平分線交橢圓長軸于點，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由角平分線定理得到，再根據(jù)求解.
【詳解】解：由橢圓知：，
如圖所示：
由角平分線定理得：，
即，
因為，所以，
解得，
故的取值范圍是，
故答案為：
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知圓經(jīng)過點.
（1）求圓的方程；
（2）若直線經(jīng)過原點，并且被圓截得的弦長為2，求直線的方程.
【答案】17.
18. 或
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法設出圓的一般方程，根據(jù)條件列出方程組，解出即可；
（2）設出直線方程，根據(jù)題中條件可求得圓心到直線的距離為，建立方程，解出即可，特別要考慮直線的斜率不存在的情況.
【小問1詳解】
設圓的方程為，
根據(jù)題中條件知，
,解得,
所以圓的方程為，
即.
【小問2詳解】
因為直線經(jīng)過原點，
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離
又被圓截得的弦長為2，圓的半徑為，
則，故，
即，
解得，則方程為，
又當直線的斜率不存在時，方程為，
圓心到直線的距離為，符合題意，
故所求直線的方程為或者.
18. 已知直線，直線
（1）若直線在兩坐標軸上的截距相等，求實數(shù)的值；
（2）若，求直線的方程.
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）由一般方程求截距，根據(jù)條件，列式求解；
（2）代入兩直線平行的公式，即可求解.
【小問1詳解】
由題意可知，，
直線在軸的截距為，在軸的截距為，
則，解得：；
【小問2詳解】
若，
則且，解得：，
此時直線的方程為.
19. 如圖，在幾何體中，底面為正方形，平面，為線段的中點，且，為線段上的動點.
（1）證明：平面平面；
（2）若平面與平面所成的角為，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面與平面垂直的判定定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，然后利用求面面角的步驟即可確定出點的位置，從而求出結(jié)果.
【小問1詳解】
因為底面為正方形，所以，，，
因為平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
因為平面，所以，
因為，為線段的中點，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
當與重合時，平面就是平面，
易知平面與平面所成的角為，不符合題意；
因為平面，平面，
所以，，又，
所以以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，
設，則，，，，設，
所以，，，，
設平面的法向量為，則
，即，令，得，所以，
設平面的法向量為，則
，即，令，得，所以，
因為平面與平面所成角為，
所以，
解得，
所以為線段的中點，所以.
20. 已知雙曲線的漸近線斜率為，且經(jīng)過點，直線與圓相切于點.
（1）求雙曲線的方程：
（2）若直線與雙曲線相切于點，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由漸近線斜率與雙曲線所過點的坐標列方程組求得，得雙曲線方程；
（2）設的方程為，由它與圓和雙曲線分別相切，分別得出的關(guān)系式，同時得出切點的橫坐標，然后計算線段長，并化為的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)得其范圍．
【小問1詳解】
由已知，又，故解得，
所以雙曲線方程為；
【小問2詳解】
顯然直線的斜率存在，設的方程為，
由得，
，化簡得①，
此時方程的解為，即為點橫坐標，
由得，
，化簡得②，
此時方程的解為，即為點的橫坐標，
，
由①②代入得，
函數(shù)在時是減函數(shù)，所以由得．
【點睛】方法點睛：直線與雙曲線位置關(guān)系中的范圍問題，關(guān)鍵是引入?yún)?shù)，建立函數(shù)式，可設直線方程為（有交點時可能還要設出交點坐標），由直線與曲線的位置關(guān)系得出得出參數(shù)之間的關(guān)系，然后用參數(shù)表示出題中的量（本題中是線段長），并轉(zhuǎn)化為其中某個參數(shù)的函數(shù)，再利用函數(shù)知識、不等式知識等求得取值范圍．
21. 如圖，在四面體中，平面是的中點，是的中點，點滿足.
（1）證明：平面；
（2）若與平面所成的角大小為，求的長度.
【答案】（1）詳見解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）取MD的中點G，易知，從而平面BCD，同理平面BCD，得到平面平面BCD，然后利用面面平行的性質(zhì)定理證明；
（2）建立空間直角坐標系，設，則，求得平面BCM的一個法向量為，由求解.
【小問1詳解】
證明：如圖所示：
取MD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，因為M是的中點，是的中點，點滿足，
所以，又平面BCD，平面BCD，
所以平面BCD，同理平面BCD，又平面，
所以平面平面BCD，又平面EFG，則平面；
【小問2詳解】
建立如圖所示空間直角坐標系：
設，則，，
所以，
設平面BCM的一個法向量為，
則，即，
令，得，，則，
所以，
解得，即的長度.
22. 已知橢圓與橢圓有相同的離心率，橢圓焦點在y軸上且經(jīng)過點.
（1）求橢圓的標準方程：
（2）設A為橢圓的上頂點，經(jīng)過原點的直線交橢圓于干P，Q，直線AP?AQ與橢圓的另一個交點分別為點M和N，若與的面積分別為和，求取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由橢圓確定離心率，設出其方程，利用點的坐標求得，即可求得答案；
（2）設，利用橢圓方程推出，從而設的方程，聯(lián)立橢圓方程，求得相關(guān)點坐標，得到，，從而可求出的表達式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求解答案.
【小問1詳解】
由題意知橢圓的離心率為，故橢圓的離心率也為，
設橢圓的方程為，則，
即，將代入得，
則橢圓的方程為；
【小問2詳解】
由于A為橢圓的上頂點，故，
不妨設P在第一象限以及x軸正半軸上，，則，則，
故，
由題意知直線AP存在斜率，設其方程為，
則AQ的直線方程為，
聯(lián)立直線AP和橢圓的方程，整理得，
解得，即；
聯(lián)立直線AP和橢圓的方程，整理得，
解得，即；
故，同理可求得，
所以，
設，則，
而，
由于，故在時單調(diào)遞減，
即，
故，即.
【點睛】難點點睛：本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓位置關(guān)系中的參數(shù)的取值范圍問題，難點在于的取值范圍的求解，解答時要利用聯(lián)立直線和橢圓方程求解相關(guān)點的坐標，繼而求出的表達式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解答案，計算過程比較復雜，計算量較大.

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