浙江省嘉興市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.
3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
4．測試范圍：選擇性必修第一冊.
一、單選題：每小題只有一項(xiàng)符合題目要求，共8小題，每小題5分，共40分.
1. 經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式求得直線的方程．
【詳解】傾斜角為的直線的斜率，再根據(jù)直線經(jīng)過點(diǎn)，
由點(diǎn)斜式求得直線方程為，即，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了由點(diǎn)斜式的方法求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．
2. 圓與圓的位置關(guān)系為（）
A. 內(nèi)切B. 相切C. 相交D. 外離
【答案】C
【解析】
【分析】分別求出兩圓的圓心和半徑，再求出圓心距，通過比較可得結(jié)論．
【詳解】解：圓的圓心為，半徑，
圓圓心為，半徑，
所以，
所以兩圓相交，
故選：C
3. 若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得，，，再結(jié)合橢圓的離心率公式列出關(guān)于的方程，解之即得答案．
【詳解】解：由題意知，，且，
所以，
化簡后得：.
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，以及根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率求得，，，化簡計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
4. 已知圓與軸的交點(diǎn)恰為雙曲線（）的左、右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】由已知可得圓與軸的交點(diǎn)為，由題意可知，又，故雙曲線的離心率為，故選C.
5. 雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，雙曲線上一點(diǎn)到的距離為8，則點(diǎn)到的距離為（）
A. 2或12B. 2或18C. 18D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用雙曲線的定義求.
【詳解】解：由雙曲線定義可知：
解得或（舍）∴點(diǎn)到的距離為18，
故選：C.
6. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點(diǎn)P作于點(diǎn)，則（）
A. 5B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可知拋物線的準(zhǔn)線方程以及點(diǎn)，進(jìn)一步可得拋物線方程，然后求得，最后可得結(jié)果.
【詳解】由點(diǎn)，知準(zhǔn)線的方程為，焦點(diǎn)，
于是有拋物線的方程為，因?yàn)?，所以?br>代入拋物線方程解得，從而，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單應(yīng)用，考查拋物線的定義以及對題意的理解，屬基礎(chǔ)題.
7. 已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且直線的斜率，則橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示公式、橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由題意可知，設(shè)該橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)橹本€的斜率，
所以設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得
，
設(shè)，則有，
因?yàn)?，所以?br>所以有，消去，得
，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用，得到，進(jìn)而利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解.
8. 由倫敦著名建筑事務(wù)所Steyn Studi設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品. 若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線??下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（）
A. ?B. ?
C?D. ?
【答案】B
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可.
【詳解】設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，
則焦點(diǎn)到漸近線的距離，
所以，即雙曲線方程為：.
故選：B
二、多選題：每小題有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分，共4小題，每小題5分，共20分.
9. （多選）若兩平行線分別經(jīng)過點(diǎn)，則它們之間的距離d可能等于（）
A. 0B. 5C. 12D. 13
【答案】BCD
【解析】
【分析】由題可知當(dāng)兩平行線與A，B兩點(diǎn)所在直線垂直時(shí)，兩平行線間的距離d最大，求出兩點(diǎn)間的距離，可得答案
【詳解】易知當(dāng)兩平行線與A，B兩點(diǎn)所在直線垂直時(shí)，兩平行線間的距離d最大，
即，所以，故距離d可能等于5，12，13．
故選：BCD
【點(diǎn)睛】此題考查兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題
10. 已雙曲線C：，則（）
A. 雙曲線C的實(shí)軸長為定值
B. 雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上
C. 雙曲線C的離心率為定值
D. 雙曲線C的漸近線方程為
【答案】BCD
【解析】
【分析】由雙曲線的方程整理標(biāo)準(zhǔn)方程可得，的值，進(jìn)而可得的值，再判斷出各選項(xiàng)的真假．
【詳解】由曲線，整理可得，
所以曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且，
不是定值，所以A不正確，B正確；
離心率為定值，所以C正確；
漸近線的方程為，即，所以D正確．
故選：BCD．
11. 已知直線，圓，則下列選項(xiàng)中正確的是（）
A. 圓心的軌跡方程為
B. 時(shí)，直線被圓截得的弦長的最小值為
C. 若直線被圓截得的弦長為定值，則
D. 時(shí)，若直線與圓相切，則
【答案】BC
【解析】
【分析】首先表示出圓心坐標(biāo)，即可判斷A，再求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，由弦長公式判斷B，求出圓心到直線的距離，當(dāng)距離為定值時(shí)，弦長也為定值，即可判斷C，求出圓心到直線的距離，即可判斷D；
【詳解】解：圓的圓心坐標(biāo)為，
所以圓心的軌跡方程為，故A錯(cuò)誤；
直線，令，解得，即直線恒過點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)圓，圓心為，半徑，又，
所以直線被圓截得的弦長的最小值為，故B正確；
對于C：若直線被圓截得的弦長為定值，則圓心到直線的距離為定值，
所以，解得，故C正確；
對于D：當(dāng)時(shí)直線，圓心到直線的距離，
若直線與圓相切，則，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
12. 已知橢圓，，分別為它的左右焦點(diǎn)，，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).下列結(jié)論中，正確的有（）
A. 橢圓的長軸長為8B. 滿足的面積為4的點(diǎn)恰有4個(gè)
C. 的的最大值為16D. 直線與直線斜率乘積為定值
【答案】ABC
【解析】
【分析】由橢圓方程可得的值，即可判斷A；根據(jù)三角形面積公式求得，，根據(jù)橢圓對稱性可判斷B；利用橢圓定義結(jié)合基本不等式可判斷C；根據(jù)直線斜率的計(jì)算結(jié)合橢圓方程可判斷D.
【詳解】由橢圓可得,則，
∴橢圓E的長軸長為，故A正確；
設(shè)P的縱坐標(biāo)為，則，
故,則，
即點(diǎn)P為
即根據(jù)橢圓的對稱性可得滿足的面積為4的點(diǎn)P恰有4個(gè)，故B正確；
∵，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；
設(shè)，則，
則，故，D錯(cuò)誤，
故選：ABC
三、填空題：本題共4小題，共20分.
13. 雙曲線的漸近線方程是______________；離心率是________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a、b，即可求出漸近線方程和離心率.
【詳解】因?yàn)殡p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，
所以，所以漸近線方程為；
離心率.
故答案為：；.
14. 直線恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)是______.
【答案】
【解析】
【分析】
直線方程可化為，從而可得，解方程組即可.
【詳解】直線方程可化為
因?qū)θ我猓匠毯愠闪?，所?br>解得故直線恒過定點(diǎn)
故答案為：
15. 拋物線上的兩點(diǎn)、到焦點(diǎn)的距離之和是，則線段的中點(diǎn)到軸的距離是_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，求出線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離
【詳解】∵F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F（，0），準(zhǔn)線方程x=，設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），
∴|AF|+|BF|=x1++x2+=5，解得x1+x2=4，∴線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：2．
故線段的中點(diǎn)到軸的距離是2.
故答案為：2
16. 設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，橢圓的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】設(shè)，由題可知，則，
∴
，
又，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.
故答案為：.
三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知直線
（1）求直線與的交點(diǎn)，并求它到直線的距離；
（2）求經(jīng)過與的交點(diǎn)，且與垂直的直線的方程；
（3）求經(jīng)過與的交點(diǎn)，且與平行的直線的方程.
【答案】17. 交點(diǎn)，距離
18.
19.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法和點(diǎn)到直線的距離公式求解；
（2）根據(jù)兩直線垂直的斜率關(guān)系和點(diǎn)斜式進(jìn)行求解；
（3）根據(jù)兩直線平行的斜率關(guān)系和點(diǎn)斜式進(jìn)行求解.
【小問1詳解】
由，得交點(diǎn)為，
所以點(diǎn)到直線的距離為；
【小問2詳解】
因?yàn)?，直線的斜率為，所以直線的斜率為，
根據(jù)點(diǎn)斜式得，即；
【小問3詳解】
因?yàn)?，所以直線的斜率為，
根據(jù)點(diǎn)斜式得，即；
18. 已知圓，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，且.
（1）求圓的圓心坐標(biāo)和半徑：
（2）求的方程；
（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.
【答案】（1）圓心，半徑
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得解；
（2）分直線得斜率是否存在討論，結(jié)合圓的弦長公式即可得解；
（3）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)數(shù)量積得坐標(biāo)公式即可得解.
【小問1詳解】
將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，
則圓心，半徑；
【小問2詳解】
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
在圓中，
令，得，解得，
此時(shí)，與題意矛盾，
所以直線斜率存在，設(shè)斜率為，
則直線的方程為，即，
因?yàn)椋?br>所以圓心到直線的距離，
所以，解得，
所以直線的方程為，
綜上所述，直線的方程為；
【小問3詳解】
設(shè)，
聯(lián)立，消得，
則，
故，
所以.
19. 已知雙曲線過點(diǎn)，它的漸近線方程為.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)和是這雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在這雙曲線上，且，求的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線的方程為，；又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，將的坐標(biāo)代入可得；將代入可得答案；
（2）設(shè)，，根據(jù)題意有，又由雙曲線的幾何性質(zhì)知，結(jié)合平方差公式可得的值，又，結(jié)合勾股定理可得答案．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意，雙曲線的漸近線方程為，
可設(shè)雙曲線的方程為，；
雙曲線過點(diǎn)，將的坐標(biāo)代入可得，解得，
則所求的雙曲線方程為；
【小問2詳解】
解：設(shè)，，則，
又由雙曲線的幾何性質(zhì)知，
即有，
又，
所以是直角三角形，則．
20. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與它到點(diǎn)的距離之差為
（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）若曲線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在曲線上，且，求的面積；
（3）若過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓過原點(diǎn).
【答案】（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程.
（2）.
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線定義解題即可；
（2）由（1）得出，點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式和，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積公式即可求解；
（3）設(shè)過點(diǎn)直線方程為，，聯(lián)立直線與拋物線方程求出所以和，根據(jù)弦長公式求出圓的半徑，再根據(jù)原點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，即可證明.
【小問1詳解】
設(shè)，點(diǎn)到直線的距離與它到點(diǎn)的距離之差為，所以點(diǎn)到直線的距離與它到點(diǎn)的距離相等，由拋物線定義可得點(diǎn)的軌跡方程為，其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.
【小問2詳解】
由（1）可得，，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以設(shè)，
因?yàn)椋裕?br>化簡可得，又，所以.
【小問3詳解】
設(shè)過點(diǎn)直線方程為，聯(lián)立，化簡得，
,
設(shè)，所以，，
所以
所以以為直徑的圓圓心為，即，
半徑為
坐標(biāo)原點(diǎn)到圓心的距為離，
所以以為直徑的圓過原點(diǎn).
21. 已知橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.
（1）求橢圓的離心率的值.
（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，求直線的方程.
（3）已知平面內(nèi)有點(diǎn)，求過這個(gè)點(diǎn)且和橢圓相切的直線方程.
【答案】（1）
（2）
（3）和
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出，再根據(jù)橢圓的離心率公式即可得解；
（2）先求出橢圓的方程，再利用點(diǎn)差法求解即可；
（3）分直線斜率是否存在討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)即可得解.
【小問1詳解】
由題意可得橢圓得焦半徑，，故，
所以橢圓的離心率；
【小問2詳解】
由（1）得，
所以橢圓得方程為，
設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)為弦的中點(diǎn)，
所以，
由，
兩式相減得，
即，
所以，即，
所以直線的方程為，即；
【小問3詳解】
當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，
此時(shí)直線與橢圓相切，符合題意，
當(dāng)所求直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，消得，
則，解得，
所以所求直線的方程為，
綜上所述，過點(diǎn)且和橢圓相切的直線方程為和.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決中點(diǎn)弦的問題的兩種方法：
（1）韋達(dá)定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；
（2）點(diǎn)差法：設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解.
22. 已知橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.
求橢圓的方程；
直線：與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與軸和軸分別交于點(diǎn)，，當(dāng)面積取最小值時(shí)，求此時(shí)直線的方程.
【答案】；或.
【解析】
【分析】
根據(jù)橢圓的對稱性，必過，，必不過，進(jìn)而代入坐標(biāo)求出橢圓的方程；
將直線與橢圓方程聯(lián)立，寫出一元二次方程的形式，結(jié)合根的判別式和基本不等式，求出，，進(jìn)而求出直線的方程.
【詳解】解：根據(jù)橢圓的對稱性，必過，，必不過，
代入點(diǎn)得，，代入點(diǎn)得，.
橢圓的方程為：.
由，可得.
直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，可知，
整理得.
由條件可得，，，
，
，
.
，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，最小值為，
，
，又由，解得.
故此時(shí)直線的方程為或.

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