有的放矢
能力鞏固提升
1．小明說：“根據(jù)商不變性質(zhì)，因為13÷2＝6……1，所以130÷20＝6……1”。你同意小明的說法嗎？請寫出你的理由。
2．解釋說明商不變的規(guī)律。
（1）根據(jù)64÷32＝2，寫出一組商為2的除法算式（至少寫3道）。
（2）根據(jù)你寫的算式，說說它們的商為什么都是一樣的？
3．計算980÷50時，李林是這樣做的：
（1）他這樣做的依據(jù)是什么？
（2）請你幫李林驗算下，他的答案是否正確？如果不正確，幫他改正一下。
4．一個分數(shù)的分母不變，分子乘5，這個分數(shù)的大小有什么變化？如果分子不變，分母除以3呢？
5．我國是一個缺水的國家，人均淡水資源量約是2300立方米，世界人均淡水資源量約是9200立方米。世界人均淡水資源量約是我國人均淡水資源量的多少倍？
6．小紅算完這個題組后，有了如下想法，她的想法對嗎？寫出你的理由。
7．小馬虎在計算一個數(shù)除以6.85時，忘記寫除數(shù)的小數(shù)點，結(jié)果得到的商是0.096，寫出這個除法算式，并算一算正確的商是多少？
8．根據(jù)聰聰和明明的想法，完成“270÷45”的簡便計算。
270÷45 270÷45
9．下面是小強計算400÷25的過程：
400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16
請你解釋這樣計算的理由。
10．計算下面三組題，計算后觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？
540÷27＝ 144÷16＝ 180÷36＝
540÷9÷3＝ 144÷2÷8＝ 180÷6÷6＝
（1）請你用自己的語言描述你的發(fā)現(xiàn)。
（2）請你再寫出一組算式驗證你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。
11．一輛汽車每小時行50千米，行200千米需要多少小時？行400千米、600千米、800 千米呢？把下面的表格填寫完整。
你有什么發(fā)現(xiàn)？把你的發(fā)現(xiàn)寫在下面。
12．皮皮的外婆家養(yǎng)了很多豬。外婆問：“開始咱家養(yǎng)了6頭豬，一個月吃了540千克飼料。如今，咱家養(yǎng)了18頭豬，每個月大約要吃掉多少千克飼料？”你能想出幾種做法。
13．王叔叔帶900元買了25箱果汁，平均每箱果汁多少元？如果果汁的價錢降到原來的一半，王叔叔可以買多少箱？
14．我們已經(jīng)學習了積的變化規(guī)律。想一想：有沒有商的變化規(guī)律、和的變化規(guī)律、差的變化規(guī)律呢？請你選擇其中的一個，先提出猜想，再進行驗證。
我的猜想：
我的驗證：
我的結(jié)論：
15．在計算275÷25時，小通是這樣做的：
275÷25
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（1）你能解釋小通這樣做的道理嗎？請寫一寫。
（2）請你再舉一個例子，說明這個道理是成立的。
16．學校要買25個籃球，每個102元。李老師帶了3000元錢，夠嗎？同學們用不同的方法解決了這道題，誰的解答方法是不正確的？請說明錯誤的理由。
17．兩數(shù)相除，得到的商是3，余數(shù)為20，如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大8倍，商是多少？余數(shù)是多少？你能從中發(fā)現(xiàn)什么？
18．善于觀察分析，尋找規(guī)律，并根據(jù)數(shù)學基礎(chǔ)知識加以分析驗證。這是一個非常好的學習方法。下面是淘氣計算400÷25的過程，觀察思考。
400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16
①淘氣是怎樣算的？
②他這樣算的目的是什么？
③這樣算，正確嗎？為什么？
④你能利用這樣的思想方法計算下面各題嗎？
6000÷125＝
2700÷15＝
19．小剛在計算一道除法題時，把除數(shù)15錯看成了45，結(jié)果得到的商是24。
20．在探究0.4÷0.08如何計算時，兩位同學分別想出了下面方法。
你認為（ ）的方法不合理，把原因?qū)懺谙旅妗?br>綜合拔高拓展
21．本學期我們學習了“商的變化規(guī)律”，積累了探索規(guī)律的經(jīng)驗。如果被除數(shù)乘一個數(shù)，除數(shù)同時除以相同的數(shù)（0除外），則商會怎樣變化？請你探索規(guī)律，并完成下面的問題。
如果：被除數(shù)÷除數(shù)＝100
那么：（被除數(shù)×2）÷（除數(shù)÷2）＝（ ）
舉例：
我發(fā)現(xiàn)：
22．（1）計算下面兩組題目的得數(shù)。
（2）你有什么發(fā)現(xiàn)？用語言或數(shù)學符號概括你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。
（3）試著從數(shù)學的角度分析這個結(jié)論背后的原因。
23．（1）計算 SKIPIF 1 < 0 時，四年級的張博同學想用商不變的規(guī)律計算，請你幫他把計算過程補充完整： SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ÷（ ）＝（ ）。
（2）趙鵬也利用商不變的規(guī)律計算下面這道題：
SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
你認為趙鵬這樣做的結(jié)果對嗎？請說明道理。
24．說理題。
根據(jù)商不變規(guī)律，計算940÷40時可以想成94÷4。下面是小紅的計算過程，你認為小紅說得對嗎？請說明理由。
25．王麗在計算1.8除以一個兩位小數(shù)時，發(fā)現(xiàn)：如果被除數(shù)不變，僅把除數(shù)當成整數(shù)來算，結(jié)果是0.024，這個兩位小數(shù)是多少？
26．本學期我們通過觀察、猜想、驗證探究了商不變的規(guī)律。
（1）小林是一個愛思考的學生，他想：“既然除法有商不變的規(guī)律，那么減法會有類似的規(guī)律嗎？”請觀察下面這組算式：
我發(fā)現(xiàn)：（ ）。
（2）請你舉例驗證這個規(guī)律是否正確。（至少寫出三個算式）
答：通過探究，我認為這個規(guī)律是（ ）的。（填正確或不正確）
27．根據(jù)第一行題的商快速寫出下面兩行題的商，再回答問題。
28÷7＝4 81÷9＝9
280÷70＝ 810÷90＝
2800÷700＝ 8100÷900＝
（1）被除數(shù)擴大10倍，要使商不變，除數(shù)應(yīng)該（ ）。
（2）如果把除數(shù)擴大8倍，要使商不變，被除數(shù)應(yīng)該（ ）。
28．200÷50的商是多少？如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大到原來的10倍，商是多少？如果被除數(shù)和除數(shù)同時縮小到原來的 SKIPIF 1 < 0 呢？
29．觀察發(fā)現(xiàn)：
你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律：
。
30．已知A4紙每包約厚5厘米，可知規(guī)格是500張/包。算一算1億張這樣的A4紙摞起來大約有多厚？
31．有兩捆同樣規(guī)格的鐵絲，其中一捆鐵絲長5米，重250克。另一捆鐵絲重1000克，這捆鐵絲長多少米？
32．列豎式計算。
SKIPIF 1 < 0 亮亮的想法：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在亮亮的算法中，橫線上的這一步的依據(jù)是（ ），你的豎式算式和亮亮的算式的共同點是先把除數(shù)（ ），再計算。
33．除數(shù)是20，增加100以后，要使商不變，被除數(shù)應(yīng)該要擴大多少倍？
34．佳佳在計算 SKIPIF 1 < 0 時，采用了下面的簡便方法。他的做法對嗎？請說明理由。
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
35．兩個數(shù)相除，商是8，余數(shù)是5，如果被除數(shù)擴大到原來的3倍，除數(shù)也擴大到原來的3倍，那么商是多少？余數(shù)是多少？余數(shù)是原來的多少倍？（請舉例說明）
36．兩個數(shù)相除的商是15，如果被除數(shù)乘5，除數(shù)除以2，那么現(xiàn)在的商是多少？
37．小馬虎在計算一道除法題時，把被除數(shù)25.6寫成了256，結(jié)果比正確的商多1.8，正確的商是多少？
38．下面是妙妙計算 SKIPIF 1 < 0 的過程，觀察計算的每一步，你受到什么啟發(fā)？
SKIPIF 1 < 0
你能用這個方法計算下面各題嗎？
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
39．紅紅和亮亮誰說得對？你能驗證一下并說明理由嗎？
40．一個數(shù)除以500，利用商不變的規(guī)律，被除數(shù)和除數(shù)的末尾同時去掉兩個0，這時商不變，還是5，但余數(shù)減少了99。原來的被除數(shù)和余數(shù)分別是多少？
41．根據(jù)商不變性質(zhì)可知“9700÷300＝97÷3”，又因為“97÷3＝32……1”所以聰聰認為“9700÷300＝32……1”。你認同聰聰?shù)挠^點嗎？請在下面解釋你的具體想法。
42．探索與發(fā)現(xiàn)。奇思想既然乘法有分配律，是不是除法也有分配律呢？讓我們一起來探索吧。
①（A＋B）÷C與A÷C＋B÷C相等嗎，請舉個例子試試。
②生活中的例子：五（1）班有男生20人，女生24人，乘船游西湖，每條船乘坐4人，一共需要多少條船？ （用兩種方法計算，驗證是否相等）
③如果調(diào)換位置后，C÷（A＋B）與C÷A＋C÷B還相等嗎？請舉例驗證。
43．在計算“120÷15”時，為使計算簡便，小英同學是這樣做的：
（1）小英這樣做對嗎？為什么？
（2）如果用簡便方法計算“210÷42”，你打算怎樣計算？請你把計算過程寫出來。
44．如圖是小明計算820÷50時的過程與結(jié)果。他做得對嗎？為什么？請說明你的理由。
參考答案
1．不同意，理由見詳解
【分析】根據(jù)商不變性質(zhì)可知，被除數(shù)和除數(shù)同時乘10，商不變，仍是6，余數(shù)要乘10，不是1，而是10?？梢愿鶕?jù)被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)驗證小明的說法是否正確。
【詳解】20×6＋1
＝120＋1
＝121
20×6＋10
＝120＋10
＝120
則我不同意小明的說法，因為被除數(shù)和除數(shù)同時乘10，商不變，余數(shù)也要乘10，正確計算應(yīng)是：130÷20＝6……10。
【點睛】本題考查商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大相同倍數(shù)，商不變，余數(shù)也同時擴大相同倍數(shù)。
2．見詳解
【分析】被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），商不變。根據(jù)商的變化規(guī)律可解此題。
【詳解】（1）64÷32＝2，被除數(shù)，除數(shù)同時除以2，商不變：32÷16＝2
64÷32＝2，被除數(shù)，除數(shù)同時除以4，商不變：16÷8＝2
64÷32＝2，被除數(shù)，除數(shù)同時乘2，商不變：128÷64＝2（答案不唯一）
（2）根據(jù)商不變性質(zhì)可得，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），商不變。
【點睛】商的變化規(guī)律
（1）被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。
（2）除數(shù)不變，被除數(shù)乘或除以一個數(shù)（0除外），商就乘或除以這個數(shù)。
（2）被除數(shù)不變，除數(shù)乘或除以一個數(shù)（0除外），商反而除以或乘這個數(shù)。
3．（1）見詳解過程
（2）不正確；
改正如下：
【分析】（1）根據(jù)商不變的性質(zhì)，在除法算式中，被除數(shù)、除數(shù)同時乘或除以幾（0除外），商不變，所以980÷50可以看作98÷5，這樣被除數(shù)和除數(shù)同時除以10，商不變，運用的是商不變的性質(zhì)；
（2）在有余數(shù)除法中，當被除數(shù)、除數(shù)同時乘或除以幾（0除外），商不變，但余數(shù)也隨之乘或除以幾（0除外），商×除數(shù)＋余數(shù)＝被除數(shù)，由此判斷改正即可。
【詳解】（1）依據(jù)是：980÷50可以看作98÷5，這樣被除數(shù)和除數(shù)同時除以10，商不變，運用的是商不變的性質(zhì)。
（2）19×50＋3
＝950＋3
＝953
所以他的答案不正確。
改正如下：
【點睛】本題主要考查商不變的規(guī)律在有余數(shù)的除法算式中的靈活應(yīng)用。注意余數(shù)的變化。
4．見詳解
【分析】分數(shù)與除法的關(guān)系：分子相當于被除數(shù)，分母相當于除數(shù)，分數(shù)線相當于除號。
商的變化規(guī)律：除數(shù)不變，被除數(shù)乘幾，商就乘幾；被除數(shù)除以幾，商就除以幾；
被除數(shù)不變，除數(shù)乘幾，商反而除以幾；除數(shù)除以幾，商反而乘幾。
【詳解】（1）一個分數(shù)的分母不變，分子乘5，相當于除數(shù)不變，被除數(shù)乘5；
根據(jù)商的變化規(guī)律可知，商要乘5，即這個分數(shù)擴大到原來的5倍。
（2）如果分子不變，分母除以3，相當于被除數(shù)不變，除數(shù)除以3；
根據(jù)商的變化規(guī)律可知，商要乘3，即這個分數(shù)擴大到原來的3倍。
答：一個分數(shù)的分母不變，分子乘5，這個分數(shù)擴大到原來的5倍；如果分子不變，分母除以3，這個分數(shù)擴大到原來的3倍。
【點睛】根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系以及商的變化規(guī)律，得出分子或分母變化，分數(shù)大小相應(yīng)的變化。
5．4倍
【分析】求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍，用除法計算。據(jù)此可知，要求世界人均淡水資源量約是我國人均淡水資源量的多少倍，用世界人均淡水資源量除以我國人均淡水資源量，再根據(jù)商的變化規(guī)律解答即可。
【詳解】9200÷2300
＝（9200÷100）÷（2300÷100）
＝92÷23
＝4
答：世界人均淡水資源量約是我國人均淡水資源量的4倍。
【點睛】商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大（或縮?。┫嗤稊?shù)，商不變。
6．不對；理由見詳解
【分析】計算700÷40時，被除數(shù)和除數(shù)末尾同時劃掉1個0，商不變，所得余數(shù)末尾添上1個0后得到實際的余數(shù)?？梢愿鶕?jù)除法的驗算方法判斷小紅想法是否正確，也可以根據(jù)兩個算式的余數(shù)表示的意義判斷，還可以根據(jù)商的變化規(guī)律進行判斷。
【詳解】她的想法不對。
理由：第一，我通過驗算發(fā)現(xiàn)這樣的想法不對。70÷4＝17……2，17×4＋2＝70，計算正確。17×40＋2＝682，則700÷40的結(jié)果不是17……2。17×40＋20＝700，700÷40的結(jié)果是17……20。
第二，70÷4的余數(shù)表示2個一，700÷40的余數(shù)表示2個十，二者只有商相同，余數(shù)是不同的；
第三，根據(jù)商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），只是商不變，余數(shù)會變。則70÷4與700÷40的商相同，余數(shù)不同。
【點睛】本題考查被除數(shù)和除數(shù)末尾有0的除法計算，計算時，被除數(shù)和除數(shù)末尾同時劃掉幾個0后，商不變，應(yīng)在所得余數(shù)末尾添上相同個數(shù)的0，即可得到實際的余數(shù)。
7．9.6
【分析】商的變化規(guī)律：被除數(shù)不變，除數(shù)擴大多少倍，商反而縮小多少倍；6.85的小數(shù)點沒點，是擴大了100倍，此時的商相當于 除以了100，所以原來的商應(yīng)該是0.096×100。
【詳解】0.096×（685÷6.85）
＝0.096×100
＝9.6
答：正確的商是9.6。
【點睛】本題考查小數(shù)除法、商的變化規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是掌握商的變化規(guī)律。
8．見詳解
【分析】根據(jù)商的變化規(guī)律可知，聰聰?shù)南敕ㄊ潜怀龜?shù)和除數(shù)同時除以一個相同的數(shù)，則被除數(shù)和除數(shù)可以同時除以9，被除數(shù)變?yōu)?0，除數(shù)變?yōu)?，再進行計算。明明的想法是被除數(shù)和除數(shù)同時乘一個相同的數(shù)，則被除數(shù)和除數(shù)可以同時乘2，被除數(shù)變?yōu)?40，除數(shù)變?yōu)?0，再進行計算。
【詳解】270÷45＝（270÷9）÷（45÷9）＝30÷5＝6
270÷45＝（270×2）÷（45×2）＝540÷90＝6
【點睛】商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個不為0的數(shù)，商不變。
9．見詳解
【分析】被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的不為0的數(shù)，商不變；據(jù)此可知，400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16，小強在計算的過程中正確的應(yīng)用了商的變化規(guī)律。
【詳解】400÷25
＝（400×4）÷（25×4）
＝1600÷100
＝16
根據(jù)“被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的不為0的數(shù)，商不變”可知，小強這樣計算應(yīng)用了商不變的性質(zhì)，使計算簡便。
【點睛】正確理解商的變化規(guī)律，是解答此題的關(guān)鍵。
10．20；9；5
20；9；5
（1）被除數(shù)除以除數(shù)，當除數(shù)可以寫成兩個數(shù)相乘的形式時，可以用被除數(shù)連續(xù)除以這兩個數(shù)，商不變。
（2）360÷12＝30
360÷2÷6＝180÷6＝30
【分析】先根據(jù)整數(shù)除法計算出結(jié)果，再觀察規(guī)律。
（1）觀察上下兩個算式，發(fā)現(xiàn)被除數(shù)相同，除數(shù)27＝9×3；16＝2×8；36＝6×6，商也相同，由此得出規(guī)律。
（2）按規(guī)律寫出算式即可。（答案不唯一）
【詳解】540÷27＝20 144÷16＝9 180÷36＝5
540÷9÷3＝60÷3＝20 144÷2÷8＝72÷8＝9 180÷6÷6＝30÷6＝5
（1）被除數(shù)除以除數(shù)，當除數(shù)可以寫成兩個數(shù)相乘的形式時，可以用被除數(shù)連續(xù)除以這兩個數(shù)，商不變。
（2）360÷12＝30
360÷2÷6＝180÷6＝30
【點睛】一個數(shù)連續(xù)除以兩個數(shù)，可以除以這兩個數(shù)的積。
11．4；8；12；16
我的發(fā)現(xiàn)：除數(shù)不變，被除數(shù)擴大幾倍，商就擴大幾倍。
【分析】時間＝路程÷速度，據(jù)此分別求出所需時間，填入表中即可；規(guī)律就是：除數(shù)不變，被除數(shù)擴大幾倍，商就擴大幾倍。
【詳解】200÷50＝4（小時），400÷50＝8（小時），600÷50＝12（小時），800÷50＝16（小時）。填入表中如下：
我的發(fā)現(xiàn)：除數(shù)不變，被除數(shù)擴大幾倍，商就擴大幾倍。
【點睛】此題考查商的變化規(guī)律，以及速度、時間、路程的關(guān)系及應(yīng)用。
12．1620千克
【分析】第一種方法，先求出每頭豬一個月吃飼料的重量為540÷6千克，再用每頭豬一個月吃飼料的重量乘豬的數(shù)量解答，即18頭豬每個月大約要吃掉540÷6×18千克飼料。
第二種方法，一個月吃飼料的總重量÷豬的數(shù)量＝每頭豬一個月吃飼料的重量，因為每頭豬一個月吃飼料的重量是不變的，根據(jù)商的變化規(guī)律可知，豬的數(shù)量從6頭變成18頭，18÷6＝3，除數(shù)擴大了3倍，要使商不變，則被除數(shù)也擴大3倍，即18頭豬一個月吃飼料的總重量變成540×3千克。
【詳解】（1）540÷6×18
＝90×18
＝1620（千克）
（2）540×（18÷6）
＝540×3
＝1620（千克）
答：18頭豬每個月大約要吃掉1620千克飼料。
【點睛】第一種方法考查的歸一問題，先求單一量，再求總量；第二種方法考查商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大（或縮?。┫嗤稊?shù)，商不變。
13．36元；50箱
【分析】用王叔叔帶的錢除以箱數(shù)等于每箱果汁的價錢；總價不變，單價降到原來的一半，根據(jù)商的變化規(guī)律，箱數(shù)要乘2。
【詳解】900÷25＝36（元）
25×2＝50（箱）
答：平均每箱果汁36元，如果果汁的價錢降到原來的一半，王叔叔可以買50箱。
【點睛】熟練掌握總價、單價和數(shù)量及商的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵。
14．見詳解
【分析】可以選擇其中一個，先寫出規(guī)律，再用算式進行驗證。
【詳解】我的猜想：商的變化規(guī)律是，除數(shù)不變，被除數(shù)乘（或除）幾，商就乘（或除以）幾；被除數(shù)不變，除數(shù)乘（或除以）幾，商就除以（或乘）幾；被除數(shù)和除數(shù)同時乘（或除以）幾，商不變。
我的驗證：320÷16＝20
除數(shù)不變，被除數(shù)乘（或除）幾，商就乘（或除以）幾，640÷16＝40，160÷16＝10；
被除數(shù)不變，除數(shù)乘（或除以）幾，商就除以（或乘）幾，320÷32＝10，320÷8＝40；
被除數(shù)和除數(shù)同時乘（或除以）幾，商不變，640÷32＝20，160÷8＝20；
我的結(jié)論：猜想正確。
【點睛】本題主要考查學生對商的變化規(guī)律、和的變化規(guī)律、差的變化規(guī)律的掌握，選取其中一個規(guī)律進行猜想和驗證是解決本題的關(guān)鍵。
15．（1）被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以同一個數(shù)（0除外），商不變。
（2）見詳解
【分析】（1）商不變的規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以同一個數(shù)（0除外），商不變；
（2）按照商不變的規(guī)律寫出算式即可。
【詳解】（1）小通運用了除法中商不變的規(guī)律，將被除數(shù)和除數(shù)同時乘4，這樣將被除數(shù)變成幾千幾百數(shù)，除數(shù)變成整百數(shù)，商不變，計算更加方便。
（2）用豎式計算210÷42，如下：
210÷42
＝（210÷7） ÷ （42÷7）
＝30÷6
＝5
所以商不變的規(guī)律是成立的。
（答案不唯一）
【點睛】熟練掌握商不變的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵。
16．妙想；因為他沒有掌握乘法分配律的特點，脫式計算的第一步計算錯誤了。
【分析】單價×數(shù)量＝總價，總價÷單價＝數(shù)量，總價÷數(shù)量＝單價，此題中數(shù)量為25個，單價是102元，總價是3000元，依此計算并解答即可。
【詳解】奇思是根據(jù)“總價÷單價＝數(shù)量”計算的：
102≈100
3000÷100＝30
即3000÷102≈30
30個＞25個，夠，因此奇思的解答方法是正確的；
淘氣是根據(jù)“總價÷數(shù)量＝單價”計算的：
3000÷25
＝（3000×4）÷（25×4）
＝12000÷100
＝120（元）
120元＞102元，夠，因此淘氣的解答方法是正確的；
妙想是根據(jù)“單價×數(shù)量＝總價”計算的：
25×102
＝25×（100＋2）
＝25×100＋25×2
＝2500＋50
＝2550（元）
2550元＜3000元，夠，因此妙想的解答方法是不正確的；
答：妙想的解答方法是不正確的；因為他沒有掌握乘法分配律的特點，脫式計算的第一步計算錯誤了。
【點睛】此題考查的是經(jīng)濟問題的計算，應(yīng)熟練掌握乘法分配律的特點，商的變化規(guī)律，以及總價、單價、數(shù)量之間的關(guān)系。
17．3；160；商不變，余數(shù)與被除數(shù)、除數(shù)擴大的倍數(shù)相同
【解析】略
18．①淘氣是根據(jù)商不變的規(guī)律進行計算；
（2）為了簡便計算；
（3）正確，因為被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變；
（4）48；180
【分析】（1）淘氣根據(jù)商不變的規(guī)律，先算小括號里的，再算小括號外的；
（2）他這樣算的目的是為了簡便計算；
（3）這樣算正確，因為根據(jù)商不變的規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變；
（4）根據(jù)商不變的規(guī)律，6000÷125被除數(shù)和除數(shù)同時乘8，2700÷15被除數(shù)和除數(shù)同時除以3，即可解答。
【詳解】①淘氣是根據(jù)商不變的規(guī)律進行計算；
（2）為了簡便計算；
（3）正確，因為被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變；
（4）6000÷125＝（6000×8）÷（125×8）＝48000÷1000＝48
2700÷15＝（2700÷3）÷（15÷3）＝900÷5＝180
【點睛】本題主要考查商不變規(guī)律的靈活應(yīng)用，牢記規(guī)律，結(jié)合算式的特點，能正確進行解答。
19．72
【分析】由題意可知，把除數(shù)15錯看成了45，被除數(shù)不變，所以先用得到的商乘上除數(shù)45，求出被除數(shù)，再用被除數(shù)除以除數(shù)15即可。
【詳解】45×24÷15
＝1080÷15
＝72
答：正確的商是72。
【點睛】本題關(guān)鍵是理解題意，求出不變的被除數(shù)，再用被除數(shù)除以正確的除數(shù)即可。
20．亮亮，原因見詳解
【分析】剛剛的方法是把0.4和0.08都看成以米為單位的數(shù)據(jù)，根據(jù)長度單位之間的換算，把單位米換算成厘米，小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，按照整數(shù)的除法進行計算，方法正確；亮亮如果想要把被除數(shù)和除數(shù)同時轉(zhuǎn)化為整數(shù)進行計算，根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)需要同時乘100，才能保證結(jié)果正確，據(jù)此答題即可。
【詳解】由分析可知，亮亮的方法不合理，原因如下：
根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)需要同時乘100，正確的解法為：
0.4÷0.08
＝（0.4×100）÷（0.08×100）
＝40÷8
＝5
【點睛】掌握小數(shù)除法的計算方法是解題的關(guān)鍵。
21．400；舉例和發(fā)現(xiàn)均見詳解；（舉例答案不唯一）
【分析】在商不為0的除法算式里，如果被除數(shù)乘一個數(shù)，除數(shù)同時除以相同的數(shù)（0除外），則商就乘這兩個相同數(shù)的積，依此解答。
【詳解】2×2＝4，100×4＝400，
（被除數(shù)×2）÷（除數(shù)÷2）＝400
舉例：400÷4＝100
（400×2）÷（4÷2）＝800÷2＝400
我發(fā)現(xiàn)：在商不為0的除法算式里，被除數(shù)乘一個數(shù)，除數(shù)同時除以相同的數(shù)（0除外），則商要乘這兩個相同數(shù)的積。
【點睛】熟練掌握商的變化規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵。
22．（1）見詳解
（2）見詳解
（3）見詳解
【分析】（1）按照小數(shù)乘法、除法的計算法則，計算出各算式的得數(shù)。
（2）觀察左邊的乘法算式，發(fā)現(xiàn)其中一個因數(shù)不變；觀察右邊的除法算式，發(fā)現(xiàn)被除數(shù)不變；結(jié)合計算結(jié)果以及各算式的特點，找出題中的規(guī)律，從而概括出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。
（3）根據(jù)積的變化規(guī)律、商的變化規(guī)律來解釋。
【詳解】（1）
（2）因數(shù)2.5不變，另一個因數(shù)越大，積就越大；另一個因數(shù)越小，積就越小。
被除數(shù)15.2不變，除數(shù)越大，商越??；除數(shù)越小，商反而越大。
（3）兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴大到原來的幾倍，積也擴大到原來的幾倍；另一個因數(shù)縮小到原來的幾分之一，積也縮小到原來的幾分之一。
兩數(shù)相除，被除數(shù)一定時，除數(shù)越大，商就越??；除數(shù)縮小到原來的幾分之一，商反而擴大到原來的幾倍。
【點睛】通過計算，發(fā)現(xiàn)積的變化規(guī)律、商的變化規(guī)律，并總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵。
23．（1） SKIPIF 1 < 0 ，28；
（2）趙鵬這樣做的結(jié)果不對，因為在有余數(shù)的除法里，被除數(shù)和除數(shù)都乘相同的數(shù)或都除以相同的數(shù)（0除外），商不變，但余數(shù)也隨著乘或除以相同的數(shù)。
【分析】商的變化規(guī)律：被除數(shù)不變，除數(shù)乘幾或除以幾（0除外），商就除以幾或乘幾；除數(shù)不變，被除數(shù)乘幾或除以幾，商就乘幾或除以幾；被除數(shù)和除數(shù)都乘或者除以相同的數(shù)（0除外），商不變；有余數(shù)的除法里，被除數(shù)和除數(shù)都乘相同的數(shù)或都除以相同的數(shù)（0除外），商不變，但余數(shù)也隨著乘或除以相同的數(shù)，據(jù)此解答。
【詳解】（1）計算 SKIPIF 1 < 0 時，四年級的張博同學想用商不變的規(guī)律計算，請你幫他把計算過程補充完整： SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ÷ SKIPIF 1 < 0 ＝（28）。
（2）趙鵬也利用商不變的規(guī)律計算下面這道題：
SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
趙鵬這樣做的結(jié)果不對，因為在有余數(shù)的除法里，被除數(shù)和除數(shù)都乘相同的數(shù)或都除以相同的數(shù)（0除外），商不變，但余數(shù)也隨著乘或除以相同的數(shù)。
【點睛】本題考查商的變化規(guī)律，熟練掌握并靈活運用。
24．不對，理由見解析
【分析】在有余數(shù)的整數(shù)除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），商不變，但是余數(shù)也同時擴大或縮小相同的倍數(shù)（0除外）。
【詳解】計算錯誤，正確的是：
940÷40＝23……20
【點睛】此題需要學生熟練掌握兩位數(shù)除兩、三位數(shù)的豎式計算方法。
25．0.75
【詳解】1.8÷（0.024×100）
＝1.8÷2.4
＝0.75
答：這個兩位小數(shù)是0.75。
26．（1）被減數(shù)和減數(shù)同時加上或者減去相同的數(shù)，差不變
（2）40－20＝20
45－25＝20
50－30＝20
正確
【分析】根據(jù)被減數(shù)和減數(shù)同時加上或者減去相同的數(shù)，差不變。結(jié)合題意分析解答即可。
【詳解】（1）我發(fā)現(xiàn)：被減數(shù)和減數(shù)同時加上或者減去相同的數(shù)，差不變。
（2）舉例驗證：
40－20＝20
45－25＝20
50－30＝20（答案不唯一）
答：通過探究，我認為這個規(guī)律是正確的。
【點睛】本題考查了商的變化規(guī)律知識以及減法計算知識，旨在考查學生觀察算式之間的關(guān)系，總結(jié)規(guī)律，再依據(jù)規(guī)律解答。
27．4；9
4；9
（1）擴大10倍
（2）擴大8倍
【分析】商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大（或縮?。┫嗤稊?shù)，商不變。據(jù)此解答即可。
【詳解】28÷7＝4 81÷9＝9
280÷70＝（280÷10）÷（70÷10）＝28÷7＝4 810÷90＝（810÷10）÷（90÷10）＝81÷9＝9
2800÷700＝（2800÷100）÷（700÷100）＝28÷7＝4 8100÷900＝（8100÷100）÷（900÷100）＝81÷9＝9
（1）被除數(shù)擴大10倍，要使商不變，除數(shù)應(yīng)該擴大10倍。
（2）如果把除數(shù)擴大8倍，要使商不變，被除數(shù)應(yīng)該擴大8倍。
【點睛】熟練掌握商的變化規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。
28．4；4；4
【分析】根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），商不變。據(jù)此解答即可。
【詳解】200÷50＝4
（200×10）÷（50×10）
＝2000÷500
＝4
（200÷10）÷（50÷10）
＝20÷5
＝4
答：200÷50的商是4，如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大到原來的10倍，商還是4，如果被除數(shù)和除數(shù)同時縮小到原來的 SKIPIF 1 < 0 ，商還是4。
【點睛】本題考查商不變的性質(zhì)，熟記商不變的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。
29．2；2；2；2；在除法算式里，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個不為零的數(shù)，商的大小不變。
【分析】先分別計算出每個算式的商，然后再根據(jù)計算出結(jié)果進行觀察，再寫出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可。
【詳解】6÷3＝2
60÷30＝2
600÷300＝2
6000÷3000＝2
從上往下觀察：
從下往上觀察：
因此我發(fā)現(xiàn)：在除法算式里，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個不為零的數(shù)，商的大小不變。
【點睛】此題考查的是根據(jù)算式發(fā)現(xiàn)商的變化規(guī)律，應(yīng)熟練掌握。
30．1000000厘米
【分析】先求出1億張紙共多少包，再用包數(shù)乘每包厚度，求出1億張紙的總厚度。
【詳解】100000000÷500＝1000000÷5＝200000（包）
200000×5＝1000000（厘米）
答：1億張這樣的A4紙摞起來大約有1000000厘米厚。
【點睛】熟練掌握商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大（或縮?。┫嗤稊?shù)，商不變。
31．20米
【分析】用1000除以250求出1000克里面有幾個250克，再乘5即可解答。
【詳解】1000÷250×5
＝4×5
＝20（米）
答：這捆鐵絲長20米。
【點睛】本題還可以用250除以5求出1米重多少克，再用1000除以1米重多少克即可解答。
32．豎式見詳解；商的變化規(guī)律；變成整數(shù)
【分析】除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法：先把除數(shù)的小數(shù)點去掉使它變成整數(shù)，看除數(shù)原來有幾位小數(shù)，就把被除數(shù)小數(shù)點向右移動相同的幾位（位數(shù)不夠時補0），按照除數(shù)是整數(shù)的除法進行計算。根據(jù)商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的不為0的數(shù)，商不變；通過比較豎式算式和亮亮的算式，從而找出它們的共同點，那就是都要先把除數(shù)變?yōu)檎麛?shù)以后，再去計算。
【詳解】 SKIPIF 1 < 0
亮亮的想法：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在亮亮的算法中，橫線上的這一步的依據(jù)是商的變化規(guī)律，你的豎式算式和亮亮的算式的共同點是先把除數(shù)變成整數(shù)，再計算。
【點睛】此題的解題關(guān)鍵是通過列豎式和商的變化規(guī)律，讓學生更深刻的理解小數(shù)除法的算理。
33．6倍
【分析】在除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），商不變；據(jù)此解答即可．
【詳解】除數(shù)是20，增加100，是120，擴大了120÷20=6倍，要使商不變，被除數(shù)也要擴大6倍．
答：被除數(shù)應(yīng)該要擴大6倍．
34．對，理由見詳解
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 的計算過程可知，被除數(shù)和除數(shù)同時除以9，將算式 SKIPIF 1 < 0 簡化為 SKIPIF 1 < 0 ，再進行計算。這應(yīng)是運用了商的變化規(guī)律。
【詳解】佳佳的做法對，因為被除數(shù)和除數(shù)除以一個不為0的數(shù)，商不變。
【點睛】本題考查商的變化規(guī)律的靈活運用，商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個不為0的數(shù)，商不變。
35．商為8；余數(shù)為15；余數(shù)是原來的3倍。
【分析】根據(jù)商不變規(guī)律可知：如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大相同的倍數(shù)（0除外），則商不變，余數(shù)相應(yīng)的也擴大相同的倍數(shù)，據(jù)此解答即可。
【詳解】舉例：
53÷6＝8……5
53×3＝159
6×3＝18
159÷18＝8……15
15÷5＝3
答：商是8，余數(shù)是15，余數(shù)是原來的3倍。
【點睛】此題考查了商不變的規(guī)律，關(guān)鍵是明確商和余數(shù)的變化規(guī)律即可。
36．150
【分析】根據(jù)商的變化規(guī)律可知，除數(shù)不變，被除數(shù)乘5，商乘5。被除數(shù)不變，除數(shù)除以2，商乘2。則如果被除數(shù)乘5，除數(shù)除以2，商應(yīng)乘5，再乘2。據(jù)此解答。
【詳解】15×5×2＝150
【點睛】熟練掌握商的變化規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。
37．0.2
【分析】由于除數(shù)不變，被除數(shù)擴大10倍，商就擴大10倍，可得多的1.8是正確商的10－1倍，據(jù)此解答。
【詳解】256÷25.6＝10
1.8÷（10－1）
＝1.8÷9
＝0.2
答：正確的商是0.2.
【點睛】解答本題的明確的是除數(shù)不變，被除數(shù)擴大幾倍，商就擴大幾倍。
38．除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)同時乘相同的數(shù)（0除外），商不變。
22；40
【分析】根據(jù)算式400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16可以看出，是利用除法中被除數(shù)和除數(shù)同時乘一個不為0的數(shù)，商不變的規(guī)律，使算式的被除數(shù)和除數(shù)變成容易計算的成百成千的數(shù)。據(jù)此進行解答。
【詳解】受到的啟發(fā)：除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)同時乘相同的數(shù)（0除外），商不變。
550÷25
＝（550×4）÷（25×4）
＝2200÷100
＝22
1000÷25
＝（1000×4）÷（25×4）
＝4000÷100
＝40
【點睛】本題考查了學生對商不變的規(guī)律的掌握與運用。
39．亮亮；理由見解析
【分析】余數(shù)中的2在十位上，十位的2表示2個十，所以余數(shù)應(yīng)是20，驗證時先求出商與除數(shù)的積，再加余數(shù)。
【詳解】740÷60＝12……20
60×12＋20
＝720＋20
＝740
答：亮亮說得對。
【點睛】在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)。
40．原來的被除數(shù)為2600，余數(shù)為100。
【分析】根據(jù)商不變規(guī)律：如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大到原數(shù)的幾倍或者縮小到原數(shù)的幾分之幾，則商不變，余數(shù)也要相應(yīng)的同時擴大到原數(shù)的幾倍或者縮小到原數(shù)的幾分之幾，據(jù)此解答即可。
【詳解】根據(jù)分析可得，99÷99＝1；
則現(xiàn)在的余數(shù)為1，原來的余數(shù)為100；
被除數(shù)：500×5＋100
＝2500＋100
＝2600
答：原來的被除數(shù)為2600，余數(shù)為100。
【點睛】此題考查了商不變的規(guī)律，關(guān)鍵是明確：被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)。
41．不認同；見詳解
【分析】被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變，余數(shù)也乘或除以相同的數(shù)。
【詳解】9700÷300＝97÷3，被除數(shù)和除數(shù)同時乘100，商不變。9700÷300＝97÷3符合商不變的規(guī)律；
97÷3＝32……1，被除數(shù)和除數(shù)同時乘100，余數(shù)也要乘100，9700÷300＝32……100。
所以我不認同聰聰?shù)挠^點。
【點睛】熟練掌握商不變的規(guī)律是解題關(guān)鍵。運用商不變規(guī)律進行簡單運算時，尤其要注意余數(shù)的變化。
42．①相等，例子見詳解
②11條
③不相等，例子見詳解
【分析】①令A(yù)＝4，B＝6，C＝2，代入數(shù)值計算，比較（A＋B）÷C與A÷C＋B÷C是否相等。
②第一種方法：先求出總?cè)藬?shù)24＋20＝44（人），每條船乘坐4人，用總?cè)藬?shù)除以每條船乘坐的人數(shù)，求出共需要多少條船；第二種方法，分別計算出男生、女生各需要的船的條數(shù)，再相加。
③令C＝72，A＝18，B＝6，代入數(shù)值計算，比較C÷（A＋B）與C÷A＋C÷B是否相等。
【詳解】①令A(yù)＝4，B＝6，C＝2
（A＋B）÷C
＝（4＋6）÷2
＝10÷2
＝5
A÷C＋B÷C
＝4÷2＋6÷2
＝2＋3
＝5
所以（A＋B）÷C與A÷C＋B÷C相等。
②第一種方法：
（24＋20）÷4
＝44÷4
＝11（條）
第二種方法：
24÷4＋20÷4
＝6＋5
＝11（條）
答：一共需要11條船。
③令C＝72，A＝18，B＝6
C÷（A＋B）
＝72÷（18＋6）
＝72÷24
＝3
C÷A＋C÷B
＝72÷18＋72÷6
＝4＋12
＝16
所以C÷（A＋B）與C÷A＋C÷B不相等。
【點睛】本題屬于探索類題目，可以發(fā)現(xiàn)：除以同一個數(shù)可以用分配律，被除數(shù)是同一個數(shù)則不能用分配律，除法的分配律不具有普遍適用性。
43．（1）對；因為她是根據(jù)商不變的規(guī)律進行解答的，商不變的規(guī)律是在商不為0的除法算式里，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個不為0的數(shù)，商的大小不變。
（2）210÷42＝（210÷7）÷（42÷7）＝30÷6＝5
【分析】在計算三位數(shù)除以兩位數(shù)時，為了計算簡便，可使用商不變的規(guī)律進行計算，在商不為0的除法算式里，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個不為0的數(shù)，商的大小不變；依此進行解答即可。
【詳解】（1）小英這樣做對，因為她是根據(jù)商不變的規(guī)律進行解答的，商不變的規(guī)律是在商不為0的除法算式里，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個不為0的數(shù)，商的大小不變。
（2）210÷42
＝（210÷7）÷（42÷7）
＝30÷6
＝5
【點睛】熟練掌握商不變的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵。
44．錯誤；理由見解析
【分析】根據(jù)在有余數(shù)的除法中，如果被除數(shù)和除數(shù)都乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），那么余數(shù)也隨之乘或除以這個數(shù)；據(jù)此解答即可。
【詳解】根據(jù)商不變的規(guī)律，計算被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0的除法會更簡便，把被除數(shù)和除數(shù)末尾都去掉相同個數(shù)的0，商不變，但余數(shù)會發(fā)生變化，去掉幾個0，余數(shù)末尾就要添上幾個0。由此可知，原式中給出的820÷50＝16……2計算錯誤，正確的應(yīng)該在余數(shù)后面添上被除數(shù)和除數(shù)同時去掉的1個0，即820÷50＝16……20。
【點睛】本題主要考查商不變的規(guī)律在有余數(shù)除法中的靈活應(yīng)用。
在除法中，若除數(shù)不變，被除數(shù)乘（或除以）幾，商也乘（或除以）兒；若被除數(shù)不變，除數(shù)來（或除以）幾，商反而除以（或乘）幾；被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。
這些都是商的變化規(guī)律，運用商的變化規(guī)律可以判斷商的變化情況，也可以運用商不變的性質(zhì)使一些除法計算簡便。
行駛的路程/千米
200
400
600
800
行駛的時間/時
奇思：
3000 SKIPIF 1 < 0 102 SKIPIF 1 < 0 30
↓
100
30＞25
答：李老師的錢夠。
淘氣：
3000 SKIPIF 1 < 0 25
＝（3000 SKIPIF 1 < 0 4） SKIPIF 1 < 0 （25 SKIPIF 1 < 0 4）
＝12000 SKIPIF 1 < 0 100
＝120（元）
120＞102
答：李老師的錢夠。
妙想：
25 SKIPIF 1 < 0 102
＝25 SKIPIF 1 < 0 100 SKIPIF 1 < 0 2
＝2500 SKIPIF 1 < 0 2
＝5000（元）
3000＜5000
答：李老師的錢不夠。
20－10＝10
25－15＝10
30－20＝10
行駛的路程/千米
200
400
600
800
行駛的時間/時
4
8
12
16

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