妙招演練
1．如下圖，用同樣的小棒擺圖形，照這樣擺下去，擺第6幅圖需要（ ）根小棒．
A．45B．54C．63D．108
2．慶?！傲弧保秤變簣@舉行用火柴棒擺“金魚”的比賽，其中擺的1條、2條、3條“金魚”如下圖所示：
按照上面的規(guī)律，擺100條“金魚”需用火柴棒的根數為（ ）．
A．800B．608C．704D．602
3．觀察下圖，尋找規(guī)律，問號處應填入（ ）。

A．B．C．
4．按下面點陣中的規(guī)律繼續(xù)畫，第11個點陣應該畫（ ）個點。
A．64B．81C．121
5．小聰用火柴按照下圖的方法擺三角形．照這樣擺19個三角形共需要（ ）根火柴．
……
A．37B．38C．39D．57
6．一根繩子，沿中間對折，再沿對折后的中間對折，這樣連續(xù)沿中間對折5次，用剪刀在5次對折后的中間將繩子全部剪斷，此時細繩被剪（ ）
A．35段B．34段C．33段D．32段
7．觀察下邊圖形，按此規(guī)律，第⑩個圖中○的個數有（ ）個。
A．55B．40C．36D．10
8．如下圖所示，擺第7個圖形需要( )根小棒．
A．12B．15C．17D．21
9．按如圖所示的方式排列點陣，則第六個點陣中有（ ）個點。
A．36B．25C．16
10．找規(guī)律，在 里應填的圖形是（ ）。
A．B．C．D．
11．如圖是由火柴搭成的集合圖案，則第8個圖案中（ ）根火柴棒。
A．90B．110C．180D．144
12．一張正方形的桌子可以坐4人，同學們吃飯的時候把桌子拼在—起，如下圖，那么8張桌子可以坐多少人？（ ）
A．23B．18C．25D．24
13．某餐廳里，一張桌子可坐6人，如下圖，按照上面的規(guī)律， SKIPIF 1 < 0 張桌子能坐（ ）人。
……
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．紅紅按照一定的規(guī)律用小棒擺出了下面的4幅圖。
如果按照這個規(guī)律維續(xù)擺，第五幅圖要用（ ）根小棒。
A．23B．31C．35D．45
15．觀察下圖，尋找規(guī)律，問號處應填入（ ）。
A．B．C．D．
16．用小棒搭房子，搭一間用5根，搭三間用13根，如圖，照這樣子搭504間房子要用（ ）根小棒。
A．2015B．2016C．2017D．2018
17．節(jié)日的公園掛起了一盞盞彩燈，彩燈按黃、紅、綠、黃、紅、綠……的順序有規(guī)律地連接在一起，那么第2020盞彩燈的顏色是（ ）。
A．紅色B．黃色C．綠色
18．觀察下面的點陣圖形，根據圓點的變化，探究其規(guī)律，則第8個圖形中圓點的個數為（ ）。
A．25B．26C．27D．29
19．如左圖，照樣子擺三角形，擺12個三角形一共需要（ ）根小棒。
A．24B．25C．36
20．如圖，○、△、□各表示一個兩位數中的其中一個數字，觀察下面圖與數的關系，第4圖形表示的兩位數是（ ）。
A．54B．43C．34
21．下面的圖案是有規(guī)律排列的。第1個圖案上有5朵，第2個圖案上有8朵，第3個圖案上有11朵……
照這樣的規(guī)律，第4個圖案上有( )朵，第 SKIPIF 1 < 0 個圖案上有( )朵。
22．按圖形排列規(guī)律填表
(1) (2) (3) (4)
23．觀察圖形變化規(guī)律：……則第50個圖形是( )。
24．如下圖，擺一個六邊形要6根小棒，擺2個六邊形要11根小棒，擺3個六邊形要16根小棒……照這樣擺下去，擺5個六邊形需要用( )根小棒，擺n個六邊形需要用( )根小棒。
25．按規(guī)律畫圖．
________
________
26．按照下圖中四幅圖的排列規(guī)律畫下去，第（7）幅圖中有( )○，有( )個 。
27．如下圖所示，擺第一個圖形需要3根小棒，擺第二個圖形需要5根小棒……按照這樣的規(guī)律擺下去，擺第十個圖形需要__________根小棒.
28．觀察下面圖形的規(guī)律，其中第1個圖形由4個小正方形組成，第2個圖形由7個小正方形組成，第3個圖形由10個小正方形組成，……，按此規(guī)律排列下去，則第20個圖形由( )個小正方形組成。
29．用小棒按照如下的方式擺圖形，擺一個六邊形需要6根小棒，擺4個需要________根小棒，擺n個需要________根小棒。
30．如圖，用同樣規(guī)格的黑白兩種正方形瓷磚鋪設正方形地面，觀察圖形并猜想填空：當黑色瓷磚為20塊時，白色瓷磚為_____塊；當白色瓷磚為n2（n為正整數）塊時，黑色瓷磚為_____塊。
31．觀察下面的點陣，找規(guī)律填空．

“？”號點陣中共有( )個小圓點．
32．每三點不在同一直線上，如圖，3個點可以連3條線段，4個點可以連6條線段，則5個點可以連成( )條線段，如果n大于1，那么(n+1)個點連成的線段條數比n個點連成的線段條數多( )．
33．擺一個正方形用4根小棒，并排擺2個正方形用7根小棒，并排擺3個正方形用________根小棒，并排擺n個正方形用________根小棒．
34．自主探究．（根據探究過程填出答案)
準備：
①每個都是棱長為1厘米的正方體．
②一個挨著一個排成一排，例如:
你要研究的問題是：正方體個數與拼成的長方體表面積之間的關系．
探究過程:
根據你的發(fā)現填空：
當正方體的個數為10時，所拼成的長方體的表面積是( )平方厘米．
當正方體的個數為a時，所拼成的長方體的表面積是( )平方厘米．
當拼成的長方體的表面積是202平方厘米時，正方體的個數是( )個．
35．……照這樣把邊長1cm的正方形拼成長方形，用5個這樣的正方形拼成的長方形周長是( )厘米；用n個這樣的正方形拼成的長方形的周長是( )厘米．
36．觀察下面,想一想．
(1)第7幅圖有( )個棋子,第15幅圖有( )個棋子．
(2)第n幅圖有( )個棋子．
37．棱長為1厘米的正方體，如圖一層一層堆放起來，請根據規(guī)律填寫下表．
38．用小棒按照如下方式擺圖形。
（1）擺1個八邊形需要8根小棒，擺2個八邊形需要_____根小棒，擺3個八邊形需要_____根小棒，擺30個八邊形需要_____根小棒。
（2）如果想擺n個八邊形，需要_____根小棒。
（3）有2010根小棒，可以擺_____個這樣的八邊形。
39．根據下圖的規(guī)律推斷，第19個圖形中，紅色小三角形的面積之和占第19個圖形的面積的( )%．
40．已知△、□各代表一個數，△＋△＋□=25，□=△＋△＋△，△=________、□=________．
41．三角形的內角和是180o，那么，
（1）任意四邊形的內角和是________°，任意五邊形的內角和是________°；
（2）進一步，如果把多邊形的邊數記作n，那么，n 邊形的內角和的計算公式是___________________。
（3）一個考古學家發(fā)現了一個正多邊形的殘片，已知，∠EAB＝∠ABF＝165o，那么這個正多邊形一共有多少條邊？
42．判斷推理．
三角形個數 1個 2個 3個 4個 …
小棒的根數 3根 5根 7根 9根 …
觀察圖形和表格，如果要擺100個三角形，需要多少根小棒？要擺n個三角形，需要多少根小棒？
43．A4紙張長20cm，粘貼處寬2cm.
（1）問10張這樣貼在一起總長是多少？
（2）若總長為362cm，則貼了幾張紙？
44．如圖①、②、③、④四個圖形都是平面圖形，觀察圖②和表中對應數值，探究計數的方法并解答下面的問題．
（1）請完成下列表格：
（2）根據表中的數值，寫出平面圖的 m、n、f 之間的關系；
（3）如果一個平面圖形有 20 個頂點和 11 個區(qū)域，求這個平面圖形的邊數．
45．（福州）用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形，按如圖的方式拼圖，請根據圖中的信息完成下列的問題．
（1）圖②中用了 塊黑色正方形，圖③中用了 塊黑色正方形；
（2）按如圖的規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那第n個圖形要用 塊黑色正方形；
（3）如果有足夠多的白色正方形，能不能恰好用完90塊黑色正方形，拼出具有以上規(guī)律的圖形？如果可以請明它是第幾個圖形；如果不能，說明你的理由．
46．將指定的數填入下表中，要求每個格子里一個數字，表中的每橫行從左到右數字由小到大，每豎列從上到下數字也由小到大．
（1）將1﹣4的自然數填入表①中，共有多少種方法？
（2）將1﹣6的自然數填入表②中，共有多少種方法？
（3）將1﹣9的自然數填入表③中，共有多少種方法．
47．觀察與發(fā)現．
圖①、②、③、④都稱作平面圖．
(1)數一數每個圖各有多少個頂點,多少條邊,這些邊圍出了多少個區(qū)域,將結果填入表中．
(2)觀察表中數據,推斷一個平面圖的頂點數、邊數、區(qū)域數之間的關系．
(3)現已知某一平面圖有999個頂點和999個區(qū)域,試根據(2)中推斷出的關系,確定這個圖有多少條邊．
48．小明用小棒搭房子，搭2間用9根，搭3間用13根，照這樣計算，如果搭10間房子，需要用多少根小棒？
49．探究與歸納．
通過閱讀所得的啟示來回答問題（閱讀中的結論可直接用）．
閱讀：在直線是有n個不同點，則此直線上共有多少條線段？
分析：通過畫圖嘗試，得表格：
問題：（1）某校六年級共有8個班進行辯論賽，規(guī)定進行單循環(huán)（每兩班之間賽一場），那么該校六年級的辯論賽共有多少場次？
（2）有一輛客車，往返兩地，中途停考三個車站，問有多少種不同的票價？要準備多少種車票？
50．觀察下列圖案：
第10個圖含多少個黑點？
51．根據下列的圖和字母的關系，將ad的圖補上．
52．（廣州）如圖A點有一枚棋子，甲先乙后輪流走子，每次必須向上或向右走1步或2步，（走兩步時可以拐彎），最終將棋子走到B點者獲勝，甲怎樣走才能必勝？
53．（武漢）在下面由火柴棒拼成的等式中，你能移動一根火柴棒，使等式仍成立嗎？
請寫出移動后仍成立的兩個等式：
①
② ．
54．平面上有100條直線，這些直線最少有多少個交點？最多有多少個交點？
55．有一根彎曲的鐵絲如下圖1．按下面的虛線剪切，把鐵絲分成幾段．
（1）在括號里填寫適當的數．
圖1 （4）段 段 段
（2）剪切5次，把鐵絲分成幾段？剪切10次呢？
（3）猜想：按照上面的方法剪切多少次時，鐵絲分成70段？
56．下圖中，每一個正方形的邊長均為1，根據分數的乘法的意義以及相應的圖形，回答以下問題．
(1)① 1×＝1－←→
② 2×＝2－←→
③ 3×＝3－←→
④ 4×＝4－←→
寫出第5個等式，并畫出相應的圖形．
⑤____________________←→
(2)猜想并寫出與第100個圖形相對應的等式．
57．（儀征市）請你根據前三個圖的變化規(guī)律把第四幅圖的陰影部分畫出來．
58．足球是用黑、白兩種顏色的皮縫制而成的，黑皮是正五邊形，白皮是正六邊形，其中黑皮有12塊，白皮有多少塊？
59．觀察如圖，要想得到200個直角三角形，應畫多少個正方形？
……
60．仔細觀察下面的點子圖，根據每個圖中點子的排列規(guī)律，想一想，可以怎樣計算每個圖中點子的總個數？請你把下表填寫完整。
觀察表中數據，如果用A表示第n個圖形中點子的總個數，A和n之間的關系可以表示成A＝_________。
妙招總結
探索性問題是指給出一列數、一列等式，一列圖形的前幾項，然后讓我們通過歸納加工、猜想，推出一般的結論;或者是給出一個圖形，要求我們探索圖形成立的條件、變化圖形的不變規(guī)律。
這類問題需要學生通過對題目進行深刻理解，然后進行合情推理，就其本
質進行加工、豬想、類比和聯(lián)想，做出合理判斷和推理。解題時要關善于從所擔供的數學或圖形信息中,尋找其共同之處，存在于俱全中的共性，就是“特殊到一般在到特殊”的規(guī)律。其中蘊含著的共同模式，體現了總結歸納的數學思想，這也正是人類認識事物的一般過程，解題過程中通過觀察，分析、歸納并發(fā)現其中的規(guī)律，并應用發(fā)現的規(guī)律解決問題是學生應該具備的基本能力，通過觀察圖形的變化類問題，培養(yǎng)學生的觀察能力和總結能力。
數與形結合的規(guī)律，解答本類題型的關鍵是明確題意，發(fā)現題目中圖形的變化規(guī)律，利用數形結合的思想解答，考查學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力，對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解，結合直觀圖形，歸納數的規(guī)律，找到數列中的遞增規(guī)律。感受雖然圖形和數的形式不同，但可以表示相同的規(guī)律，建立“數”與“形”之間的聯(lián)系，根據題干中已知的圖形的排列特征以及數量關系，推理得出一般結論，再根據推理得出一般的結論進行解答。
圖號
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
n
小正方形總數
1
4
9
白色小正方形數
0
1
4
層數
1
2
3
…
6
表面積/cm2
( )
( )
( )
( )
圖
①
②
③
④
頂點數（m）
4
7
8
10
邊數（n）
6
9
區(qū)域數（f）
3
3
5
6
圖
頂點數
邊數
區(qū)域數
①
4
6
3
②
③
④
圖形
直線上點的個數
共有線段條數
兩者關系
2
1
1=0+1
3
3
3=0+1+2
4
6
6=0+1+2+3+
5
10
10=0+1+2+3+4
……
……
……
……
n
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 =0+1+2+…＋(n-1)
序號
1
2
3
4
5
…
表示點子數的算式
1
1＋4
…
點子的總個數
1
…
參考答案：
1．C
【詳解】略
2．D
【詳解】本題考查的是找規(guī)律的問題．通過對本題的觀察可以發(fā)現，擺一條小金魚需要8根火柴棒，擺2條小金魚需要14=8+6根火柴棒，擺3條小金魚需要20=8+6+6根火柴棒…依次類推，詳細過程如下：
通過觀察本題擺小金魚是有規(guī)律的，擺小金魚和需要的火柴棒如下：
1條小金魚——8條火柴棒
2條小金魚——8+6=8+6×1=14條火柴棒
3條小金魚——8+6+6=8+6×2=20條火柴棒
4條小金魚——8+6+6+6=8+6×3=26條火柴棒
5條小金魚——8+6+6+6+6=8+6×4=32條火柴棒
…… ……
100條小金魚——8+6+6+6+6…6=8+6×99=602條火柴棒
3．A
【分析】觀察九宮格可知，從左到右橫向觀察圖形，小黑點逆時針旋轉一格且位置是由里到外矩形變化的，據此判斷即可。
【詳解】由分析可知：
所以問號處小黑點應該位于左下角且在圓圈的外面。
故答案為：A
【點睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，發(fā)現規(guī)律、利用規(guī)律是解題的關鍵。
4．C
【詳解】略
5．C
【詳解】略
6．C
【分析】此題主要考查二個內容，一是對折后的段數問題，即對折幾次，段數就是2的幾次方；二是剪的次數與段數問題，剪開的各段的長度不同．
【詳解】根據題意分析可得：連續(xù)對折5次后，共25段即32段；
故剪刀沿對折5次后的繩子的中間將繩子剪斷，有兩端的兩個線段長度是，
其余的長度是
∵×2+×31=1，
∴共有31+2=33段．
故選C．
7．A
【分析】第幾個圖中就有幾層，且每層圓的個數與層數相同，據此把各層圓的個數進行求和解答。
【詳解】圖①中圓的個數：1＝1
圖②中圓的個數：3＝1＋2
圖③中圓的個數：6＝1＋2＋3
圖④中圓的個數：10＝1＋2＋3＋4
……
圖⑩中圓的個數：55＝1＋2＋3＋4＋……＋10
故答案為：A
【點睛】本題考查運用數形結合的方法探究數學規(guī)律，注意要把圖形和數一一對應。
8．B
【詳解】略
9．A
【分析】第1個點陣有1個點，第2個點陣有1＋3個點，第3個點陣有1＋3＋5個點，第n個點陣有n個連續(xù)的奇數相加，據此解答。
【詳解】第6個點陣有點的個數是：1＋3＋5＋7＋9＋11＝36（個）
故答案為：A
【點睛】此題關鍵是找出每個點陣中點的個數計算的方法，并由此解答。
10．C
【詳解】略
11．D
【詳解】根據題意：n＝1時，根數為4＝2×1×（1＋1）
n＝2時，根數為12＝2×2×（2＋1）
n＝3時，根數為24＝2×3×（3＋1）
那么n＝n時，根數為2×n×（n＋1）
n＝8時，根數為2×8×（8＋1）＝144（根）
故答案為：D
此題需由n＝1，2，3，4……，所對應的根數，進行歸納找出其中的規(guī)律方可得到答案。
12．B
【分析】根據題意可知，一張正方形的桌子可以坐4人，每增加1張桌子，就多坐2人，增加7張桌子，就增加2×7＝14人，再加上原來的4個人即可得到答案。
【詳解】2×7＋4
＝14＋4
＝18（人）
故答案為：B
【點睛】本題的關鍵是找出增加的桌子與增加的人數之間的關系。
13．C
【分析】根據桌子數×4＋2＝能坐的人數，進行分析。
【詳解】n×4＋2＝4n＋2
故答案為：C
【點睛】本題考查了數與形，數和圖形的規(guī)律是相對應的，圖形的排列有什么變化規(guī)律，數的排列就有相應的變化規(guī)律。
14．B
【分析】通過樹狀圖觀察排列規(guī)律可得：第n幅圖需要： SKIPIF 1 < 0 根小棒，根據規(guī)律做題即可。
【詳解】第一幅圖： SKIPIF 1 < 0 （根）
第二幅圖： SKIPIF 1 < 0 （根）
第三幅圖： SKIPIF 1 < 0 （根）
第四幅圖： SKIPIF 1 < 0 （根）
第五幅圖： SKIPIF 1 < 0 （根）
故答案為：B
【點睛】本題主要考查數與形結合的規(guī)律，關鍵從所給的圖形中發(fā)現規(guī)律，并運用規(guī)律做題。
15．A
【分析】觀察圖形，看前面兩列，每一列的點都在同一個圓圈里，按順時針轉動。
【詳解】所以第三列的最后一個圖跟第三列第一、第二個圖一樣，點在圓外按順時針轉動。
故答案為：A
【點睛】觀察圖形，找出規(guī)律，規(guī)律是每一列的點都在按順時針轉動。
16．C
【分析】搭1間房子用5根小棒，即4×1＋1；
搭2間房子用9根小棒，即4×2＋1；
搭3間房子用13根小棒，即4×3＋1；
……
搭504間房子用的小棒數為：4×504＋1。
【詳解】4×504＋1
＝2016＋1
＝2017（根）
故答案為：C
【點睛】本題主要考查數與形結合的規(guī)律，找出規(guī)律是解題的關鍵。
17．B
【分析】首先根據已知彩燈排列順序得出彩燈排列的一個周期是3盞，再用2020除以3即可得出商和余數，商是排列的周期數，余數是不夠排列一個周期的彩燈的個數，最后按彩燈的排列順序即可解答。
【詳解】彩燈是按黃、紅、綠、黃、紅、綠……的順序有規(guī)律地連接在一起，即3盞彩燈是一個周期，2020÷3＝673（個）……1（盞），剩余1盞是第674個周期的第1盞，即為第2020盞彩燈，根據彩燈排列順序第2020盞應為黃色彩燈。
故答案為：B
【點睛】此題考查的是規(guī)律問題，解題時注意他們的周期。
18．D
【詳解】4×8－3＝29（個）
則第8個圖形中圓點的個數為29個.
故答案為：D
19．B
【分析】搭一個三角形需要3根小棒，搭兩個三角形需要5根小棒，搭三個三角形需要7根小棒，則知搭n個三角形需要（2n＋1）根小棒，據此即可解答。
【詳解】由分析及規(guī)律知：搭n個三角形需要（2n＋1）根小棒
當a＝12時，2×12＋1＝24＋1＝25（根）
故答案為：B。
【點睛】本題是一道找規(guī)律的題目，首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的。
20．B
【分析】前3個圖中都有圓，表示的數字中都有5，即5表示圓形；進而可以得出3表示三角形；4表示正方形；而且第一個數字表示的圖形在外面，第二個數字表示圖形在第一個數字表示圖形的里面。
【詳解】圖形中有一個正方形和一個三角形，正方形在外，三角形在內，所以用數字：43表示。
故答案為：B。
【點睛】根據第一幅、第二幅和第三幅圖中的數字，得出：○△□各表示的數字是解決本題的關鍵。
21． 14 3n+2
【分析】觀察圖形可知：第1個圖案有5（5＝3＋2）朵花，第2個圖案有8（8＝3＋3＋2）朵花，第3個圖案有11（11＝3＋3＋3＋2）朵花，第4個圖案有3＋3＋3＋3＋2＝14朵花，……，由此可推斷第n個圖案有（3n＋2）朵花。
【詳解】由分析可得：照這樣的規(guī)律，第4個圖案上有14朵，第 SKIPIF 1 < 0 個圖案上有2＋3n朵。
故答案為：14； 3n＋2
【點睛】本題主要考查學生觀察圖形及其變化的能力，解題的關鍵是找到圖形的變化規(guī)律。
22．16 25 n2 9 16 （n－1）2
【詳解】略
23．
【分析】把第一個圖形到第六個圖形看作一個周期，計算50個圖形里面有多少個完整的周期，商是整數時余數是幾，就從第一個圖形往后數出第幾個圖形，據此解答。
【詳解】50÷6＝8（組）……2（個）
一個完整周期里面從左往右第2個圖形是，所以第50個圖形是。
【點睛】本題主要考查簡單的周期問題，根據商為整數時的余數即可判斷出第50個圖形。
24． 26 5n＋1
【分析】擺一個六邊形要6根小棒，擺2個六邊形要11根小棒，擺3個六邊形要16根小棒，6＝5＋1，11＝5×2＋1，16＝5×3＋1；需要小棒的根數＝六邊形的個數×5＋1，據此解答即可。
【詳解】根據分析可得規(guī)律：需要小棒的根數＝六邊形的個數×5＋1
擺5個六邊形需要：5×5＋1＝26（根）
擺n個六邊形需要：n×5＋1＝5n＋1（根）
【點睛】觀察圖形，探索圖形排列規(guī)律，用算式表示出來，根據圖形和算式的規(guī)律解決問題。
25．
【詳解】略
26． 13 36
【分析】根據圖可知，第二個圖形開始有1個■，第三幅圖有4個■，即2×2，第四幅圖有9個■，即3×3，由此即可知道第n幅圖有：（n－1）2個■，問第七幅圖， 把n等于7代入式子即可；第一幅圖有1個○，第二幅圖有3個○，即1＋2，第三幅圖有5個○，即1＋2×2，第四幅圖有7個○，即1＋2×3，由此即可知道第n幅圖有：1＋2×（n－1）個○，當n＝7的時候代入式子即可求出有多少個○。
【詳解】由分析可知，第n幅圖有（n－1）2個■；有1＋2×（n－1）個○
當n＝7時，■的數量：（7－1）×（7－1）＝6×6＝36（個）
○的數量：1＋2×（7－1）
＝1＋2×6
＝1＋12
＝13（個）
【點睛】本題主要考查探索圖形的規(guī)律，先找它們排列的規(guī)律，然后再求解。
27．21
【詳解】略
28．61
【分析】觀察圖形可知，第一幅圖小正方形一共有3×1＋1＝4（個）；第二幅圖小正方形一共有3×2＋1＝7（個）；第三幅圖小正方形一共有3×3＋1＝10（個）；第四幅圖小正方形一共有3×4＋1＝13（個）；……，根據上面推理得出的規(guī)律，即可得出可得第n幅圖小正方形的個數一共有多少個，進位求出第20個圖形需要的小正方的個數；據此解答。
【詳解】第一幅圖小正方形一共有3×1＋1＝4（個）；
第二幅圖小正方形一共有3×2＋1＝7（個）；
第三幅圖小正方形一共有3×3＋1＝10（個）；
第四幅圖小正方形一共有3×4＋1＝13（個）；
……
第n幅圖小正方形的個數一共有3×n＋1＝（3n＋1）個。
當n＝20時：
3×20＋1
＝60＋1
＝61（個）
【點睛】主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力。對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。
29． 21 5n+1
【分析】擺一個六邊形需要6根小棒，以后每增加一個六邊形，就增加5根小棒，所以擺成n個六邊形就需要：6＋5（n－1）＝5n＋1根小棒，據此即可解答．
【詳解】擺一個六邊形需要6根小棒，以后每增加一個六邊形，就增加5根小棒，所以擺成n個六邊形就需要5n＋1根小棒；
擺4個需要5×4＋1＝21（根）
即擺4個需要21根小棒，擺n個需要5n＋1根小棒。
故答案為：21；5n＋1
30． 16 4n＋4
【詳解】第n個圖形有n2塊白瓷磚，瓷磚的總數是（n＋2）2，則黑瓷磚有（n＋2）2﹣n2＝4n＋4塊；
那么當黑色瓷磚為20塊時，（n＋2）2﹣n2＝20，解得n＝4，那么白瓷磚為42＝16
31．3
【詳解】通過圖形觀察分析后面的圖形中每一層的點數總是比前一個圖形每一層的點數依次少一個，故“？”中的小圓點的點數應該是3.
【考點點撥】本題主要考查數圖形中的規(guī)律的探索，難度系數 適中．
32． 10 n
【分析】根據題意可知，n個點連接成線段的條數是： SKIPIF 1 < 0 ，據此列式解答.
【詳解】數與形結合的規(guī)律
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故答案為10；n.
33． 10 3n+1
【分析】通過題意可知，第一個正方形由四根小棒擺成，以后加三根就可加一個正方形，擺第2個要3×2+1=7根，擺第三個要3×3+1=10根，擺第四個要3×4+1=13根，以此類推，得出規(guī)律連著擺n個這樣的正方形需3n+1根小棒．
【詳解】由題意可知：每增加一個正方形就增加3根小棒， 擺一個小正方形用4根小棒，擺兩個小正方形用7根小棒，
擺第三個要3×3+1=10（根）
所以連擺n個這樣的正方形需3n+1根小棒．
故答案為10，3n+1．
34． 42 2+4a 50
【詳解】思路分析：據探究過程可知，每增加1個正方體,所拼成的長方體的表面積就增加正方體的4個面的面積,即增加:1×1×4=4(平方厘米)．1個正方體的表面積可以寫為2+4;2個正方體拼成的長方體的表面積可以寫為2+4×2;3個正方體拼成的長方體的表面積可以寫為2+4×3……由此可以歸納出:當正方體的個數為a時,所拼成的長方體的表面積為(2+4a)平方厘．
名師詳解：（1）1個小正方體，表面積是：6平方厘米可以寫成2+1×4；
2個小正方體，表面積是10平方厘米，可以寫成2+2×4；
3個小正方體，表面積是14平方厘米，可以寫成2+3×4；
4個小正方體，表面積是18平方厘米，可以寫成2+4×4；…
所以a個小正方體，表面積就是2+4a平方厘米；
答：當正方體個數為a時，所拼成的長方體表面積是2+4a平方厘米．
（2）當a=10時，表面積是：2+10×4=42（平方厘米），
答：當正方體個數為10時，所拼成的長方體表面積是42平方厘米．
（3）當2+4a=202時，
4a=200，
a=50，
答：當拼成的長方體表面積是202平方厘米時，正方體個數是50．
因而答案為：42；2+4a；50．
易錯提示：出錯的原因是，學生審題不清，另外本題也有一定的難度．注意的是，通過推理得出答案，這個推理的過程很重要，做題時一定要看仔細，做答案也要寫仔細．
35． 12 2n+2
【詳解】略
36． 49 225 n2
【詳解】略
37． 6 18 36 126
【詳解】解：如圖

當放1層時，表面積為1×1×6=6平方厘米；
當放2層時，表面積為（1+2）×6=18平方厘米；
當放3層時，表面積為（1+2+3）×6=36平方厘米；
…
當放n層時，表面積為（1+2+3+…+n）×6=3n（n+1）平方厘米．
故第3層時：3×3×（3+1）＝36（cm2）
第6層時：3×6×（6+1）＝18×7＝126（cm2）
棱長為1厘米的正方體，如圖一層一層堆放起來，根據規(guī)律填寫如表：
38． 15 22 211 1＋7n 287
【分析】（1）（2）由圖可以看出：
擺一個八邊形需要8根小棒，擺2個八邊形需要8＋7＝15根小棒以后每增加一個八邊形，擺3個八邊形需要8＋2×7＝22根小棒，也就是每增加一個八邊形就增加7根小棒，所以擺n個八邊形需要8＋（n－1）×7＝1＋7n根小棒，據此即可解答。
（3）由擺一個八邊形需要8根小棒可得：1＋7n＝2010，解得n即可。
【詳解】（1）根據題干分析可得：
擺成n個八邊形就需要1＋7n根小棒，
當n＝2時，需要小棒1＋2×7＝15（根），
當n＝3時，需要小棒1＋3×7＝22（根），
當n＝30時，需要小棒1＋30×7＝211（根），
所以，擺2個八邊形需要15根小棒，擺3個八邊形需要22根小棒，擺30個八邊形需要211根小棒。
（2）由（1）可知：擺n個八邊形，需要1＋7n根小棒
（3）1＋7n＝2010
1＋7n－1＝2010﹣1
7n＝2009
7n÷7＝2009÷7
n＝287
所以，有2010根小棒，可以擺287個這樣的八邊形。
故答案為：15；22；211，1＋7n；287。
【點睛】主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力。對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解。
39．4.75
【詳解】根據圖形的規(guī)律可知，第n個圖形的小三角形總數為（n+1）2個，其中紅色小三角形的個數為n個，當n=19時，共有（19+1）2=400，19÷400=4.75%
則第19個圖形中，紅色小三角形的面積之和占第19個圖形的面積的4.75%．
故答案為4.75．
40． 5 15
【詳解】因為□=△＋△＋△，所以△＋△＋□=△＋△＋△＋△＋△=25，故一個△=5 一個□=3×5=15
41．（1）360；540；（2）180（n－2）；（3）24邊
【詳解】略
42．擺100個三角形，需要201根小棒，要擺n個三角形，需要2n+1根小棒．
【詳解】試題分析：搭第一個圖形需要3根火柴棒，結合圖形，發(fā)現：后邊每多一個圖形，則多用2根火柴．
解答：解：：搭第100個圖形，需要小棒：
3+2×（100﹣1）=3+198=201（根）；
則要搭n個三角形時，需要小棒：
3+2（n﹣1）=2n+1（根）．
答：擺100個三角形，需要201根小棒，要擺n個三角形，需要2n+1根小棒．
點評：此題考查了規(guī)律型中的圖形變化問題，要能夠從圖形中發(fā)現規(guī)律：搭第n個圖形，需要3+2（n﹣1）=2n+1（根）．
43．（1）182厘米 （2）20張
【詳解】（1）20+18×（10-1）
=20+162
=182（厘米）
答：10張這樣貼在一起總長是182厘米．
（2）（362-2）÷18
=360÷18
=20（張）
答：若總長為362cm，則貼了20張紙．
44．（1）12，15；
（2）m+f-1=n；
（3）20+11-1=30
【詳解】略
45．（1）7，10；（2）3n+1;（3）3n+1．
【詳解】分析：（1）觀察如圖可直接得出答案；
（2）認真觀察題目中給出的圖形，結合問題（1），通過分析，即可找到規(guī)律，得出答案；
（3）根據問題（2）中總結的規(guī)律，列出算式3n+1=90，如果結果是整數，則能夠拼出具有以上規(guī)律的圖形，否則，不能．
解答：解：（1）觀察如圖可以發(fā)現，圖②中用了7 塊黑色正方形，在圖③中用了10 塊黑色正方形；
故答案為7；10；
（2）在圖①中，需要黑色正方形的塊數為3×1+1=4；
在圖②中，需要黑色正方形的塊數為3×2+1=7；
在圖③中，需要黑色正方形的塊數為3×3+1=10；
由此可以發(fā)現，第幾個圖形，需要黑色正方形的塊數就等于3乘以幾，然后加1．
所以，按如圖的規(guī)律繼續(xù)鋪下去，那么第n個圖形要用3n+1塊黑色正方形；
故答案為3n+1．
（3）假設第n個圖形恰好能用完90塊黑色正方形，則3n+1=90，
解得：n=，
因為n不是整數，所以不能．
故答案為3n+1．
點評：此題主要考查了圖形變化類這個知識點的理解和掌握，解答此類題目的關鍵是根據題目中給出的圖形，通過分析、思考，總結出圖形變化的規(guī)律，屬于難題．
46．（1）2種；（2）5種；（3）21種
【詳解】試題分析：（1）要符合每橫行從左到右數字由小到大，每豎列從上到下數字也由小到大排列．圖一中，1只能在A的位置，4只能在D的位置，2和3可在B、C這兩個格子中排列，所以共有2種方法；
（2）圖二中，1只能在A的位置，6只能在F的位置，2只能在B和D，5只能在C、E的位置，數字5在C，有2種排列，數字5在E，又有3種排列方法；所以一共有2+3=5（種）．
（3）由（2）的規(guī)律已經知道，6格是5種，1、2、3確定后，剩下的6個一定是5種；由此進行求解．
解答：解：（1）如圖，1和4是固定的，另外兩格隨便選，2種．
如下：
；
（2）1和6是固定的，其余的不確定：
（3）由（2）的規(guī)律已經知道，6格是5種；
1、2、3確定后，剩下的6個一定是5種，比如：
同理：
也對各對應5個；
但是例外，對應的不是5個．因為第一排右邊的數限制了下面的數．
如下：
所以：共計5+5+5+4+2=21（種）
同理，以上所有情況倒過來后都有一一對應的種類
翻了一番，共21×2=42（種）．
點評：本題關鍵是根據題干的要求先確定出最大和最小的數字的位置．數字問題是排列計數原理中的一大類問題，條件變換多樣，把排列問題包含在數字問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，很多題目要分類討論，要做到不重不漏．
47．(1)(橫排)8 12 5 6 9 4 10 15 6
(2)頂點數+區(qū)域數-邊數=1
(3)999+999-1=1997(條)
答:這個圖有1997條邊．
【詳解】略
48．41根
【詳解】根據圖示，
2間房：5＋4＝9（根）
3間房：5＋4＋4＝13（根）
……
10間房：5＋4×（10﹣1）＝41（根）
答：搭10間房子，需要用41根小棒。
49．（1）28場 （2）10種不同票價 20種不同車票．
【詳解】（1）由已知表格所給結論 SKIPIF 1 < 0 可知：n=8時，比賽場次為 SKIPIF 1 < 0 =28（場）
（2）5個站點共有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =10（種）不同票價，每兩站之間要準備往返兩種車票，所以需要準備20種不同的車票．
50．120個
【詳解】略
51．
【詳解】試題分析：第三幅圖只有正方形，那么b和c都表示正方形，結合第一二幅圖可知：a表示大圓，b小正方形，c大正方形，d小圓；ad就表示大圓里面有個小圓．
解答：解：ad表示：
點評：解決本題的關鍵是由題意得出四個字母所表示的圖形，再畫出所要求圖形即可．
52．甲總能把握主動讓乙先走，搶到每組的最后1步，照此走下去甲必勝
【詳解】試題分析：因為每次走棋子必須向上或向右走，所以不管走什么路徑，從A到B得步數是定的，共20步，而每次必走1或2步，因此，甲先走一次，每次可保證與乙剛走的步數和為3，如乙走1步，甲就走2步；乙走2步，甲就走1步．也就是，不論乙走1步，還是2步，甲總能搶到最后1步．以此類推，如果有若干個3步，只要輪到乙先走，甲一定能設法讓最后一步留給自己走．
解答：解：甲有必勝的策略：從A到B，向右方向要走10步，向上走也要走10步，不論兩人每次走1步還是走2步，不論每次是向上還是向右走，兩人走的總步數一定是20步．而20÷3=6（組）…2（步），所以甲只要先走2步，然后將剩下的18步分成6個3步，當乙走1步時，甲走2步，當乙走2步時，甲走1步，從而在每個3步中，甲總能把握主動讓乙先走，搶到每組的最后1步，照此走下去甲必勝．
點評：此題屬于游戲中取勝的策略問題，解答此題的關鍵是甲若想必勝，走完第一次后剩下的步數必須是3的倍數，甲先走，因而甲把握主動，從而有必勝的策略．
53．
【詳解】試題分析：由題意可知把算式中的“+5”變成“﹣5”，把取下的火柴棒放在等式的右邊，“93”變成“83”，等式仍然成立；
或把“27”取下1根火柴棒，變成“21”，則左邊減少了6，把火柴棒放在“53”上，變成“59”，則左邊又增加了6；所以等式仍然成立，據此即可解答．
解答：解：根據數字特點以及運算符號分析可得：移動一根火柴，等式仍然成立：
點評：對于火柴棒問題，要觀察題干，根據數字特點結合運算符號進行分析．
54．這些直線最少有0個交點，最多有4950個交點
【詳解】試題分許：這些直線交點最少時，100條直線互相平行；這些直線交點最多時，100條直線兩兩相交．依此即可求解．
解答：解：100條直線互相平行時沒有交點，
所以這些直線最少有0個交點；
n條直線最多有n（n﹣1）個交點，
所以100條直線最多有×100×（100﹣1）=4950個交點，
答：這些直線最少有0個交點，最多有4950個交點．
點評：考查了組合圖形的計數，注意平行和相交的特征，應理解和應用．
55．（1）7，10；（2）剪切5次，把鐵絲分成16段，剪切10次可分成31段．
（3）按照上面的方法剪切23次時，鐵絲分成70段．
【詳解】試題分析：（1）查出每次剪完后，可剪的段數，再進行填空．
（2）根據觀察剪的段數是：剪的次數減1乘3的積再加4的和，就是剪的段數可用式子：y=4+3（x﹣1）來表示．
可求出剪5次，剪10次可剪的段數．
（3）根據y=4+3（x﹣1）可求出剪的次數．
解答：解：（1）
（2）4+3×（5﹣1）
=4+3×4
=4+12
=16（段）
4+3×（10﹣1）
=4+3×9
=4+27
=31（段）
答：剪切5次，把鐵絲分成16段，剪切10次可分成31段．
（3）當y=70時，
70=4+3（x﹣1）
70=4+3x﹣3
3x=69
x=23
答：按照上面的方法剪切23次時，鐵絲分成70段．
故答案為7，10．
點評：本題的關鍵是找出規(guī)律再進行解答．
56．(1) 5×＝5－
(2)100×＝100－
【詳解】（1）根據算式的規(guī)律，可知⑤的算式為5×＝5－
再畫出對應的圖，每個小正方形可看做“單位1”，表示，將“單位1”平均分成6份，陰影部分占5份，5×可畫為
（2）第100個圖形對應的算式為100× SKIPIF 1 < 0 =100- SKIPIF 1 < 0 ，即100×＝100－
57．
【詳解】試題分析：從圖中觀察可知，第一幅圖中的四個陰影部分在中間的對角線上，第二幅圖的陰影部分向對角線的右面移了三個陰影，多余的一個，移到了對角線的左下，第三幅圖中的陰影部分向對角線的右面移了二個陰影，多余的二個，移到了對角線的左下．照這樣的變化，第四幅圖的陰暗部分應是有對角線的右上角有一個，對角線的右下有3個．據此解答．
解答：解：根據分析畫圖如下：
點評：本題主要考查了學生認識觀察發(fā)現規(guī)律的能力．
58．20塊
【分析】足球是用黑、白兩種顏色的皮縫制而成的。黑皮是正五邊形，白皮是正六邊形，通過觀察圖形，一塊黑色周圍有6塊白皮，一塊白皮周圍有三塊黑皮，黑皮和黑皮不相鄰，黑皮的所有邊都與白皮相鄰，而白皮的六條邊有三條與黑皮相鄰，三條與白皮相鄰；從而得出結論：所有黑皮的邊數＝所有白皮的邊數÷2，由此得解。
【詳解】所有的黑皮的邊數：12×5＝60，一塊白皮的邊數是6，則白皮的數量為：
60×2÷6
＝120÷6
＝20（塊）
答：白皮有20塊。
【點睛】此題考查了圖形的拼組，發(fā)現黑皮的總邊數等于白皮總邊數的一半是解決此題的關鍵。
59．51個
【分析】第1個正方體中有0個直角三角形；第2個正方體中有4個直角三角形；第3個正方體中有8個直角三角形；第4個正方體中有12個直角三角形。由此得出規(guī)律，三角形的個數都是4的倍數，然后得出假設第n個正方體，就有（n－1）×4個直角三角形。
【詳解】根據圖中的數據可得：1個正方形有0個三角形，可以寫成（1－1）×4個；
2個正方形有4個三角形，可以寫成（2－1）×4個；
3個正方形有8個三角形，可以寫成（3－1）×4個；
4個正方形有12個三角形，可以寫成（4－1）×4個；
所以當正方形的個數為a時，三角形的個數可以寫成：（a－1）×4個；
設需要畫a個正方形才得到200個直角三角形，則根據上面的結論可得：
（a－1）×4＝200
a－1＝200÷4
a－1＝50
a＝51
答：應畫51個正方形。
【點睛】本題的關鍵是根據圖形發(fā)現規(guī)律：第1個正方體就有0×4個直角三角形；第2個正方體就有（2－1）×4個直角三角形，然后以此類推。
60． 1＋2×4 1＋3×4 1＋4×4 5 9 13 17 4n－3
【分析】通過觀察發(fā)現，第一個圖的點子數是1，第二個圖的點子數是1＋4＝5，第三個圖的點子數是1＋2×4＝9，第4個圖的點子數是1＋3×4＝13，第五個圖的點子數是1＋4×4＝17，由此可知用A表示第n個圖形中點子的總個數，A和n之間的關系可以表示成A＝4n－3，據此解答即可。
【詳解】如圖：
由分析可得：A＝1＋4（n－1）＝4n－3
【點睛】此題主要考查學生根據圖形規(guī)律，歸納出規(guī)律關系式，然后進行代數解答。
層數
1
2
3
…
6
表面積/cm2
6
18
36
…
126
序號
1
2
3
4
5
…
表示點子數的算式
1
1＋4
1＋2×4
1＋3×4
1＋4×4
…
點子的總個數
1
5
9
13
17
…

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