專題4 圖形的性質(zhì)
第8講 正方形
一、正方形的性質(zhì)
1．正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)；
2.邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行，四條邊相等；
3.角的性質(zhì)：四個(gè)角都是直角；
4.對(duì)角線的性質(zhì)：對(duì)角線垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
兩條對(duì)角線把正方形分成4個(gè)全等的等腰直角三角形；
5.對(duì)稱性：是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心也叫正方形的中心；
二、正方形的判定
1.在矩形的基礎(chǔ)上判定
（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；
（2）對(duì)角線垂直的矩形是正方形；
2.在菱形的基礎(chǔ)上判定
（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；
（2）對(duì)角線相等的菱形是正方形；
三、中點(diǎn)四邊形
1.連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形；
2.連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形；
3.連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形；
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1.理解正方形的概念；
2.理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系；
3.掌握正方形的性質(zhì)和判定；
【例1】
（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）
1．如圖，已知正方形的邊長為3，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，則（ ）

A．B．2C．D．
【變1】
（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）
2．如圖，正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別位于兩個(gè)反比例函數(shù)和的圖象的四個(gè)分支上，則實(shí)數(shù)的值為（ ）

A．B．C．D．3
【例1】
（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）
3．如圖，以的三邊為邊在上方分別作等邊、、．且點(diǎn)A在內(nèi)部．給出以下結(jié)論：
①四邊形是平行四邊形；
②當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形；
③當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；
④當(dāng)，且時(shí)，四邊形是正方形．
其中正確結(jié)論有 （填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
【變1】
（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）
4．已知，四邊形是正方形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（），，，連接，．
(1)如圖，求證：≌；
(2)直線與相交于點(diǎn)．
如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：四邊形是正方形；
如圖，連接，若，，直接寫出在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段長度的最小值．
【例1】
（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）
5．若順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是正方形，則四邊形的兩條對(duì)角線一定是( )
A．互相平分B．互相垂直C．互相平分且相等D．互相垂直且相等
【變1】
（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）
6．四邊形的對(duì)角線，交點(diǎn)，點(diǎn)，，，分別為邊， ，，的中點(diǎn)．有下列四個(gè)推斷，
①對(duì)于任意四邊形，四邊形可能不是平行四邊形；
②若，則四邊形一定是菱形；
③若，則四邊形一定是矩形；
④若四邊形是菱形，則四邊形也是菱形．
所有正確推斷的序號(hào)是 ．
一、選擇題
（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）
7．如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，連接，，，．若，則一定等于（ ）

A．B．C．D．
（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）
8．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為( )
A．B．C．D．
（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）
9．如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上， ，AF與相交于點(diǎn)O，連接，若，則與之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（ ）
A．B．C．D．
（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）
10．如圖，在平行四邊形中，，，，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，且，，分別是邊，邊上的動(dòng)點(diǎn)．下列四種說法：①存在無數(shù)個(gè)平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)矩形；③存在無數(shù)個(gè)菱形；④存在無數(shù)個(gè)正方形．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空題
（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）
11．如圖，點(diǎn)是正方形的對(duì)角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，．則點(diǎn)到直線的距離為 ．

（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）
12．如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為 ．

（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）
13．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，連接CE并延長交AD于點(diǎn)G，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF，連接EF，點(diǎn)H為EF的中點(diǎn)．連接OH，則的值為 ．

（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）
14．如圖，點(diǎn)A、B在x軸上，分別以，為邊，在x軸上方作正方形，．反比例函數(shù)的圖象分別交邊，于點(diǎn)P，Q．作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N．若，Q為的中點(diǎn)，且陰影部分面積等于6，則k的值為 ．

三、解答題
（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）
15．如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在對(duì)角線上，且，．
求證：四邊形是正方形．
（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）
16．如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接．

(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)請(qǐng)說明當(dāng)?shù)膶?duì)角線滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？
（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）
17．已知，點(diǎn)、、、分別在正方形的邊、、、上．
(1)如圖1，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，求證：；
(2)如圖2，已知，，當(dāng)、的大小有_________關(guān)系時(shí)，四邊形是矩形；
(3)如圖3，，、相交于點(diǎn)，，已知正方形的邊長為16，長為20，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，判斷四邊形是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．
（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）
18．閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：
如圖，和都是等邊三角形，點(diǎn)在上．
求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
(2)【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)在上．
①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若，試求出正方形的面積．
（2022·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）
19．華師版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁習(xí)題19.3第2小題及參考答案．
某數(shù)學(xué)興趣小組在完成了以上解答后，決定對(duì)該問題進(jìn)一步探究
(1)【問題探究】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．試猜想的值，并證明你的猜想．
(2)【知識(shí)遷移】如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E、F、G、H分別在線段AB、BC、CD、DA上，且．則______．
(3)【拓展應(yīng)用】如圖，在四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，且．求的值．
（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考一模）
20．已知正方形和等腰直角三角形，，連接，，，，點(diǎn)G，H，I分別為線段，，的中點(diǎn)，連接，，．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B，A，F(xiàn)在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與的關(guān)系；
(2)如圖2，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，判斷線段與的關(guān)系，并說明理由；
(3)在（2）的條件下，若，， ，，的面積分別為，，．
①請(qǐng)直接寫出與大小關(guān)系；
②直接寫出的值．
（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）
21．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D．

(1)求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時(shí)，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P為直線上方拋物線上一點(diǎn)，將直線沿直線翻折，交x軸于點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，以線段為邊向上作正方形．
①若，求正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為時(shí)，求a的值．
2．如圖，在正方形ABCD中，．求證：．
證明：設(shè)CE與DF交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
參考答案：
1．C
【分析】先證四邊形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可求，的長，由勾股定理可求的長，由“”可證，可得．
【詳解】解：如圖：

連接，
四邊形是正方形，
，，
，，，
四邊形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
2．A
【分析】如圖所示，點(diǎn)在上，證明，根據(jù)的幾何意義即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接正方形的對(duì)角線，過點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，點(diǎn)在上，

∵，，
∴．
∴．
∴．
∵點(diǎn)在第二象限，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的的幾何意義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
3．①②③④
【分析】對(duì)于結(jié)論①，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，則；同理，由，得，由，即可得出四邊形是平行四邊形；對(duì)于結(jié)論②，當(dāng)時(shí)，
，結(jié)合結(jié)論①，可知結(jié)論②正確；對(duì)于結(jié)論③，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合結(jié)論①，可知結(jié)論③正確；對(duì)于結(jié)論④，綜合②③的結(jié)論知：當(dāng)，且時(shí)，四邊形既是菱形，又是矩形，故結(jié)論④正確．
【詳解】解析：①、是等邊三角形，
，，，
，
，
，
同理由，得，
由，即可得出四邊形是平行四邊形，故結(jié)論①正確；
②當(dāng)時(shí)，
，
由①知四邊形是平行四邊形，
平行四邊形是矩形，故結(jié)論②正確；
③由①知，，四邊形是平行四邊形，
當(dāng)時(shí)，，
平行四邊形是菱形，故結(jié)論③正確；
④綜合②③的結(jié)論知：當(dāng)，且時(shí)，四邊形既是菱形，又是矩形，
四邊形是正方形，故結(jié)論④正確．
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定方法，熟練掌握以上圖形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
4．(1)見解析
(2)①見解析②
【分析】根據(jù)證明三角形全等即可；
根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；
作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，
，．
，．
，
，
在和中，

≌；
（2）證明：如圖中，設(shè)與相交于點(diǎn)．

，
．
≌，
．
，
．
，
，，
四邊形是矩形，
．
四邊形是正方形，
，．
．
又，
≌．
．
矩形是正方形；
解：作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

∵
∴≌．
．
，，
最大時(shí)，最小，．
．
由可知，是等腰直角三角形，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
5．D
【分析】由題意作出圖形，然后根據(jù)正方形的判定定理可進(jìn)行排除選項(xiàng)．
【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AD、DC、BC、AB的中點(diǎn)，
∴，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
對(duì)于A選項(xiàng)：對(duì)角線互相平分，四邊形EFGH仍是平行四邊形，故不符合題意；
對(duì)于B選項(xiàng)：對(duì)角線互相垂直，則有，可推出四邊形EFGH是矩形，故不符合題意；
對(duì)于C選項(xiàng)：對(duì)角線互相平分且相等，則有，可推出四邊形EFGH是菱形，故不符合題意；
對(duì)于D選項(xiàng)：對(duì)角線互相垂直且相等，則有，，可推出四邊形EFGH是正方形，故符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線及正方形、菱形、矩形、平行四邊形的判定，熟練掌握三角形中位線及正方形、菱形、矩形、平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
6．②③
【分析】根據(jù)四邊形的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)推導(dǎo)即可．
【詳解】解：點(diǎn)，，，分別為邊， ，，的中點(diǎn)，
且，且，
且，
是平行四邊形，
故①錯(cuò)誤；
點(diǎn)，，，分別為邊， ，，的中點(diǎn)，
，，
，
，
是平行四邊形，
四邊形是菱形，
故②正確；
點(diǎn)，，，分別為邊， ，，的中點(diǎn)，
，，
，
，
，
是平行四邊形，
是矩形，
故③正確；
若要四邊形是菱形，需滿足,
當(dāng)四邊形是菱形，不一定等于，
故④錯(cuò)誤；
綜上，正確的有：②③，
故答案為：②③．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
7．A
【分析】利用三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，

∵四邊形是正方形，
∴，，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，
∴，
∴點(diǎn)三點(diǎn)共線，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確作出旋轉(zhuǎn)，再證明三角形全等，熟練利用性質(zhì)求出角度．
8．C
【分析】連接CF、CG、AE，證可得，當(dāng)A、E、F、C四點(diǎn)共線時(shí)，即得最小值；
【詳解】解：如圖，連接CF、CG、AE，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
當(dāng)時(shí)，最小，
∴d1＋d2＋d3的最小值為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、三角形的全等證明，正確構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
9．A
【分析】過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，先證明四邊形ABFE是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案．
【詳解】過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，
，
四邊形ABCD是矩形，
，

∴∠AEF=180°-∠BAD=90°，
，
∴四邊形ABFE是矩形，
又∵AB=AE，
四邊形ABFE是正方形，
，EF=BF，
，
，
，EF=2CF，
由勾股定理得，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
10．C
【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后逐一分析即可．
【詳解】
如圖，連接AC、與BD交于點(diǎn)O，連接ME，MF，NF，EN，MN，
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF
∵點(diǎn)E、F時(shí)BD上的點(diǎn)，
∴只要M，N過點(diǎn)O，
那么四邊形MENF就是平行四邊形
∴存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF，故①正確；
只要MN=EF，MN過點(diǎn)O，則四邊形MENF是矩形，
∵點(diǎn)E、F是BD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴存在無數(shù)個(gè)矩形MENF，故②正確；
只要MN⊥EF，MN過點(diǎn)O，則四邊形MENF是菱形；
∵點(diǎn)E、F是BD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴存在無數(shù)個(gè)菱形MENF，故③正確；
只要MN=EF，MN⊥EF，MN過點(diǎn)O，
則四邊形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一個(gè)，故④錯(cuò)誤；
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的判定、解答本題的關(guān)鍵時(shí)明確題意，作出合適的輔助線．
11．
【分析】過點(diǎn)作于，證明四邊形四邊形是正方形，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于，

∵點(diǎn)是正方形的對(duì)角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)
∴四邊形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四邊形是正方形，
∴，
即點(diǎn)到直線的距離為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握正方形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
12．
【分析】連接，將以中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，由 的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，可得：的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，再根據(jù)“圓外一定點(diǎn)到圓上任一點(diǎn)的距離，在圓心、定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，三點(diǎn)共線時(shí)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的距離最短”，所以當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，可求，從而可求解．
【詳解】解，如圖，連接，將以中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，

的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，
的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，
如圖，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，
四邊形是正方形，
，，
是的中點(diǎn)，
，
，
由旋轉(zhuǎn)得：，
，
，
的值最小為．
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段最小值問題，掌握相關(guān)的性質(zhì)，根據(jù)題意找出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
13．
【分析】以O(shè)為原點(diǎn)，平行于AB的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，過E作EM⊥CD于M，過F作FN⊥DC，交DC延長線于N，設(shè)正方形ABCD的邊長為2，從而求出E的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線CE的解析式，即可求出G的坐標(biāo)，從而可求出GE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出F的坐標(biāo)，進(jìn)而求出H的坐標(biāo)，則可求OH，最后代入計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：以O(shè)為原點(diǎn)，平行于AB的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，過E作EM⊥CD于M，過F作FN⊥DC，交DC延長線于N，如圖：

設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則C（1，1），D（﹣1，1），
∵E為OE中點(diǎn)，
∴E（，），
設(shè)直線CE解析式為y＝kx+b，把C（1，1），E（，）代入得：
，
解得，
∴直線CE解析式為，
在中，令x＝﹣1得y＝，
∴G（﹣1，），
∴GE＝＝，
∵將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，
∵∠EMC＝∠CNF＝90°，
∴△EMC≌△CNF（AAS），
∴ME＝CN，CM＝NF，
∵E（，），C（1，1），
∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，
∴F（，），
∵H是EF中點(diǎn)，
∴H（，0），
∴OH＝，
∴＝＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，以O(shè)為原點(diǎn)，平行于AB的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．
14．24
【分析】設(shè)，則，從而可得、，由正方形的性質(zhì)可得，由軸，點(diǎn)P在上，可得，由于Q為的中點(diǎn)，軸，可得，則，由于點(diǎn)Q在反比例函數(shù)的圖象上可得，根據(jù)陰影部分為矩形，且長為，寬為a，面積為6，從而可得，即可求解．
【詳解】解：設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵Q為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵Q在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵P在上，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
∵P點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：24．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)及矩形的面積公式，讀懂題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
15．證明過程見解析
【分析】菱形的兩條對(duì)角線相互垂直且平分，再根據(jù)兩條對(duì)角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形即可證明四邊形AECF是正方形．
【詳解】證明：∵ 四邊形ABCD是菱形
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OE=OA
∴OA=OC=OE=OF且AC=EF
又∵AC⊥EF
∴ 四邊形DEBF是正方形．
【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)和正方形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)．
16．(1)平行四邊形，見解析
(2)且
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定即可．
（2）根據(jù)對(duì)角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形判定即可．
【詳解】（1）四邊形是平行四邊形．理由如下：
∵的對(duì)角線交于點(diǎn)，
∴，
∵以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，
∴
∴四邊形是平行四邊形．
（2）∵對(duì)角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形，
∴且時(shí)，四邊形是正方形．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．(1)見解析
(2)
(3)平行四邊形，證明見解析
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證得，根據(jù)角角邊證明．
（2）當(dāng)，證得，是等腰直角三角形，∠HEF=∠EFG=90°，即可證得四邊形EFGH是矩形．
（3）利用正方形的性質(zhì)證得為平行四邊形，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，由平行線分線段成比例，設(shè)，，，則可表示出，從而把△OEH的面積用x的代數(shù)式表示出來，根據(jù)二次函數(shù)求出最大值，則可得OE=OG，OF=OH，即可證得平行四邊形．
【詳解】（1）∵四邊形為正方形，
∴，
∴．
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴；
（2）；證明如下：
∵四邊形為正方形，
∴，AB=BC=AD=CD，
∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，
∴AH=CG，
∴，
∴EH=FG．
∵AE=CF，
∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，
∴是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∵AE=AH，CF=CG，
∴∠AEH=∠CFG=45°，
∴∠HEF=∠EFG=90°，
∴EH∥FG，
∴四邊形EFGH是矩形．
（3）∵四邊形為正方形，
∴．
∵，，
∴四邊形為平行四邊形．
∴．
∴．
過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∴．
∵，
設(shè)，，，則，
∴．
∴．
∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，有一定的綜合性，解題的關(guān)鍵是熟悉這些知識(shí)并靈活運(yùn)用．
18．(1)鈍角三角形；證明見詳解
(2)①直角三角形；證明見詳解；②S四邊形ABCD=
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再證△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC為鈍角三角形即可；
（2）①以、、為邊的三角形是直角三角形，連結(jié)CG，根據(jù)正方形性質(zhì)，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再證△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可證△AGC為直角三角形即可；②連結(jié)BD，根據(jù)勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面積公式求解即可．
【詳解】（1）證明：∵△ABC與△EBD均為等邊三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC為鈍角三角形，
∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形．
（2）證明：①以、、為邊的三角形是直角三角形．
連結(jié)CG，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG為正方形的對(duì)角線，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC為直角三角形，
∴以、、為邊的三角形是直角三角形；
②連結(jié)BD，
∵△AGC為直角三角形，，
由（2）可知，AE=CG，
∴AC=，
∴四邊形ABCD為正方形，
∴AC=BD=，
∴S四邊形ABCD=．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵．
19．(1)1；證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長線于點(diǎn)N，利用正方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求證△ABM≌△ADN即可．
（2）過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長線于點(diǎn)N，利用在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求證△ABM∽△ADN．再根據(jù)其對(duì)應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可．
（3）先證是等邊三角形，設(shè)，過點(diǎn)，垂足為，交于點(diǎn)，則，在中，利用勾股定理求得的長，然后證，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例即可求解．
【詳解】（1），理由為：
過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長線于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH，
∴；
（2）解：過點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長線于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形AMFH是平行四邊形，四邊形AEGN是平行四邊形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN，
∴，
∵，，AM＝HF，AN＝EG，
∴，
∴；
故答案為：
（3）解：∵，，
∴是等邊三角形，
∴設(shè)，
過點(diǎn)，垂足為，交于點(diǎn)，則，
在中，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合性較強(qiáng)，難度較大，是一道難題．
20．(1)且
(2)且，理由見詳解
(3)①，②
【分析】（1）連接，延長交于，可證，結(jié)合三角形中位線即可求解；
（2）連接交于，與交于，可證，結(jié)合三角形中位線即可求解；
（3）①過作，交的延長線于，過作，可證，即可求解；②可求，由即可求解．
【詳解】（1）解：且，
如圖，連接，延長交于，
四邊形是正方形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
在和中
，
()，
，，
點(diǎn)G，H，I分別為線段，，的中點(diǎn)，
，，
，，
；
，，
，
，
，
，
；
故且．
（2）解：且，
如圖，連接交于，與交于，
由（1）得：，，，
在和中
，
()，
，，
點(diǎn)G，H，I分別為線段，，的中點(diǎn)，
，，
，，
；
，，
，
，
，
，
；
故且．
（3）解：①，
如圖，過作，交的延長線于，過作，
，
，，
，
在和中
，
（），
，
，，
又，
．
②，
由（2）得：，，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形中位線定理，面積轉(zhuǎn)換，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．(1)，
(2)
(3)①，，；②
【分析】（1）先求出，再求出拋物線對(duì)稱軸，根據(jù)題意可知C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，據(jù)此求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；
（2）先求出，如圖，設(shè)上與點(diǎn)M關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，利用勾股定理建立方程組，解得或（舍去），則，求出直線的解析式為，然后聯(lián)立，解得或，則；
（3）分圖3-1，圖3-2，圖3-3三種情況，利用到x軸的距離之差即為縱坐標(biāo)之差結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵拋物線解析式為，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
∵過點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D，
∴C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴；
（2）解：當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，
當(dāng)，即，解得或，
∴；
如圖，設(shè)上與點(diǎn)M關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或
∴；

（3）解：①當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，，
∴，
∴，，
當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線恰好經(jīng)過；
∵拋物線對(duì)稱軸為直線，
由對(duì)稱性可知拋物線經(jīng)過，
∴點(diǎn)時(shí)拋物線與正方形的一個(gè)交點(diǎn)，
又∵點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，
∴拋物線也經(jīng)過點(diǎn)；
綜上所述，正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)為，，；

②如圖3-1所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、D，
∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，
∴點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為，
∴，
∴，
解得（舍去）或；

如圖3-2所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、S，
∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，
∴，
解得（舍去，因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)D下方）

如圖3-3所示，當(dāng)拋物線與分別交于T、S，
∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng) 時(shí)，，
∴不符合題意；

綜上所述，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等等，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．

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