模塊二知識全整合專題3 函數(shù)及其圖像第2講一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題3 函數(shù)及圖象
第2講一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
一、一次函數(shù)的概念
1．一次函數(shù)：用自變量的一次整式表示的函數(shù)；
2．一般形式：（k、b為常數(shù)，k≠0）；
3．正比例函數(shù)：（k為常數(shù)，k≠0）；
二、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．系數(shù)K、b對圖象的影響
2．兩條直線的位置關(guān)系
直線與直線的位置關(guān)系：
3．特殊直線
（1）x軸：直線y=0；
（2）y軸：直線x=0；
（3）與x軸平行的直線：直線y=a（a為常數(shù)）；
（4）與y軸平行的直線：直線x=a（a為常數(shù)）；
（5）第一、三象限的角平分線所在的直線：直線y=x；
（6）第二、四象限的角平分線所在的直線：直線y=-x；
4．直線的幾何變換
（1）直線的平移規(guī)律：左加右減自變量，上加下減因變量；
（2）直線的對稱規(guī)律：
關(guān)于x軸對稱，自變量x不變，因變量y變?yōu)橄喾磾?shù)；
關(guān)于y軸對稱，自變量x變?yōu)橄喾磾?shù)，因變量y不變；
關(guān)于原點對稱，自變量x變?yōu)橄喾磾?shù)，因變量y變?yōu)橄喾磾?shù)；
三、待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式
1．設(shè)：設(shè)一次函數(shù)的解析式為
2．列：代入兩點坐標或兩組變量的值，得到二元一次方程組；
3．解：解方程組；
4．寫：將k、b的值代入，寫出解析式；
四、一次函數(shù)與方程、不等式
1．一次函數(shù)與方程
（1）一次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標就是方程的解；
（2）直線與直線的交點就是方程組的解；
2．一次函數(shù)與不等式
一次函數(shù)位于x軸上方對應(yīng)部分的橫坐標取值范圍就是不等式的解集；
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1．能根據(jù)簡單實際問題中的已知條件確定一次函數(shù)的表達式；
2．會畫出一次函數(shù)的圖象；
3．會根據(jù)一次函數(shù)的表達式求其圖象與坐標軸的交點坐標；
4．會根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達式，探索并理解K值的變化對函數(shù)圖象的影響；
5．認識正比例函數(shù)中兩個變量的對應(yīng)規(guī)律，會結(jié)合實例說明正比例函數(shù)的意義及變量之間的對應(yīng)規(guī)律；
6．會根據(jù)一次函數(shù)的圖象解釋一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系；
【例1】
（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）
1．在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象是（）
A． B． C． D．
【變1】
（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）
2．當我們將一條傾斜的直線進行上下平移時，直線的左右位置也發(fā)生著變化．下面是關(guān)于“一次函數(shù)圖像平移的性質(zhì)”的探究過程，請補充完整．
(1)如圖，將一次函數(shù)的圖像向下平移個單位長度，相當于將它向右平移了______個單位長度；
(2)將一次函數(shù)的圖像向下平移個單位長度，相當于將它向______（填“左”或“右”）平移了______個單位長度；
(3)綜上，對于一次函數(shù)的圖像而言，將它向下平移個單位長度，相當于將它向______（填“左”或“右”）（時）或?qū)⑺騙_____（填“左”或“右”）（時）平移了個單位長度，且，，滿足等式_______．
【例1】
（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）
3．關(guān)于一次函數(shù)，下列說法正確的是（）
A．圖象經(jīng)過第一、三、四象限B．圖象與y軸交于點
C．函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小D．當時，
【變1】
（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）
4．關(guān)于x的一次函數(shù)，若y隨x的增大而增大，且圖象與y軸的交點在原點下方，則實數(shù)a的取值范圍是．
【例1】
（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）
5．象棋起源于中國，中國象棋文化歷史悠久．如圖所示是某次對弈的殘圖，如果建立平面直角坐標系，使棋子“帥”位于點的位置，則在同一坐標系下，經(jīng)過棋子“帥”和“馬”所在的點的一次函數(shù)解析式為（）

A．B．C．D．
【變1】
（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）
6．在“ “探索一次函數(shù)的系數(shù)與圖像的關(guān)系”活動中，老師給出了直角坐標系中的三個點：．同學(xué)們畫出了經(jīng)過這三個點中每兩個點的一次函數(shù)的圖像，并得到對應(yīng)的函數(shù)表達式．分別計算，的值，其中最大的值等于．

【例1】
（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）
7．如圖，直線過點，，則不等式的解集是（）

A．B．C．D．
【變1】
（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）
8．在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，小星根據(jù)圖象得到如下結(jié)論：
①在一次函數(shù)的圖象中，的值隨著值的增大而增大；
②方程組的解為；
③方程的解為；
④當時，．
其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
【例1】
（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）
9．在平面直角坐標系中，點在軸的正半軸上，點在直線上，若點的坐標為，且均為等邊三角形．則點的縱坐標為．

【變1】
（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）
10．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點直線與軸交于點，與直線交于點點是線段上的一個動點（點不與點重合），過點作軸的垂線交直線于點設(shè)點的橫坐標為．

(1)求的值和直線的函數(shù)表達式；
(2)以線段，為鄰邊作?，直線與軸交于點．
①當時，設(shè)線段的長度為，求與之間的關(guān)系式；
②連接，，當?shù)拿娣e為時，請直接寫出的值．
一、選擇題
（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）
11．將直線向右平移2個單位所得直線的表達式為（）
A．B．C．D．
（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）
12．對于某個一次函數(shù)，根據(jù)兩位同學(xué)的對話得出的結(jié)論，錯誤的是（）

A．B．C．D．
（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）
13．在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A．隨的增大而增大
B．
C．當時，
D．關(guān)于，的方程組的解為
（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）
14．若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，則與的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）
15．根據(jù)圖像，可得關(guān)于x的不等式的解集是（）
A．B．C．D．
（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）
16．已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，其中，，則關(guān)于的一次函數(shù)和的圖象可能是（）
A．B．
C．D．
（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）
17．如圖，平面直角坐標系中，在直線和軸之間由小到大依次畫出若干個等腰直角三角形（圖中所示的陰影部分），其中一條直角邊在軸上，另一條直角邊與軸垂直，則第個等腰直角三角形的面積是（）
A．B．C．D．
（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）
18．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點，以點P為中心，把點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點B，在，，，四個點中，直線經(jīng)過的點是（）

A．B．C．D．
二、填空題
（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）
19．已知一次函數(shù)，若對于范圍內(nèi)任意自變量的值，其對應(yīng)的函數(shù)值都小于，則的取值范圍是．
（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）
20．已知直線y1＝x－1與y2＝kx＋b相交于點（2，1）．請寫出b值（寫出一個即可），使x＞2時，y1＞y2．
（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）
21．如圖，函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則關(guān)于的不等式的解集為．
（2023·江蘇鹽城·景山中學(xué)?？寄M預(yù)測）
22．已知是關(guān)于的函數(shù)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則稱點為函數(shù)圖象上的“不動點”，例如：直線，上存在“不動點”．若函數(shù)的圖象上存在唯一“不動點”，則．
（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）
23．如圖，直線（k為常數(shù)，）與x，y軸分別交于點A，B，則的值是．

（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）
24．如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點D是線段AB上一動點，點H是直線上的一動點，動點，連接．當取最小值時，的最小值是．

（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）
25．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A在直線上，頂點B在x軸上，垂直軸，且，頂點在直線上，；過點作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點作垂直x軸，交于點，連接，得到第一個；過點作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點作垂直x軸，交于點，連接，得到第二個；如此下去，……，則的面積是．
三、解答題
（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）
26．在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，與過點且平行于x軸的線交于點C．
(1)求該函數(shù)的解析式及點C的坐標；
(2)當時，對于x的每一個值，函數(shù)的值大于函數(shù)的值且小于4，直接寫出n的值．
（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）
27．如圖，在直角坐標系中，點在直線上，過點A的直線交y軸于點．

(1)求m的值和直線的函數(shù)表達式．
(2)若點在線段上，點在直線上，求的最大值．
（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）
28．一次函數(shù)的圖象與軸交于點，且經(jīng)過點．

(1)求點和點的坐標；
(2)直接在上圖的平面直角坐標系中畫出一次函數(shù)的圖象；
(3)點在軸的正半軸上，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點坐標．
（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）
29．在平面直角坐標系中，設(shè)計了點的兩種移動方式：從點移動到點稱為一次甲方式：從點移動到點稱為一次乙方式．
例、點P從原點O出發(fā)連續(xù)移動2次；若都按甲方式，最終移動到點；若都按乙方式，最終移動到點；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動到點．

(1)設(shè)直線經(jīng)過上例中的點，求的解析式；并直接寫出將向上平移9個單位長度得到的直線的解析式；
(2)點P從原點O出發(fā)連續(xù)移動10次，每次移動按甲方式或乙方式，最終移動到點．其中，按甲方式移動了m次．
①用含m的式子分別表示；
②請說明：無論m怎樣變化，點Q都在一條確定的直線上．設(shè)這條直線為，在圖中直接畫出的圖象；
(3)在（1）和（2）中的直線上分別有一個動點，橫坐標依次為，若A，B，C三點始終在一條直線上，直接寫出此時a，b，c之間的關(guān)系式．
（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）
30．在平面直角坐標系中，是第一象限內(nèi)一點，給出如下定義：和兩個值中的最大值叫做點P的“傾斜系數(shù)”k．
(1)求點的“傾斜系數(shù)”k的值；
(2)①若點的“傾斜系數(shù)”，請寫出a和b的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②若點的“傾斜系數(shù)”，且，求OP的長；
(3)如圖，邊長為2的正方形ABCD沿直線AC：運動，是正方形ABCD上任意一點，且點P的“傾斜系數(shù)”，請直接寫出a的取值范圍．
K的正負
B的正負
圖象經(jīng)過的象限
函數(shù)的增減性
K>0
b>0
第一、二、三象限
Y隨x的增大而增大
b3時，，
則y=kx+b>3的解集是．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與不等式結(jié)合，深入理解函數(shù)與不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
22．或或
【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的一元二次方程有唯一解，利用根的判別式可得關(guān)于的一元二次方程，解方程即可求解．
【詳解】解：由題意可知，方程有唯一解，
整理得：，且．
即，
解得或．
當時，它是一次函數(shù)，存在唯一“不動點”，
故答案為：或或．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，新定義，一次函數(shù)的定義，對“不動點”的理解是解決本題的關(guān)鍵．
23．1
【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式得出，，然后代入化簡即可．
【詳解】解：，
∴當時，，當時，，
∴，，
∴，
故答案為：1．
【點睛】題目主要考查一次函數(shù)與坐標軸的交點及求代數(shù)式的值，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
24．
【分析】作出點，作于點D，交x軸于點F，此時的最小值為的長，利用解直角三角形求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立即可求得點D的坐標，過點D作軸于點G，此時的最小值是的長，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，
∴，，
作點B關(guān)于x軸的對稱點，把點向右平移3個單位得到，
作于點D，交x軸于點F，過點作交x軸于點E，則四邊形是平行四邊形，
此時，，
∴有最小值，
作軸于點P，

則，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，則，
設(shè)直線的解析式為，
則，解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，，解得，
即；
過點D作軸于點G，

直線與x軸的交點為，則，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，利用軸對稱求最短距離，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．
25．
【分析】解直角三角形得出，，求出，證明，，得出，，總結(jié)得出，從而得出．
【詳解】解：∵，
∴，
∵軸，
∴點A的橫坐標為，
∵，
∴點A的縱坐標為，
∴，
∴，
∵，
∴設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵軸，軸，
∴，，
∵軸，軸，軸，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，
，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形面積的計算，平行線的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)規(guī)律探究，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出一般規(guī)律．
26．(1)，；
(2)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式，由題意知點C的縱坐標為4，代入函數(shù)解析式求出點C的橫坐標即可；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象得出當過點時滿足題意，代入求出n的值即可．
【詳解】（1）解：把點，代入得：，
解得：，
∴該函數(shù)的解析式為，
由題意知點C的縱坐標為4，
當時，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）知：當時，，
因為當時，函數(shù)的值大于函數(shù)的值且小于4，
所以如圖所示，當過點時滿足題意，
代入得：，
解得：．

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法的應(yīng)用，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．
27．(1)，
(2)
【分析】（1）把點A的坐標代入直線解析式可求解m，然后設(shè)直線的函數(shù)解析式為，進而根據(jù)待定系數(shù)法可進行求解函數(shù)解析式；
（2）由（1）及題意易得，，則有，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解．
【詳解】（1）解：把點代入，得．
設(shè)直線的函數(shù)表達式為，把點，代入得
，解得，
∴直線的函數(shù)表達式為．
（2）解：∵點在線段上，點在直線上，
∴，，
∴．
∵，
∴的值隨的增大而減小，
∴當時，的最大值為．
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
28．(1)
(2)見解析
(3)坐標是，
【分析】（1）令得出點的坐標是，把代入，即可求解；
（2）畫出經(jīng)過的直線，即可求解；
（3）根據(jù)等腰三角形的定義，勾股定理，即可求解．
【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點，
∴令
解得
∴點的坐標是
∵點在一次函數(shù)的圖象上
把代入，
得，
∴，
∴點的坐標是；
（2）解：如圖所示，

（3）解：如圖所示，當時，;
∵，，
∴，
當時，

∴符合條件的點坐標是，.
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，畫一次函數(shù)圖象，勾股定理，等腰三角形的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
29．(1)的解析式為；的解析式為；
(2)①；②的解析式為，圖象見解析；
(3)
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出的解析式，然后根據(jù)直線平移的規(guī)律：上加下減即可求出直線的解析式；
（2）①根據(jù)題意可得：點P按照甲方式移動m次后得到的點的坐標為，再得出點按照乙方式移動次后得到的點的橫坐標和縱坐標，即得結(jié)果；
②由①的結(jié)果可得直線的解析式，進而可畫出函數(shù)圖象；
（3）先根據(jù)題意得出點A，B，C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再把點C的坐標代入整理即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）設(shè)的解析式為，把、代入，得
，解得：，
∴的解析式為；
將向上平移9個單位長度得到的直線的解析式為；
（2）①∵點P按照甲方式移動了m次，點P從原點O出發(fā)連續(xù)移動10次，
∴點P按照乙方式移動了次，
∴點P按照甲方式移動m次后得到的點的坐標為；
∴點按照乙方式移動次后得到的點的橫坐標為，縱坐標為，
∴；
②由于，
∴直線的解析式為；
函數(shù)圖象如圖所示：

（3）∵點的橫坐標依次為，且分別在直線上，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
把A、B兩點坐標代入，得
，解得：，
∴直線的解析式為，
∵A，B，C三點始終在一條直線上，
∴，
整理得：；
即a，b，c之間的關(guān)系式為：．
【點睛】本題是一次函數(shù)和平移綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)和一次函數(shù)的相關(guān)知識，正確理解題意、熟練掌握平移的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．
30．(1)3
(2)①a-2b或b=2a，②OP=
(3)a>
【分析】（1）直接由“傾斜系數(shù)”定義求解即可；
（2）①由點的“傾斜系數(shù)”，由=2或=2求解即可；
②由a=2b或b=2a，又因a+b=3，求出a、b值，即可得點P坐標，從而由勾股定理可求解；
（3）當點P與點D重合時，且k=時，a有最小臨界值，此時，=，則，求得a=+1；當點P與B點重合，且k=時，a有最大臨界值，此時，，則，求得：a=3+；即可求得時，a的取值范圍．
【詳解】（1）解：由題意，得，，
∵3>，
∴點的“傾斜系數(shù)”k=3；
（2）解：①a=2b或b=2a，
∵點的“傾斜系數(shù)”，
當=2時，則a=2b；
當=2時，則b=2a，
∴a=2b或b=2a；
②∵的“傾斜系數(shù)”，
當=2時，則a=2b
∵，
∴2b+b=3，
∴b=1，
∴a=2，
∴P(2，1)，
∴OP=；
當=2時，則b=2a，
∵，
∴a+2a=3，
∴a=1，
∴b=2，
∴P(1，2)
∴OP=；
綜上，OP=；
（3）解：由題意知，當點P與點D重合時，且k=時，a有最小臨界值，如圖，連接OD，延長DA交x軸于E，
此時，=，
則，
解得：a=+1；
∵則;
當點P與B點重合，且k=時，a有最大臨界值，如圖，連接OB，延長CB交x軸于F，
此時，，
則，
解得：a=3+，
∵,則;
綜上，若P的“傾斜系數(shù)”，則a>．
【點睛】本題考查新定義，正方形的性質(zhì)，正比例函數(shù)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）（2）問理解新定義，（3）問求臨界值．

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