專題3 函數(shù)及圖像
第6講 確定二次函數(shù)的解析式
一、列二次函數(shù)的解析式
1．找出常量和變量；
2．用代數(shù)式表示變量之間關(guān)系；
3．確定自變量的取值范圍；
二、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
1．利用一般式
（1）適用條件：已知圖像上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或三組變量的值；
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，（a≠0）；再把三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（或三組變量的值）代入構(gòu)建方程組；
2．利用頂點(diǎn)式
（1）適用條件：已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最值；
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：（a≠0），先確定h、k的值，再把圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（或一組變量的值）代入構(gòu)建方程；
3．利用交點(diǎn)式
（1）適用條件：已知拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：（a≠0），先確定，再把圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（或一組變量的值）代入構(gòu)建方程；
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1．會(huì)通過分析實(shí)際問題的情境確定二次函數(shù)的表達(dá)式，體會(huì)二次函數(shù)的意義；
2．會(huì)用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式；
【例1】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考三模）
1．如圖，和是邊長(zhǎng)分別為5和2的等邊三角形，點(diǎn)、、、都在直線上，固定不動(dòng)，將在直線上自左向右平移．開始時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)停止．設(shè)移動(dòng)的距離為，兩個(gè)三角形重疊部分的面積為，請(qǐng)寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式 ．
【變1】（2022·廣東佛山·統(tǒng)考二模）
2．如圖，在中，，，．在它的內(nèi)部作一個(gè)矩形，使得在邊上，、分別在邊、上．設(shè)，矩形的面積為．
(1)寫出圖中的一對(duì)相似三角形；
(2)寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(3)若、是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，判斷線段與（2）中函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，并求出對(duì)應(yīng)的取值范圍．
【例1】（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）
3．拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表：
下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．拋物線的開口向下B．拋物線的對(duì)稱軸為直線
C．拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為D．函數(shù)的最大值為
【變1】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）
4．如圖，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和．

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．
【例1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）
5．已知兩個(gè)二次函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，取最小值6且，二次函數(shù)的最小值為，．求：
(1)的值；
(2)二次函數(shù)表達(dá)式．
【變1】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）
6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線M：經(jīng)過點(diǎn)B．
(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
(2)求b，c的值；
(3)平移拋物線M至N，點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，聯(lián)結(jié)，且軸，如果點(diǎn)P在x軸上，且新拋物線過點(diǎn)B，求拋物線N的函數(shù)解析式．
【例1】（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）
7．已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)連接BC，CD，BD，P為BD的中點(diǎn)，連接CP，則線段CP的長(zhǎng)是______．注：拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
【變1】（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）
8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)D到直線AC的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
一、選擇題
（2022·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）
9．如圖是二次函數(shù)的部分圖象，拋物線的對(duì)稱軸為直線，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．給出下列結(jié)論：
①；
②點(diǎn)的坐標(biāo)為；
③拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為；
④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
⑤函數(shù)最大值為．
其中正確的個(gè)數(shù)為( )

A．5B．4C．3D．2
二、填空題
（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）
10．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形，則 ．

（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）
11．如圖是二次函數(shù)的圖像，該函數(shù)的最小值是 ．
三、解答題
（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）
12．如圖，拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且頂點(diǎn)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)設(shè)拋物線與軸正半軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)位于拋物線上且在軸下方，連接、，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）
13．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)求的面積．
注：拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）
14．如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式．
(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）
15．設(shè)二次函數(shù)，（，是實(shí)數(shù)）．已知函數(shù)值和自變量的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示：
(1)若，求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)在（1）問的條件下，寫出一個(gè)符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而減?。?br>(3)若在m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求的取值范圍．
（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）
16．已知直線：經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．
(1)求直線的解析式；
(2)若點(diǎn)P（，）在直線上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)（0，-3），且開口向下
①求的取值范圍；
②設(shè)拋物線G與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)Q' 也在G上時(shí)，求G在≤≤的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．
x
-2
-1
0
1
y
0
4
6
6
…
0
1
2
3
…
…
1
1
…
參考答案：
1．
【分析】根據(jù)運(yùn)動(dòng)過程可分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，兩個(gè)三角形重疊部分為的面積，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)三角形重疊部分為的面積，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)三角形重疊部分為的面積，分別求解即可．
【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，如圖1所示，兩個(gè)三角形重疊部分為的面積，
由題意得，，
和是邊長(zhǎng)分別為5和2的等邊三角形，
是邊長(zhǎng)x的等邊三角形，
過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，
，
，
，
即；
②當(dāng)時(shí)，如圖2所示，兩個(gè)三角形重疊部分為的面積，
由題意得，，
過點(diǎn)作于點(diǎn)E，
，
，
即；
③當(dāng)時(shí)，如圖3所示，兩個(gè)三角形重疊部分為的面積，
由題意得，，
和是邊長(zhǎng)分別為5和2的等邊三角形，
是等邊三角形，且，
過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，
，
，
即；
綜上，寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，列二次函數(shù)解析式，勾股定理，平移與三角形面積問題，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并能夠分類討論是解題的關(guān)鍵．
2．(1)△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB
(2)
(3)當(dāng)時(shí)，此時(shí)MN與拋物線沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，MN與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)或或時(shí)，MN與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)．
【分析】（1）只需要證明△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可得到答案；
（3）利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）解：∵四邊形DEFG是矩形，
∴∠ADG=∠BEF=∠C=90°，，
∴∠A=∠CGF，∠B=∠CFG，
∴△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB；
（2）解：∵在中，，，，
∴
∵△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB，
∴，
∴，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，12），
∵、，
∴MN與x軸平行，
當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)MN與拋物線沒有交點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)MN與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)，即時(shí)，令，，
解得或（舍去），
∴當(dāng)時(shí)，MN與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，時(shí)，MN與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，MN與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，此時(shí)MN與拋物線沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，MN與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)或或時(shí)，MN與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)與幾何的應(yīng)用，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
3．C
【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，由此逐一判斷各選項(xiàng)即可
【詳解】解：由題意得，
解得，
∴拋物線解析式為，
∴拋物線開口向下，拋物線對(duì)稱軸為直線，該函數(shù)的最大值為，故A、B、D說法正確，不符合題意；
令，則，
解得或，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（3，0），故C說法錯(cuò)誤，符合題意；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
4．(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
(2)
【分析】（1）把和代入，建立方程組求解解析式即可，再把解析式化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）把代入函數(shù)解析式求解的值，再利用函數(shù)圖象可得時(shí)的取值范圍．
【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和．
∴，解得：，
∴拋物線為，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴
解得：，，

如圖，當(dāng)時(shí)，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用圖象法解不等式，熟練的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
5．(1)
(2)，
【分析】（1）由題意得，進(jìn)而解一元二次方程即可求解；
（2）設(shè)，，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等列方程，然后解方程即可．
【詳解】（1）解：∵當(dāng)時(shí)，取最小值6且，，
∴，即，
解得或，
∵，
∴；
（2）解：由題意，設(shè)，，
由，
∴，解得，
∴，．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值問題、解一元二次方程，根據(jù)題意得出相關(guān)方程（組）是解決問題的關(guān)鍵．
6．(1)，
(2)，
(3)或
【分析】（1）根據(jù)題意，分別將，代入直線即可求得；
（2）設(shè)，得到拋物線的頂點(diǎn)式為，將代入可求得，進(jìn)而可得到拋物線解析式為，即可求得b，c；
（3）根據(jù)題意，設(shè)，，根據(jù)平移的性質(zhì)可得點(diǎn)，點(diǎn)向下平移的距離相同，即列式求得，，然后得到拋物線N解析式為：，將代入可得，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，
當(dāng)時(shí)，代入得：，故，
當(dāng)時(shí)，代入得：，故，
（2）設(shè)，
則可設(shè)拋物線的解析式為：，
∵拋物線M經(jīng)過點(diǎn)B，
將代入得：，
∵，
∴，
即，
∴將代入，
整理得：，
故，；
（3）如圖：
∵軸，點(diǎn)P在x軸上，
∴設(shè)，，
∵點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，
∴點(diǎn)，點(diǎn)向下平移的距離相同，
∴，
解得：，
由（2）知，
∴，
∴拋物線N的函數(shù)解析式為：，
將代入可得：，
∴拋物線N的函數(shù)解析式為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求拋物線的解析式，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)的平移性質(zhì)求出m和a的值．
7．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得：，
解得，
則該拋物線的解析式為．
（2）解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，即，
為的中點(diǎn)，且，
，即，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)之間的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．
8．(1)
(2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，2）；
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，交直線AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)也為m，從而可以用m的代數(shù)式表示出DG，然后利用得到，可得出關(guān)于m的二次函數(shù)，運(yùn)用二次函數(shù)的最值即可解決問題；
（3）根據(jù)S△PCB：S△PCA=即可求解．
【詳解】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，交直線AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，如圖．

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+t，
則，
解得：，
∴直線AC的解析式為．
設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)也為m，
∴
∴，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴＝＝，
∴，
∴，
∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，點(diǎn)D到直線AC的距離取得最大值．
此時(shí)，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，2）；
（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，

直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝，
則EB：AE＝1：5或5：1
則AE＝5或1，
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣3，0），
將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線CP的表達(dá)式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直線CP的表達(dá)式為：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
聯(lián)立方程組或，
解得：x＝6或﹣（不合題意值已舍去），
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)、圖形面積計(jì)算等，解決問題的關(guān)鍵是將面積比轉(zhuǎn)化為線段比．
9．C
【分析】待定系數(shù)法得出的值即可判斷①，令，即可得出,進(jìn)而判斷②根據(jù)對(duì)稱性得出拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可判斷③，進(jìn)而得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷④和⑤， 即可求解．
【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，與軸交于點(diǎn)，
，拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，故③正確，符合題意；
解得，
，故①錯(cuò)誤，不符合題意；
函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故②正確，符合題意；
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故④正確，符合題意；
函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故⑤錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．或
【分析】根據(jù)題意求得點(diǎn)，，，根據(jù)題意分兩種情況，待定系數(shù)法求解析式即可求解．
【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵，四邊形是矩形，
∴，
①當(dāng)拋物線經(jīng)過時(shí)，將點(diǎn)，代入，
∴
解得：
②當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，將點(diǎn),代入，
∴
解得：
綜上所述，或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關(guān)鍵．
11．
【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線可求出的值，再將點(diǎn)代入可求出的值，然后求出時(shí)，的值即可得．
【詳解】解：由圖像可知，此函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，
則，，
解得，
將代入得：，解得，
則二次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
即該函數(shù)的最小值是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像、以及最值，讀懂二次函數(shù)的圖像是解題關(guān)鍵．
12．(1)
(2)，
【分析】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入可得；
（2）過作軸于，過作軸于，設(shè)，求出；根據(jù)，，得，故，從而，即可解得答案．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將代入得：，
解得，
；
（2）過作軸于，過作軸于，如圖：

設(shè)，
在中，令得或，
；
，，
，
，
，
，
，
，
解得或（此時(shí)與重合，舍去），
，．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明，用對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出的值．
13．(1)拋物線對(duì)應(yīng)的解析式，
(2)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，再根據(jù)解析式求點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（2）求出點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)，，利用即可得到答案．
【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
，
解這個(gè)方程組，得．
拋物線對(duì)應(yīng)的解析式．
點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
，即：，，
．
（2）如圖，連接OP．

，，，，
，
，
．
，
．
【點(diǎn)睛】此題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，掌握數(shù)形結(jié)合的思想和割補(bǔ)法求三角形面積是解題的關(guān)鍵．
14．(1)
(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）采用待定系數(shù)法，將點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)直接代入拋物線，即可求得拋物線的解析式．
（2）過線段的中點(diǎn)，且與平行的直線上的點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)連線組成的三角形的面積都等于，則此直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求；求出此直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，即可求得答案．
【詳解】（1）解：因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn) 和點(diǎn)兩點(diǎn)，所以
，
解得
，
所以拋物線解析式為：．
（2）解：如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為，可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作與平行的直線，假設(shè)與拋物線交于點(diǎn)， （在的左邊），（在圖中未能顯示）．
設(shè)直線的函數(shù)解析式為．
因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)和，所以
，
解得，
所以，直線的函數(shù)解析式為：．
又，
可設(shè)直線的函數(shù)解析式為，
因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn) ，所以
．
解得．
所以，直線的函數(shù)解析式為．
根據(jù)題意可知，
．
又，
所以，直線上任意一點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)連線組成的的面積都滿足．
所以，直線與拋物線的交點(diǎn)，即為所求，可得
，
化簡(jiǎn)，得
，
解得，
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一元二次方程、一元一次方程等，靈活結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可．
（2）利用拋物線的對(duì)稱性質(zhì)求得拋物線的對(duì)稱軸為直線；再根據(jù)拋物線的增減性求解即可．
（3）先把代入，得，從而得，再求出，，，從而得，然后m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，得，求解即可．
【詳解】（1）解：把，代入，得
，解得：，
∴．
（2）解：∵，在圖象上，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，則時(shí)，隨的增大而減小，
（3）解：把代入，得
，
∴
∴
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
∴，
∵m、n、p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，
∴，解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質(zhì)，解不等式組，熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式和拋物線的圖象性質(zhì)是解析的關(guān)鍵．
16．(1)直線解析式為：；
(2)①m＜10，且m≠0；②最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，9）或（2，5）
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式即可；
（2）①設(shè)G的頂點(diǎn)式，根據(jù)點(diǎn)P在直線上得出G的關(guān)系式，根據(jù)題意得出點(diǎn)（0，-3）不能成為拋物線G的頂點(diǎn)，進(jìn)而得出點(diǎn)P必須位于直線的上方，可求m的取值范圍，然后結(jié)合點(diǎn)P不能在軸上得出答案；
②先根據(jù)點(diǎn)Q，點(diǎn)的對(duì)稱，得QQ'=1，可表示點(diǎn)Q和的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)的代入關(guān)系式，求出a，再將點(diǎn)（0，-3）代入可求出m的值，然后分兩種情況結(jié)合取值范圍，求出函數(shù)最大值時(shí)，最高點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6），
∴，
解得，
∴直線解析式為：；
（2）解：①設(shè)G：（），
∵點(diǎn)P（，）在直線上，
∴；
∴G：（）
∵（0，-3）不在直線上，
∴（0，-3）不能成為拋物線G的頂點(diǎn)，
而以P為頂點(diǎn)的拋物線G開口向下，且經(jīng)過（0，-3），
∴點(diǎn)P必須位于直線的上方，
則，，
另一方面，點(diǎn)P不能在軸上，
∴，
∴所求取值范圍為：，且 ；
②如圖，QQ'關(guān)于直線對(duì)稱，且QQ'=1，
∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為，
而點(diǎn)Q在上，∴Q（，），Q'（，）；
∵Q'（，）在G：上，
∴， ，
∴ G：，或．
∵拋物線G過點(diǎn)（0，-3），
∴，
即，
， ；
當(dāng)時(shí)，拋物線G為，對(duì)稱軸為直線，
對(duì)應(yīng)區(qū)間為-2≤≤-1，整個(gè)區(qū)間在對(duì)稱軸的右側(cè)，
此時(shí)，函數(shù)值隨著的增大而減小，如圖，
∴當(dāng)取區(qū)間左端點(diǎn)時(shí)，達(dá)最大值9，最高點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，9）；
當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為≤≤，最高點(diǎn)為頂點(diǎn)P（2，5），如圖，
∴G在指定區(qū)間圖象最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，9）或（2，5）．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，求二次函數(shù)的極值等．解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)在直線與軸的交點(diǎn)（0，7），此時(shí)拋物線不可能過點(diǎn)（0，-3），因此，可能會(huì)被忽視．

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