專題3 函數(shù)及圖象
第4講 一次函數(shù)的實際應(yīng)用
一、利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實際問題的一般步驟
1．理解分析題，將文字語言或函數(shù)圖象中的點的坐標轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；
2．根據(jù)條件中的等量關(guān)系確定一次函數(shù)解析式及自變量的取值范圍；
3．利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
二、待定系數(shù)法的實際應(yīng)用
1．根據(jù)題意，確定函數(shù)的類型，根據(jù)類型設(shè)解析式；
2．從題中找出兩組變量的值，把值代入解析式構(gòu)建方程組；
3．解方程組，并寫出解析式；
三、一次函數(shù)與方程、不等式綜合應(yīng)用
1．這類題一般閱讀量大，情境較復(fù)雜，關(guān)鍵是讀懂題意，理清自變量、因變量；
2．將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，從而建立函數(shù)模型；
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1． 能在實際問題中列出一次函數(shù)的表達式；
2． 結(jié)合一次函數(shù)的圖象與表達式的性質(zhì)等解決簡單的實際問題；
【例1】
（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）
1．某移動公司推出A，B兩種電話計費方式．
(1)設(shè)一個月內(nèi)用移動電話主叫時間為tmin，根據(jù)上表，分別寫出在不同時間范圍內(nèi)，方式A，方式B的計費金額關(guān)于t的函數(shù)解析式；
(2)若你預(yù)計每月主叫時間為350min，你將選擇A，B哪種計費方式，并說明理由；
(3)請你根據(jù)月主叫時間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計費方式．
【變1】
（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）
2．為落實“雙減”政策，豐富課后服務(wù)的內(nèi)容，某學(xué)校計劃到甲、乙兩個體育專賣店購買一批新的體育用品，兩個商店的優(yōu)惠活動如下：
甲：所有商品按原價8.5折出售；
乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價付費，超過300元的部分打7折．
設(shè)需要購買體育用品的原價總額為元，去甲商店購買實付元，去乙商店購買實付元，其函數(shù)圖象如圖所示.
(1)分別求，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
(2)兩圖象交于點，求點坐標；
(3)請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算．
【例1】
（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）
3．為推進全民健身設(shè)施建設(shè)，某體育中心準備改擴建一塊運動場地．現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊參與施工，具體信息如下：
信息—
信息二
甲工程隊施工所需天數(shù)與乙工程隊施工所需天數(shù)相等．
(1)求x的值；
(2)該工程計劃先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續(xù)施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于．該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付多少施工費用?
【變1】
（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）
4．某校開設(shè)智能機器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機器人模型．A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多200元，用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數(shù)量相同．
(1)求A型，B型機器人模型的單價分別是多少元?
(2)學(xué)校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優(yōu)惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少?最少花費是多少元?
【例1】
（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）
5．快車和慢車同時從甲地出發(fā)，以各自的速度勻速向乙地行駛，快車到達乙地卸裝貨物用時，結(jié)束后，立即按原路以另一速度勻速返回，直至與慢車相遇，已知慢車的速度為．兩車之間的距離與慢車行駛的時間的函數(shù)圖像如圖所示．

(1)請解釋圖中點的實際意義；
(2)求出圖中線段所表示的函數(shù)表達式；
(3)兩車相遇后，如果快車以返回的速度繼續(xù)向甲地行駛，求到達甲地還需多長時間．
【變1】
（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）
6．在一條高速公路上依次有A，B，C三地，甲車從A地出發(fā)勻速駛向C地，到達C地休息后調(diào)頭（調(diào)頭時間忽略不計）按原路原速駛向B地，甲車從A地出發(fā)后，乙車從C地出發(fā)勻速駛向A地，兩車同時到達目的地．兩車距A地路程與甲車行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請結(jié)合圖象信息，解答下列問題：

(1)甲車行駛的速度是_____，乙車行駛的速度是_____．
(2)求圖中線段所表示的y與x之間的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
(3)乙車出發(fā)多少小時，兩車距各自出發(fā)地路程的差是？請直接寫出答案．
【例1】
（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）
7．甲、乙兩個工程組同時挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段時間后，乙組因維修設(shè)備而停工，甲組單獨完成了剩下的任務(wù)，甲、乙兩組挖掘的長度之和與甲組挖掘時間x（天）之間的關(guān)系如圖所示．

(1)甲組比乙組多挖掘了__________天．
(2)求乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)當甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等時，直接寫出乙組已停工的天數(shù)．
【變1】
（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）【綜合與實踐】
8．【綜合與實踐】
有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”．某興趣小組將利用物理學(xué)中杠桿原理制作簡易桿秤.小組先設(shè)計方案，然后動手制作，再結(jié)合實際進行調(diào)試，請完成下列方案設(shè)計中的任務(wù)．
【知識背景】如圖，稱重物時，移動秤砣可使桿秤平衡，根據(jù)杠桿原理推導(dǎo)得：.其中秤盤質(zhì)量克，重物質(zhì)量m克，秤砣質(zhì)量M克，秤紐與秤盤的水平距離為l厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米．

【方案設(shè)計】
目標：設(shè)計簡易桿秤．設(shè)定，，最大可稱重物質(zhì)量為1000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米．
任務(wù)一：確定l和a的值．
(1)當秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡，請列出關(guān)于l，a的方程；
(2)當秤盤放入質(zhì)量為1000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列出關(guān)于l，a的方程；
(3)根據(jù)（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任務(wù)二：確定刻線的位置．
(4)根據(jù)任務(wù)一，求y關(guān)于m的函數(shù)解析式；
(5)從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應(yīng)刻線，請寫出相鄰刻線間的距離．
一、選擇題
（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）
9．今年“五一”假期，小星一家駕車前往黃果樹旅游，在行駛過程中，汽車離黃果樹景點的路程y（）與所用時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）

A．小星家離黃果樹景點的路程為B．小星從家出發(fā)第1小時的平均速度為
C．小星從家出發(fā)2小時離景點的路程為D．小星從家到黃果樹景點的時間共用了
（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）
10．甲乙兩地相距a千米，小亮8:00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時刻t（×?xí)r×分）的函數(shù)圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時刻為（ ）

A．8:28B．8:30C．8:32D．8:35
二、解答題
（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）
11．中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠流長、是中華文明的智慧結(jié)晶．《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》是我國古代較為普及的算書、許多問題淺顯有趣．某書店的《孫子算經(jīng)》單價是《周髀算經(jīng)》單價的，用600元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本．
(1)求兩種圖書的單價分別為多少元？
(2)為等備“3．14數(shù)學(xué)節(jié)”活動，某校計劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半．由于購買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按八折出售．求兩種圖書分別購買多少本時費用最少？
（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）
12．近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．
(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？
(2)商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的一半，那么應(yīng)購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最?。孔钚≠M用是多少元？
（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）
13．甲、乙兩個相約登山，他們同時從入口處出發(fā)，甲步行登山到山頂，乙先步行15分鐘到纜車站，再乘坐纜車到達山頂．甲、乙距山腳的垂直高度y（米）與甲登山的時間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．

(1)當時，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度．
（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）
14．已知甲，乙兩地相距，一輛出租車從甲地出發(fā)往返于甲乙兩地，一輛貨車沿同一條公路從乙地前往甲地，兩車同時出發(fā)，貨車途經(jīng)服務(wù)區(qū)時，停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，貨車繼續(xù)出發(fā)后與出租車相遇．出租車到達乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達甲地．如圖是兩車距各自出發(fā)地的距離與貨車行駛時間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：

(1)圖中的值是__________；
(2)求貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離與行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)直接寫出在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)多長時間與出租車相距．
（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）
15．一條筆直的路上依次有三地，其中兩地相距1000米．甲、乙兩機器人分別從兩地同時出發(fā)，去目的地，勻速而行．圖中分別表示甲、乙機器人離地的距離（米）與行走時間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系圖象．

(1)求所在直線的表達式．
(2)出發(fā)后甲機器人行走多少時間，與乙機器人相遇？
(3)甲機器人到地后，再經(jīng)過1分鐘乙機器人也到地，求兩地間的距離．
（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）
16．兄妹倆放學(xué)后沿圖1中的馬路從學(xué)校出發(fā)，到書吧看書后回家，哥哥步行先出發(fā)，途中速度保持不變；妺妺騎車，到書吧前的速度為200米/分．圖2中的圖象分別表示兩人離學(xué)校的路程（米）與哥哥離開學(xué)校的時間（分）的函數(shù)關(guān)系．

(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥遲2分鐘到書吧．
①求圖中的值；
②妺妺在書吧待了10分鐘后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上時兄妺倆離家還有多遠；若不能，說明理由．
（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）
17．學(xué)校通過勞動教育促進學(xué)生樹德、增智、強體、育美全面發(fā)展，計劃組織八年級學(xué)生到“開心”農(nóng)場開展勞動實踐活動．到達農(nóng)場后分組進行勞動，若每位老師帶38名學(xué)生，則還剩6名學(xué)生沒老師帶；若每位老師帶40名學(xué)生，則有一位老師少帶6名學(xué)生．勞動實踐結(jié)束后，學(xué)校在租車總費用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師．現(xiàn)有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如下表所示
(1)參加本次實踐活動的老師和學(xué)生各有多少名？
(2)租車返校時，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車________輛；
(3)學(xué)校共有幾種租車方案？最少租車費用是多少？
（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）
18．“中國石化”推出促銷活動，一張加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用這張加油卡加油，每一升油，油的單價降低0.30元．假設(shè)這張加油卡的面值能夠一次性全部用完．
(1)他實際花了多少錢購買會員卡？
(2)減價后每升油的單價為y元/升，原價為x元/升，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不用寫出定義域）
(3)油的原價是7.30元/升，求優(yōu)惠后油的單價比原價便宜多少元？
（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）
19．我市“共富工坊”問海借力，某公司產(chǎn)品銷售量得到大幅提升．為促進生產(chǎn)，公司提供了兩種付給員工月報酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同．看圖解答下列問題：

(1)直接寫出員工生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，兩種方案付給的報酬一樣多；
(2)求方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
(3)如果你是勞務(wù)服務(wù)部門的工作人員，你如何指導(dǎo)員工根據(jù)自己的生產(chǎn)能力選擇方案．
（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）
20．在襄陽市創(chuàng)建“經(jīng)濟品牌特色品牌”政策的影響下．每到傍晚，市內(nèi)某網(wǎng)紅燒烤店就食客如云，這家燒烤店的海鮮串和肉串非常暢銷，店主從食品加工廠批發(fā)以上兩種產(chǎn)品進行加工銷售，其中海鮮串的成本為m元/支，肉串的成本為n元/支；兩次購進并加工海鮮串和肉串的數(shù)量與成本如下表所示（成本包括進價和其他費用）：
針對團以消費，店主決定每次消費海鮮串不超過200支時，每支售價5元；超過200支時、不超過200支的部分按原價，超過200支的部分打八折．每支肉串的售價為3.5元．
(1)求m、n的值；
(2)五一當天，一個旅游團去此店吃燒烤，一次性消費海鮮串和肉串共1000支，且海鮮串不超過400支．在本次消費中，設(shè)該旅游團消費海鮮串x支，店主獲得海鮮串的總利潤為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，該旅游團消費的海鮮串超過了200支，店主決定給該旅游團更多優(yōu)惠，對每支肉串降價a（）元，但要確保本次消費獲得肉串的總利潤始終不低于海鮮串的總利潤，求a的最大值．
計費方式
月使用費/元
主叫限定時間/min
主叫超時費/（元/min）
被叫
A
免費
B
免費
工程隊
每天施工面積（單位：）
每天施工費用（單位：元）
甲
3600
乙
x
2200
甲型客車
乙型客車
載客量/（人/輛）
45
30
租金/（元/輛）
400
280
次數(shù)
數(shù)量（支）
總成本（元）
海鮮串
肉串
第一次
3000
4000
17000
第二次
4000
3000
18000
參考答案：
1．(1)見解析；
(2)選方式B計費，理由見解析；
(3)見解析．
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)兩種計費金額分別為、，分別計算三個不同范圍內(nèi)的A、B兩種方式的計費金額即可；
（2）令，根據(jù)（1）中范圍求出對應(yīng)兩種計費金額，選擇費用低的方案即可；
（3）令，求出此時的值，當主叫時間時，方式A省錢；當主叫時間時，方式A和B一樣；當主叫時間時，方式B省錢；
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)兩種計費金額分別為、
當時，方式A的計費金額為元，方式B的計費金額為108元；
方式A的計費金額，方式B的計費金額為108元；
當時，方式A的計費金額為，方式B的計費金額為
總結(jié)如下表：
（2）解：當時，
，故選方式B計費．
（3）解：令，有解得
∴當時，方式A更省錢；
當時，方式A和B金額一樣；
當時，方式B更省錢．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)在電話計費中的應(yīng)用，根據(jù)題意分段討論是求解的關(guān)鍵．
2．(1)y甲=0.85x；y乙與x的函數(shù)關(guān)系式為y乙=
(2)（600，510）
(3)當x＜600時，選擇甲商店更合算；當x=600時，兩家商店所需費用相同；當x＞600時，選擇乙商店更合算．
【分析】（1）根據(jù)題意，可以分別寫出甲、乙兩家商店y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論列方程組解答即可；
（3）由點A的意義并結(jié)合圖象解答即可．
【詳解】（1）由題意可得，y甲=0.85x；
乙商店：當0≤x≤300時，y乙與x的函數(shù)關(guān)系式為y乙=x；
當x＞300時，y乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90，
由上可得，y乙與x的函數(shù)關(guān)系式為y乙=
（2）由，解得，
點A的坐標為（600，510）；
（3）由點A的意義，當買的體育商品標價為600元時，甲、乙商店優(yōu)惠后所需費用相同，都是510元，
結(jié)合圖象可知，
當x＜600時，選擇甲商店更合算；
當x=600時，兩家商店所需費用相同；
當x＞600時，選擇乙商店更合算．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
3．(1)x的值為600
(2)該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付施工費用56800元
【分析】（1）根據(jù)題意甲工程隊施工所需天數(shù)與乙工程隊施工所需天數(shù)相等列出分式方程解方程即可；
（2）設(shè)甲工程隊先單獨施工天，體育中心共支付施工費用元，根據(jù)先由甲工程隊單獨施工若干天，再由乙工程隊單獨繼續(xù)施工，兩隊共施工22天，且完成的施工面積不少于列出不等式即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意列方程，得．
方程兩邊乘，得．
解得．
檢驗：當時，．
所以，原分式方程的解為．
答：x的值為600．
（2）解：設(shè)甲工程隊先單獨施工天，體育中心共支付施工費用元．
則．
，
．
1400>0，
隨的增大而增大．
當時，取得最小值，最小值為56800．
答：該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付施工費用56800元．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
4．(1)A型編程機器人模型單價是500元，B型編程機器人模型單價是300元
(2)購買A型機器人模型10臺和B型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元
【分析】（1）設(shè)A型編程機器人模型單價是元，B型編程機器人模型單價是元，根據(jù)：用2000元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數(shù)量相同即可列出關(guān)于x的分式方程，解方程并檢驗后即可求解；
（2）設(shè)購買A型編程機器人模型臺，購買A型和B型編程機器人模型共花費元，根據(jù)題意可求出m的范圍和W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值
【詳解】（1）解：設(shè)A型編程機器人模型單價是元，B型編程機器人模型單價是元．
根據(jù)題意，得
解這個方程，得
經(jīng)檢驗，是原方程的根．
答：A型編程機器人模型單價是500元，B型編程機器人模型單價是300元．
（2）設(shè)購買A型編程機器人模型臺，購買B型編程機器人模型臺，購買A型和B型編程機器人模型共花費元，
由題意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴隨的增大而增大．
∴當時，取得最小值11200，此時；
答：購買A型機器人模型10臺和B型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用和一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意、找準相等與不等關(guān)系、得出分式方程與不等式是解題的關(guān)鍵．
5．(1)快車到達乙地時，慢車距離乙地還有
(2)
(3)小時
【分析】（1）根據(jù)點的縱坐標最大，可得兩車相距最遠，結(jié)合題意，即可求解；
（2）根據(jù)題意得出，進而待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（3）先求得快車的速度進而得出總路程，再求得快車返回的速度，即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)函數(shù)圖象，可得點的實際意義為：快車到達乙地時，慢車距離乙地還有
（2）解：依題意，快車到達乙地卸裝貨物用時，則點的橫坐標為，
此時慢車繼續(xù)行駛小時，則快車與慢車的距離為，
∴
設(shè)直線的表達式為
∴
解得：
∴直線的表達式為
（3）解：設(shè)快車去乙地的速度為千米/小時，則，
解得：
∴甲乙兩地的距離為千米，
設(shè)快車返回的速度為千米/小時，根據(jù)題意，
解得：，
∴兩車相遇后，如果快車以返回的速度繼續(xù)向甲地行駛，求到達甲地還需（小時）
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次方程，根據(jù)函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵．
6．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）結(jié)合函數(shù)圖象中點的坐標的實際意義求速度；
（2）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（3）先求得點E、F坐標，然后分情況列方程求解．
【詳解】（1）解：由圖可得，即甲出發(fā)3時后與地相距，
∴甲車行駛速度為；
由題意可得，，即乙車出發(fā)行駛，
∴乙車行駛速度為，
故答案為：，；
（2）解：設(shè)線段所在直線的解析式為．
將，代入，得．
解得．
線段所在直線的解析式為．
（3）解：在中，當時，，
∴，
由（1）可得乙車行駛速度為，甲車行駛速度為且兩車同時到達目的地，
則乙到達目的地時，甲距離A地的距離為，
∴，，
設(shè)乙車出發(fā)時，兩車距各自出發(fā)地路程的差是，
當時，此時甲在到達C地前，
由，
解得，（不合題意，舍去）；
當時，此時甲在C地休息，則，
解得，（不合題意，舍去）；
當時，此時甲在返回B地中，則
解得，（不合題意，舍去）
綜上，乙車出發(fā)或，兩車距各自出發(fā)地路程的差是．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用-行程問題、一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖象分析運動過程，理解各個節(jié)點的實際意義．
7．(1)30
(2)
(3)10天
【分析】（1）由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨做，據(jù)此計算即可；
（2）設(shè)乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，用待定系數(shù)法求解，再結(jié)合圖象即可得到自變量x的取值范圍；
（3）先計算甲乙兩組每天各挖掘多少千米，再計算乙組挖掘的總長度，設(shè)乙組已停工的天數(shù)為a，根據(jù)甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等列方程計算即可．
【詳解】（1）解：由圖可知，前30天甲乙兩組合作，30天以后甲組單獨做，
∴甲組挖掘了60天，乙組挖掘了30天，
（天）
∴甲組比乙組多挖掘了30天，
故答案為：30；
（2）解：設(shè)乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，
將和兩個點代入，可得，
解得，
∴
（3）解：甲組每天挖（米）
甲乙合作每天挖（米）
∴乙組每天挖（米），乙組挖掘的總長度為（米）
設(shè)乙組己停工的天數(shù)為a，
則，
解得，
答：乙組已停工的天數(shù)為10天．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解題意觀察圖象得到有用信息是解題的關(guān)鍵．
8．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)相鄰刻線間的距離為5厘米
【分析】（1）根據(jù)題意可直接進行求解；
（2）根據(jù)題意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程組進行求解；
（4）根據(jù)（3）可進行求解；
（5）分別把，，，，，，，，，，代入求解，然后問題可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：，
∴，
∴；
（2）解：由題意得：，
∴，
∴；
（3）解：由（1）（2）可得：，
解得：；
（4）解：由任務(wù)一可知：，
∴，
∴；
（5）解：由（4）可知，
∴當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；
∴相鄰刻線間的距離為5厘米．
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意．
9．D
【分析】根據(jù)路程、速度、時間的關(guān)系，結(jié)合圖象提供信息逐項判斷即可．
【詳解】解：時，，因此小星家離黃果樹景點的路程為，故A選項錯誤，不合題意；
時，，因此小星從家出發(fā)第1小時的平均速度為，故B選項錯誤，不合題意；
時，，因此小星從家出發(fā)2小時離景點的路程為，故C選項錯誤，不合題意；
小明離家1小時后的行駛速度為，從家出發(fā)2小時離景點的路程為，還需要行駛1小時，因此小星從家到黃果樹景點的時間共用了，故D選項正確，符合題意；
故選D．
【點睛】本題主要考查從函數(shù)圖象獲取信息，解題的關(guān)鍵是理解題意，看懂所給一次函數(shù)的圖象．
10．A
【分析】利用待定系數(shù)法求出兩條直線的函數(shù)解析式，將兩個解析式聯(lián)立，通過解方程求出交點的橫坐標即可．
【詳解】解：令小亮出發(fā)時對應(yīng)的t值為0，小瑩出發(fā)時對應(yīng)的t值為10，則小亮到達乙地時對應(yīng)的t值為70，小瑩到達甲地時對應(yīng)的t值為40，
設(shè)小亮對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
將代入解析式得，解得，
小亮對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
設(shè)小瑩對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
將，代入解析式，得，
解得，
小瑩對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
令，得，
解得，
小亮與小瑩相遇的時刻為8:28．
故選A．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出兩條直線的函數(shù)解析式，熟練運用數(shù)形結(jié)合思想．
11．(1)《周髀算經(jīng)》單價為40元，則《孫子算經(jīng)》單價是30元；
(2)當購買《周髀算經(jīng)》27本，《孫子算經(jīng)》53本時，購買兩類圖書總費用最少，最少總費用為2316元．
【分析】（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》單價為x元，則《孫子算經(jīng)》單價是元，根據(jù)“用600元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本”列分式方程，解之即可求解；
（2）根據(jù)購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半列出不等式求出m的取值范圍，根據(jù)m的取值范圍結(jié)合函數(shù)解析式解答即可．
【詳解】（1）解：設(shè)《周髀算經(jīng)》單價為x元，則《孫子算經(jīng)》單價是元，
依題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
，
答：《周髀算經(jīng)》單價為40元，則《孫子算經(jīng)》單價是30元；
（2）解：設(shè)購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量m本，則購買的《孫子算經(jīng)》數(shù)量為本，
依題意得，，
解得，
設(shè)購買《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的總費用為y（元），
依題意得，，
∵，
∴y隨m的增大而增大，
∴當時，有最小值，此時（元），
（本）
答：當購買《周髀算經(jīng)》27本，《孫子算經(jīng)》53本時，購買兩類圖書總費用最少，最少總費用為2136元．
【點睛】本題主要考查分式方程的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用以及一元一次不等式的實際應(yīng)用，根據(jù)題意表示出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及列出不等式是解題的關(guān)鍵．
12．(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是65元， 54元．
(2)購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．
【分析】（1）設(shè)購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為元，根據(jù)題意，得，求解；
（2）設(shè)購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設(shè)總費用為w,則，解得，故最小整數(shù)解為，，根據(jù)一次函數(shù)增減性，求得最小值=．
【詳解】（1）解:設(shè)購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為元，根據(jù)題意，得
解得，，
，
答：甲、乙兩種頭盔的單價各是65元， 54元．
（2）解：設(shè)購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設(shè)總費用為w,
則，解得，故最小整數(shù)解為，
，
∵，則w隨m的增大而增大，
∴時，w取最小值，最小值．
答：購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用；根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，確定自變量取值范圍是解題的關(guān)鍵．
13．(1)
(2)
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）求得甲距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，聯(lián)立，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，將，代入得，
，
解得：，
∴；
（2）設(shè)甲距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為
將點代入得，
解得：，
∴；
聯(lián)立
解得：
∴乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時距山腳的垂直高度為米
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．
14．(1)120
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得的解析式，將代入解析式，解方程即可解答；
（2）根據(jù)題意可得的值，即為貨車裝貨時距離乙地的長度，結(jié)合貨車停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，可求出裝貨時間，即點的坐標，再根據(jù)貨車繼續(xù)出發(fā)后與出租車相遇，求出裝完貨后貨車的速度，即直線的解析式中的值，最后將點B坐標代入直線的解析式，利用待定系數(shù)法即可解答；
（3）根據(jù)（2）中直線的解析式求得點的坐標，結(jié)合題意，可得點的坐標，從而可得到出租車返回時的速度，然后進行分類討論：①出租車和貨車第二次相遇前，相距時；②出租車和貨車第二次相遇后，距離時，分別進行解答即可．
【詳解】（1）解：結(jié)合圖象，可得，
設(shè)直線的解析式為，
將代入解析式，可得，解得，
直線的解析式為，
把代入，得，
故答案為：120；
（2）解：根據(jù)貨車停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，
可得此時出租車距離乙地為，
出租車距離甲地為，
把代入，可得，解得，
貨車裝完貨時，，可得，
根據(jù)貨車繼續(xù)出發(fā)后與出租車相遇，可得（出租車的速度貨車的速度），
根據(jù)直線的解析式為，可得出租車的速度為，
相遇時，貨車的速度為，
故可設(shè)直線的解析式為，
將代入，可得，解得，
直線的解析式為，
故貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離與行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（3）解：把代入，可得，解得，
，
，
根據(jù)出租車到達乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達甲地，可得,
，
出租車返回時的速度為，
設(shè)在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)t小時，與出租車相距，
此時貨車距離乙地為，出租車距離乙地為，
①出租車和貨車第二次相遇前，相距時；
可得，
解得，
②出租車和貨車第二次相遇后，相距時；
可得，
解得，
故在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)或與出租車相距．
【點睛】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，能準確地理解題意，根據(jù)題中信息求得所需數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．
15．(1)
(2)出發(fā)后甲機器人行走分鐘，與乙機器人相遇
(3)兩地間的距離為600米
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）利用待定系數(shù)法求出所在直線的表達式，再列方程組求出交點坐標，即可；
（3）列出方程即可解決．
【詳解】（1）∵，
∴所在直線的表達式為．
（2）設(shè)所在直線的表達式為，
∵，
∴解得
∴．
甲、乙機器人相遇時，即，解得，
∴出發(fā)后甲機器人行走分鐘，與乙機器人相遇．
（3）設(shè)甲機器人行走分鐘時到地，地與地距離，
則乙機器人分鐘后到地，地與地距離，
由，得．
∴．
答：兩地間的距離為600米．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用待定系數(shù)法可求出函數(shù)表達式，要利用方程組的解，求出兩個函數(shù)的交點坐標，充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
16．(1)
(2)①；②能追上，理由見解析
【分析】（1）結(jié)合圖表可得，根據(jù)速度等于路程除以時間，即可解答；
（2）①根據(jù)時間=路程÷速度可知妹妹到書吧所用的時間，再根據(jù)題意確定a得值即可；
②如圖，將妹妹走完全程的圖象畫出，將和的解析式求出，求兩個函數(shù)的交點即可．
【詳解】（1）解：由圖可得，
（米/分），
∴哥哥步行速度為100米/分．
（2）①根據(jù)妺妺到書吧前的速度為200米/分，
∴妹妹所用時間t為：（min）．
∵妹妹比哥哥遲2分鐘到書吧，
∴．
②能追上．
如圖，根據(jù)哥哥的速度沒變，可得的解析式的k值相同，妹妹的速度減小但仍大于哥哥的速度，將妹妹的行程圖象補充完整，
設(shè)所在直線為，將代入，得，
解得，
∴．
∵妺妺的速度是160米/分．
設(shè)所在直線為，將代入，得，
解得，
∴．
聯(lián)立方程，
解得，
∴米，即追上時兄妺倆離家300米遠．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用（行程問題），從圖像中獲得正確的信息是解題的關(guān)鍵．
17．(1)參加本次實踐活動的老師有6名，學(xué)生有234名
(2)6
(3)學(xué)校共有兩套租車方案，最少租車費用是2160元
【分析】（1）設(shè)參加本次實踐活動的老師有x名，根據(jù)“若每位老師帶38名學(xué)生，則還剩6名學(xué)生沒老師帶；若每位老師帶40名學(xué)生，則有一位老師少帶6名學(xué)生”列出方程求解即可；
（2）根據(jù)每輛車上至少有1名老師，參加本次實踐活動的老師有6名，得出汽車總數(shù)不超過6輛，根據(jù)要保證所有師生都有車坐，得出汽車總數(shù)不少于輛，即可解答；
（3）設(shè)租用甲客車a輛，則租用乙客車輛，列出不等式組，解得，設(shè)租車費用為y元，得出，根據(jù)一次函數(shù)增減性得出y隨a的增大而增大，即可解答．
【詳解】（1）解：設(shè)參加本次實踐活動的老師有x名，
，
解得：，
∴，
答：參加本次實踐活動的老師有6名，學(xué)生有234名；
（2）解：∵每輛車上至少有1名老師，參加本次實踐活動的老師有6名，
∴汽車總數(shù)不超過6輛，
∵要保證所有師生都有車坐，
∴汽車總數(shù)不少于（輛），則汽車總數(shù)最少為6輛，
∴共需租車6輛，
故答案為：6．
（3）解：設(shè)租用甲客車a輛，則租用乙客車輛，
，
解得：，
∵a為整數(shù)，
∴或，
方案一：租用甲客車4輛，則租用乙客車2輛；
方案二：租用甲客車5輛，則租用乙客車1輛；
設(shè)租車費用為y元，
，
∵，
∴y隨a的增大而增大，
∴當時，y最小，，
綜上：學(xué)校共有兩套租車方案，最少租車費用是2160元．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系，列出方程、不等式組、一次函數(shù)表達式．
18．(1)900
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)，計算求解即可；
（2）由題意知，，整理求解即可；
（3）當，則，根據(jù)優(yōu)惠后油的單價比原價便宜元，計算求解即可．
【詳解】（1）解：由題意知，（元），
答：實際花了900元購買會員卡；
（2）解：由題意知，，整理得，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；
（3）解：當，則，
∵，
∴優(yōu)惠后油的單價比原價便宜元．
【點睛】本題考查了有理數(shù)乘法應(yīng)用，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于理解題意，正確的列出算式和一次函數(shù)解析式．
19．(1)30件
(2)
(3)若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)不足30件，則選擇方案二；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)就是30件，兩種方案報酬相同，可以任選一種；若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)超過30件，則選擇方案一
【分析】（1）由圖象的交點坐標即可得到解答；
（2）由圖象可得點，設(shè)方案二的函數(shù)表達式為，利用待定系數(shù)法即可得到方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（3）利用圖象的位置關(guān)系，結(jié)合交點的橫坐標即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：由圖象可知交點坐標為，即員工生產(chǎn)30件產(chǎn)品時，兩種方案付給的報酬一樣多；
（2）由圖象可得點，設(shè)方案二的函數(shù)表達式為，
把代入上式，得
解得
∴方案二的函數(shù)表達式為．
（3）若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)不足30件，則選擇方案二；
若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)就是30件，兩種方案報酬相同，可以任選一種；
若每月生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)超過30件，則選擇方案一．
【點睛】此題考查了從函數(shù)圖像獲取信息、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，從函數(shù)圖象獲取正確信息和掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
20．(1)的值為3，的值為2
(2)
(3)0.5
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)列出方程組，解方程組即可求出、的值；
（2）分兩種情況討論，根據(jù)題意，結(jié)合“總利潤每支利潤數(shù)量”分別列出代數(shù)式即可求出與的函數(shù)關(guān)系式，注意寫出自變量的取值范圍；
（3）設(shè)降價后獲得肉串的總利潤為元，令，先根據(jù)題意列出關(guān)于的關(guān)系式，再寫出關(guān)于的關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)增減性和題中數(shù)量關(guān)系即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）解：根據(jù)表格可得：，
解得：，
∴的值為3，的值為2；
（2）當時，店主獲得海鮮串的總利潤；
當時，店主獲得海鮮串的總利潤；
∴；
（3）設(shè)降價后獲得肉串的總利潤為元，令，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴隨的增大而減小，
當時，的值最小，
由題意可得：，
∴，
即，
解得：，
∴的最大值是0.5．
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用是解決問題的關(guān)鍵．
主叫時間/分鐘
方式A計費()
方式B計費()
78
108
108

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