專題3 函數(shù)及圖象
第8講 二次函數(shù)與幾何圖形
一、關(guān)系式的建立
1.公式法：根據(jù)圖形的周長(zhǎng)、面積、體積公式建立關(guān)系式；
2.性質(zhì)法：根據(jù)圖形的性質(zhì)中的數(shù)量關(guān)系建立關(guān)系式；
3.定理法則法：根據(jù)勾股定理、全等、相似、位似等建立關(guān)系式；
二、動(dòng)點(diǎn)問題
1.動(dòng)點(diǎn)與二次函數(shù)：一般以動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為自變量，所求最值為因變量建立二次函數(shù)；
2.動(dòng)點(diǎn)與等腰三角形：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形兩條邊相等，結(jié)合勾股定理建立方程；等腰三角形的分類：以頂角頂點(diǎn)分三類；
3.動(dòng)點(diǎn)與直角三角形：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理建立方程；直角三角形的分類：以直角邊為分類依據(jù)，分三類；有時(shí)也需要構(gòu)建相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方程；
4.動(dòng)點(diǎn)與平行四邊形：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程；平行四邊形的分類：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，以對(duì)角線分三類；也可以采用平移的方式，根據(jù)平移的性質(zhì)建立方程；
4.動(dòng)點(diǎn)與菱形．先舍去平面上任意的一點(diǎn)，其它三個(gè)點(diǎn)構(gòu)造等腰三角形，轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與等腰三角形來解決；
5.動(dòng)點(diǎn)與矩形．先舍去平面上任意的一點(diǎn)，其它三個(gè)點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與直角三角形來解決；
6.動(dòng)點(diǎn)與等腰直角三角形（正方形）．通常構(gòu)造全等三角形來解決．
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2022年版，學(xué)業(yè)質(zhì)量要求：
1.會(huì)通過分析實(shí)際問題的情境確定二次函數(shù)的表達(dá)式，體會(huì)二次函數(shù)的意義；
2.形成二次函數(shù)的模型觀念，解決簡(jiǎn)單的問題；
【例1】
（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）
1．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)D（1，4）在直線l：y＝x+t上，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）在x軸上方的拋物線上．

(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥l于點(diǎn)N，當(dāng)1＜m＜3時(shí)，求PM+PN的最大值；
(3)設(shè)直線AP，BP與拋物線的對(duì)稱軸分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，請(qǐng)?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)）為頂點(diǎn)的四邊形面積是否隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化，若不變，求出這個(gè)四邊形的面積；若變化，說明理由．
【變1】
（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）
2．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱軸是直線．

(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最?。簏c(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；
(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【例1】
（2022·廣西貴港·中考真題）
3．如圖，已知拋物線經(jīng)過和兩點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)C，P是直線上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，軸交于點(diǎn)D．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若軸交于點(diǎn)E，求的最大值；
(3)若以A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與相似，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【變1】
（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（，是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫出的取值范圍；
(3)若此拋物線在點(diǎn)左側(cè)部分（包括點(diǎn)）的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．
①求的值；
②以為邊作等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)在此拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【例1】
（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）
5．如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．
【變1】
（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊在x軸上，，的長(zhǎng)是一元二次方程的根，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交對(duì)角線于點(diǎn)D，直線分別交x軸和y軸于點(diǎn)F和點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)F以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)求直線的解析式．
(2)連接，求的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．
(3)點(diǎn)N在運(yùn)動(dòng)的過程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q．使得以A，C，N，Q為項(xiàng)點(diǎn)的四邊形是矩形．若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
【例1】
（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）
7．如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．
【變1】
（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）
8．已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有
(1)求b的值；
(2)將拋物線平移后得到拋物線．
探究下列問題：
①若拋物線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；
②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對(duì)拋物線上的任意一點(diǎn)P，在拋物線上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求長(zhǎng)的取值范圍．
（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）
9．如圖，拋物線過點(diǎn)，，矩形的邊在線段上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)，當(dāng)時(shí)，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？
(3)保持時(shí)的矩形不動(dòng)，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．
（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）
10．如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時(shí)，面積最大，并求出最大值．
（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）
11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（0，﹣1），B（4，1）．直線AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PE∥x軸，交AB于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE周長(zhǎng)的最大值；
（3）把拋物線平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為（2）中求得的點(diǎn)P．M是新拋物線上一點(diǎn)，N是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的過程寫出來．
（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
13．如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn),．與y軸交于點(diǎn)C，，直線交拋物線于點(diǎn)E，且．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為直線EC上一點(diǎn)，求的最小值；
(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以E，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）
14．綜合與探究
如圖，已知直線與x軸，y軸交于B，A兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)N，交直線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

(1)求拋物線解析式；
(2)當(dāng)，t的值為___________；
(3)若點(diǎn)N到直線的距離為d，求d的最大值；
(4)在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使是以為腰的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）
15．已知二次函數(shù)．
(1)若，且該二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)，求的值；
(2)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，該二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)D在上且在第二象限內(nèi)，點(diǎn)在軸正半軸上，連接，且線段交軸正半軸于點(diǎn)，．

①求證：．
②當(dāng)點(diǎn)在線段上，且．的半徑長(zhǎng)為線段的長(zhǎng)度的倍，若，求的值．
參考答案：
1．(1)y =x2+2x+3
(2)最大值
(3)定值16
【分析】（1）利用頂點(diǎn)式可得結(jié)論；
（2）如圖，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)T，連接PT，BD，BD交PM于點(diǎn)J，設(shè)，，推出最大時(shí)，的值最大，求出四邊形DTBP的面積的最大值，可得結(jié)論；
（3）如圖，設(shè)，求出直線AP，BP的解析式，可得點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，求出FG的長(zhǎng)，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)為D（1，4），
∴根據(jù)頂點(diǎn)式，拋物線的解析式為；
（2）解：如圖，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)T，連接PT，BD，
BD交PM于點(diǎn)J，設(shè)，

點(diǎn)，在直線l：上，
∴，
∴，
∴直線DT的解析式為，
令，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴最大時(shí)，的值最大，
∵，，
∴直線BD的解析式為，
∴，
∴，
∵
，
∵二次項(xiàng)系數(shù)，
∴時(shí)，最大，最大值為11，
∴的最大值；
（3）解：四邊形AFBG的面積不變．
理由：如圖，設(shè)，

∵，，
∴直線AP的解析式為，
∴，
∵E，G關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴，
∴直線PB的解析式為，
∴，
∴，
∴四邊形AFBG的面積，
∴四邊形AFBG的面積是定值．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．
2．(1)
(2)點(diǎn)，的最小值為
(3)
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，求出直線的解析式，解析式與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)的坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式求出的長(zhǎng)，即為的最小值；
（3）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，設(shè)，得到，，將的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得解．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴，
連接，

∵，
∴，
∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長(zhǎng)，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴；
∴點(diǎn)，的最小值為；
（3）過點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，
設(shè)拋物線的解析式為：，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則：，
由（2）知：直線：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用拋物線的對(duì)稱性以及數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
3．(1)
(2)最大值為
(3)或，
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為，然后證明，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，其中，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，分別表示出和，再由二次函數(shù)的最值性質(zhì)，求出答案；
（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況進(jìn)行分析：當(dāng)∽時(shí)；當(dāng)∽時(shí)；分別求出兩種情況的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過和兩點(diǎn)，
∴
解得：，，
∴拋物線的表達(dá)式為．
（2）解：∵，
∴直線表達(dá)式為，
∵直線與x軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∵軸，軸，
∴，
∴，
∴，
則，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，其中，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
∵，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為．
（3）解：根據(jù)題意，
在一次函數(shù)中，令，則，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）；
當(dāng)∽時(shí)，如圖
此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；
∵軸，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；
當(dāng)∽時(shí)，如圖，則，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)P為，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
∴滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分析．
4．(1)
(2)或
(3)①或3；②或或
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，再畫出函數(shù)圖象，由此即可得；
（3）①先求出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)、以及點(diǎn)的坐標(biāo)，再分和兩種情況，分別畫出函數(shù)圖象，利用函數(shù)的增減性求解即可得；
②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分和兩種情況，分別根據(jù)等腰直角三角形的定義建立方程組，解方程組即可得．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得：，
解得，
則此拋物線的解析式為．
（2）解：對(duì)于二次函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，解得或，
則此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
畫出函數(shù)圖象如下：
則當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，的取值范圍為或．
（3）解：①二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
即，
（Ⅰ）如圖，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
則此時(shí)點(diǎn)即為最低點(diǎn)，
所以，
解得或（不符題設(shè)，舍去）；
（Ⅱ）如圖，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
則此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)即為最低點(diǎn)，
所以，
解得，符合題設(shè)，
綜上，的值為或3；
②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意，分以下兩種情況：
（Ⅰ）如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)對(duì)稱軸直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，
則在等腰中，只能是，
垂直平分，且，
（等腰三角形的三線合一），
，
解得，
則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，
由（3）①可知，此時(shí)，
則點(diǎn)，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，
則，即，
方程組無解，
所以此時(shí)不存在符合條件的點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，
則，即，
解得，
所以此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，
則，即，
方程組無解，
所以此時(shí)不存在符合條件的點(diǎn)；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、等腰直角三角形、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．(1)
(2)或或
(3)定值，理由見詳解
【分析】（1）將兩點(diǎn)代入拋物線的解析式即可求解；
（2）根據(jù)P，Q的不確定性，進(jìn)行分類討論：①過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，過作，交拋物線于，同時(shí)使，連接、，過作軸，交軸于，，即可求解；③當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，在①中，只要點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左邊，且滿足，也滿足條件，只是點(diǎn)P的坐標(biāo)仍是①中的坐標(biāo)；
（3）可設(shè)直線的解析式為，，，可求，再求直線的解析式為，從而可求，同理可求，即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，
，
解得，
故拋物線的解析式為．
（2）解：①如圖，過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，
四邊形是平行四邊形，
，
，
解得：，，
；
②如圖，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，過作，交拋物線于，同時(shí)使，連接、，過作軸，交軸于，
四邊形是平行四邊形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上圖，根據(jù)對(duì)稱性：，
③當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，由①知，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左邊，且時(shí)，也滿足條件，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)仍為；
綜上所述：的坐標(biāo)為或或．
（3）解：是定值，
理由：如圖，直線經(jīng)過，
可設(shè)直線的解析式為，
、在拋物線上，
可設(shè)，，
，
整理得：，
，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
當(dāng)與對(duì)調(diào)位置后，同理可求；
故的定值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)，與對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，掌握具體的解法，并會(huì)根據(jù)題意設(shè)合適的輔助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．
6．(1)；
(2)；
(3)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是或．
【分析】（1）過點(diǎn)A作于H，解方程可得，然后解直角三角形求出、和的長(zhǎng)，得到點(diǎn)A、D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出解析式即可；
（2）首先證明是等邊三角形，求出，然后分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)N在上，即時(shí)，過點(diǎn)N作于P，②當(dāng)點(diǎn)N在上，即時(shí)，過點(diǎn)N作于T，分別解直角三角形求出和，再利用三角形面積公式列式即可；
（3）分情況討論：①當(dāng)是直角邊時(shí)，則，過點(diǎn)N作于K，首先求出，然后解直角三角形求出和，再利用平移的性質(zhì)得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，則，過點(diǎn)N作于L，證明，可得，然后解直角三角形求出，再利用平移的性質(zhì)得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：解方程得：，，
∴，
∵四邊形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
過點(diǎn)A作于H，
∵，
∴，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得：，
解得：，
∴直線的解析式為；

（2）解：由（1）知在中，，，
∴，，
∵直線與 y軸交于點(diǎn)E，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
①當(dāng)點(diǎn)N在上，即時(shí)，
由題意得：，，
過點(diǎn)N作于P，
則，
∴；

②當(dāng)點(diǎn)N在上，即時(shí)，
由題意得：，，
過點(diǎn)N作于T，
則，
∴；
綜上，；

（3）解：存在，分情況討論：
①如圖，當(dāng)是直角邊時(shí)，則，過點(diǎn)N作于K，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴將點(diǎn)N向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C，
∴將點(diǎn)A向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)Q，
∵，
∴；

②如圖，當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，則，過點(diǎn)N作于L，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴將點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)N，
∴將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)Q，
∵，
∴；
∴存在一點(diǎn)Q，使得以A，C，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是或．

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，待定系數(shù)法的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)以及平移的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)，作出合適的輔助線，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
7．(1)直線的解析式為；拋物線解析式為
(2)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或 或
(3)
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸，，得到點(diǎn)A及B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在上取點(diǎn)，使，連接，證得，又，得到，推出，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長(zhǎng)，利用勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸，，
∴，
將代入直線，得，
解得，
∴直線的解析式為；
將代入，得
，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）存在點(diǎn)，
∵直線的解析式為，拋物線對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
①當(dāng)時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，
得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
②當(dāng)時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，將代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，
解得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為 或
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或 或；
（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長(zhǎng)，
∵，
∴，
∴的最小值為．

【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
8．(1)0
(2)①②
【分析】（1）根據(jù)，且時(shí)，總有，變形后即可得到結(jié)論；
（2）按照臨界情形，畫出圖象分情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：由題可知：
時(shí)，總有，
．
則，
∴，
∴總成立，且，
；
（2）①注意到拋物線最大值和開口大小不變，m只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意的兩種臨界情形：
（i）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或（舍）．
（ii）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，
解得或（舍），
綜上，，
②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形：
（i）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或（舍）．
（ii）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或0（舍）．
綜上，
如圖，由圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)E、F在線段的垂直平分線上．

令，解得，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
，
，即，
．
，即，
，
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂徑定理、解一元二次方程等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．
9．(1)
(2)當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，最大值為
(3)4
【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）由拋物線的對(duì)稱性得，則，再得出，根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式，列出矩形周長(zhǎng)的表達(dá)式，并將其化為頂點(diǎn)式，即可求解；
（3）連接A，相交于點(diǎn)P，連接，取的中點(diǎn)Q，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)推出四邊形是平行四邊形，則，．求出時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
∵當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
將點(diǎn)C坐標(biāo)代入表達(dá)式，得，
解得．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）解：由拋物線的對(duì)稱性得：，
∴．
當(dāng)時(shí)，．
∴矩形的周長(zhǎng)為
．
∵，
∴當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，最大值為．
（3）解：連接，相交于點(diǎn)P，連接，取的中點(diǎn)Q，連接．

∵直線平分矩形的面積，
∴直線過點(diǎn)P．．
由平移的性質(zhì)可知，四邊形是平行四邊形，
∴．
∵四邊形是矩形，
∴P是的中點(diǎn)．
∴．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴．
∴拋物線平移的距離是4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)．
10．(1)
(2)點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；
(3)時(shí)，有最大值，最大值為．
【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；
（2）由二次函數(shù)，求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，分類討論：當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，運(yùn)用平行四邊形對(duì)角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求解；
（3）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，
可證，；運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式，直線 解析式；設(shè)點(diǎn)，，則，，，，運(yùn)用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時(shí)，最大值為．
【詳解】（1）將，代入，得
，解得
∴拋物線解析式為：
（2）二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
∴點(diǎn)
設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
點(diǎn)Q坐標(biāo)；
當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，
同理得，
解得，或，
∴
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)或
綜上，點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；
（3）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
設(shè)直線的解析式為：
則，解得
∴直線：
同理由點(diǎn)，，可求得直線 ：
設(shè)點(diǎn)，，
則，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴時(shí)，，有最大值，最大值為．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，分類討論是解題的關(guān)鍵．
11．(1)
(2)存在，的最大值為，
(3)或
【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；
（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；
（3）過作交拋物線的對(duì)稱軸于，過作交拋物線的對(duì)稱軸于，連接，設(shè)， 可求，，由，可求，進(jìn)而求出直線的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得
，
解得：，
拋物線的解析式為．
（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為；
設(shè)（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為，
，
．
故的最大值為，．
（3）解：存在，
如圖，過作交拋物線的對(duì)稱軸于，過作交拋物線的對(duì)稱軸于，連接，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
設(shè)，
，
，
，
，
，
解得：，
；
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得，
直線解析式為，
，且經(jīng)過，
直線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
；
綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
12．（1）；（2）t=2時(shí)，△PDE周長(zhǎng)取得最大值，最大值為， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣4）；（3）滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），過程見解析
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）先求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)C坐標(biāo)，設(shè)P，其中0

相關(guān)試卷

模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第9講 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：

這是一份模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第9講 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練，共38頁。試卷主要包含了知識(shí)全整合等內(nèi)容，歡迎下載使用。

模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第7講 二次函數(shù)與方程、不等式綜合（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：

這是一份模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第7講 二次函數(shù)與方程、不等式綜合（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練，共34頁。試卷主要包含了知識(shí)全整合等內(nèi)容，歡迎下載使用。

模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第6講 確定二次函數(shù)的解析式 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：

這是一份模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第6講 確定二次函數(shù)的解析式 （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練，共30頁。試卷主要包含了知識(shí)全整合等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第5講 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練

模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第5講 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) （含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練
模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第4講 反比例函數(shù)（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練

模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第4講 反比例函數(shù)（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練
模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第3講 一次函數(shù)的應(yīng)用（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練

模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第3講 一次函數(shù)的應(yīng)用（含解析） -最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練
模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第2講 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練

模塊二 知識(shí)全整合專題3 函數(shù)及其圖像 第2講 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（含解析）-最新中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部