1.下列命題中，正確的是（ ）
A.若，則 B.若，則
C.若，則 D.若，則
2.在中，，則角的值為（ ）
A.或 B.或 C. D.
3.所有的頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，其中平行的兩個(gè)面叫底面，其它面叫側(cè)面，兩底面之間的距離叫高，經(jīng)過高的中點(diǎn)且平行于兩個(gè)底面的截面叫中截面.似柱體的體積公式為，這里為兩個(gè)底面面積，為中截面面積，為高.如圖，已知多面體中，是邊長1為的正方形，且均為正三角形，，則該多面體的體積為（ ）
A. B. C. D.
4.如圖，在長方體中，，異面直線與所成的的余弦值為，則（ ）
A. B. C. D.
5.已知是夾角為兩個(gè)單位向量，若向量在向量上投影向量為，則（ ）
A. B.2 C. D.
6.如圖，在直三棱柱中，，為線段的中點(diǎn)，為線段（包括端點(diǎn)）上一點(diǎn)，則的面積的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
7.吸煙有害健康，小明為了幫助爸爸戒煙，在爸爸包里放一個(gè)小盒子，里面隨機(jī)擺放三支香煙和三支跟香煙外形完全一樣的“戒煙口香糖”，且和爸爸約定，每次想吸煙時(shí)，從盒子里任取一支，若取到口香糖則吃一支口香糖，不吸煙；若取到香煙，則吸一支煙，不吃口香糖，假設(shè)每次香煙和口香糖被取到的可能性相同，則“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”的概率為（ ）
A. B. C. D.
8.已知向量滿足，若，且，則的最大值為（ ）
A.3 B.2 C. D.
二?多選題（每題6分）
9.對(duì)于四面體，以下命題中正確的命題是（ ）
A.若，則與底面所成的角相等
B.若，則點(diǎn)A在底面內(nèi)的射影是的內(nèi)心
C.四面體的四個(gè)面中最多有四個(gè)直角三角形
D.若四面體的6條棱長都為1，則它的內(nèi)切球的表面積為
10.已知的外接圓半徑，則下列說法正確的是（ ）
A.的最小值為 B.的最小值為
C.的周長的最小值為 D.的面積的最大值為
11.定義：已知兩個(gè)非零向量與的夾角為.我們把數(shù)量叫做向量與的叉乘的模，記作，即.則下列命題中正確的有（ ）
A.若平行四邊形的面積為4，則
B.在正中，若，則
C.若，則的最小值為
D.若，且為單位向量，則的值可能為
三?填空題（每題5分）
12.設(shè)全集，若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)形成圖形的面積為__________.
13.從一堆產(chǎn)品（正品與次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數(shù)和次品件數(shù)，則下列
說法：
①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件
②“至少有1件正品”和“全是次品”是對(duì)立事件
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是對(duì)立事件
④“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是對(duì)立事件
其中正確的有__________（填序號(hào)）.
14.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，如圖，三角形是底邊和腰長分別為和的等腰三角形的紙片，將它沿虛線（中位線）折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的四面體，若該四面體內(nèi)包一蛋黃（近似于球），則蛋黃的半徑的最大值為__________（用最簡根式表示）；在該四面體的所有棱和面所成的異面直線所成的角?二面角中最小的角的余弦值為
四?解答題
15.（13分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，
（1）求；
（2）若的面積為，求.
16.（15分）如圖，在正三棱柱中，.點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，連接.
（1）試問：線段上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
17.（15分）某停車場臨時(shí)停車按停車時(shí)長收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每輛汽車一次停車不超過半小時(shí)的免費(fèi)，超過半小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)3元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲?乙兩人在該停車場停車.兩人停車時(shí)長互不影響且都不超過2.5小時(shí).
（1）若甲停車的時(shí)長在不超過半小時(shí)，半小時(shí)以上且不超過1.5小時(shí)，1.5小時(shí)以上且不超過2.5小時(shí)這三個(gè)時(shí)段的可能性相同，求甲停車的費(fèi)用不超過3元的概率；
（2）若甲停車的時(shí)長在不超過半小時(shí)，半小時(shí)以上且不超過1.5小時(shí)，1.5小時(shí)以上且不超過2.5小時(shí)這三個(gè)時(shí)段的可能性相同，乙停車的時(shí)長在這三個(gè)時(shí)段的可能性也相同，求甲?乙兩人停車的費(fèi)用之和為9元的概率；
（3）甲?乙停車不超過半小時(shí)的概率分別為，停車半小時(shí)以上且不超過1.5小時(shí)的概率分別為，求甲?乙兩人臨時(shí)停車的費(fèi)用不相同的概率.
18.（17分）在空間幾何體中，平面，平面平面，.
（1）求證：平面；
（2）若平面，試比較三棱錐與的體積的大小，并說明理由.
19.在四棱錐中，已知，是線段上的點(diǎn).
（1）求證：底面；
（2）是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
參考答案：
1.C 2.D 3.B 4.C
5.A 【詳解】在向量上的投影向量為.
.故選：A
6.B 【詳解】如圖，連接，過作，垂足為.
在直三棱柱中，平面平面，
所以，異面直線間垂線段最短故.
過作于點(diǎn)，連接，易得平面，
則，又，所以.因?yàn)椋?br>，所以，則.當(dāng)與重合時(shí)，，
當(dāng)與重合時(shí)，由，得平面，
所以，所以.
所以的面積的取值范圍為，故選：B
7.D 【解】由題：“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”說明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有兩次口香糖一次香煙，記香煙為，口香糖為，進(jìn)行四次取物，
基本事件總數(shù)為：種
事件“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”前四次取物順序分為以下三種情況：
煙?糖?糖?糖：種糖?煙?糖?糖：種
糖?糖?煙?糖：種包含的基本事件個(gè)數(shù)為：54，所以，其概率為
8.D 【解】如圖：令，則，故.
因?yàn)?，所以，記的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上.
設(shè)，連接，因?yàn)?，所以點(diǎn)在直線上.
因?yàn)?，所以，即，所?
結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，即取得最大值，且.
故選：D
9.ACD 【解】解：
A項(xiàng)：因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影是，
因?yàn)?，所?br>，則與底面所成的角相等；故A正確；B項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影是，則是在平面內(nèi)的射影，因?yàn)?，根?jù)三垂線定理的逆定理可知：同理可證，所以是的垂心，故B不正確；
C項(xiàng)：如圖：
直角三角形的直角頂點(diǎn)已經(jīng)標(biāo)出，直角三角形的個(gè)數(shù)是4.故C正確
D項(xiàng)：如圖，為正四面體的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長為1；
所以為內(nèi)切球的半徑，，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>所以球的表面積為：，故D正確.故選：ACD.
10.ABD 【詳解】在中，設(shè)角所對(duì)的邊分別記作，
，又的外接圓半徑，由正弦定理得：
，又不會(huì)同為鈍角，故，又，故B選項(xiàng)對(duì).由上得：，由余弦定理得：的最小值為，故A選項(xiàng)對(duì)，C選項(xiàng)錯(cuò).由上得：，又的面積
的最大值為，故D選項(xiàng)對(duì)，故選：ABD.
11.ACD 解1解：對(duì)于A，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e為4，所以，
所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)正的邊邊上的中點(diǎn)為，
則，因?yàn)?，所，所以，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋裕?br>所以，因?yàn)椋?，所以?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為，所以C正確；
對(duì)于D，若，且為單位向量，則當(dāng)時(shí)，
可以等于，此時(shí)，所以D正確.故選：ACD.
12. 【詳解】設(shè).
由，可知，即，即.
因?yàn)椋?，所以?br>則可化為，解得.
即集合在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為圓及其內(nèi)部，集合在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為直線的左側(cè)，集合在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為直線的右側(cè)（包括直線），如圖所示.所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)形成的圖形即為圖中的弓形部分.
弓形的面積為扇形的面積減去的面積，易知扇形的圓心角
，圓的半徑，
則扇形的面積，
所以弓形的面積為.故答案為：.
13.①②④
①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故①正確；
②“至少有1件正品”和“全是次品”，不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件也是對(duì)立事件，故②正確；
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”存在恰有一件正品和一件次品，
不是互斥事件但不是對(duì)立事件，故③不正確；
④“至少有1件次品”和“全是正品”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件也是對(duì)立事件，④正確.故答案為①②④.
14.；
【詳解】如圖所示，對(duì)折疊之前的平面圖形中各點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記，同時(shí)將折疊后的幾何體置于長方體中.設(shè)長方體的長寬高分別為.
，解得四面體為，
四面體的全面積為，內(nèi)切球半徑，則，
設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則
，
故長為6的兩組對(duì)棱所成的角的余弦值都是.長為4的兩組對(duì)棱所成的角為直角；
由于四面體各個(gè)面的面積都是，所以各個(gè)面上的高都是相等的，設(shè)為，則，當(dāng)棱的長選取最長為6時(shí)，該棱與相應(yīng)各面所成的角最小，其正弦值為，余弦值
各異面直線所成的角，線面所成的角中最小的角的余弦值是，故答案為：.
15.【解】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，
可得，因?yàn)椋裕?br>從而，又因?yàn)椋矗?br>注意到，所以.
（2）由（1）可得，從而，而，
由正弦定理有，從而，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.
16如圖，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則.
在正三棱柱中，平面平面，
又平面平面平面，
所以平面，即平面.
因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)槠矫?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所?
在中，設(shè)，則.易得，
所以，所以.
所以線段上存在一點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.
（2）取的中點(diǎn)，連接.由題意可得
兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
直線分別為軸?軸?軸，
建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，
所以.設(shè)平面的法向量為
.由，得，
令，得，則.設(shè)直線與平面所成的角為，
則
所以直線與平面所成角的正弦值為.
17.【詳解】（1）由題意，甲停車的時(shí)長在不超過半小時(shí)，半小時(shí)以上且不超過1.5小時(shí)，
1.5小時(shí)以上且不超過2.5小時(shí)這三個(gè)時(shí)段的可能性相同均為，且三段時(shí)間費(fèi)用分別為0，
3，6元.故甲停車的費(fèi)用不超過3元的概率為.
（2）設(shè)甲停車付費(fèi)元，乙停車付費(fèi)元，其中.
所以甲?乙兩人停車付費(fèi)的所有可能情況為：
，共9種，且概率相等.
其中事件“甲?乙兩人停車付費(fèi)之和為9元”包含，共2種情況，
故甲?乙兩人停車付費(fèi)之和為9元的概率為.
（3）設(shè)甲停車的時(shí)長不超過半小時(shí)?乙停車的時(shí)長不超過半小時(shí)分別為事件，
甲停車的時(shí)長在半小時(shí)以上且不超過1.5小時(shí)?乙停車的時(shí)長在半小時(shí)以上且不超過1.5小時(shí)分別為事件，
甲停車的時(shí)長為1.5小時(shí)以上且不超過2.5小時(shí)，乙停車的時(shí)長在1.5小時(shí)以上且不超過2.5小時(shí)分別為事件，
則，
所以甲?乙兩人臨時(shí)停車付費(fèi)相同的概率為
.
所以甲?乙兩人臨時(shí)停車付費(fèi)不相同的概率為.
18【詳解】（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連，由得，
平面平面，又平面，平面平面，
平面，又平面，
又平面平面平面.
（2）解：連接.
平面平面，面面，
平面平面.
又平面.又，
四邊形是矩形，
，而，則.
19.（1）證明：在中，，
所以.
在中，，
由余弦定理有：，
所以，，所以，所以，
又因?yàn)槠矫?，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，所以，?br>在中：，則，所以，，
因?yàn)槠矫?，所以?
（2）解：因?yàn)槠矫妫?br>以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立
如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則有，
設(shè)，其中，
則，
設(shè)為面的法向量，
則有，取，則，
所以，平面的一個(gè)法向量為，
由題意可得，
可得，因?yàn)?，所?
因此，存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為，且.

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