（滿分：150分；考試時間：120分鐘）
注意事項：
1.答卷前，請考生先在答題卡上準確工整地填寫本人姓名、準考證號；
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5mm黑色簽字筆答題；
3.請在答題卡中題號對應的區(qū)域內(nèi)作答，超出區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效；
4.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、損毀；考試結束后，將答題卡交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.經(jīng)過兩點，的直線的斜率為（ ）
A.B.C.D.2
2.經(jīng)過橢圓的右焦點的直線交橢圓于，兩點，是橢圓的左焦點，則的周長是（ ）
A.8B.9C.10D.20
3.圓與圓的位置關系為（ ）
A.相交B.內(nèi)切C.外切D.外離
4.下列可使，，構成空間的一個基底的條件是（ ）
A.B.，，兩兩垂直
C.D.
5.已知圓錐的母線長為4，底面的半徑，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的小圓錐底面的半徑，則截得圓臺的體積為（ ）
A.B.C.D.
6.在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，且平面底面，為線段的中點.記異面直線與所成角為，則的值為（ ）
A.B.0C.D.
7.如圖，已知正方體的棱長為2，、分別為線段、的中點，若點為正方體表面上一動點，且滿足平面、則點的軌跡長度為（ ）
A.B.C.D.2
8.已知三棱錐中，是邊長為2的正三角形、，，若三棱錐的外接球體積為，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9.關于曲線，下列說法正確的是（ ）
A.若曲線表示兩條直線，則，或，
B.若曲線表示圓，則
C.若曲線表示焦點在軸上的橢圓，則
D.若曲線表示橢圓，則
10.已知直線，直線，則下列說法正確的為（ ）
A.若，則
B.若兩條平行直線與間的距離為，則
C.直線過定點
D.點到直線距離的最大值為
11.如圖，在直棱柱中，底面為菱形，且，，為線段的中點，為線段的中點，點滿足則下列說法正確的是（ ）
A.若時，三棱錐的體積為定值
B.若時，有且僅有一個點，使得
C.若，則的最小值為3
D.若，，則平面截該直棱柱所得截面周長為
三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.
12.已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，，并且經(jīng)過點，則它的標準方程是______.
13.若，，為空間中兩兩夾角都是的單位向量，則______.
14.已知，為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，圓心到，的距離分別為，，則______，四邊形的面積的最大值為______.
四、解答題：本題共5小題，15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.已知直線經(jīng)過點，點.
（1）求直線的方程；
（2）若圓經(jīng)過點，點，且圓心在直線上，求圓的方程.
16.如圖，在三棱柱中，，，，，點是的中點，平面.
（1）求證：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
17.如圖，在三棱錐中，，且.
（1）證明：平面平面；
（2）若棱上存在不同于，的動點，滿足，使二面角的余弦值為，求的值.
18.已知動點與兩個定點，的距離的比為.
（1）求動點的軌跡方程；
（2）過點且斜率為的直線與動點的軌跡交于，兩點，若，求的值.
19.“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，它是一種使用幾何度量空間的幾何用語，定義如下：在平面直角坐標中的任意兩點，的曼哈頓距離為.已知在四邊形中，，，，且平分，若將沿線段向上折疊，使二面角為直二面角，如圖所示，折疊后點在新圖形中對應點記為.
（折疊前）（折疊后）
（1）計算的大?。?br>（2）若所在平面為，設，且，記點的軌跡為曲線.
（i）判斷是什么曲線，并求出對應的方程；
（ii）設為平面上過點且與直線垂直的直線，已知在直線上，在上，求的最小值.
重慶市育才中學校高2026屆高二（上）十月月考
數(shù)學試題參考答案
一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.
1-4：ADBB5-8：CCBD
8【解析】：如圖所示，取中點為，由于，，則，
故是三棱錐的外接球的球心，易知，.
過點作平面，連接，易知過中點，連接.
因為，，，則直線與平面所成角，
由余弦定理可得，故選D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9.ABCD 10.AC 11.ACD
11【解析】：對于選項A：當時，，故點在上運動，而平行于平面，
所以三棱錐的體積為定值.故A正確.
對于選項B：當時，取中點記為連接，易得點在上運動，當與點，，重合時，由勾股定理可得，所以，故B錯誤.
對于選項C：當時，取中點記為，取中點記為連接，則點在線段上運動，易得點關于直線的對稱點為，連接，此時點、、三點共線，故點與點重合時取得最小值為3，故C正確.
對于選項D：當，時，為的中點，過點作的平行線交于點，過點作的平行線交于點，即可得到截面，易得周長為，故D正確.
三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.
12. 13. 14.7；9
14【解析】：易知是以，為鄰邊的矩形的對角線，所以；
，，當且僅當時取得等號.
四、解答題：本題共5小題，15題13分，16、17題15分，18、19題17分，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（1）過點，點的直線的兩點式方程為：
整理得：
直線的方程為.
（2）設線段的中點為，則由，有，
且直線的斜率為，
因此線段的垂直平分線的方程為：，即，
由垂徑定理可知，圓心也在線段的垂直平分線上，
則有圓的坐標是；
圓的半徑，
圓的標準方程是.
16.（1）連接，設，連接，由三棱柱的性質(zhì)可知，
側(cè)面為平行四邊形，為的中點，
又為中點，在中，，
又平面，平面，
平面.
（2）由題意可知，，兩兩垂直故以，，所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
則，，，，.
所以，，，
設平面的法向量為，
則令，得；
設與平面所成角為，則，
所以與平面所成角的正弦值為.
17.（1）由，，所以.
取的中點，連接，，
由題意，得，再由，可得，即.
由題易知，又，，面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，，又，
故以，，所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
則，，，.
所以，，，
令，所以.
所以.
設平面的法向量為，
則令，得；
設平面的法向量為，
，令，得；
則，
設，，則上式可化為，
即，所以（舍去），所以，解得.
18.解：（1）設動點坐標為，由，
即，
整理得.
（2）設直線的方程為，，兩點的坐標分別為，
聯(lián)立，整理得.
因為式的兩根為，，所以，，
，即或.
則，
將，代入上式，化簡解得.
而滿足，故直線的方程為.
因為圓心在直線上，所以.
19.解：（1）在中，易得，，，
由余弦定理可得，從而.
提示：可建立空間坐標系利用向量求夾角的余弦值為，從而得出.
（2）（i）曲線是橢圓.
因為二面角為直二面角，且，所以，如圖1，不妨取的中點為，以為軸，為軸，過點作的平行線為軸建立空間直角坐標系.
圖1
則點，，
設，，，
由（1）可知，
從而，
化簡可得：，即為的方程.
說明：不同的建系可能得到不同的方程，只要得出橢圓的方程即可得分.
（ii）將立體幾何平面化，只需研究平面上幾何關系.不防將（i）中橢圓所在坐標系逆時針旋轉(zhuǎn)得到圖2，在新坐標系下橢圓方程為，直線的方程為，
引理：點與直線上一動點的最小曼哈頓距離為.
證明：如圖3，當，即時，由于，
當點在點處取得等號成立，即，
同理可以得出時的最小曼哈頓距離，綜上得證.
設點.由引理可知：
，
所以的最小值為.
圖2圖3

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