（試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘）
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一?單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1. 已知橢圓的一個焦點，則（ ）
A. B. 5C. 5或3D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓方程及焦點坐標(biāo)有，即可得答案.
【詳解】由題設(shè)可知焦點在軸上,，可得.
故選：D
2. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，再確定準(zhǔn)線方程即可.
【詳解】由題設(shè)，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，故其準(zhǔn)線為.
故選：D
3. 已知數(shù)列滿足，則等于（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知確定為等差數(shù)列，再應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)求得、，進(jìn)而求.
【詳解】由，易知為等差數(shù)列，
所以，可得，且，可得，
所以.
故選：B
4. 已知空間向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.
C.
D. 向量在向量上的投影向量是
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量減法坐標(biāo)運算、數(shù)量積的坐標(biāo)運算求、夾角坐標(biāo)運算及投影向量的定義和求法，判斷各項正誤.
【詳解】A：由題設(shè)，錯；
B：，錯；
C：，錯；
D：向量在向量上的投影向量是，對.
故選：D
5. 《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣.立竿測影，得其最短日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，春分日影長為7.5尺，則這十二個節(jié)氣中后六個（春分至芒種）日影長之和為（ ）
A. 8.5尺B. 30尺C. 66尺D. 96尺
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列基本量列方程組、方程求解.
【詳解】設(shè)這個等差數(shù)列為，公差為，首項為冬至日最短日影長，根據(jù)題意有
即，解得
所以.
故選:B
6. 已知雙曲線與直線相交于兩點，若弦的中點的橫坐標(biāo)為1，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】聯(lián)立直線與雙曲線得，根據(jù)已知結(jié)合韋達(dá)定理得，可得，即得答案.
【詳解】將直線代入雙曲線有，則，
由題設(shè)，易知，故，則漸近線為.
故選：A
7. 在棱長為1的正方體中，分別是線段的中點，則直線到平面的距離是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面平行以及點面距公式求得直線到平面的距離.
【詳解】由題意，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
令，可得，則點到面的距離，
又，面，面，則面，
所以點到面的距離，即直線到平面的距離，為.

故選：D
8. 點是橢圓上的點，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點，與軸相交于，兩點，若是直角三角形，則該橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圓M與x軸相切與焦點F，設(shè)，則，所以圓的半徑為，利用是直角三角形，即可求出橢圓的離心率．
【詳解】圓與軸相切于焦點，軸，可設(shè)，
在橢圓上，，解得：，圓的半徑為；
作軸，垂足為，
，，
為直角三角形，，，
，即，又，所以，
故選：D.
二?多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對一個得3分，若只有3個正確選項，每選對一個得2分.）
9. 已知等差數(shù)列的前項和為，則（ ）
A. 是遞增數(shù)列
B. 的前項和中最小
C.
D. 數(shù)列的前10項和為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)條件先求解出的通項公式以及前項和；對于A：由公差，即可判斷；對于B：根據(jù)的表達(dá)式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷；對于C：由通項公式計算即可判斷；對于D：先判斷為等差數(shù)列，然后利用公式進(jìn)行求和即可判斷.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，
等差數(shù)列的前項和為，
所以，解得，
所以，，
對于A：等差數(shù)列中，所以是遞增數(shù)列，故A正確；
對于B：，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時最小，故B正確；
對于C：由，得，故C錯誤；
對于D：因為，則，
所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以的前項和為，故D正確.
故選：ABD.
10. 已知點O為坐標(biāo)原點，直線與拋物線相交于A、B兩點，焦點為F，則下列選項正確的是（ ）
A. B.
C. D. 線段的中點到x軸的距離為2
【答案】AC
【解析】
【分析】聯(lián)立方程組求得，且，結(jié)合選項，結(jié)合拋物線的定義和焦點弦，逐項判定，即可求解.
【詳解】由拋物線，可得焦點，則直線過拋物線的焦點，
聯(lián)立方程組，整理得到，顯然，
設(shè)，可得，
對于A中，由拋物線的定義，可得，所以A正確；
對于B中，由 ，
所以與不垂直，所以B錯誤；
對于C中，由，可得，
由拋物線定義，可得，
則，所以C正確；
對于D中，線段的中點的到軸的距離為，所以D錯誤.
故選：AC.
11. 在邊長為2的正方體中，為邊的中點，下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 與所成角的余弦值為
B. 過，，三點的正方體的截面面積為3
C. 當(dāng)在線段上運動時，的最小值為3
D. 若為正方體表面上的一個動點，，分別為的三等分點，則的最小值為
【答案】AC
【解析】
【分析】建系，由異面直線夾角向量法即可判斷A, 取的中點，連接，，，確定即為截面即可判斷B，由對稱性得到進(jìn)而可判斷C, 設(shè)點關(guān)于平面的對稱點為，連接，可判斷當(dāng)與平面的交點為時，最小，即可判斷D.
【詳解】以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
∴，，
∴，
∴與所成角的余弦值為，故A正確；
取的中點，連接，，，
則，
故梯形為過點，，的該正方體的截面，
∵，，，
∴梯形的高為，
∴梯形的面積為，故B錯誤；
由對稱性可知，，故，
又由于，，，四點共面，故，當(dāng)為與的交點時等號成立，故C正確，
設(shè)點關(guān)于平面的對稱點為，連接，當(dāng)與平面的交點為時，
最小，
過點作的平行線，過點作的平行線，兩者交于點，此時，，，故D錯誤.
故選:AC.
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分把答案填在答題卡中的橫線上.
12. 已知數(shù)列滿足，則______，通項公式______.
【答案】 ①. ##0.2 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)已知遞推式直接求，且、，應(yīng)用等差數(shù)列的定義寫出通項公式.
【詳解】由題設(shè)，
由，且，則，
所以.
故答案為：，
13. 過點向圓作切線，切點為，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓切線性質(zhì)求切線長即可.
【詳解】由圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為2，
因為過點向圓作切線，切點為，且，
所以.
故答案為：
14. 如圖①，橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.如圖②，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.如圖③，一個光學(xué)裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構(gòu)成，已知與的離心率之比為.現(xiàn)一光線從右焦點發(fā)出，依次經(jīng)與的反射，又回到了點，歷時秒.將裝置中的去掉，如圖④，此光線從點發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點，歷時___________.秒
【答案】##
【解析】
【分析】由題意可，得根據(jù)橢圓的和雙曲線的定義可得，整理得到，從而結(jié)合路程速度時間之間的關(guān)系可得，求得答案.
【詳解】設(shè)，橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，光速為，
而與的離心率之比為，即，即，
在圖③，
兩式相減得：，
即.
在圖④中，，
設(shè)圖④，光線從點發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點，歷時t秒，
由題意可知：，則，
故（秒），
故答案為：
四?解答題：本大題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知的頂點坐標(biāo)分別為，，．
（1）求邊垂直平分線的方程；
（2）求三角形的外接圓方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出及的中點坐標(biāo)，由兩直線垂直求出，再由點斜式計算可得；
（2）設(shè)三角形的外接圓方程為，將點的坐標(biāo)代入方程，即可得到、、的方程組，解得即可.
【小問1詳解】
因為，，
所以，的中點坐標(biāo)為，
又，所以，
所以直線的方程為，即；
【小問2詳解】
設(shè)三角形的外接圓方程為，
依題意可得，解得，
所以三角形的外接圓方程為，即.
16. 如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱的中點.
（1）證明：平面；
（2）若，求平面和夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）記為中點，連接，易知是平行四邊形，則，利用線面平行的判定即可證結(jié)論；
（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.
【小問1詳解】
記為中點，連接，又為棱的中點，，
所以，且，即是平行四邊形，
所以，面，面，則面.
【小問2詳解】
由平面，平面，
所以，又，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
由，，得，
則，
顯然面的一個法向量為，且，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，
所以平面和夾角的余弦值為.
17. 已知正項數(shù)列的前項和為，且和滿足：，
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）設(shè)，記，求和的值.
【答案】（1）證明見解析；
（2），.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)遞推式及的關(guān)系得，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）得，易知時，時，結(jié)合等差數(shù)列的前項和及分組求和求和.
小問1詳解】
當(dāng)時，，解得，
因為①，所以②，
①②得，
所以，化簡得，
因為，所以，
所以以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）知，則，令，得，
即時，時，則，
.
18. 如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為2菱形，，是等腰直角三角形，，平面平面，點，分別是，的中點.
（1）證明：；
（2）設(shè)平面與棱的延長線交于點，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）連接，由已知可得是等邊三角形，取的中點，連接，，則由等到邊三角形的性質(zhì)可得，再由平面平面，可得到，由已知可得，從而可得平面，進(jìn)而有；
（2）連接，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可
【詳解】（1）連接.∵四邊形是邊長為2的菱形，，∴是等邊三角形.
取的中點，連接，，則.
又平面平面，平面平面，
∴平面.
又平面，∴.
∵，分別為，的中點，∴∥，.
∵，∴.
又，∴平面.
∵平面，∴.
（2）延長與相交于點，則點即為平面與棱的延長線的交點.點是的中點，
∴，則.
如圖，連接，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
∴，，，，
.
設(shè)平面法向量為，
則取，得.
∴，
∴直線與平面所成角的正弦值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查線面?面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，線線垂直的證明，線面角的求解，解題的關(guān)鍵是正確建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，考查推理能力和計算能力，屬于中檔題
19. 已知點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑的交點為，記點的軌跡是曲線，設(shè)經(jīng)過點的直線與曲線的交點為.
（1）求曲線的方程；
（2）已知點，若直線與直線的斜率分別為，求的值.
（3）求的取值范圍；
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知及橢圓的定義寫出曲線的方程；
（2）討論直線與軸的位置關(guān)系，設(shè)直線為或y=kx?1并聯(lián)立橢圓方程，點Ax1,y1,Bx2,y2，應(yīng)用斜率的兩點式及韋達(dá)定理求；
（3）由（2）及弦長公式或向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到關(guān)于參數(shù)m的表示，即可求范圍.
【小問1詳解】
連接，則，設(shè)點，圓的圓心，半徑為4，，

點的軌跡是以為焦點的橢圓，長軸長，焦距，
，則曲線的方程為.
【小問2詳解】
（法一）分以下兩種情況討論：
①若直線與軸重合，點都在軸上，，
②若直線不與軸重合，令直線為，Ax1,y1,Bx2,y2，
聯(lián)立，消去，得，
則，
由韋達(dá)定理得，
，
綜上所述：.
（法二）分以下兩種情況討論：
①若直線與軸垂直，直線與直線關(guān)于軸對稱，；
②若直線不與軸垂直，令直線為y=kx?1，Ax1,y1,Bx2,y2，
聯(lián)立，消去，得，則，
由韋達(dá)定理得，
設(shè)
，
綜上所述：.
【小問3詳解】
（法一）分以下兩種情況討論：
①若直線與軸重合，則；
②若直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點Ax1,y1,Bx2,y2，
由（1）中方法一及弦長公式得，
由，則，
綜上所述，的取值范圍是.
（法二）分以下兩種情況討論：
①當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨設(shè)，則；
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為y=kx?1，Ax1,y1,Bx2,y2，
由（2）方法二及弦長公式得
，
由，
綜上所述，的取值范圍是.
（法三）分以下兩種情況討論：
①若直線與軸重合，則
②若直線不與軸重合，設(shè)直線為，，
則，結(jié)合（1）中方法一，
由，則，
綜上所述，的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二、三問，設(shè)直線與橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理，由斜率兩點式、弦長公式或向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求值或列方程為關(guān)鍵.

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