重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期定時(shí)檢測（一）數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）
2024年10月
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生先將自己的姓名、班級、考場/座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫；必須在題號對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫無效；保持答卷清潔、完整.
3.考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生留存，以備評講）.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知，則（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計(jì)算，利用復(fù)數(shù)的模公式可得解.
詳解】，則，
所以.
故選：B.
2. 設(shè)m，n為空間中兩條不同直線，、為空間中兩個(gè)不同平面，下列命題中正確的為（）
A. 若，，，則B. 若，，，則
C. 若，與相交，則與異面D. 若，，，則
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間平行與垂直的判定和性質(zhì)定理，結(jié)合空間關(guān)系就可以作出判斷.
【詳解】對于A，兩平面平行，不能推出兩平面內(nèi)的任意直線一定平行，故A錯(cuò)誤；
對于B，兩平面垂直，由于，則有或，
又由于，此時(shí)不能判斷平行于平面內(nèi)的任意直線，也不能判斷平行于同一個(gè)平面的兩直線位置關(guān)系是否平行，故B錯(cuò)誤；
對于C，由與相交且，不能確定n與相交的交點(diǎn)是否在平面內(nèi)直線上，如果正好落直線上，那就不能確定與是異面，故C錯(cuò)誤；
對于D，因?yàn)?，，所以就相?dāng)于平面的兩條法向量所在的直線，由于，可以知道平面的兩條法向量是垂直的，從而可確定兩平面是垂直的，故D正確；
故選：D．
3. 已知平面向量，，且，則（）
A. B. 1C. 或D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)，得，再由坐標(biāo)運(yùn)算即可.
【詳解】由題意，，
因?yàn)椋?br>所以，
解得或.
故選：C.
4. 設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，，，則（）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形的內(nèi)角和為，可求得，再利用正弦定理求解即可.
【詳解】解：因?yàn)?，?br>所以，
又因?yàn)?，?br>所以.
故選：A.
5. 函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域計(jì)算即可得.
【詳解】由在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，即有，即，
又因在上恒成立，故，即，
綜上，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：.B
6. 如圖所示，四棱錐中，平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，，M為PD的中點(diǎn)，則CD與平面ACM所成角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】過點(diǎn)D 作于點(diǎn)N，證明平面，得CD與平面ACM 所成的角為，在中，求的余弦值.
【詳解】如圖，過點(diǎn)D 作于點(diǎn)N，
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，
又四邊形ABCD為矩形，，，平面AMD，
所以平面AMD，因?yàn)槠矫鍭MD，所以，
在中，，M為PD 的中點(diǎn)，所以且，
又，平面CDM，所以平面CDM，
因?yàn)槠矫鍭CM，所以平面平面，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面?br>所以平面，所以CD與平面ACM 所成的角為.
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>在中，.
故選：B.
7. 已知函數(shù)（，x∈R）在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，求出時(shí)，相位所在區(qū)間，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.
【詳解】由題意，，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)零點(diǎn)，則，
所以，解得.
故的取值范圍為.
故選：D.
8. 已知正四棱錐，其中，，平面過點(diǎn)A，且平面，則平面截正四棱錐的截面面積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)線面垂直作出截面，然后利用余弦定理、三角形的面積公式等知識求得截面面積.
【詳解】依題意，在正四棱錐中，，
且，
所以，所以三角形是等邊三角形，
設(shè)是的中點(diǎn)，則，所以，且，
設(shè)平面與分別相交于點(diǎn)，

則由得，
，
所以，故，
所以，
所以，
在三角形中，由余弦定理得：
，
所以，
所以結(jié)合正四棱錐對稱性得，
所以截面面積為.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說法正確的是（）
A. 現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為4
B. 某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件
C. 若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為18
D. 若事件A、B相互獨(dú)立，，，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)、對立事件、方差的計(jì)算、相互獨(dú)立事件的概率公式逐項(xiàng)判斷.
【詳解】對于A，將數(shù)據(jù)從小到大排列為3,3,4,5,6,7,7,9,9,9,因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為故A錯(cuò)誤；
對于B，事件"至少兩次中靶"與事件"至多一次中靶"不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生，是對立事件，故B正確；
對于C，若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為，故C正確；
對于D，因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，所以 B相互獨(dú)立，
，故D正確.
故選：BCD.
10. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則下列正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得，即可判斷A，然后結(jié)合二倍角公式利用正弦定理判斷C，根據(jù)正弦定理和兩角和差公式化簡式子判斷B，利用正弦定理和三角恒等變換得，利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.
【詳解】依題意，，
由正弦定理得，
由于，所以，
所以，
所以，
即，
由正弦定理得，
所以，則或，
若，則，
，不符合題意，所以，A選項(xiàng)正確，則為銳角，
所以，有正弦定理得，
而是銳角，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對于，由正弦定理得
，
若，則，而，所以，
則，不符合題意，所以，
即，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對于D選項(xiàng)，由正弦定理得
，
由上述分析可知，
所以，由于函數(shù)在12,1上單調(diào)遞增，
，所以，
即，所以D選項(xiàng)正確.
故選：AD
11. P為棱長為2的正方體表面上的一個(gè)動點(diǎn)，則（）
A. 當(dāng)P在線段上運(yùn)動時(shí)，三棱錐的體積是定值
B. 當(dāng)P在線段上運(yùn)動時(shí)，異面直線與所成角的取值范圍是
C. 當(dāng)P在面ABCD內(nèi)運(yùn)動時(shí)，R為棱的中點(diǎn)且平面，則點(diǎn)P的軌跡長度為
D. 當(dāng)P在面內(nèi)運(yùn)動時(shí)，Q為棱BC的中點(diǎn)且，則的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知可得，平面，則直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，則三棱錐的體積是定值，即可判斷A；由，則異面直線與所成的角就是直線與所成的角，即可判斷B；由已知所在的平面為如圖所示正六邊形，該正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)分別為對應(yīng)棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡即為，求出，即可判斷C；建立空間直角坐標(biāo)系，由，可得，設(shè)，由空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，可求得，即三棱錐的高取得最大值，則求得的最大值為，即可判斷D.
【詳解】
對于A選項(xiàng)，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形?br>所以，平面，平面，平面，
所以直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，即為三棱錐的高，
則三棱錐的體積是定值，故A正確；
對于B選項(xiàng)，設(shè)直線與所成的角為，因?yàn)椋?br>所以異面直線與所成的角就是直線與所成的角，
當(dāng)在線段的端點(diǎn)處時(shí)，，
當(dāng)在線段的中點(diǎn)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，P在面ABCD內(nèi)運(yùn)動時(shí)，R為棱的中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫?br>作過的平面，平面平面，
該六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)分別為對應(yīng)棱的中點(diǎn)，
則所在的平面為如圖所示正六邊形，
設(shè)中點(diǎn)為，點(diǎn)P的軌跡即為，
則，故C正確；
對于D選項(xiàng)，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)镻在面內(nèi)運(yùn)動，Q為棱BC的中點(diǎn)，
因?yàn)樵谡襟w中，平面，
平面，所以，則是直角三角形，
同理，則是直角三角形，
又，則，
即，所以，則，
因?yàn)椋O(shè)，，
則即為三棱錐的高，
所以，
整理得，，
當(dāng)時(shí)，，即三棱錐的高取得最大值，
又，
此時(shí)，
.即的最大值為，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 一個(gè)盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫有數(shù)字，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片，若第一次抽取一張卡片，放回后再抽取1張卡片，則兩次抽取的卡片數(shù)字之和不大于6的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法求出古典概率即可.
【詳解】兩次抽取的試驗(yàn)的樣本空間，共16個(gè)，
兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的事件，共3個(gè)，
所以兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的概率是，
則不大于6的概率為.
故答案為：.
13. 在正方體中，已知棱，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，則的值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】將分別用，再根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.
【詳解】設(shè)，
則
，
，
所以
.
故答案為：.
14. 布羅卡爾點(diǎn)（Brcard’s pint）是三角形幾何中的一個(gè)特殊點(diǎn).羅卡爾點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)可以追溯到1816年.由德國數(shù)學(xué)家克雷爾（）首次發(fā)現(xiàn)，但當(dāng)時(shí)并未受到廣泛關(guān)注.直到1875年，法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)點(diǎn)，并用自己的名字命名，從而引起了數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注.它的定義是：若內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則稱P為的布羅卡爾點(diǎn).若設(shè)，則稱為布羅卡爾角.已知中，，，若P為的布羅卡爾點(diǎn)，并記、、的外接圓面積分別為、、，則______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理可得的外接圓半徑，根據(jù)題意分析可知，，進(jìn)而可得，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可知：的外接圓半徑，
設(shè)、、的外接圓半徑分別為、、，
在中，則，
可得，
則，
同理可得，
可得
，
所以.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別是a，b，c，已知向量，，滿足.
（1）求A；
（2）若角A的平分線交邊BC于點(diǎn)D，，求面積的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量共線及正弦定理角化邊，還有余弦定理由邊求角，即可得解；
（2）利用等面積思想把角平分線長用進(jìn)面積公式，然后得到兩邊關(guān)系，再結(jié)合不等式，即可求出面積的最小值.
【小問1詳解】
由得：，
再由正弦定理角化邊得：，
再由余弦定理得：，
又因?yàn)?，所以?br>【小問2詳解】
由，，
又因?yàn)?，，角A的平分線交邊BC于點(diǎn)D，
所以有：，整理得：，
由基本不等式得：，所以有：，且時(shí)取等號，
即，
即面積的最小值為.
16. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面平面SBC，，M是BC的中點(diǎn)，，.
（1）求證：.
（2）若，求四棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知平面ABCD平面SBC，利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理推出AMMS，在矩形ABCD中根據(jù)M是BC的中點(diǎn)，再結(jié)合勾股定理可得出AMMD，進(jìn)而得出AM平面MDS，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理確定MS為四棱錐S?ABCD的高，進(jìn)而利用錐體體積公式求解即可.
【小問1詳解】
因平面ABCD平面SBC，平面ABCD平面SBC = BC，
矩形ABCD中，SB=SC，M是BC的中點(diǎn)，所以SMBC，
又因?yàn)镾M平面SBC，所以SM平面ABCD，而AM平面ABCD，所以SMAM，
在矩形ABCD中，，，M是BC的中點(diǎn)，
所以直角三角形ABM和直角三角形CDM中，
；，
又因?yàn)椋?，所?DMAM.
又，不在平面MDS內(nèi)，所以AM平面MDS，而SD平面MDS
所以AMSD.
【小問2詳解】
由（1）知，SM為四棱錐S?ABCD的高，SMAM，，又因?yàn)椋?br>所以，矩形ABCD的面積為：，
所以.
故四棱錐S-ABCD的體積為.
17. 某學(xué)校為了解本校身體素質(zhì)情況，分別從男生中隨機(jī)抽取人的體育測試成績得到樣本甲，從女生中隨機(jī)抽取人的體育測試成績得到樣本乙，根據(jù)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖.

已知乙樣本中數(shù)據(jù)在的有個(gè).
（1）求和乙樣本直方圖中的值；
（2）試估計(jì)該校女生本次體育測試成績的平均值和男生本次體育測試成績的上四分位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）；
（3）采用分層抽樣的方法從甲樣本數(shù)據(jù)中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中抽取人，并從這人中任取人，求這兩人分?jǐn)?shù)都在中的概率.
【答案】（1），
（2）平均值為，四分位數(shù)為
（3）
【解析】
【分析】（1）由頻率分布直方圖得乙樣本中數(shù)據(jù)在的頻率為，這個(gè)組學(xué)生有人，由此能求出，由乙樣本數(shù)據(jù)直方圖能求出；
（2）利用乙樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖，即可求出該校女生本次體育測試成績的平均值，利用甲樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖可求出男生本次體育測試成績的上四分位數(shù)；
（3）由頻率分布直方圖可知從分?jǐn)?shù)在中人數(shù)分別為：人，人，人，利用列舉法，求出基本事件的個(gè)數(shù)及分?jǐn)?shù)都在中的個(gè)數(shù)，再利用古典概率公式，即可求解．
【小問1詳解】
由題有，解得，
又由，得到.
【小問2詳解】
由乙樣本數(shù)據(jù)直方圖知，該校女生本次體育測試成績的平均值為，
設(shè)男生本次體育測試成績的上四分位數(shù)為，
由甲樣本數(shù)據(jù)直方圖知，，解得.
【小問3詳解】
甲樣本數(shù)據(jù)直方圖知的樣本比為：，
所以抽取的人中，分?jǐn)?shù)在中人數(shù)分別為：人，人，人，
將從分?jǐn)?shù)在中抽取的名學(xué)生記為，
將從分?jǐn)?shù)在中抽取的名學(xué)生記為，
將從分?jǐn)?shù)在中抽取的名學(xué)生記為，
則從這人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有：，，共計(jì)個(gè)，
又兩人分?jǐn)?shù)都在中的有，共計(jì)個(gè)，
所以這兩人分?jǐn)?shù)都在中的概率為.
18. 如圖，正四棱臺有內(nèi)切球，且，.
（1）設(shè)平面平面，證明平面ABCD；
（2）求球心到平面的距離；
（3）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先證//面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明//，再證線面平行即可；
（2）以底面對角線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出棱臺的高為，根據(jù)到平面的距離為，利用向量法求得；
（3）利用空間向量法求面面角的余弦值.
【小問1詳解】
因?yàn)槭钦馀_，故//，
面，面，
故//面，又面，面面，故//，
又面，面，故//面；
小問2詳解】
連接，設(shè)其交點(diǎn)為；連接，設(shè)其交點(diǎn)為，連接；
因?yàn)槭钦馀_，故三點(diǎn)共線，且兩兩垂直，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下所示空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)，
則，
又，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則，即，取，則，
故；
由題可知，點(diǎn)到平面的距離為，又，
則，解得，
由正四棱臺的對稱性可得球心到平面的距離為；
【小問3詳解】
由（2）可知平面的法向量為，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則，
故；
則，
故平面與平面夾角的余弦值為.
19. 代數(shù)基本定理：任何一個(gè)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程至少有一個(gè)復(fù)根.由此可得如下推論：
推論一：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中可以分解為個(gè)一次因式的乘積；
推論二：一元次多項(xiàng)式方程有個(gè)復(fù)數(shù)根，最多有個(gè)不同的根.即一元一次方程最多有1個(gè)實(shí)根，一元二次方程最多有2個(gè)實(shí)根等.
推論三：若一個(gè)n次方程有不少于個(gè)不同的根，則必有各項(xiàng)的系數(shù)均為.
已知.請利用代數(shù)基本定理及其推論解決以下問題：
（1）求的復(fù)根；
（2）若，，使得關(guān)于x的方程至少有四個(gè)不同的實(shí)根，求的值；
（3）若的圖像上有四個(gè)不同的點(diǎn)，以此為頂點(diǎn)構(gòu)成菱形，設(shè)，，求代數(shù)式的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化簡該方程后借助因式分解結(jié)合求根公式計(jì)算即可得；
（2）化簡方程后借助推論三計(jì)算即可得；
（3）設(shè)出中點(diǎn)，代入計(jì)算后結(jié)合推論三可得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合體型菱形對角線垂直計(jì)算即可得解.
【小問1詳解】
由題意，，即，所以，
所以或，對，有，
即復(fù)根有.
【小問2詳解】
由題意，，化簡得，，
由推論三：該方程的解個(gè)數(shù)多于方程最高次數(shù)，得，解得.
【小問3詳解】
在菱形中，與互相垂直平分，設(shè)中點(diǎn)，
由得，所以，
即，
化簡得：，
由點(diǎn)是的圖象上的四個(gè)不同的點(diǎn)，故該關(guān)于的方程有四個(gè)不同的解，
故，解得，故，
又，故
由菱形，可得，
所以，
故．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于對推論三的理解與運(yùn)用，從而結(jié)合題意得到中點(diǎn)的坐標(biāo).

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