一?單選題
1. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的公差（ ）
A. 3B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式和求和公式直接計算求解.
【詳解】由，
故選：B
2. 已知圓，圓，則這兩個圓的位置關(guān)系為（ ）.
A. 外離B. 外切C. 相交D. 內(nèi)含
【答案】C
【解析】
【分析】求得兩個圓的圓心和半徑，求得圓心距，由此確定正確選項.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
圓方程可化，
圓的圓心為，半徑為，圓心距，
因為，
所以兩個圓的位置關(guān)系是相交.
故選：C.
3. 已知橢圓的左焦點是雙曲線的左頂點，則雙曲線的漸近線為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得其焦點坐標(biāo)，從而得到雙曲線的左頂點坐標(biāo)，再由其漸近線方程，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)橢圓焦距為，
則，則，所以橢圓的左焦點為，
所以雙曲線的左頂點為，
所以，所以，
所以雙曲線的漸近線為.
故選：D
4. 在正方體中，點是棱的中點，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通過平行關(guān)系將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為相交直線夾角，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)求解正弦值即可.
【詳解】如圖所示，取中點，連接，取中點，連接，
則，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以或其補角是異面直線與所成角，
設(shè)正方體棱長為2，則，
在等腰中，是中點，所以，
所以，
即異面直線與所成角的正弦值為.
故選：C
5. 已知，直線的方向向量與直線的方向向量共線，則這兩條直線之間的距離為（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行可得的值，再根據(jù)平行線之間的距離公式求解即可.
【詳解】由題意可得，所以，解得，
故兩直線方程分別為，，
故這兩條平行線之間的距離為.
故選：B.
6. 某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）． 已知接收
天線的口徑（直徑）為，深度為，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（ ）
A. 0.9B. C. 1.2D. 1.05
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系求出拋物線方程即可得到答案.
【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合，焦點在軸上，
設(shè)拋物線方程為，代入，
所以，解得，所以拋物線方程為，
則該拋物線的焦點到頂點的距離為.
故選：A
7. 直線經(jīng)過橢圓的左焦點，且與橢圓交于兩點，若為線段中點，，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得到，結(jié)合點差法計算得，進(jìn)而求出離心率.
【詳解】直線的斜率，如圖，

由，得，則直線的斜率，
設(shè)，則，兩式相減得，
于是，而，
因此，解得，
所以橢圓的離心率.
故選：C
8. 已知數(shù)列滿足，且，記數(shù)列的前項和為，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】按為奇數(shù)和偶數(shù)討論得到的通項公式，利用裂項相消法求數(shù)列的前項和.
【詳解】，當(dāng)時，，
兩式相減得，，
所以的奇數(shù)項是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，，
當(dāng)時，，兩式相減得，，
所以的偶數(shù)項是以5為首項，為公差的等差數(shù)列，；
綜上可知：，
所以，
設(shè)，則，
所以
，
則.
故選：A
二?多選題
9. 已知數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，則（ ）
A. 是等差數(shù)列B. 是等差數(shù)列
C. 是等比數(shù)列D. 是等比數(shù)列
【答案】AD
【解析】
【分析】由題意得數(shù)列的通項公式，然后寫出每個選項中對應(yīng)的數(shù)列的通項公式，再判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.
【詳解】對于A，由題意得，所以數(shù)列是常數(shù)列，A正確；
對于B，數(shù)列的通項公式為，則，
所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，B錯誤；
對于，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，C錯誤；
對于D，，所以數(shù)列是公比為9的等比數(shù)列，D正確，
故選：AD.
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 若向量共面，則它們所在的直線共面
B. 若是四面體的底面的重心，則
C. 若，則四點共面
D. 若向量，則稱為在基底下的坐標(biāo)，已知在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)共面向量的定義即可判斷A；對于B：設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)重心坐標(biāo)公式分析判斷；對于C：變形后，得到不能由線性表示，故四點不共面，C錯誤；；對于D：設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，表達(dá)出，結(jié)合題目條件得到方程組，求出在基底下的坐標(biāo)為.
【詳解】對于A：根據(jù)共面向量的定義可得它們所在的直線不一定在同一個平面上，故A錯誤；
對于B：設(shè)，
則，
又因為是底面的重心，則，
所以成立，故B正確；
對于C：，
則，
即，故，
即不能由線性表示，故四點不共面，C錯誤；
對于D：設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，
則，
因為在基底下的坐標(biāo)為，所以，解得，
所以在基底下的坐標(biāo)為，即D正確.
故選：BD.
11. 已知雙曲線，過左焦點作一條漸近線的垂線，垂足為，過右焦點作一條直線交雙曲線的右支于兩點，的內(nèi)切圓與相切于點，則下列選項正確的是（ ）
A. 線段的最小值為
B. 的內(nèi)切圓與直線相切于點
C. 當(dāng)時，雙曲線的離心率為
D. 當(dāng)點關(guān)于點的對稱點在另一條漸近線上時，雙曲線的漸近線方程為
【答案】BCD
【解析】
【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式可判斷A，根據(jù)雙曲線的定義和內(nèi)切圓性質(zhì)可判斷B，由題可得進(jìn)而可判斷C，根據(jù)條件可得漸近線與x軸的夾角為可判斷D.
【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，，
當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，則，
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為
聯(lián)立，消去，得，
，
由，解得或，
所以
，
所以當(dāng)直線與軸垂直時，的長最小，即最小值為，故A錯誤；
設(shè)的內(nèi)切圓與三角形三邊的切點分別是，由切線長性質(zhì)，可得
，
因為，所以，所以與重合，
即的內(nèi)切圓與直線AB相切于點，故B正確；
由題可知雙曲線的漸近線為，，則，
由上可知，所以，所以，故C正確；
若關(guān)于P點的對稱點在另一條漸近線上時，則漸近線與x軸的夾角為，則其漸近線方程為，故D正確.
故選：BCD.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題A選項的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立雙曲線方程，利用弦長公式證明出雙曲線焦點弦中通徑最短的結(jié)論.
三?填空題
12. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算及投影的定義得解.
【詳解】因為向量，設(shè)軸上的一個單位向量為，
所以在軸上的投影向量為.
故答案為：
13. 在等比數(shù)列中，，則__________.
【答案】12
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，
所以，
故答案為：12.
14. 已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于 兩點，若，則_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)題意計算得到點坐標(biāo)，再代入拋物線方程求解答案即可.
【詳解】由題意得，直線斜率不為0，設(shè)其方程為，，，

由，得，
當(dāng)時，，
因為，所以，代入上式解得，
因為，所以，
代入拋物線方程，得，
化簡得，，又因為，所以.
故答案為：2
四?解答題
15. 已知三點，記的外接圓為.
（1）求的方程；
（2）若直線與交于兩點，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出圓的一般式方程，代入點的坐標(biāo)計算，即可得到圓的一般式方程，再化為標(biāo)準(zhǔn)式即可；
（2）由點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，再由圓的弦長公式可得，再由三角形的面積公式代入計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)的方程為，
由題意可得，解得，
所以的方程為，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得.
小問2詳解】
由（1）可得圓心，半徑，
所以圓心到直線的距離為，
且，
因此的面積為.
16. 已知?圓：（）經(jīng)過點，離心率為.
（1）求橢圓方程；
（2）直線與橢圓交于點（異于頂點）與軸交于點，點為橢圓的右焦點，為坐標(biāo)原點，
，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率以及經(jīng)過的點即可求解，
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得點，進(jìn)而根據(jù)向量垂直滿足的坐標(biāo)關(guān)系求解.
【小問1詳解】
由題意可得所以，
所以橢圓方程為；
【小問2詳解】
由題意可得直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，，
，
所以，所以，
故，,
所以，
所以，
所以，解得，
故直線的方程為.

17. 已知數(shù)列的首項，設(shè)為數(shù)列的前項和，且有.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)得到，兩式相減構(gòu)造常數(shù)列即可求出數(shù)列的通項公式；
（2）利用錯位相減法求和方法進(jìn)行求和即可
【小問1詳解】
由，
當(dāng)時，，
兩式相減，得，即，
即對恒成立，所以是常數(shù)列，
所以，所以
【小問2詳解】
由（1）知，，
所以，
所以，
兩式相減，得，
所以
18. 在四棱錐中，底面，，，，，點為棱中點.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角正弦值；
（3）若為棱上一點，滿足，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，然后得到線的方向向量，求出面的法向量，證明，即可得證；
（2）由（1）可知線的方向向量，求出面的法向量，利用空間向量求得線面角的正弦值；
（3）設(shè)，然后得到點坐標(biāo)，分別求出平面和平面的法向量和，由空間向量求出面面角的余弦值.
【小問1詳解】
∵底面，底面，底面，
∴，，又∵，
∴以為原點，為軸，為y軸，為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
∴，，，，，
∴，平面平面，∴平面的一個法向量，
∵，∴，
故平面.
【小問2詳解】
由（1）知，
，，
設(shè)平面一個法向量為，
則，令，則，即，
設(shè)直線與平面所成角為，
∴.
【小問3詳解】
由（1）知，設(shè)，
則，則，
∵，∴，∴，即，
∴，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，
令，則，即，
∵平面平面，∴平面的一個法向量，
設(shè)平面與平面夾角為，
∴.
19. 如圖，已知橢圓的兩個焦點為，且為雙曲線的頂點，雙曲線的離心率，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任意一點，直線的斜率分別為，且直線和與橢圓的交點分別為和.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線的斜率之積為定值；
（3）求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可；
（2）設(shè)點，由斜率的定義可知，再將代入雙曲線方程即可求解；
（3）利用（2）中結(jié)論設(shè)直線的方程為，的方程為，分別代入橢圓方程求得即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由題意知，且，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
【小問2詳解】
設(shè)點，由題可知，
則，
所以，
由點在雙曲線上，可知，即有，
所以，故；
【小問3詳解】
由（2）可知，且，
所以可設(shè)直線的方程為，
則直線的方程為，
把直線的方程代入橢圓方程，
整理得，
設(shè)，則有，
因此
，
把直線的方程代入橢圓方程，
整理得，
設(shè)，，則有，，
因此
，
所以又，
所以，
所以，
所以的取值范圍為.
【點睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點、定值）問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設(shè)交點為，，
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；
（3）寫出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.

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