命審單位：重慶南開中學
注意事項：
1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1. 設全集，集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，結(jié)合和并集定義可判斷各選項正誤.
【詳解】因為
所以即，即表示全體奇數(shù)構(gòu)成的集合.
對于AD選項，集合中的元素分別是由4的偶數(shù)倍和奇數(shù)倍的數(shù)組成，故AD錯誤；
對于BC選項，集合B中的元素是由全體偶數(shù)減1對應的數(shù)組成，即集合B中的元素是由全體奇數(shù)組成，
C中的元素是由4的倍數(shù)減1對應的數(shù)組成，為部分奇數(shù)，故B正確，C錯誤.
故選：B
2. 在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由復數(shù)除法，及復數(shù)幾何意義可得答案.
【詳解】由題，則在復平面對應坐標為，
在第四象限.
故選：D
3. 如圖，在正四棱錐中，為棱的中點，設，則用表示為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圖及空間向量加減法可得答案.
【詳解】由圖可得：
.
故選：C
4. 已知某班級將學生分為4個不同的大組，每個大組均有14名學生，現(xiàn)從這個班級里抽取5名學生參加年級活動，要求每個大組至少有1名同學參加，則不同的抽取結(jié)果共有（ ）
A. 種B. 種
C. 種D. 種
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，必有一組應取2人，其余組別各取1人，運用分步乘法計數(shù)原理計算即得.
【詳解】由題意，要求每個大組至少有1名同學參加，即在4個大組中，必有一個大組有2名同學參加活動，其余組別各有1個同學.
運用分步乘法計數(shù)原理解決：先從4個大組中抽取一個有2名同學參加的組，有種，
再從另外三個大組中分別各取1名同學，有種，
最后確定有2個同學參加的組的人選，有種.
由分步乘法計數(shù)原理，抽取結(jié)果共有個．
故選：C.
5. 已知，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】利用對數(shù)的換底公式，再結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】，
又因為，所以，
則，當且僅當時取等，
．
故選：B.
6. 已知函數(shù)的定義域為，則下列選項一定正確的是（ ）
A. B.
C. D. 的圖象關于直線對稱
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性以及周期性，即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】根據(jù)可得可得對稱，故B錯誤，
由可得為周期函數(shù)，且周期為4，
對于A，無法確定，故A錯誤，
對于C，．C正確，
對于D，由于關于對稱且周期為4，故，
無法確定和的關系，因此無法確定是函數(shù)的對稱軸，故D錯誤，
故選：C
7. 在銳角中，，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由余弦定理可，結(jié)合為銳角三角形可得答案.
【詳解】由余弦定理可知：，
在銳角三角形中又有，
即
故答案為：C．
8. 在正四棱臺中，，且正四棱臺存在內(nèi)切球，則此正四棱臺外接球的表面積為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由內(nèi)切球切點的截面性質(zhì)，確定內(nèi)切圓的圓心與半徑，從而結(jié)合勾股定理得四棱臺的高度，再由外接球幾何性質(zhì)建立關系得外接球的半徑，從而得所求.
【詳解】因為正四棱臺內(nèi)切球存在時，內(nèi)切球大圓是圖中梯形的內(nèi)切圓，圓心為，
設上下底面的中心分別為．
過作于，連接，
由圖可知，
則，
過作于，，
即四棱臺的高為，
易知外接球球心為，設外接球的半徑為，
則
，
解得，
則外接球表面積為．
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：關于正四棱臺的內(nèi)切球問題，關鍵是要通過截面法確定內(nèi)切圓的圓心與半徑，從而轉(zhuǎn)換為幾何體的內(nèi)切球，由幾何性質(zhì)確定正四棱臺的高度，從而再根據(jù)外接球的性質(zhì)求解外接球半徑，即可得所求。
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多
項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.
9. 已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（ ）
A. 的最小正周期為B. 的圖象關于點對稱
C. 在上有最小值D. 在上有兩個極值點
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)對稱可得，即可得，根據(jù)周期的計算公式求解A，代入即可求解B，根據(jù)整體法即可求解CD.
【詳解】，即，
而，故．故，
對于選項A：最小正周期，正確．
對于選項B：時，為的對稱中心，正確．
對于選項C：時，，無最小值，錯誤．
對于選項D：時，，結(jié)合的圖象可知，有兩個極值點，正確．
故選：ABD
10. 設等差數(shù)列的前項和為，公差為，已知，則下列說法正確的是（ ）
A. 的最小值為B. 滿足的最小值是14
C. 滿足的最大值是14D. 數(shù)列的最小項為第8項
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)，即可根據(jù)等差的求和公式判定啊ABC，根據(jù)，即可求解D.
詳解】由可知．
對于選項A：由為負，為正可知，最小，A正確．
對于選項B：，
則滿足的最小值為14，滿足的最大值是13,故B正確，C錯誤．
對于選項D：由為負，為正，且為負，為正可知：
為負．考慮到，故最大，即最小，正確．
故選：ABD
11. 在棱長為4的正方體中，為棱中點，為側(cè)面的中心，為線段（含端點）上一動點，平面交于，則（ ）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 的最小值為
C.
D. 平面將正方體分成兩部分，這兩部分的體積之比為
【答案】AC
【解析】
【分析】取中點，先判斷四邊形為平行四邊形，然后利用線面平行的判定得平面，從而利用線面平行知點面距離為定值，進而三棱錐的體積不變判斷A，連接，利用三角形知識知高線距離最短，利用余弦定理及勾股定理求解的高即可判斷B，利用面面平行的性質(zhì)得，作，利用求解，即可判斷C，利用基本事實作出截面，利用體積分割法求出的體積，結(jié)合正方體的體積求出另外一部分的體積，即可判斷D.
【詳解】對于選項A：取中點，因為為側(cè)面的中心，
所以，且，又，且，
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，
又平面，即平面，即平面，
則點到平面的距離恒為直線到平面的距離，
而，則三棱錐的體積不變，正確；
對于選項B：連接，則，
,
作出平面三角形可知時，取得最小值，
此時由余弦定理得，
所以，
所以，不正確；
對于選項C：由平面平面，
而平面與兩個平面分別交于，則.
作，則，則，所以，
所以，正確；
對于選項D：連接延長至與交于，連接，
由選項C知，則截面為，記幾何體的體積為，
則，
則另一部分的體積，則，不正確.
故選：AC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知非零向量滿足：，且，則_____.
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，再利用夾角公式求解即可.
【詳解】.
，
，解得，
故．
故答案為：.
13 若，則_____.
【答案】
【解析】
【分析】對兩邊求導，再令可得答案.
【詳解】對兩邊同時求導可得：
，
再令可得：．
故答案為：
14. 已知點，點為圓上的動點，且.記線段中點為，則的最大值為_____.
【答案】
【解析】
【分析】分析給定條件的幾何關系，求出的軌跡方程，再利用圓的性質(zhì)求出最大值.
【詳解】圓的圓心，半徑，
由，得，而為中點，則，
，于是，設，
因此，整理得，
即點在以為圓心，半徑為的圓上，則，
所以的最大值為.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：分析題設信息，求出點的軌跡是解決問題的關鍵.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)在處的切線與直線平行，其中.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.
【答案】（1）
（2）最大值為，最小值為
【解析】
【分析】（1）由題可得，據(jù)此可得答案；
（2）利用導數(shù)知識可判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，據(jù)此可得在區(qū)間上的最值.
【小問1詳解】
由題可得：，
則，故；
【小問2詳解】
，
當時，單調(diào)遞減；
當時，單調(diào)遞增．
則.
故的最大值為，最小值為．
16. 某科技公司研發(fā)了一種新型的AI模型，用于圖像識別任務.為了測試該模型的性能，對其進行了500次試驗，并記錄了每次試驗中模型正確識別圖像的數(shù)量，得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.
（1）估計這500次試驗中該AI模型正確識別圖像數(shù)量的均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）;
（2）以頻率估計概率，隨機對該模型進行3次試驗，用表示這3次試驗中正確識別圖像數(shù)量不少于20個的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算均值即可；
（2）根據(jù)二項分布可得，再根據(jù)二項分布求解概率分布列與期望即可.
【小問1詳解】
，
故均值為29．
【小問2詳解】
設1次試驗中正確識別圖像數(shù)量不少于20個的概率為，
則，則，
；
，
列的分布列如下：
17. 在空間幾何體中，底面是邊長為2的菱形，其中.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
0
1
2
3
0.027
0.189
0.441
0.343
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，證明四邊形為平行四邊形，利用勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；
（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.
【小問1詳解】
取中點，連接，
在中，，
，
且，∴四邊形為平行四邊形，
，
又四邊形為菱形，，
，
在中，，
，
又平面，，
平面；
【小問2詳解】
取中點，連接，
四邊形為菱形，，，
如圖所示，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，
則
設平面的法向量，
，
，令，則
設平面的法向量，
，
，令，則
記二面角的平面角為，
，
二面角的正弦值為．
18. 已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設直線與雙曲線、圓相切，切點分別為，與漸近線相交于.兩點.
（i）證明：為定值；
（ii）若，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）（i）證明見解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）由條件得到求解即可；
（2）（i）由與軸是否垂直兩種情況討論求解即可；（ii）求得兩點坐標，結(jié)合即可求解；
【小問1詳解】
由，
解得，故雙曲線的標準方程為．
【小問2詳解】
（i）①當與軸垂直時，，解得．
②當與軸不垂直時，設．
設與聯(lián)立可得：，
且有，故，
且．
將與聯(lián)立可得：．
，
而，故．
綜上所述，．
（ii）由與圓相切可知：．
設直線為，與聯(lián)立解得．
由（1）可知，則．
而．
消去可得：，
故．
19. 集合為集合子集，若數(shù)列滿足：恒為的倍數(shù)，則稱與“相關”.
（1）若，請寫出一個不同于數(shù)列且首項為1的等差數(shù)列，使得與“相關”.（無需證明）;
（2）若數(shù)列滿足：.
（i）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出;
（ii）若與"相關"，求所有滿足條件的集合.
【答案】（1）
（2）（?。┳C明見解析，；（ii）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的概念與“相關”的概念求解即可；
（2）（i）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明，結(jié)合等比數(shù)列通項公式求解即可得；（ii）當時，不是9的倍數(shù)，當時，只需為整數(shù)，分情況說明即可得滿足條件集合.
【小問1詳解】
，（滿足要求即可）
【小問2詳解】
（?。?br>是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列，
即．
兩邊同除以，有．而．
因此是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則．
（ⅱ）當時，不是9倍數(shù)
當時，
故只需
為整數(shù)．
①時，，不是整數(shù)．
②時，，不是整數(shù)．
③時，．
而．
當為偶數(shù)，，即．
此時．
當為奇數(shù)，．
綜上，滿足條件集合是的子集．
【點睛】關鍵點點睛：數(shù)列新定義，弄清題意新定義的含義，結(jié)合所學內(nèi)容，分析問題與解決問題，以及要有較強的運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

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