數(shù)學(xué)試題
(滿(mǎn)分: 150 分; 考試時(shí)間: 120 分鐘)
2024 年 12 月
注意事項(xiàng):
1. 答題前，考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)/座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2. 答選擇題時(shí)，必須使用 鉛筆填涂; 答非選擇題時(shí)，必須使用 0.5 毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě); 必須在題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)無(wú)效保持答卷清潔、完整.
3. 考試結(jié)束后，將答題卡交回 (試題卷學(xué)生保存，以備評(píng)講).
一、單項(xiàng)選擇題:本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. （ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】.
故選：C.
2. 冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn) ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用待定系數(shù)法求解即可.
【詳解】設(shè)，
則，所以，
所以.
故選：B.
3. 已知 ，則 的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間量法即可得出答案.
【詳解】∵是R上減函數(shù)，和分別是上的增函數(shù)和減函數(shù)；
∴，，
所以.
故選：A.
4. 若函數(shù) 與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，則 的大致圖象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意首先得，根據(jù)它的定義域、單調(diào)性以及它所過(guò)定點(diǎn)即可得解.
【詳解】由題意函數(shù) 與函數(shù) 互為反函數(shù)，
所以，解得，它在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且過(guò)定點(diǎn)，
對(duì)比選項(xiàng)可知A符合題意.
故選：A.
5. 教室通風(fēng)的目的是通過(guò)空氣的流動(dòng)，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為，經(jīng)測(cè)定，剛下課時(shí)，空氣中含有的二氧化碳，若開(kāi)窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時(shí)間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)需要的時(shí)間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（ ）
（參考數(shù)據(jù)，）
A. 6B. 7C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意列式求得，從而得到關(guān)于的不等式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得解.
【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，解得，
所以，由得，
所以，則，故，
所以的最小整數(shù)值為.
故選：B.
6. ，使得關(guān)于的不等式 有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分離參數(shù)可得，只需要即可，利用雙勾函數(shù)的性質(zhì)求出即可得解.
【詳解】，使得關(guān)于的不等式有解，
即，不等式，
則只需要即可，
由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
7. 定義在上的函數(shù)，滿(mǎn)足對(duì)任意，且，都有. 已知，則不等式的解集為 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】不妨設(shè)，則由，可得，構(gòu)造函數(shù)，從而可得出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】由題意，不妨設(shè)，
則由，可得，
則，
所以，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由，得，
由，得，
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以?br>所以，即，
所以，解得，
所以不等式的解集為.
故選：A.
8. 若 表示三個(gè)數(shù)中的最大值，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，因，可得，
借助于基本不等式可得，驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，即得.
【詳解】設(shè)，則，，，
因，則得．又因，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為2．
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題: 本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)
符 合題目要求. 全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 為實(shí)數(shù)，且，則下列式子中一定成立的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先分別求出，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)換底公式結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；根據(jù)對(duì)數(shù)的加法即可判斷C；利用基本不等式中“1”的整體代換即可判斷D.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，
所以，故A正確；
對(duì)于B，，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即，故C正確；
對(duì)于D，，
又因?yàn)?，即?br>所以，故D正確.
故選：ACD.
10. 已知函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的解析式可以是 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由，結(jié)合定義域逐個(gè)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，，顯然不滿(mǎn)足錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，可得：， ，滿(mǎn)足，關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，正確；
對(duì)于C，由可得：或，定義域不關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，故圖像也不可能關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
，滿(mǎn)足，圖像關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，正確；
故選：BD
11. 若定義域?yàn)? 對(duì)任意，存在唯一，使得，則稱(chēng)在定義域上是“倒數(shù)函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確是（ ）
A. 是倒數(shù)函數(shù)
B. 是倒數(shù)函數(shù)
C. 若在上是倒數(shù)函數(shù)，則
D. 若存在，使得 在定義域上是倒數(shù)函數(shù)，則
【答案】AC
【解析】
【分析】翻譯題目可得在定義域上是“倒數(shù)函數(shù)”當(dāng)且僅當(dāng)，其中的值域、
的值域分別為，對(duì)于AB，直接根據(jù)等價(jià)命題判斷即可，對(duì)于C，首先求得，根據(jù)倒數(shù)函數(shù)的定義可得（1）且（2），解出即可判斷；對(duì)于D，對(duì)進(jìn)行適當(dāng)劃分并分類(lèi)討論，由必要性得，反過(guò)來(lái)驗(yàn)證充分性是否成立即可.
【詳解】由題意對(duì)任意，存在唯一，使得，
則稱(chēng)在定義域上“倒數(shù)函數(shù)”，
則在定義域上是“倒數(shù)函數(shù)”當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意，存在唯一，
使得；
即當(dāng)且僅當(dāng)?shù)闹涤蚴堑闹涤虻淖蛹?br>定義的值域、的值域分別為，
所以在定義域上是“倒數(shù)函數(shù)”當(dāng)且僅當(dāng)；
對(duì)于A，的值域?yàn)椋?br>而的值域?yàn)?，顯然滿(mǎn)足，
又為增函數(shù)，故唯一性成立，故A正確；
對(duì)于B，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得，的值域?yàn)椋?br>而的值域?yàn)?，不滿(mǎn)足，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由題意在上是倒數(shù)函數(shù)，
首先當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
此時(shí)，
由倒數(shù)函數(shù)定義可知，不包含0，即（1）；
從而在時(shí)的值域?yàn)椋?br>由題意，
所以要滿(mǎn)足題意，還需滿(mǎn)足（2）；
只需（1）（2）式子同時(shí)成立即可，
所以當(dāng)且僅當(dāng)，解得，
又在上遞減，故唯一性成立，故C正確；
對(duì)于D，必要性：
情形一：當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增，
則，
若在定義域上是倒數(shù)函數(shù)，
首先，此時(shí)的值域?yàn)椋?br>同時(shí)注意到不成立，故不符合題意；
情形二：當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增，
則，
若在定義域上是倒數(shù)函數(shù)，
首先，此時(shí)的值域?yàn)椋?br>同時(shí)注意到不成立，故不符合題意；
情形三：當(dāng)時(shí)，注意到的對(duì)稱(chēng)軸為，
則，
（i）當(dāng)時(shí)，，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知存在使得，即此時(shí)，
若在定義域上是倒數(shù)函數(shù)，
首先，此時(shí)的值域?yàn)椋?br>同時(shí)注意到不成立，故不符合題意；
（ii）當(dāng)時(shí)，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，
即此時(shí)，注意到，
若在定義域上是倒數(shù)函數(shù)，
首先，其次結(jié)合，可得應(yīng)該滿(mǎn)足；
充分性：，有，
此時(shí)的值域?yàn)椋?br>故存在，使，
此時(shí)存在兩個(gè)，使，不合題意，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決C選項(xiàng)的關(guān)鍵是要依次得出（1）以及（2），解決D選項(xiàng)的關(guān)鍵在于先由必要性求參數(shù)，再驗(yàn)證充分性即可.
三、填空題: 本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 化簡(jiǎn) _____.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算的相關(guān)概念和運(yùn)算法則.先分別化簡(jiǎn)每一項(xiàng)，再將化簡(jiǎn)后的結(jié)果相加.
【詳解】化簡(jiǎn).
化簡(jiǎn),根據(jù)換底公式，則，即 .
同理.所以.
化簡(jiǎn).
將上述各項(xiàng)化簡(jiǎn)結(jié)果相加：.
故答案為：.
13. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】由，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>令，則該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的同增異減原則，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
故答案：.
14. 已知，若互不相等且，且，則的范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，根據(jù)圖象知，，且， ，再建立的函數(shù)并結(jié)合對(duì)勾函數(shù)求出范圍.
【詳解】函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
畫(huà)出的圖象，如圖，
因?yàn)?，由，得，，?br>由，得，即，由，得，
于是，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，在上遞增，則，
所以的范圍是．
故答案為：
四、解答題: 本題共 5 小題，共 77 分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)與的圖象交于點(diǎn).
（1）若，求實(shí)數(shù)的值.
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出定點(diǎn)，代入函數(shù)即可求出，再根據(jù)求解即可；
（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【小問(wèn)1詳解】
令，則，
所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象交于點(diǎn)，
所以，解得，
所以，
則，即，
解得或（舍去），
所以；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
由，得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>令，其為增函數(shù)，
而函數(shù)為增函數(shù)，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
因?yàn)?，所有?br>所以，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16. 已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).
（1）求的值.
（2）若函數(shù)，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)為偶函數(shù)可得，化簡(jiǎn)整理即可得解；
（2）由（1）得，令，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，
所以，
即，
所以，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
令，
則，對(duì)稱(chēng)軸為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，.
17. 已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，二次函數(shù)
（1）求實(shí)數(shù)的值.
（2）當(dāng)時(shí)，的圖象恒在圖象的下方，求的取值范圍.
（3）若時(shí)，恒成立，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性求解即可；
（2）由題意，都有，分離參數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；
（3）依題可得，由此求出的關(guān)系，進(jìn)而可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，解得；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)榈膱D象恒在圖象的下方，
所以，都有，即，
分離參數(shù)可得對(duì)都成立，
所以.
因?yàn)?，所以?br>所以，
即，所以，
所以的取值范圍為；
【小問(wèn)3詳解】
恒成立，
則，所以，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
18. 已知函數(shù)為常數(shù)，函數(shù).
（1）若為奇函數(shù)，求的值.
（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（3）在第(1)問(wèn)的條件下，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可得，由此即可得解；
（2）令，根據(jù)增函數(shù)的定義可得恒成立，進(jìn)而可得出答案；
（3）根據(jù)（1）中所得函數(shù)解析式確定函數(shù)的解析式，并運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性確定其單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性和值域列等式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程問(wèn)題，最后求解出參數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
即，即，
所以，所以，所以，
經(jīng)檢驗(yàn)不符題意，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
令，
則
，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以恒成立，
因?yàn)椋裕?br>所以恒成立，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；
【小問(wèn)3詳解】
由（1）知，
令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又函數(shù)為增函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?br>，
所以，
即，
所以，
令，
則關(guān)于的方程在上有兩根不同的實(shí)數(shù)根，
等價(jià)于關(guān)于的方程在上有兩根不同的實(shí)數(shù)根，
令，則函數(shù)在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，為一次函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，
則，無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，
，解得且，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，根據(jù)對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及其區(qū)間值域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在某區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)根，是解決本題的關(guān)鍵.
19. 對(duì)于二次函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱(chēng)為關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).
（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于參數(shù)2的不動(dòng)點(diǎn).
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù) 在上存在唯一一個(gè)關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（3）對(duì)于任意的，總存在，使得函數(shù)有關(guān)于參數(shù)的兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由不動(dòng)點(diǎn)的定義解方程即可；
（2）將在上有兩個(gè)不同解轉(zhuǎn)化為函數(shù)有唯一交點(diǎn)，結(jié)合后雙勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解；.
（3）由已知可得有兩個(gè)不等的實(shí)根，即，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的，總存在，使成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為存在，，整理得存在，，令，，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求在上的最大值，進(jìn)而解即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
令，
即，解得或，
所以關(guān)于參數(shù)2的不動(dòng)點(diǎn)為；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù) 在上存在唯一一個(gè)關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，
所以方程在上有唯一實(shí)數(shù)根，
即方程在上有唯一實(shí)數(shù)根，
則函數(shù)有唯一交點(diǎn)，
由雙勾函數(shù)性質(zhì)可得，函數(shù)在上遞減，在上遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
作出函數(shù)如圖所示：

由圖可知，或；
【小問(wèn)3詳解】
由題意知，函數(shù)有關(guān)于參數(shù)的兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，
所以方程，即恒有兩個(gè)不等實(shí)根，
則，
所以對(duì)于任意的，總存在，使成立，
即存在，，，
所以存在，，
即存在，，
即，，
令，，
對(duì)稱(chēng)軸為，
當(dāng)，即時(shí)，，
所以，解得；
當(dāng)，即時(shí)，，
所以，解得或，
綜述所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

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