成都市實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校2022-2023學(xué)年下學(xué)期第二次測評高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考試時(shí)間120分鐘    滿分150分一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分1. （    ）A. －1 B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法法則求解即可【詳解】，故選：B2. 化簡所得的結(jié)果是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】分析】根據(jù)向量加，減法運(yùn)算，即可化簡.【詳解】.故選：C3. 已知，則（    ）A  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式求解.詳解】由題得.故選：C4. 下列化簡不正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等變換的知識進(jìn)行化簡，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D5. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a=，b=，，則角A為（    ）A.  B.  C.  D. 或【答案】C【解析】【分析】由正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理，得，又，所以，所以為銳角，所以．故選：C．6. “石龍對石虎，金銀萬萬五，誰能識得破，買進(jìn)成都府”．這個(gè)民謠在彭山地區(qū)流傳了三百多年，2020年彭山江口沉銀遺址水下考古取得重大突破，出水文物超過10000件，實(shí)證確認(rèn)了“張獻(xiàn)忠江口沉銀”以及“木鞘藏金”的傳說“木鞘藏金”指的是可視為圓柱的木料內(nèi)放置了一個(gè)可視為球體的金疙瘩，這個(gè)金疙瘩與木料的底面和側(cè)面都相切，則這個(gè)金疙瘩的體積與該木鞘（這個(gè)圓柱體）的體積之比為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)球的半徑為，結(jié)合組合體的特征，利用圓柱和球的體積公式，求得圓柱和球的體積，即可求解.【詳解】由題意，圓柱的木料內(nèi)放置了一個(gè)可視為球體與木料的底面和側(cè)面都相切，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，可得，，所以.故選：B.7. 如圖，在正方體中，、分別為棱、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接、，設(shè)正方體的棱長為，分析可知直線與所成角為或其補(bǔ)角，計(jì)算出、的長，即可求得的余弦值.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，設(shè)正方體的棱長為，因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，則且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，故且，因?yàn)?/span>，，故直線與所成角為或其補(bǔ)角，平面，平面，則，故，因?yàn)?/span>，，所以，.因此，直線與所成角的余弦值是.故選：A.8. 已知函數(shù)，則最小正周期為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用平方關(guān)系、降冪及輔助角公式可得，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求最小正周期.【詳解】由題設(shè)，，所以最小正周期為.故選：B二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分9. 已知復(fù)數(shù)，則（    ）A. z的虛部為 B. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C.  D. z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根【答案】BCD【解析】【分析】把復(fù)數(shù)化成，利用復(fù)數(shù)的意義判斷A；求出、判斷BC；利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算判斷D作答.【詳解】依題意，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的虛部為，A錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，B正確；，，則，C正確；，即z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，D正確.故選：BCD10. 已知空間中是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題不正確的是（    ）A. B. C. 與異面D. 【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間中的線與平面，以及平面與平面的位置關(guān)系即可逐一判斷.【詳解】A：由垂直于同一平面的兩直線平行，可知A正確；B：由，可得或者，故B錯(cuò)誤；C：由，，可得與異面或，故C錯(cuò)誤；D：由，，，當(dāng)時(shí)，不能得到，只有當(dāng)時(shí)，才可以得到，故D錯(cuò)誤.故選：BCD11. 下列四個(gè)命題為真命題的是（    ）A. 若向量、、，滿足，，則B. 若向量，，則、可作為平面向量的一組基底C. 若向量，，則在上的投影向量為D. 若向量、滿足，，，則【答案】BC【解析】【分析】取，可判斷A選項(xiàng)；利用基底的概念可判斷B選項(xiàng)；利用投影向量的概念可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，若且，，則、不一定共線，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，若向量，，則，則、不共線，所以，、可作為平面向量的一組基底，B對；對于C選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄?/span>，，所以，在上的投影向量為，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄?/span>、滿足，，，則，D錯(cuò).故選：BC.12. 已知圓錐頂點(diǎn)為S，高為1，底面圓的直徑長為．若為底面圓周上不同于的任意一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（    ）A. 圓錐的側(cè)面積為B. 面積的最大值為C. 圓錐的外接球的表面積為D. 若，為線段上的動點(diǎn)，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對A：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式分析運(yùn)算；對B：根據(jù)題意結(jié)合三角形的面積公式分析運(yùn)算；對C：根據(jù)題意可得圓錐的外接球即為的外接圓，利用正弦定理求三角形的外接圓半徑，即可得結(jié)果；對D：將平面與平面展開為一個(gè)平面，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，結(jié)合余弦定理分析運(yùn)算.【詳解】對A：由題意可知：，故圓錐的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；對B：面積，在中，，故為鈍角，由題意可得：，故當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，B正確；對C：由選項(xiàng)B可得：，為鈍角，可得，由題意可得：圓錐的外接球即為的外接圓，設(shè)其半徑為，則，即；故圓錐的外接球的表面積為，C正確；對D：將平面與平面展開為一個(gè)平面，如圖所示，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，此時(shí)，在，，則為銳角，則，在，則，由余弦定理可得，則，故的最小值為，D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知，則____________.【答案】【解析】【分析】將分式的分子和分母同時(shí)除以，化簡求值即可．【詳解】，故答案為：14. 如圖，在梯形ABCD中，，，，，，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則______.  【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得.【詳解】如圖，分別以BC，BA所在直線為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，  由題意，，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，所以，所以，所以，故答案為：15. 如圖所示，要在兩山頂間建一索道，需測量兩山頂間的距離.已知兩山的海拔高度分別是米和米，現(xiàn)選擇海平面上一點(diǎn)為觀測點(diǎn)，從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及，則等于_________米.【答案】【解析】【分析】先求得，再利用余弦定理求得.【詳解】，，在三角形中，由余弦定理得米.故答案為：16. 已知直四棱柱，，底面為平行四邊形，側(cè)棱底面，以為球心，半徑為2的球面與側(cè)面的交線的長度為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用弧長公式、勾股定理、線面垂直計(jì)算求解.【詳解】如圖，連接，直四棱柱，，所以，在中，由余弦定理有：，代入數(shù)據(jù)，解得，所以，即，又，，所以平面，在平面上，以點(diǎn)為圓心，作半徑為1的圓，交棱于點(diǎn)，得到弧，在上任取一點(diǎn)與都構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理可知弧上任取一點(diǎn)到點(diǎn)的長度為2，所以以為球心，半徑為2的球面與側(cè)面的交線的長度為弧的長，因?yàn)?/span>，所以根據(jù)弧長公式有：弧的長度為.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.其中17題10分，其余各題12分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17. 已知，，與的夾角為．（1）求；（2）當(dāng)為何值時(shí)，．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值；（2）由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】解：因?yàn)?/span>，，與的夾角為，則，所以，.【小問2詳解】解：因?yàn)?/span>，則，解得.18. 如圖四邊形ABCD是矩形，平面BCE，，點(diǎn)F為線段BE的中點(diǎn).  （1）求證：平面ABE；（2）求證：平面ACF.【答案】（1）證明見解析    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可得答案；（2）連接交于點(diǎn)，連接，由中位線定理可得，再由線面平行的判定定理可得答案.【小問1詳解】因?yàn)?/span>平面BCE，平面BCE，所以，因?yàn)?/span>，，平面，所以平面ABE；【小問2詳解】  連接交于點(diǎn)，連接，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)F為線段BE的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>平面，平面， 所以平面.19. 已知函數(shù) 的部分圖像如圖所示. （1）求的解析式及對稱中心；（2）先將的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個(gè)單位后得到的圖像，求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間.【答案】（1），對稱中心為，    （2）【解析】【分析】(1) 由函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得的解析式，再利用三角函數(shù)的圖像得出對稱中心.(2)由題意利用函數(shù)的圖像變換規(guī)律，求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.【小問1詳解】根據(jù)函數(shù) 的部分圖像，可得，，．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，，，故有．根據(jù)圖像可得，是的圖像的一個(gè)對稱中心，故函數(shù)對稱中心為，.【小問2詳解】先將的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的，可得的圖像，再向右平移個(gè)單位，得到的圖像，即，令，，解得，，可得的減區(qū)間為，，結(jié)合，可得在上的單調(diào)遞減區(qū)間為．20. 如圖，三棱柱中，與均是邊長為2的正三角形，且．（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析    （2）2【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，利用勾股定理證明，易得平面，再根據(jù)面面垂直判定定理即可證明；（2）由（1）可證明為三棱柱的高，利用同底等高的椎體與柱體的關(guān)系，通過割補(bǔ)法即可求解.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，．∵與均是邊長為2的正三角形，∴，，．∴為二面角的平面角．∵，∴，∴．因?yàn)?/span>，，，平面所以平面，又平面，∴平面平面．【小問2詳解】由（1）知，，．∵，平面，平面，∴平面．∴為三棱錐的高．∴．∴四棱錐的體積為2．21. 第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會將于2022年6月在成都舉行，需規(guī)劃公路自行車比賽賽道，該賽道的平面示意圖為五邊形ABCDE（如圖），根據(jù)自行車比賽的需要，需預(yù)留出AC，AD兩條服務(wù)車道（不考慮寬度），DC，CB，BA，AE，ED為賽道，已知，，，，______．（注：km為千米）請從①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題干中，然后解答補(bǔ)充完整的問題．（1）求服務(wù)通道AD的長；（2）在（1）的條件下，求折線賽道AED的最大值（即最大）．注：如果選擇兩個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）選擇條件①由正弦定理得，選擇條件②由余弦定理得，再結(jié)合余弦定理可得AD的長；（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合均值不等式即可求角線段和最大值．【小問1詳解】解：若選擇條件①，在△ABC中，由正弦定理得：，即，解得；若選擇條件②，在△ABC中，由余弦定理得：即解得；在△ACD中，由余弦定理得，即解得或（舍去）∴服務(wù)通道AD的長為．【小問2詳解】在△ADE中，由余弦定理得：，∴，即，∵，∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）∴折線賽道AED的最大值為．22. 已知 分別為 三個(gè)內(nèi)角 的對邊， 且 ，（1）求 ；（2）若 ， 求 的取值范圍；（3）若 為 的外接圓， 若 分別切 于點(diǎn) ， 求 的最小值.【答案】（1）；    （2）；    （3）.【解析】【分析】（1）由題目條件可證得,可得為直角三角形，可求出.（2）由數(shù)量積的定義可求得，設(shè)，則，令，則，判斷出的單調(diào)性，即可得出答案.（3）用分別表示出，結(jié)合均值不等式即可求出答案.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，則，所以，則，所以為直角三角形，所以.【小問2詳解】，所以，而，所以設(shè)，所以，令，又因?yàn)?/span>所以，所以，令，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以.所以 的取值范圍為【小問3詳解】 的外接圓的半徑為，，設(shè)，則，其中，所以，而，，當(dāng)且僅當(dāng)取等.所以 的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量相關(guān)的取值范圍問題，考查面較廣，涉及了基本不等式、函數(shù)值域、正弦定理、三角函數(shù)等，需要對知識掌握熟練且靈活運(yùn)用.考查學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于難題.
 

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