專題19 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）解析版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【真題自測(cè)】2
【考點(diǎn)突破】14
【考點(diǎn)1】判斷、證明或討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)14
【考點(diǎn)2】根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍22
【考點(diǎn)3】與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的綜合問題31
【分層檢測(cè)】44
【基礎(chǔ)篇】44
【能力篇】54
【培優(yōu)篇】59
真題自測(cè)
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、解答題
2．（2023·全國(guó)·高考真題）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．
3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．
5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
6．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)
①；
②．
參考答案：
1．B
【分析】寫出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.
【詳解】，則，
若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，
令，解得或，
且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，，
故的極大值為，極小值為，
若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，
故選：B.
2．（1）證明見詳解（2）
【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.
【詳解】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
構(gòu)建，
則，
構(gòu)建，則對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
即對(duì)恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>若，則，
因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.
當(dāng)時(shí)，令
因?yàn)椋?br>且，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，
由題意可得：，
（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，
由（1）可得，
構(gòu)建，
則，
且，則對(duì)恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，且，
所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，則，且，
則，
即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞增，
所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
1.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮；
2.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮.
3．(1)
(2)
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當(dāng)時(shí)，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，
由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，
此時(shí)
存在，使得，
所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，
所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.
4．(1)
(2)證明見的解析
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.
【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)
的定義域?yàn)?，則
令,得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增，
若,則,即
所以的取值范圍為
[方法二]：同構(gòu)處理
由得：
令，則即
令，則
故在區(qū)間上是增函數(shù)
故，即
所以的取值范圍為
（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)
要證,即證
因?yàn)?即證
又因?yàn)?故只需證
即證
即證
下面證明時(shí)，
設(shè)，
則
設(shè)
所以,而
所以,所以
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令
所以在單調(diào)遞減
即,所以；
綜上, ,所以.
[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式
由題意得：
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解
又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故
兩邊取對(duì)數(shù)得：，即
又因?yàn)?，故，?br>下證
因?yàn)?br>不妨設(shè)，則只需證
構(gòu)造，則
故在上單調(diào)遞減
故，即得證
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式
這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握
5．(1)
(2)
【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可
（2）求導(dǎo),對(duì)分類討論,對(duì)分兩部分研究
【詳解】（1）的定義域?yàn)?br>當(dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為
（2）
設(shè)
若,當(dāng),即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點(diǎn),不合題意
若,當(dāng),則
所以在上單調(diào)遞增所以,即
所以在上單調(diào)遞增,
故在上沒有零點(diǎn),不合題意
若
(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
所以
當(dāng),
令則
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
又，，
所以在上有唯一零點(diǎn)
又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)
(2)當(dāng)
設(shè)
所以在單調(diào)遞增
所以存在,使得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增,
又
所以存在,使得,即
當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，
又，
而,所以當(dāng)
所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)
即在上有唯一零點(diǎn)
所以,符合題意
所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.
6．(1)答案見解析；(2)證明見解析.
【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；
(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.
【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，
若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增；
(2)若選擇條件①：
由于，故，則，
而，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
若選擇條件②：
由于，故，則，
當(dāng)時(shí)，，，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：
，
當(dāng)時(shí)，，
取，則，
即：，
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).
，
由于，，故，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).
綜上可得，題中的結(jié)論成立.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】判斷、證明或討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
一、單選題
1．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的所有可能的值為（）
A．3B．4C．2或3或4或5D．2或3或4或5或6
二、多選題
2．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A．
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．將函數(shù)圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象
D．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7
三、填空題
3．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)且，為定義在上的函數(shù)，則至多有個(gè)零點(diǎn)；若僅有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
四、解答題
4．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù).
(1)判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
5．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.
6．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求證：；
(2)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
參考答案：
1．A
【分析】畫出函數(shù)圖象，令，則，所以，即方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用韋達(dá)定理及函數(shù)圖象分類判斷即可.
【詳解】根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；
函數(shù)，時(shí)單調(diào)遞減，所以，
對(duì)于方程，令，則，所以，
即方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，
當(dāng)時(shí)，，3個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，也是3個(gè)交點(diǎn)；
故選：A．
【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
2．ABD
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點(diǎn)法作答求出函數(shù)的解析式，再分析判斷ABC；換元并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合圖形判斷D作答.
【詳解】觀察圖象知，函數(shù)的周期，則，而，
即有，由知，，因此，A正確；
顯然，當(dāng)時(shí)，，因此單調(diào)遞增，B正確；
將圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡茫賹⑺脠D象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，
而，C錯(cuò)誤；
由，得，令，則，
令，顯然當(dāng)時(shí)，，即恒有，函數(shù)在上無零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，令，，
函數(shù)在上都遞減，即有在上遞減，，
，因此存在，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，有在上遞增，在遞減，
，，
于是存在，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上遞減，在遞增，，，
從而函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，而函數(shù)周期為，在上單調(diào)遞增，如圖，
，，，
從而函數(shù)在上各有一個(gè)零點(diǎn)，又0是的零點(diǎn)，即函數(shù)在定義域上共有7個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).
3．
【分析】令（，且），可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)論.
【詳解】令（，且），可得，
等式兩邊取自然對(duì)數(shù)得，即，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.
所以，，且當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：
由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象至多有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，函數(shù)至多有個(gè)零點(diǎn).
若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則或，解得或.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
4．(1)一個(gè)零點(diǎn)，理由見解析
(2)
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)特殊點(diǎn)函數(shù)值、單調(diào)性，即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）首先不等式變形為，并構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)（1）的結(jié)果討論和兩種情況，討論不等式恒成立的問題.
【詳解】（1）.
當(dāng)時(shí)，.
函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
（2），
.
設(shè).
①當(dāng)時(shí)，由，
當(dāng)時(shí)，不合題意.
②當(dāng)時(shí)，由①在上單調(diào)遞增.
又在上恒成立.
設(shè).
在上恒成立，在上單調(diào)遞減.
又在上恒成立.
，滿足題意.
綜上，的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用（1）的結(jié)果，對(duì)不等式進(jìn)行放縮，從而轉(zhuǎn)化為求恒成立問題.
5．(1)2個(gè)；
(2)
【分析】（1）變形得到，得到一個(gè)零點(diǎn)為，令，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和極值情況，得到答案；
（2）求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合單調(diào)性和極值情況，得到不等式，求出答案.
【詳解】（1）時(shí)，，
顯然，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
又，則有且只有1個(gè)零點(diǎn)，
∴時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)和.
（2），
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，所以符合題意，
當(dāng)時(shí)，可由，解得或，
若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∵，∴，此時(shí)要使在時(shí)恒成立，還需滿足，即，
若，即時(shí)，恒成立，故在R上遞增，則時(shí)，符合題意；
若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，即符合題意，
綜上所述：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法, 使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.
6．(1)證明見解析
(2)個(gè)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，從而得到的最小值，即可證明；
（2）由（1）可得當(dāng)時(shí)，，則，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，得到的最小值，從而求得零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
.
（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，即，
，，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
最小值為，，
，無零點(diǎn).
反思提升：
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)常用方法
(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
(2)利用零點(diǎn)存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn)，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).
【考點(diǎn)2】根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍
一、單選題
1．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)若恰有5個(gè)不同零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的范圍為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（2021·山東聊城·二模）用符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.設(shè)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，，，則（）
A．是的一個(gè)零點(diǎn)
B．
C．的取值范圍是
D．若，則的范圍是.
三、填空題
3．（2021·安徽安慶·三模）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的范圍為．
四、解答題
4．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)
(1)若時(shí)函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求m的范圍；
(2)若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求a的范圍；
5．（23-24高三上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍.
6．（2023·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間.
(2)若，且在區(qū)間上恒成立，求a的范圍；
(3)若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
參考答案：
1．D
【分析】畫出的圖象，將恰有5個(gè)不同零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與有5個(gè)交點(diǎn)即可.
【詳解】由題知，
零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
所以時(shí)，，單調(diào)遞增，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
如圖所示：

所以時(shí)有最大值：
所以時(shí)，由圖可知必有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，
令，則
則有且，如圖所示：

因?yàn)闀r(shí)，已有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以只需保證與有三個(gè)交點(diǎn)即可，
所以只需，解得.
故選：D
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題往往可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合方便分析求解.
2．AD
【分析】令，可得或，可知的一個(gè)零點(diǎn)是，另外兩個(gè)零點(diǎn)是方程的2個(gè)解，從而可得到，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，可知直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合方法，可求出的范圍，及另外兩個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間，進(jìn)而結(jié)合的含義，可選出答案.
【詳解】由題意，令，則或，
顯然是方程的解，也是方程的解，所以選項(xiàng)A正確；
因?yàn)橛?個(gè)不同的零點(diǎn)，所以方程有2個(gè)不同的解，且兩解都不等于，
易知，可得，
令，則直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，
求導(dǎo)得，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.
又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.
可畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示，
根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn).
又因?yàn)椋抑本€與函數(shù)的圖象的2個(gè)不同交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不等于，所以，即，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不等于e ，此時(shí)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
不妨設(shè)，是直線與函數(shù)的圖象的2個(gè)不同交點(diǎn)，且，
則，，
根據(jù)的圖象，當(dāng)趨近與0時(shí)，趨近于1，趨近于無窮大，此時(shí)趨近于無窮大，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，由，，可得，，
因?yàn)?，所以，則，
則，，
所以，即，
故選項(xiàng)D正確.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
3．
【分析】通過換元法將方程變?yōu)椋渲?；利用?dǎo)數(shù)可求得的大致圖象，從而確定其與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，將所求式子化為，利用韋達(dá)定理可求得結(jié)果.
【詳解】由，兩邊同時(shí)除以變形為，
有
設(shè)即，所以
令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，，當(dāng)時(shí)，其大致圖像如下．
要使關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，，，且．
結(jié)合圖像可得關(guān)于t的方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
且，從而．
，，則，．
所以
.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)個(gè)數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解
4．(1)
(2)
【分析】（1）參變分離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值即可求得的取值范圍；
（2）根據(jù)極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系并二次函數(shù)根的分布計(jì)算即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)橛腥齻€(gè)互不相同的零點(diǎn)，所以，
即有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根．
令，則．
令，令，
所以在和均為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
即的極小值為，極大值為，

故m的取值范圍．
（2）由題意可知，在上沒有變號(hào)零點(diǎn)，
又因?yàn)?，所以，解之得?br>故a的范圍為.
5．(1)
(2)或
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；
（2）首先得，這樣問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，這樣求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論極值點(diǎn)與定義域的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
，，
所以函數(shù)在處的切線方程為；
（2），易知，
所求問題等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，
因?yàn)?，，得?br>當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，，在上單調(diào)遞增.
①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，滿足題意.
②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
要使在上沒有零點(diǎn)，只需，即，解得，
所以.
③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上滿足，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，滿足題意.
綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍是或.
6．(1)的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.
(2)
(3)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1
【分析】對(duì)于（1），求導(dǎo)即可得單調(diào)區(qū)間；
對(duì)于（2），在區(qū)間上恒成立等價(jià)于在上的最小值大于1；
對(duì)于（3），判斷出單調(diào)性，后由零點(diǎn)存在性定理可得答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.
則，由，得；由，
得.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）在區(qū)間上恒成立，則在上的最小值大于1
，
①當(dāng)時(shí)，，得在上單調(diào)遞增，故
，又，
則，即不合題意.
②當(dāng)時(shí)，，由，得或；
由，得.
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
i當(dāng)，即時(shí)，.
ii當(dāng)，即時(shí)，，
由題有，
又，
則.
綜上a的范圍為
（3）由題，.
則，設(shè)，
則，當(dāng)，得；
當(dāng)，得，故在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增.則，
又，則，故.
則在上單調(diào)遞增.注意到，
設(shè)，則，
由，得；由，得.
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
則，得恒成立
，又，
則
，又，
故，使，即時(shí)，有唯一零點(diǎn)·.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及恒成立問題及求含參函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，難度較大.
（1）問較為基礎(chǔ)，（2）問難點(diǎn)在于時(shí)，不清楚與大小，
采用可避免討論，（3）問難點(diǎn)在于零點(diǎn)所在區(qū)間的尋找.
反思提升：
1.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)圖象的幾何直觀求解.
2.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況.
【考點(diǎn)3】與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的綜合問題
一、單選題
1．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．則下列說法正確的是（）
A．函數(shù)的定義域?yàn)镽
B．若函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則
C．當(dāng)時(shí)，可能有三個(gè)零點(diǎn)
D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值大于極大值
二、多選題
2．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知函數(shù)，下列說法正確的有（）
A．當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增
B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一極值點(diǎn)
C．若函數(shù)只有兩個(gè)不等于1的零點(diǎn)，則必有
D．若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則
三、填空題
3．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)該函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)中最大值為，當(dāng)該函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)時(shí)，設(shè)這四個(gè)零點(diǎn)中最大值為，求 .
四、解答題
4．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，證明：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．
(3)證明：．
5．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)已知實(shí)數(shù).
①求證：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
②設(shè)該零點(diǎn)為，若圖象上有且只有一對(duì)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明：；
(3)設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)．
（參考數(shù)據(jù)：）
參考答案：
1．D
【分析】對(duì)于A：，通過求導(dǎo)找到零點(diǎn)，進(jìn)而確定定義域；對(duì)于B：求出，，，進(jìn)而可得切線方程，從而得到面積；對(duì)于CD：求出，利用零點(diǎn)存在定理，確定零點(diǎn)位置，從而得到極值，進(jìn)而可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及極值關(guān)系.
【詳解】記，則，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，
，，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，
因?yàn)橛幸饬x需使，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，?br>所以函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程為，，
此直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為，，
由三角形的面積公式得，解得或，所以B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，記，
則，明顯單調(diào)遞增，
而，，
由零點(diǎn)存在定理知存在，使得，即，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
即當(dāng)時(shí)，，所以，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，，
當(dāng)時(shí)，記，，
所以在上單調(diào)遞增，
，，
由零點(diǎn)存在定理知存在，使得，
即當(dāng)時(shí)，，從而有，
當(dāng)時(shí)，，從而有，
綜上可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，且，，
所以，．
又因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，
所以最多只有兩個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D正確．
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．函數(shù)零點(diǎn)的判定常用的方法有：
（1）零點(diǎn)存在性定理；（2）數(shù)形結(jié)合；（3）解方程f(x)＝0.
2．研究方程f(x)＝g(x)的解，實(shí)質(zhì)就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)．
3．轉(zhuǎn)化思想：方程解的個(gè)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題．
2．ACD
【分析】對(duì)于A：直接代入求單調(diào)性即可；對(duì)于B：直接代入求極值即可；對(duì)于C：將函數(shù)兩個(gè)不等于1的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等于1的根，，求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定，然后證明和對(duì)應(yīng)的值一樣即可；對(duì)于D：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求導(dǎo)解答即可.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，
則，令，
則，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故，所以在上單調(diào)遞增，A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，
則，令，
則，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故，所以在上單調(diào)遞增，無極值，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：令，得，
令，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，又，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，
若函數(shù)只有兩個(gè)不等于的零點(diǎn)，即函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，
則不妨取，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)與的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)互為倒數(shù)，即，C正確；
對(duì)于D：明顯，所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且，
函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)在上為連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)必有兩個(gè)極值點(diǎn)（不為1），
因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，則
當(dāng)時(shí)，令，得，單調(diào)遞減，
，得，單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞減，不可能有3個(gè)零點(diǎn)，
所以，令，得，單調(diào)遞減，
，得，單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以，D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題要學(xué)會(huì)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如選項(xiàng)C，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，選項(xiàng)D，將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.
3．
【分析】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可知：與直線在點(diǎn)相切，函數(shù)恰有四個(gè)個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與直線有且只有四個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可知：與直線在點(diǎn)相切，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及三角恒等變換化簡(jiǎn)可得答案.
【詳解】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)恰有四個(gè)個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與直線有且只有四個(gè)交點(diǎn)，與直線的圖象如下：
根據(jù)圖象可知，與直線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則與在點(diǎn)處相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，此時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以，則，又，所以，則
同理，與直線有且只有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則與在點(diǎn)處相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，此時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，所以，則，又，所以，則
所以
故答案為：.
4．(1)證明見解析；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理推理即得.
（2）等價(jià)變形給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即得.
（3）利用（2）的結(jié)論得，再賦值并借助不等式性質(zhì)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推理即得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?，則，
令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，
則，即在上恒成立，在上單調(diào)遞增，
而，，
所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理知，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，
令，求導(dǎo)得，令，
則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
則，于是當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因此，
所以a的取值范圍為．
（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，有，則，
因此，
所以．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立或存在型問題，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
5．(1)取極小值，無極大值
(2)①證明見解析；②.
【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值.
（2）①把問題轉(zhuǎn)化成，換元，令，，所以或，再分別判斷這兩個(gè)方程解得情況.
②問題轉(zhuǎn)化成方程只有一個(gè)正根.根據(jù)零點(diǎn)的存在性求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取極小值.
（2）①令，
換元，，即或.
構(gòu)造函數(shù)，顯然單調(diào)遞增，且，
方程必定存在一負(fù)根.
對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
恒成立，方程無根.
當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
②由上可知.
構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性不妨假設(shè)，
若存在唯一正根，則.
.
，，，，
令，即.
令，構(gòu)造函數(shù)，
，且顯然在上單調(diào)遞減，
存在正零點(diǎn)的必要條件是.
易證明當(dāng)時(shí)，，
，
只要當(dāng)時(shí)，就有，
故是存在正零點(diǎn)的充要條件，
而，且，，
在上單調(diào)遞增，
，又，
故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
6．(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)得，設(shè)，分類討論的根的情況，可得的單調(diào)區(qū)間；
（2）求導(dǎo)根據(jù)題意可得方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可得解得，要證，需證，進(jìn)而換元可證結(jié)論；
（3）在上有且僅有2個(gè)不同的根，等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)得，分，討論可證結(jié)論．
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>．
設(shè)，
則函數(shù)為二次函數(shù)，對(duì)稱軸為直線，
且．
令，則．
當(dāng)，即時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．
當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間．
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）．
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則解得，
所以
．
要證，
即證．
不妨設(shè)，
則只需證．
設(shè)，則只需證．
令．
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，得證．
（3）由得，
在上有且僅有2個(gè)不同的根，
等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)．
設(shè)，
①當(dāng)時(shí)，令，，
所以在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)椋?br>即當(dāng)時(shí)，存在，且的圖象連續(xù)，
所以在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，即存在，使．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以在上存在唯一的極小值點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，又，
記，則，則在上單調(diào)遞減，
所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，
則，
所以當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)．
②當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增．
已證在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)椋?br>由①知，
所以當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)．
③當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
則當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象在上無交點(diǎn)．

綜上，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)．
即當(dāng)時(shí)，有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求導(dǎo)后能轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題，常利用判別式進(jìn)行分類討論求解；函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)即為導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上證不等式恒成立問題，常轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)，通過求最大值與最小值證明；函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)問題，常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有幾個(gè)交點(diǎn)問題處理.
反思提升：
在求解函數(shù)問題時(shí)，很多時(shí)候都需要求函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的零點(diǎn)，但所述情形都難以求出其準(zhǔn)確值，導(dǎo)致解題過程無法繼續(xù)進(jìn)行時(shí)，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在唯一的零點(diǎn)(例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間I的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)時(shí)就可證明存在唯一的零點(diǎn))，這時(shí)可設(shè)出其零點(diǎn)是x0.因?yàn)閤0不易求出(當(dāng)然，有時(shí)是可以求出但無需求出)，所以把零點(diǎn)x0叫做隱零點(diǎn)；若x0容易求出，就叫做顯零點(diǎn)，而后解答就可繼續(xù)進(jìn)行，實(shí)際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·云南昆明·一模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A．為增函數(shù)B．有兩個(gè)零點(diǎn)
C．的最大值為2eD．的圖象關(guān)于對(duì)稱
2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
3．（22-23高三下·江西·階段練習(xí)）若函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．有兩個(gè)零點(diǎn)B．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心
C．有兩個(gè)極值點(diǎn)D．直線是曲線的切線
二、多選題
5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，下列正確的是（）
A．若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則
B．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則
C．若函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則，
D．若有兩個(gè)零點(diǎn)，則
6．（21-22高三上·湖北·期中）已知函數(shù)，下列結(jié)論成立的是（）
A．函數(shù)在定義域內(nèi)無極值
B．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為
C．函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
D．函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且
7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，則（）
A．若有極值點(diǎn)，則
B．當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)
C．
D．當(dāng)時(shí)，曲線上斜率為2的切線是直線
三、填空題
8．（2023·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．
9．（2021·海南·二模）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .
10．（20-21高三上·吉林長(zhǎng)春·期中）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為 .
四、解答題
11．（20-21高二下·重慶·期末）已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直.
（1）求的值；
（2）若函數(shù)在上無零點(diǎn)，求的取值范圍.
12．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明．
參考答案：
1．D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項(xiàng)依次計(jì)算，即可求解.
【詳解】A：，令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；
B：由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，所以函數(shù)在R上沒有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
C：由選項(xiàng)A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即函數(shù)的最小值為，故C錯(cuò)誤；
D：，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.
故選：D
2．C
【分析】
求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，極值，畫圖，根據(jù)圖象得零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】,
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，，，，
則的草圖如下：
由圖象可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.
故選：C.
3．C
【分析】
通過導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到其最小值，令最小值小于等于零進(jìn)行求解即可.
【詳解】已知函數(shù)，則，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增.
所以，則，又，
所以.
故選：C.
4．C
【分析】利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性和極值、最值即可求解A,C，再根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系可判斷B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.
【詳解】，
令解得，令解得或，
所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
，且，
所以在各有一個(gè)零點(diǎn)，共3個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；
為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于對(duì)稱，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；
由單調(diào)性可知有兩個(gè)極值點(diǎn)為，C正確；
對(duì)于D，令，解得則，
但是當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線，有，即直線不經(jīng)過切點(diǎn)，D錯(cuò)誤，
故選:C.
5．AD
【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合常變量分離法，導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】由，
當(dāng)時(shí)，
令，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故，
函數(shù)的圖象如下圖所示：
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，所以函數(shù)沒有零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，而，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)C不正確；
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有二個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)只有二個(gè)零點(diǎn)，因此選項(xiàng)B不正確，選項(xiàng)D正確，
故選：AD
6．ABD
【分析】求出定義域與導(dǎo)函數(shù)可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B；利用函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理可判斷C；根據(jù)選項(xiàng)C可判斷D.
【詳解】A，函數(shù)定義域?yàn)椋?br>，
在和上單調(diào)遞增，則函數(shù)在定義域內(nèi)無極值，故A正確；
B，由，則，
又，
函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為
即，故B正確；
C，在上單調(diào)遞增，
又，
，
所以函數(shù)在存在，使，
又，即，
且，
即為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),故C錯(cuò)誤.
D，由選項(xiàng)C可得，所以，故D正確.
故選：ABD
7．BC
【分析】對(duì)A，判斷當(dāng)時(shí)情況即可；對(duì)B，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷即可；對(duì)C，根據(jù)得關(guān)于對(duì)稱，再判斷的對(duì)稱性判斷即可；對(duì)D，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.
【詳解】對(duì)A，由題得，當(dāng)時(shí)，遞增，不存在極值點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，令得或，
令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，，?br>所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上無零點(diǎn)．
綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)C，由得關(guān)于對(duì)稱，
令，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)椋?br>則是奇函數(shù)，圖象的對(duì)稱中心是原點(diǎn)，
將的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，
所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)D，令，可得．又，，
所以當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，
當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC．
8．
【分析】分離常數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為y＝與y＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令（x∈R），利用導(dǎo)數(shù)求出的最值，再給合的正負(fù)分析即可得答案．
【詳解】解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，
即有兩個(gè)零點(diǎn)?有兩個(gè)解，
即y＝與y＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
令（x∈R），
則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以，
又因當(dāng)時(shí)，＝＜0，
當(dāng)時(shí)，＝＞0，
當(dāng)時(shí)，＝＝0，
要使y＝與y＝的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以0＜＜，即
故的取值范圍為．
故答案為：．
9．1
【解析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷即可,.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以有且僅有1個(gè)零點(diǎn).
故答案為：1
10．1
【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間，由題意，只需即可求解.
【詳解】由，（），則，
令，解得，
令，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
所以在時(shí)取得極小值.
所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
只需，即，解得.
故答案為：1
11．（1）；（2）
【分析】（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，由即可求解.
（2）由題意可得在上無解，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)無交點(diǎn)即可求解.
【詳解】（1）由函數(shù)，，
，所以可得，解得.
（2）若函數(shù)在上無零點(diǎn)，即在上無解，
即在上無解，
令，，
，在上，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
即，
若在上無解，
則或，
即或.
所以的取值范圍為
12．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）直接用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可；
（2）構(gòu)造并證明時(shí)，并對(duì)該不等式代入特殊值即可得證.
【詳解】（1）首先由可知的定義域是，從而.
故，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).
故在上遞增，在上遞減，所以具有最大值.
所以命題等價(jià)于，即.
所以的取值范圍是.
（2）不妨設(shè)，由于在上遞增，在上遞減，故一定有.
在的范圍內(nèi)定義函數(shù).
則，所以單調(diào)遞增.
這表明時(shí)，即.
又因?yàn)椋液投即笥冢?br>故由在上的單調(diào)性知，即.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·遼寧·三模）已知函數(shù)為實(shí)數(shù)，下列說法正確的是（）
A．當(dāng)時(shí)，則與有相同的極值點(diǎn)和極值
B．存在，使與的零點(diǎn)同時(shí)為2個(gè)
C．當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立
D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為
三、填空題
3．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，且，，則．
四、解答題
4．（22-23高二上·山東濱州·期末）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
參考答案：
1．D
【分析】進(jìn)行合理換元和同構(gòu)，轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，最后得到參數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】令，
所以．
令，定義域?yàn)椋?br>令，易知在上單調(diào)遞增，且．
所以，
則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．
則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：D．
2．AC
【分析】對(duì)于A，分別各自求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可判斷；對(duì)于B，分別求出與的零點(diǎn)為2個(gè)時(shí)的范圍，看它們的交集是否為空集即可判斷；對(duì)于C，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，對(duì)分類討論，只需判斷是否成立即可；對(duì)于D，原問題等價(jià)于對(duì)恒成立，從而即可進(jìn)一步求解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)均單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)均單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，均各自取到相應(yīng)的極值，且，
所以當(dāng)時(shí)，則與有相同的極值點(diǎn)和極值，故A正確；
，
令，
，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
當(dāng)時(shí)，有極大值，，
在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出直線的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示，
所以方程有兩個(gè)根當(dāng)且僅當(dāng)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)從1的左邊趨于1時(shí)，趨于正無窮，當(dāng)從1的右邊趨于1時(shí)，趨于負(fù)無窮，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
令，則，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，有極小值，，
在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出直線的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示，
方程有兩個(gè)根當(dāng)且僅當(dāng)，
綜上所述，不存在，使與的零點(diǎn)同時(shí)為2個(gè)，故B錯(cuò)誤；
設(shè)，
，
，
當(dāng)時(shí)，顯然，
若，即，在此情況下：
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，
即在的情況下，對(duì)恒成立，
若，即，在此情況下：
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
所以在的情況下，對(duì)恒成立，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，故C正確；
對(duì)于D，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，
這意味著對(duì)恒成立，
也就是說對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，
注意到在上單調(diào)遞減，
所以，也就是說的取值范圍為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
3．1
【分析】求，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)及單調(diào)性可得，化簡(jiǎn)可得的值.
【詳解】由題意可得，，
又，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，且?br>又，所以，所以．
故答案為：1.
4．(1)答案見解析；
(2)
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)和分類討論求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性易知且，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.
【詳解】（1）．
①若，，在為增函數(shù)；
②若，令，得.
當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，必有，
因?yàn)椋?令，
則，所以在單調(diào)遞減，而，
所以當(dāng)時(shí)，，即.
又，故在有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，由得，由得，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，故，所以，
取，有，
所以在有1個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)，，，則（）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
B．存在某個(gè)，使得函數(shù)與零點(diǎn)個(gè)數(shù)不相同
C．存在，使得與有相同的零點(diǎn)
D．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，，一定有
三、填空題
3．（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
參考答案：
1．C
【分析】先將的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)圖像，即把問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；再證明為奇函數(shù)，然后求導(dǎo)后得到在區(qū)間上為減函數(shù)；再求出曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求出，，時(shí)的范圍；最后作出的圖象和的圖像，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.
【詳解】將的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，
所以原題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)”，
即研究直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題．
因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且?br>所以為奇函數(shù)．
因?yàn)椋?br>所以在區(qū)間上為減函數(shù)，
且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)?shù)?，?br>作出的圖象．如圖：
由圖知：當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)圖像，即把問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題；再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性作出函數(shù)圖像.
2．ACD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理及同構(gòu)式一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】由，
令，令，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即，
對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，
又易知，且時(shí)，，
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)無零點(diǎn)，
又易得，
則，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，由A、B項(xiàng)結(jié)論可知：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，，
同時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，，
則根據(jù)單調(diào)遞增可知，存在唯一的滿足成立，
有，
若C正確，因?yàn)?，則只能有，即，
由題意易知：，
令，則時(shí)，，
時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且時(shí)，，時(shí)，，
設(shè)，，
因?yàn)椋瑫r(shí)，，，
所以存在，使得，即，所以，，
即存在，使得與有相同的零點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，由C項(xiàng)結(jié)論可知，此時(shí)，
則由，故D正確.
綜上：ACD正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：可以先利用導(dǎo)數(shù)含參討論函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)于第二項(xiàng)，注意觀察兩個(gè)函數(shù)的解析式，利用同構(gòu)式判定可零點(diǎn)之間的聯(lián)系；第三項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性可判定同構(gòu)式是否有解.
3．
【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)，得到和在上單增，結(jié)合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，結(jié)合，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】由函數(shù)，
設(shè)，可得，單調(diào)遞增，
且，，
所以存在唯一的，使，即，
令，即，
設(shè)，可得，則在上單增，
又由且時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，存在唯一的，使，即，
若時(shí)，可得，則，可得，所以，
所以，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.
結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)或；
②，構(gòu)造函數(shù)或；
③，構(gòu)造函數(shù)或
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