1.通過方程的解，認識復數(shù).2.理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義.3.掌握復數(shù)的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義.
第一部分 落實主干知識
第二部分 探究核心題型
1.復數(shù)的有關概念(1)復數(shù)的定義：形如a＋bi(其中，a，b∈R)的數(shù)叫作復數(shù)，其中　　稱為復數(shù)z的實部，　　稱為復數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)單位.(2)復數(shù)的分類：復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)
實數(shù)(b　　0)，虛數(shù)(b　　0)(當a　　0時為純虛數(shù)).
(3)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?　　　　　　(a，b，c，d∈R).(4)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di互為共軛復數(shù)?　　　　　　　(a，b，c，d∈R).(5)復數(shù)的模：向量　 的模稱為復數(shù)z＝a＋bi的模，記作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝_________(a，b∈R).
2.復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內(nèi)的點Z(a，b).(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量 .3.復數(shù)的四則運算(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
(a＋c)＋(b＋d)i
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(2)幾何意義：復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義，即 ＝ ， ＝ .
2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋).4.復數(shù)z的方程在復平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓.
1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)復數(shù)z＝0沒有共軛復數(shù).(　　)(2)復數(shù)可以比較大小.(　　)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當a＝0時，復數(shù)z為純虛數(shù).(　　)(4)復數(shù)的模實質上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模.(　　)
2.已知復數(shù)z＝i3(1＋i)，則z在復平面內(nèi)對應的點位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
z＝i3(1＋i)＝－i(1＋i)＝1－i，z在復平面內(nèi)對應的點為(1，－1)，位于第四象限.
3.(2023·合肥模擬)已知i是虛數(shù)單位，若|1＋ai|＝5，則實數(shù)a等于
4.已知復數(shù)z滿足z(1－i)＝i(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為________.
例1　(1)(多選)(2023·銀川模擬)若復數(shù)z滿足z(1－2i)＝10，則
對于B，z－2＝2＋4i－2＝4i，為純虛數(shù)，故B正確；對于C，z＝2＋4i，其在復平面內(nèi)對應的點為(2,4)，在第一象限，故C錯誤；
(2)(2024·杭州模擬)若復數(shù)z滿足z(1＋i)＝－2＋i(i是虛數(shù)單位)，則|z|等于
依題意，z(1＋i)＝－2＋i，
x1，x2均為虛數(shù)，不能比較大小，故B錯誤；
解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部.
跟蹤訓練1　(1)(多選)下面是關于復數(shù)z＝－1－i(i為虛數(shù)單位)的命題，其中真命題為A.|z|＝2B.z2＝2iC.z的共軛復數(shù)為1＋iD.z的虛部為－1
B選項，z2＝(－1－i)2＝1＋2i＋i2＝2i，B正確；C選項，z的共軛復數(shù)為－1＋i，C錯誤；D選項，z的虛部為－1，D正確.
(2)(2023·淄博模擬)若復數(shù)z＝ 的實部與虛部相等，則實數(shù)a的值為A.－3 B.－1 C.1 D.3
所以2a＋1＝a－2，解得a＝－3，故實數(shù)a的值為－3.
(3)(2023·懷化模擬)若復數(shù)z是x2＋x＋1＝0的根，則|z|等于
題型二　復數(shù)的四則運算
A.－i B.i C.0 D.1
(2)(多選)(2023·忻州模擬)下列關于非零復數(shù)z1，z2的結論正確的是A.若z1，z2互為共軛復數(shù)，則z1·z2∈RB.若z1·z2∈R，則z1，z2互為共軛復數(shù)
設z1＝a＋bi(a，b∈R)，由z1，z2互為共軛復數(shù)，得z2＝a－bi，則z1·z2＝a2＋b2∈R，故A正確；當z1＝2＋2i，z2＝1－i時，z1·z2＝4∈R，此時z1，z2不是共軛復數(shù)，故B錯誤；由z1，z2互為共軛復數(shù)，得|z1|＝|z2|，
(1)復數(shù)的乘法：復數(shù)乘法類似于多項式的乘法運算.(2)復數(shù)的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù).
跟蹤訓練2　(1)(2022·新高考全國Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)等于A.－2＋4i B.－2－4iC.6＋2i D.6－2i
(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i.
(2)(2023·濟寧模擬)已知復數(shù)z滿足z·i3＝1－2i，則 的虛部為A.1 B.－1 C.2 D.－2
∵z·i3＝1－2i，∴－zi＝1－2i，
題型三　復數(shù)的幾何意義
(2)(2023·邢臺模擬)已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，則|z－3＋ i|的最小值為A.5 B.4 C.3 D.2
因為z＝a＋bi(a，b∈R)，則z－i＝a＋(b－1)i，z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i，
解得a＝－1，則z＝－1＋bi，
由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可以把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題的解決更加直觀.
跟蹤訓練3　(1)在復平面內(nèi)，O為坐標原點，復數(shù)z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i對應的點分別為Z1，Z2，則∠Z1OZ2的大小為
∵z1＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z2＝7＋i，
(2)(2023·太原模擬)已知復數(shù)z滿足|z－2|＝1，則|z－i|的最小值為
設z＝x＋yi(x，y∈R)，
所以(x－2)2＋y2＝1，即z在復平面內(nèi)對應點的軌跡為圓C：(x－2)2＋y2＝1，如圖，
一、單項選擇題1.已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i為虛數(shù)單位)，則A.a＝1，b＝－3 B.a＝－1，b＝3C.a＝－1，b＝－3 D.a＝1，b＝3
因為a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi，所以a＝－1，b＝3.
2.(2023·西安模擬)已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z－i＝ ，則復數(shù)z的共軛復數(shù)為A.2 B.－2 C.2i D.－2i
所以z＝2，所以復數(shù)z的共軛復數(shù)為2.
3.如果一個復數(shù)的實部和虛部相等，則稱這個復數(shù)為“等部復數(shù)”，若復數(shù)z＝(2＋ai)i(其中a∈R)為“等部復數(shù)”，則復數(shù) ＋ai在復平面內(nèi)對應的點在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
∵z＝(2＋ai)i＝－a＋2i，又∵“等部復數(shù)”的實部和虛部相等，復數(shù)z為“等部復數(shù)”，∴－a＝2，解得a＝－2，
復數(shù)z1＝a＋i，z2＝1－2i，
解得a＝2，即z1＝2＋i，
5.已知m，n為實數(shù)，1－i(i為虛數(shù)單位)是關于x的方程x2－mx＋n＝0的一個根，則m＋n等于A.0 B.1 C.2 D.4
由1－i是關于x的方程x2－mx＋n＝0的一個根，則1＋i是關于x的方程x2－mx＋n＝0的一個根，則m＝1－i＋1＋i＝2，n＝(1－i)×(1＋i)＝2，即m＝2，n＝2，則m＋n＝4.
6.(2023·齊齊哈爾模擬)已知復數(shù)z1與z＝3＋i在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，則 等于A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i
因為復數(shù)z1與z＝3＋i在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，所以z1＝3－i，
7.(2024·滄州模擬)設復數(shù)z滿足|z－1＋i|＝2，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則A.(x＋1)2＋(y－1)2＝4B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4D.(x－1)2＋(y＋1)2＝4
復數(shù)z滿足z＝x＋yi(x，y∈R)，則|x－1＋(y＋1)i|＝2，∴(x－1)2＋(y＋1)2＝4.
8.(2023·貴陽模擬)歐拉公式exi＝cs x＋isin x由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，在復變函數(shù)論占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋.依據(jù)歐拉公式，下列選項中不正確的是A. 對應的點位于第二象限B. 為純虛數(shù)
二、多項選擇題9.(2023·衡陽模擬)已知i為虛數(shù)單位，則下列結論中正確的是A.i＋i2＋i3＋i4＝0B.3＋i>1＋iC.若復數(shù)z為純虛數(shù)，則|z|2＝z2D.復數(shù)－2－i的虛部為－1
對于A，由虛數(shù)的運算性質，可得i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故A正確；對于B，虛數(shù)不能比較大小，故B不正確；對于C，當z＝i時，|z|2＝1，z2＝－1，此時|z|2≠z2，故C不正確；對于D，根據(jù)復數(shù)的概念，可得復數(shù)－2－i的虛部為－1，故D正確.
對于C，當z1＝3＋4i，z2＝5時，|z1|＝|z2|＝5，但是z1≠±z2，故C錯誤；
12.寫出一個同時滿足①②的復數(shù)z＝________.
因為z?R，不妨設z＝bi(b∈R，b≠0)，則(bi)3＝－b3i＝－bi，解得b＝±1，即z＝±i符合.
14.(2023·成都檢測)已知|z|＝1，則|z－2－2i|(i為虛數(shù)單位)的最大值為___________.
設z＝x＋yi，其中x，y∈R，由|z|＝1，可得x2＋y2＝1，根據(jù)復數(shù)z的幾何意義可得復數(shù)z表示以原點O為圓心，1為半徑的單位圓，
可得|z－2－2i|表示單位圓上的點到點P(2,2)的距離，
15.已知復數(shù)z1，z2和z滿足|z1|＝|z2|＝1，若|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|，則|z|的最大值為
根據(jù)題意，得|z|＝|(z2－z)－z2|≤|z2－z|＋|z2|＝|z1－1|＋1≤|z1|＋1＋1＝3，當z1＝－1，z2＝1，z＝3時，|z1－z2|＝|z1－1|＝|z2－z|＝2，此時|z|＝3，所以|z|max＝3.
因為復數(shù)z1，z2對應的點分別為Z1，Z2，且|z1|＝|z2|＝2，則可確定點Z1，Z2在以O為圓心，2為半徑的圓上，

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