
1、揣摩例題。課本上和老師講解的例題,一般都具有一定的典型性和代表性。要認(rèn)真研究,深刻理解,要透過(guò)“樣板”,學(xué)會(huì)通過(guò)邏輯思維,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題,特別是要學(xué)習(xí)分析問(wèn)題的思路、解決問(wèn)題的方法,并能總結(jié)出解題的規(guī)律。 2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”,應(yīng)在老師的指導(dǎo)下,選一些源于課本的變式題,或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題,通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧,加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí),要獨(dú)立思考,一題多思,一題多解,反復(fù)玩味,悟出道理。 3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后,總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好,糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否,不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系,確定解題思路 。 4、重視錯(cuò)題?!板e(cuò)誤是最好的老師”,但更重要的是尋找錯(cuò)因,及時(shí)進(jìn)行總結(jié),三五個(gè)字,一兩句話都行,言簡(jiǎn)意賅,切中要害,以利于吸取教訓(xùn),力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
培優(yōu)點(diǎn)8 等和(高)線定理與奔馳定理
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí),k=1;②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí),k∈(0,1);③當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí),k∈(1,+∞);④當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí),k=0;⑤若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱,則定值k1,k2互為相反數(shù);⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比.
由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似,所以我們把它稱為“奔馳定理”.這個(gè)定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題,尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題,有著決定性的基石作用.
題型一 利用等和線求基底系數(shù)和的值
方法一 (常規(guī)方法)∵E為線段AO的中點(diǎn),
方法二 (等和線法)如圖,AD為值是1的等和線,過(guò)點(diǎn)E作AD的平行線,設(shè)λ+μ=k,
利用等和線求基底系數(shù)和的步驟(1)確定值為1的等和線;(2)平移該線,作出滿足條件的等和線;(3)從長(zhǎng)度比或點(diǎn)的位置兩個(gè)角度,計(jì)算滿足條件的等和線的值.
方法一 (常規(guī)方法)由題意作圖如圖.
設(shè)AF與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,易知AF=FH,
題型二 利用等和線求基底系數(shù)和的最值(范圍)
如圖,作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P,與直線AB相交于點(diǎn)E,與直線AC相交于點(diǎn)F,
求解步驟:(1)確定值為1的等和線;(2)平移(旋轉(zhuǎn)或伸縮)該線,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)允許存在的區(qū)域,分析何處取得最大值和最小值;(3)從長(zhǎng)度比或點(diǎn)的位置兩個(gè)角度,計(jì)算最大值和最小值.
作一系列與BD平行的直線與圓弧相交,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí),3x+y取得最小值1;當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),3x+y取得最大值3,故3x+y的取值范圍是[1,3].
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m.
利用平面向量“奔馳定理”解題時(shí),要嚴(yán)格按照定理的格式,注意定理中的點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn);定理中等式左邊三個(gè)向量的系數(shù)之比對(duì)應(yīng)三個(gè)三角形的面積之比.
由奔馳定理可得S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4=19∶4.
∴M為△ABC的重心,如圖,連接AM并延長(zhǎng)交BC于D,則D為BC的中點(diǎn),
方法二 (等和線法)BC是值為1的等和線,過(guò)M作BC的平行線,
方法二 (等和線法)如圖,BC為值是1的等和線,過(guò)N作BC的平行線,設(shè)λ+μ=k,
A.2∶1 B.3∶2 C.3∶1 D.5∶3
根據(jù)奔馳定理得,S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3,所以S△ABC∶S△APC=3∶1.
A.[0,1] B.[0,2]C.[0,3] D.[0,4]
如圖,過(guò)點(diǎn)P作GH∥BC,分別交AC,AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,H,
∵△BCD與△ABC的面積之比為2∶1,∴AC′=3AC,AB′=3AB,
∴λ=3y,μ=3x?λ+μ=3x+3y=3.當(dāng)點(diǎn)P位于A點(diǎn)時(shí),顯然有λ+μ=0,綜上,λ+μ的取值范圍是[0,3].
方法一 (常規(guī)方法)設(shè)圓O的半徑為1,由已知可設(shè)OB為x軸的正半軸,O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系(圖略),
方法二 (等和線法)設(shè)λ+μ=k,如圖,當(dāng)C位于點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線,所以k=λ+μ=1,
所以λ+μ∈[1,2].
如圖,BC是值為1的等和線,過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線,延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)M,
由題設(shè)知O為△ABC的重心,
方法一 如圖,設(shè)AC的中點(diǎn)為M,BC的中點(diǎn)為N.
所以O(shè)為線段MN的中點(diǎn),
根據(jù)奔馳定理可得S△OBC∶S△OAC∶S△OAB=1∶3∶5,
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